Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

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1 Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim e si indic con d. In questo cso l vrizione dell funzione f e' dt dl differenzile dell df ( ) df funzione: d dove indic d d l derivt dell funzione f In generle si definisce differenzile l vrizione di un funzione rispetto un vriile indipendente df ( )= f ' ( ) d Es. differenzile di e' d, differenzile di 2 e' 2d 1

2 Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli. Dt un funzione f definit in un intervllo [,] nel qule e' continu, si consideri l'rco AB del suo grfico i cui estremi A e B hnno per scisse e e quindi per ordinte f() e f(). y o A f() h B f() f() 2

3 Are del trpezoide: somm integrle y f k / 2 B f() A f() f() o h k Si divid l'intervllo [,] in n sottointervlli, k in modo tle che n k =1 k =h= e per ogni k prendimo il punto medio k / 2= k e considerimo il vlore dell funzione f k. Disegnmo il rettngolo di se k e ltezz f k. Considerimo l somm integrle: n f 1 1 f 2 2 f f n n = k=1 f k k 3

4 Are del trpezoide: somm integrle y B f() A f() f() o h n L somm integrle k =1 f k k e' un pprossimzione dell're del trpezoide. Qunto piu' piccoli prendimo k, cioe' qunto piu' grnde e' n tnto meglio l somm integrle pprossim l're del trpezoide. L're del trpezoide rppresent l're sottes dll funzione f. 4

5 Integrle Definito Si definisce re del trpezoide S il limite dell somm integrle riferit ll'intervllo [.] lim n n k =1 f k k =S Il limite S di somme integrli in [,] puo' essere definito nche indipendentemente dl suo significto geometrico e prescindendo nche d ogni rppresentzione crtesin dell funzione inteso nel senso piu' mpio, il limite di qulunque somm integrle trtt d divisioni infinitesimli dell'intervllo [,], si suole indicre col simolo: f d chimto integrle definito dell funzione f tr e Si definisce integrle definito di un funzione f in un itervllo [,], il limite, se esiste, di un somm integrle trtt d qulunque divisione infinitesimle dell'intervllo stesso. 5

6 Il clcolo dell'integrle definito medite il limite n dell somm integrle puo' essere lorioso e complicto. Tle clcolo divent molto piu' semplice se si conosce un funzione primitiv F() dell funzione integrnd f(). Definizione di Funzione Primitiv Dt un funzione f () si definisce primitiv generle F ( ) un delle infinite funzioni che differiscono per un costnte C rritri e che hnno tutte per derivt f () F ' ( )= d d F ( )= f ( ) L primitiv e' definit meno di un costnte, inftti d (F ( )+C)= f ( ) d 6

7 Teorem fondmentle Integrle Definito Se si conosce un primitiv F dell funzione integrnd f il clcolo dell'integrle definito divent semplice grzie l teorem fondmentle del clcolo integrle noto come teorem di Torricelli: L'integrle definito in un intervllo [,] di un funzione continu in tle intervllo e' ugule ll differenz tr i vlori che un primitiv dell funzione f ssume rispettivmente nell'estremo superiore e nell'estremo inferiore. Cioe' se f e' l funzione integrnd continu su [,] e F e' un delle sue primitive si dimostr: f d=f F 7

8 1) Se > si h Propriet' dell'integrle Definito f d= f d 2) Se,,c sono 3 punti qulunque di un intervllo nel qule l funzione f e' continu si h c f d= f d f d c 3) un costnte k, che si fttore di f puo' essere mess in evidenz fuori del segno di integrle: kf d=k f d 4) Se l funzione integrnd e' l somm lgeric di due o piu' funzioni, l'integrle e' ugule ll somm lgeric dei singoli integrli definiti: [ f g ]d= f d g d 8

9 Integrle indefinito L funzione F e' un delle infinite primitive F C dell funzione f che differiscono l'un dll'ltr per un costnte. L'insieme delle funzioni F C costituiscono un primitiv piu' generle dell f e viene chimto integrle indefinito f d=f C Per l'integrle indefinito vlgono le propriet' 3) e 4) dell'integrle definito. 9

10 Clcolo di lcuni Integrli Indefiniti 1) Polinomio Esempi: n d= 1 n 1 n 1 C d= C d= C 2 d= C ) ) c) d) 1 2 d= 2 d= C= 1 C 1 2 e) d= C= 2 3 C d= f) 1 1 C=2 C g) 1 2 d=ln C 10

11 Clcolo di lcuni Integrli Indefiniti 2) e d=e C 3) sin d= cos C cos d=sin C 4) 1 cos 2 d= 1 tn 2 d=tn C Verific: Ogni volt che clcolte un integrle verificte il risultto: l derivt dell funzione ottenut deve dre l funzione integrnd. 11

12 Metodi di integrzione: Integrzione per Sostituzione Il metodo di integrzione per sostituzione utilizz l sostituzione di e d in un integrle con l funzione z= dz= ' d Esempio 2 1 d= d 2 1 d= d= z dz= 1 2 Ponimo z= 2 1 ln z C dz=2d Risostituimo z= d= 1 2 ln 2 1 C 12

13 Metodi di integrzione: Integrzione per Prti Il metodo di integrzione per prti si fond sull regol del clcolo dell derivt del prodotto di due funzioni. Tle metodo si pplic nei csi in cui l'espressione che figur sotto il segno << >> h l form f g ' d ossi l form di prodotto di un fttore f che viene chimto fttore finito, per un fttore g ' d chimto fttore differenzile tle d mmettere integrle immedito. In questo cso si pplic il procedimento indicto dll'equzione: f g ' d= f g g f ' d Che si puo' esprimere dicendo: l'integrle del prodotto di un fttore finito per un fttore differenzile e' ugule l prodotto del fttore finito per l'integrle del fttore differenzile, diminuito dell'integrle di questo integrle moltiplicto per il differenzile del fttore finito. 13

14 Esempio di Integrle per Prti sin 2 d Per prti si puo' scrivere: sin 2 d=sin sin d Fttore finito: f =sin Fttore differenzile: g ' =sin d=d cos quindi sin 2 d=sin sin d=sin cos cos cos d= = sin cos cos 2 d= sin cos 1 sin 2 d= = sin cos d sin 2 d= sin cos sin 2 d sin 2 d= sin cos sin 2 d d cui 2 sin 2 d= sin cos sin 2 d= 1 sin cos 2 14

15 Esercizi Integrli indefiniti d d d 2 3 d d d Integrli definiti d d 1 / 4 /6 2 1 sin d 4 4 d e d 15

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