Analisi Matematica: Calcolo Integrale. Francesco Russo

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1 Anlisi Mtemtic: Clcolo Integrle Frncesco Russo 2 settembre 200

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3 Indice Integrli indefiniti 5. Primitive ed integrli indefiniti Formule di integrzione Integrle di Riemnn 7 2. Il metodo di esustione Integrle definito e le sue proprietà Teorem fondmentle del clcolo integrle 3 3. Conseguenze del teorem fondmentle Aree e volumi 5 4. Are del sottogrfico di un funzione non negtiv Clcolo di volumi con il metodo delle fette Volume di solidi di rotzione Formul di Tylor 7 5. Polinomio e formul di Tylor Resto in form integrle, di Lgrnge e Peno Appliczioni dell formul di Tylor Integrli impropri Definizione ed esempi Teorem del confronto Serie numeriche 3 7. Criteri D Alembert Convergenz ssolut e criterio di Leibnitz Equzioni differenzili Equzioni differenzili lineri del ordine Equzioni differenzili lineri del 2 ordine

4 4 INDICE

5 Cpitolo Integrli indefiniti. Primitive ed integrli indefiniti PRIMITIVA - Un funzione F (x), derivbile nell intervllo [, b], è un primitiv di f(x) se F (x) = f(x), x [, b]. CARATTERIZZAZIONE DELLE PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE IN UN INTERVALLO - Se F (x) e G(x) sono due primitive di un stess funzione f(x) in un intervllo [, b], esiste un costnte c t.c. G(x) = F (x) + c, x [, b] (.) Dimostrzione - Ponimo H(x) = F (x) G(x); risult H (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = 0, x [, b]. H(x) = c, x [, b] quindi H (x) 0 H(x) crescente; H (x) 0 H(x) decrescente; H (x) = 0 H(x) costnte. INTEGRALE INDEFINITO - Si f un funzione continu in un intervllo [, b]. L insieme di tutte le primitive F di f in [, b] si chim intergrle indefinito di f e si indic col simbolo f(x) dx. L integrle indefinito è, l pri dell derivt, un operzione linere: risult cioè [αf(x) + βg(x)] dx = α f(x)dx + β g(x) dx 5

6 6 CAPITOLO. INTEGRALI INDEFINITI In effetti se F (x) è un primitiv di f(x) e G(x) lo è di g(x), l funzione αf (x) + βg(x) è un primiiv di αf(x) + βg(x) dto che [αf (x) + βg(x)] = αf (x) + βg (x) = αf(x) + βg(x). Ne segue che [αf(x) + βg(x)]dx = αf (x) + βg(x) + c, c R. Si h quindi α f(x) dx + β g(x) dx = αf (x) + βg(x).2 Formule di integrzione FORMULA DI INTEGRAZIONE PER PARTI - Se in un intervllo, f e g sono due funzioni derivbili con derivt continu, risult f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. Chimeremo f(x) fttore finito, mentre g(x) fttore differenzile. Dimostrzione - Prtimo dll formul di derivzione del prodotto [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x). Clcolndo gli integrli indefiniti di entrmbi i membri e utilizzndo l linerità [f(x)g(x)] = f (x)g(x) dx + f(x)g (x) dx. L tesi si ottiene osservndo che l funzione f g è un primitiv dell su derivt [f g]. FORMULA DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE - Si f un funzione continu e g un funzione derivbile con derivt continu; risult [ ] f(x) dx = f(g(t))g (t) dt. x=g(t) Dimostrzione - Consiste nell osservre che F (g(t))+c = f(g(t))g (t) dt; ciò è conseguenz del teorem di derivzione delle funzioni composte. Inftti dto che d dt F (g(t)) = F (g(t))g (t) = f(g(t))g (t) bbimo verificto che F (g(t)) è un primitiv di f(g(t))g (t).

7 Cpitolo 2 Integrle di Riemnn 2. Il metodo di esustione Clcolimo col metodo dell esustione l re di un settore di prbol, cioè l re dell regione S compres fr l sse x, f(x) = x 2 e l rett x = b. Dividimo [0, b] in n N intervlli, [x k, x k ] ciscuno di mpiezz b n. L re totle è dt dll somm dei rettngoli componenti: f(x k )(x k x k ) = k= f(x k )(x k x k ) = k= k= k= x 2 k x 2 k b n = b n b n = b n k= k= x 2 k x 2 k (pprossimzione per difetto) (pprossimzione per eccesso). In questi due csi i rettngoli (prtizioni) hnno l stess bse, m ltezze diverse; d esempio, un generico rettngolo vente per bse l intervllo [x k, x k ] h nel primo cso ltezz x 2 k mentre nel secondo x2 k. Dunque b n x 2 k < re k= S < b n in cui l somm l primo membro è dett somm integrle inferiore e quell l secondo somm integrle superiore. Si f(x) un funzione limitt nell intervllo chiuso [, b] di R. Un prtizione P di [, b] è un insieme ordinto costituito d n + punti distinti (che individuno n intervlli) x 0, x,..., x n con n N t.c. P di [, b] ponimo k= x 2 k = x 0 <... < x k <... < x n = b. m k = inf{f(x) : x [x k, x k ]} M k = sup{f(x) : x [x k, x k ]}. 7

8 8 CAPITOLO 2. INTEGRALE DI RIEMANN Definimo poi le somme (integrli) inferiori e superiori: s(p ) = m k (x k x k ) S(P ) = k= Definimo or due insiemi A e B t.c. M k (x k x k ). k= A = {s(p )} B = {S(P )}. Essi srnno seprti, m dll ssiom di completezz segue che esisterà lmeno un c R t.c. b B c A. 2.2 Integrle definito e le sue proprietà INTEGRALE DEFINITO - Se vi è un unico elemento di seprzione c tr A e B, llor si dice che f(x) è integrbile in [, b] secondo Riemnn e l elemento c si indic con f(x) dx e si chim integrle definito di f in [,b]. In ltre prole (con P generic prtizione di [, b]), posto s(f) = sup{s(p )} S(f) = inf{s(p )} se risult s(f) = S(f) llor f(x) è integrbile secondo Riemnn in [, b]. ADDITIVITÁ DELL INTEGRALE RISPETTO ALL INTERVALLO - Se, b, c sono tre punti in un intervllo dove f(x) è integrbile, llor f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. LINEARITÁ DELL INTEGRALE - Se f, g sono funzioni integrbili in [, b] e se c è un numero rele, nche f + g e c f sono integrbili in [, b] e risult [f(x) + g(x)] dx = c f(x) dx = c f(x) dx + g(x) dx; (2.) f(x) dx. (2.2)

9 2.2. INTEGRALE DEFINITO E LE SUE PROPRIETÀ 9 MONOTONIA (CONFRONTO TRA INTEGRALI) - Se f, g sono funzioni integrbili in [, b] e se f(x) g(x), x [, b], llor In prticolre f(x) dx g(x) dx. f(x) dx f(x) dx. Dto che l integrle definito dell funzione identicmente null è 0, dll linerità (2.) si deduce che f(x) 0 f(x) dx 0 ( < b) e utilizzndo l disuguglinz f(x) f(x) f(x), x [, b], dll linerità (2.2) si h f(x) dx f(x) dx f(x) dx, ( < b) che in bse ll equivlenz del vlore ssoluto si scrive nche nell form f(x) dx f(x) dx, ( < b) Dimostrzione - Dto che h(x) = f(x) g(x) 0, x [, b], si dimostr che dto che, per l linerità dell integrle f(x) dx h(x) dx 0, g(x) dx = [f(x) g(x)] dx. Se h(x) 0 in [, b], llor, pres un prtizione P = {x 0, x,..., x n } di [, b], si h che m k = inf h 0, k =,..., n [x k,x k ] e quindi Dunque s(h, P ) = m k (x k x k ) 0. k= 0 s(h, P ) sup s(h, P ) = p h(x) dx.

10 0 CAPITOLO 2. INTEGRALE DI RIEMANN (PRIMO) TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE - Si f un funzione limitt ed integrbile secondo Riemnnn in [, b]. Allor m(b ) f(x) dx M(b ), con m = inf{f(x) : x [, b]} e M = sup{f(x) : x [, b]}. Dimostrzione - Si h che m f(x) M, x [, b] e quindi, per l monotoni dell integrle bbimo che m(b ) = cioè l tesi di prtenz. m dx f(x) M dx = M(b ) (SECONDO) TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE - Se f(x) è continu in [, b], x 0 t.c. Dimostrzione - Si or f(x) dx = f(x 0 )(b ). y = b f(x) dx. Il precedente teorem implic che m y M. Se f è continu in [, b], per il teorem dei vlori intermedi, x 0 [, b] t.c. f(x 0 ) = y; l tesi segue quindi fcilmente. CRITERIO DI INTEGRABILITÁ - Un funzione f limitt in [, b] è ivi integrbile secondo Riemnn sse, ε > 0, un prtizione P di [, b] t.c. S(P ) s(p ) < ε. Dimostrzione - Se f è integrbile secondo Riemnn in [, b] llor s(f) = S(f); in bse lle definizioni di sup e inf, ε > 0 esistono due prtizioni P e P t.c. s(f) ε 2 < s(p ), S(f) + ε 2 > S(P ). Posto P = P P si h che s(f) ε 2 < s(p ) s(p ) S(P ) S(P ) < S(f) + ε 2 d cui, essendo s(f) = S(f), S(P ) s(p ) < S(f) + ε ( 2 s(f) ε ) = ε. 2

11 2.2. INTEGRALE DEFINITO E LE SUE PROPRIETÀ INTEGRABILITÁ DELLE FUNZIONI MONOTONE - Si f(x) un funzione monoton in [, b]. Allor f(x) è integrbile secondo Riemnn in [, b]. Dimostrzione - Considerimo l prtizione P {x 0, x,..., x n } di [, b] t.c. x 0 =, x = + b n,... x k = + k b n, x n = b. Vlutimo l differenz tr l somm superiore e quell inferiore; dto che x k x k = (b ) n, risult: S(P n ) s(p n ) = M k (x k x k ) k= = b n ( M k k= m k (x k x k ) = k= ) m k. Per ipotesi f(x) è monoton in [, b]; supponimo si crescente in [, b]. In questo cso il suo mssimo in [x k, x k ] è ssunto ll estremo destro, mentre il minimo è ssunto ll estremo sinistro, cioè M k = f(x k ) e m k = f(x k ). Ottenimo quindi: M k m k = k= = f(x ) + f(x 2 ) f(x n ) [f(x 0 ) + f(x ) f(x n )] = k= k= = f(x n ) f(x 0 ) = f(b) f(). Abbimo quindi dimostrto che n N esiste un prtizione P n in [, b] t.c. S(P n ) s(p n ) = (b )[f(b) f()] ; n dto che il 2 membro converge 0 per n +, ε 0, v t.c. S(P n ) s(p n ) < ε, n > v. Quindi per il teorem del criterio di integrbilità visto precedentemente, f(x) è integrbile secondo Riemnn in [, b]. INTEGRABILITÁ DELLE FUNZIONI CONTINUE - Si f(x) un funzione continu in [, b]. Allor f(x) è integrbile secondo Riemnn in [, b].

12 2 CAPITOLO 2. INTEGRALE DI RIEMANN

13 Cpitolo 3 Teorem fondmentle del clcolo integrle TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE - Si f[, b] definit in R e continu. Si F l funzione definit F (x) = x f(t) dt, x [, b]. Allor i) F è derivbile in [, b] e F (x) = f(x) x [, b]; ii) Se G è un primitiv di f in [, b] llor G(x) = F (x) + c, x [, b]; iii) (FORMULA FONDAMENTALE) primitiv G di f b f(t) dt = G(b) G() := G. Dimostrzione - (i) x [, b], x + h [, b]. Rpporto incrementle: F (x + h) F (x) = [ x+h x ] f(t) dt f(t) dt = h h = [ x x+h x ] f(t) dt + f(t) dt f(t) dt = x+h f(t) dt. h x h x Per l proprietà dell medi x h [x, x + h] t.c. f(x h ) = x+h h x f(t) dt. lim x F (x + h) F (x) h = x, lim = lim f(x h ) = f(x) h 0 h 0 h h 0 perchè f è continu in x. (ii) già dimostrto (crtterizzzione delle primitive di funzione in un intervllo -.). (iii) Se G è un primitiv qulunque di f, dll (ii) c t.c. G(x) = F (x) + c. b G = G(b) G() = F (b) + c (F () + c) = 3

14 4CAPITOLO 3. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt 3. Conseguenze del teorem fondmentle INTEGRAZIONE PER PARTI DI INTEGRALI DEFINITI - u(x)v b (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx. INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE DI INTEGRALI DEFINITI - Si g : [c, d] in [, b] t.c. = g(c) e b = g(d); llor f(x) dx = d c f(g(t))g (t) dt.

15 Cpitolo 4 Aree e volumi 4. Are del sottogrfico di un funzione non negtiv Se f : [, b] R è integrbile e non negtiv, llor l integrle definito f(x) dx h significto di re dell regione pin In tl cso quindi risult A = (x, y) : x b, 0 y f(x). re di A = f(x) dx. Per clcolre l re dell regione compres tr due funzioni f(x) e g(x), definit dlle limitzioni A = (x, y) : x b, g(x) y f(x) si us l formul re di A = [f(x) g(x)]. 4.2 Clcolo di volumi con il metodo delle fette Considerimo un solido V e fissimo un rett che lo ttrvers, sse delle x, ed un sistem di scisse su di ess. Se considerimo l insieme dei pini perpendicolri d ess, possimo ssocire d ogni x il pino che è perpendicolre ll rett dt e che l incontr nel punto di sciss x. x [, b], ogni pino rppresent un sezione S(x) del solido V. 5

16 6 CAPITOLO 4. AREE E VOLUMI Dto che S(x) è un regione pin, possimo supporre di conoscere l re in bse l metodo del prgrfo precedente; quindi: A(x) = re dell sezione S(x). Supponendo che A(x) si continu in [, b] possimo considerre le sue somme integrli. Fissimo un prtizione P di [, b], e si [x k, x k ] un generico intervllo di P. All fett di re A(x k )(x k x k ) corrisponde il cilindro che h per bse un cerchio di A(x k ) e l cui ltezz vle (x k x k ). Cioè d ogni rettngolo (fett) di un cert re corrisponde un cilindro in V di pri volume. Si h quindi che il volume di V è ugule ll integrle dell funzione A(x) nell intervllo [, b], cioè: volume di V = A(x) dx. 4.3 Volume di solidi di rotzione Nel cso in cui V è un solido di rotzione, il suo contorno è ottenuto fcendo ruotre ttorno ll sse delle x il grfico di un funzione f(x). In questo cso l regione pin S(x) è un cerchio di rggio f(x), quindi l re di S(x) è dt d: A(x) = π[f(x)] 2 ; in definitiv: volume di un solido di rotzione = π [f(x)] 2 dx.

17 Cpitolo 5 Formul di Tylor 5. Polinomio e formul di Tylor Il problem di pprossimre un qulsisi funzione per mezzo di un polinomio non h ovvimente un unic soluzione, m dipende dl modo in cui definimo buon un pprossimzione, ovvero dlle condizioni imposte. L scelt più semplice è di intendere come polinomio P (x) di grdo n che meglio pprossim l funzione f(x) quello che h lo stesso vlore di f(x) e di tutte le derivte fino ll ennesim, in un dto punto x 0. L situzione che cerchimo è quindi per x vicino x 0 ; più precismene f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + R (x). POLINOMIO DI TAYLOR DI GRADO n DI f IN x 0 - P (x, x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (n) (x 0 )(x x 0 ) n n! = P n (x, x 0 ). Dove P = f(x 0 ) e P n (x, x 0 ) = f (k) (x 0 ), con k = 0,,.., n. FORMULA DI TAYLOR - Si f(x) un funzione derivbile n volte in x 0. Risult:. f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n, k! 7

18 8 CAPITOLO 5. FORMULA DI TAYLOR 2. lim x x 0 R n (x) (x x 0 ) n = 0 APPROSSIMAZIONE DI UNA FUNZIONE CON IL SUO POLINOMIO DI TAYLOR - Considerimo un polinomio p(x) di grdo n coefficienti reli p(x) = 0 + x + 2 x n x n. (5.) L funzione p(x) è indefinitivmente derivbile in N e le sue derivte di ordine mggiore di n sono tutte nulle. Inoltre si veric che p(0) = 0, e p (k) (0) = k! k, k n. Ricvndo i vlori dei coefficienti k, possimo riscrivere il polinomio (5.) nell form p(x) = p(0) + p (0)! x + p (0) 2! x p(n) (0) x n. n! In ltre prole un polinomio di grdo n è noto solo un volt che sino noti il suo vlore e quelo delle sue derivte in 0. Sostituendo il ruolo dello 0 con quello di un generico x 0 R si h: p(x) = p(x 0 )+ p (x 0 )! (x x 0 )+ p (x 0 ) 2! (x x 0 ) p(n) (x 0 ) (x x 0 ) n. (5.2) n! D quest ultim segue che un polinomio di grdo n è univocmente determinto un volt che sino noti i vlori che esso e le sue prime n derivte ssumono in x 0. Si f(x) derivbile n volte in un punto x 0, cerchimo di determinre un polinomio p n (x) di grdo n che verifichi le uguglinze p n (x 0 ) = f(x 0 ), p n(x 0 ) = f (x 0 ),... p (n) n (x 0 ) = f (n) (x 0 ). (5.3) Tle polinomio deve vere per l (5.2) l espressione: p n (x) = = f(x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. (5.4) n! Le condizioni (5.3) sono verificte d p n ; perciò il polinomio di grdo n che soddisf le (5.3) esiste, è unico, ed è rppresentto in (5.4): tle polinomio prende il nome di polinomio di Tylor, di ordine n e centro x 0, dell funzione f(x). Definimo infine l funzione resto, che rppresent l errore commesso qundo in x si sostituisce f(x) il suo polinomio di Tylor di centro x 0 e di ordine n: R n (x) = f(x) p n (x). (5.5)

19 5.2. RESTO IN FORMA INTEGRALE, DI LAGRANGE E PEANO Resto in form integrle, di Lgrnge e Peno FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO IN FORMA INTEGRALE - Se f è derivbile n + volte in [, b], con derivt f (n+) continu, si h l formul f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + R n (x 0, x), k! k=0 con R n (x 0, x) il resto n-esimo in form integrle dell form: R n (x 0, x) = x x 0 (x t) n f (n+) (t) dt. n! Dimostrzione - Per deinizione di funzione resto si h R n (x) = f(x) p n (x) R n (x) = f(x) k=0 bisogn quindi dimostrre (per induzione) che x [, b] x x 0 (x t) n f (n+) (t) dt = f(x) n! k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k ; k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. (5.6) k! Per n = 0 quet uguglinz è conseguenz dell formul fondmentle del clcolo integrle, inftti: x x 0 f (t) dt = [f(t)] x x 0 = f(x) f(x 0 ) = R 0 (x). Nell ipotesi che f(x) mmett derivt (n+2)-esim continu in [, b], ssumimo per induzione che vlg l (5.6); integrndo per prti ottenimo: R n (x) = n! {[ ] t=x (x x t)n+ f (n+) (t) + n + t=x 0 (x t) n+ x 0 n + = f (n+) (x 0 ) x (x x 0 ) n+ (x t) n+ + f (n+2) (t) dt, (n + )! x 0 (n + )! che equivle ll tesi, con n + l posto di n: R n+ (x 0, x) = x (x t) n+ f (n+2) (t) dt. x 0 (n + )! } f (n+2) (t) dt =

20 20 CAPITOLO 5. FORMULA DI TAYLOR FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO IN FORMA DI LAGRANGE - Se f è derivbile n + volte in [, b], con derivt f (n+) continu, x [, b], x, compreso fr x 0 e x, t.c. R n (x) = f (n+) (x ) (x x 0 ) n+. (n + )! Dimostrzione - Dto che f (n+) (t) è continu, possimo vlutre il suo mssimo e minimo: m(x 0, x) = min f (n+) (t); t [x 0,x] M(x 0, x) = mx t [x 0,x] f (n+) (t). Sppimo che x > x 0, quindi: m(x 0, x) x x 0 Clcolimo l integrle: x x 0 Si h: (x t) n dt = n! n! (x t) n dt R n (x 0, x) M(x 0, x) n! x x m(x 0, x) x 0 (x t) n dt = n! x 0 (x t) n n! x (x t) n M(x 0, x) x 0 n! [ x x 0 ] t=x (x t)n+ = n + t=x 0 dt m(x 0, x) (x x 0) n+ ; (n + )! dt M(x 0, x) (x x 0) n+. (n + )! (x t) n dt. n! (x x0)n+. (n + )! Perciò: (n + )! m(x 0, x) R n (x 0, x) = R n(x 0, x) (x x 0 ) n+ M(x (x x 0 ) n+ 0, x). (n+)! Quindi per il teorem dell esistenz dei vlori intermedi x (x 0, x) t.c. che dimostr l tesi. Segue che: (n + )! R n (x 0, x) (x x 0 ) n+ = f (n+) (x ), lim x x 0 R n (x, x 0 ) (x x 0 ) = lim x x 0 (x x 0 ) (x + )! f (n+) (x ) = 0.

21 5.2. RESTO IN FORMA INTEGRALE, DI LAGRANGE E PEANO 2 FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO IN FORMA DI PEANO - Se f è derivbile n volte in x 0, il resto R n (x) è un infinitesimo in x 0 di ordine superiore (x x 0 ) n, ossi: lim x x 0 R n (x) = 0. (5.7) (x x 0 ) n Dimostrzione - Utilizzndo l deinizione di funzione resto (5.5), v dimostrto che: lim x x 0 R n (x) (x x 0 ) n = lim x x 0 f(x) p n (x) (x x 0 ) n = f(x) [f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (n) (x 0 )(x x 0 ) n /(n!)] lim x x 0 (x x 0 ) n = 0. Applicndo n volte il teorem di l Hopitl (il precedente limite è un form indetermint 0 0 ) si trov: f (n ) (x) [f (n ) (x 0 ) + f (n) (x 0 )(x x 0 )] lim = x x 0 n!(x x 0 ) = { f (n ) (x) f (n ) } (x 0 ) lim f (n) (x 0 ) = n! x x 0 x x 0 = { } f (n) (x 0 ) f (n) (x 0 ) = 0. n! DEFINIZIONE DI o piccolo - Sino f(x), g(x) funzioni definite in un intorno di x 0 (con l eventule eccezione di x 0 ), non nulle per x x 0. Si dice che f(x) è per x x 0 un infinitesimo di ordine superiore g(x), oppure che f(x) è un o piccolo di g(x), e si scrive f(x) = o(g(x)) (per x x 0 ) se g(x) è un funzione infinitesim per x x 0 e f(x) lim x x 0 g(x) = 0. Con tle definizione il resto di Peno in (5.5), (5.7) si rppresent nche così: R n (x) = o((x x 0 ) n ) (per x x 0 );

22 22 CAPITOLO 5. FORMULA DI TAYLOR tenendo presenti le espressioni di resto (5.5) e del polinomio di Tylor in (5.4), si può scrivere l formul di Tylor con il resto di Peno nell form: f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n ). k! Si utilizz spesso l formul di Tylor con centro x 0 = 0, ed in tl cso si chim formul di Mc Lurin: f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2 Ecco lcune formule per le funzioni elementri: x f (n) (0) x n + o(x n ). n! e x = + x + x2 2 + x3 xn ! n! + o(xn ); log( + x) = x x2 2 + x3 xn... + ( )n+ 3 n + o(xn ); sin x = x x3 3! + x5 x2n ( )n 5! (2n + )! + o(x2n+2 ); cos x = x2 2 + x4 x2n... + ( )n 4! (2n)! + o(x2n+ ); rctn x = x x3 3 + x5 x2n ( )n+ 5 2n + + o(x2n+2 ); PROPRIETÁ DEGLI o piccoli - Le seguenti proprietà sono utili i fini del clcolo dei limiti (m, n N): o(x n ) + o(x n ) = o(x n ); c o(x n ) = o(cx n ) = o(x n ) c = costnte 0; o(x n ) o(x n ) = o(x n ); x m o(x n ) = o(x m+n ); o(x m ) o(x n ) = o(x m+n ); o(o(x n )) = o(x n ); o(x n + o(x n )) = o(x n ).

23 5.3. APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR Appliczioni dell formul di Tylor APPROSSIMAZIONE DEL NUMERO e - Il numero e viene definito con l seguente formul, che offre un buon pprossimzione: ( e = lim + n. n n) Con l formul di Tylor simo in grdo di vere un pprossimzione migliore di e. Sfruttimo il ftto che e = f(), dove f(t) = e t ; supponimo inoltre di spere che e t è crescente e che 0 < e < 3. Nell pplicre l formul di Tylor ci conviene che i numeri f (k) (x 0 ) sino i più semplici possibili. Scegliendo x 0 = 0 bbimo: dove e = f() = k=0 R n (0, ) = f (k) ( 0)n (x 0 ) + R n (0, ), n! Dto che f (k) (t) = e t, k N, ottenimo: dove e = 0 k=0 R n (0, ) = ( t) n f (n+) (t) dt. n! k! + R n(0, ), Dto che e t è crescente bbimo che: = 0 ( t) n e t dt n! 0 0 < R n (0, ) = 0 ( t) n e t dt. n! ( t) n e ( t) n dt < 3 dt = n! 0 n! 3 = (n + )!. Possimo concludere che, se pprossimimo e n k=0 k!, commettimo un 3 errore che non super il numero (n+)!. Ad esempio se sceglimo n = 5: dove e = ε 5, 0 < ε 5 = R n (0, ) < 3 6! = 240 =

24 24 CAPITOLO 5. FORMULA DI TAYLOR Dunque e = 2, ε 5. Se volessimo clcolre e con un pprossimzione fisst, d esempio con errore più piccolo di 0 4 3, dovremmo cercre n t.c. (n+)! < 0 4, dto che ε n < 3 (n+)!. Ciò si ottiene scegliendo (n + )! > e cioè con n = 7; dunque 7 e = k! + ε 7 e quindi 2, 7825 < e < 2, k=0 CALCOLARE 0 CON UN ERRORE INFERIORE A x = g(x) pprossimre l funzione x0 = 9 0 = 9 + = 9 ( + ) = f(x) = + 9 f( 9 ) polinomio di Tylor x 0 = 0 f(0) = f (0) = 2 f (x) = 2 (+x) 2 f (x) = 2 ( ) ( 3 ) ( + x) f (x) = 2 ( ) ( ) ( f (n) = 2 ( ) R n 9, 0 = f (n+) (c) (n + )! 9 ( n! n+ n+ (n + )! 9 = 9) Svolto in form di Lgrnge: f (n+) (c) = ( 2 2 n+ ) (n ) ( + x) 2 n ( ) (+x) 3 2 2? per or possimo dire che n! n + 0 n + R n(x, 0) x n+ n + ) ( 2 2 ) ( n ) ( + c) 2 n+ n! 2 0 = 3 + ( ) 9 = 3(f ) = 9 ( ) ( ) ( ) ( ) = 3(P n 9, 0 + R n 9, 0 ) = 3P n 9, 0 + 3R n 9, 0 Bisogn scegliere n in modo che 3R n ( 9, 0), cioè l errore, si < n+ n + < 0 3 vle dire n = 3

25 5.3. APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR 25 USO DI TAYLOR PER IL CALCOLO DEI LIMITI INDETERMINATI - L formul di Tylor con resto di Peno si dimostr utile nel clcolo dei limiti di forme indeterminte. Anlizzimo il seguente esempio lim x 0 ( x 2 x sin x Il limite si present sotto form indetermint + (+ ). Utilizzndo l formul di Tylor dell funzione sin x centro x 0 = 0 (mostrt negli esempi reltivi ll definizione di o piccolo con n = ): ). sin x = x x3 3! + o(x4 ); si ottiene: ( lim x 0 x 2 ) sin x x = lim x sin x x 0 x 2 sin x = lim x x3 3! + o(x 4 ) x x 0 x 2 (x x3 3! + o(x 4 )) = x3 6 = lim + o(x4 ) x 0 x 3 x5 6 + o(x6 )). Dividendo numertore e denomintore per x 3 e tenendo presente che o(x 4 ) x 3 = x o(x4 ) x 4 0 per x 0, come pure o(x 6 )/x 3 0 per x 0 si ottiene infine il limite euivlente lim x o(x4 ) x 3 x2 6 + o(x6 ) x 3 = 6.

26 26 CAPITOLO 5. FORMULA DI TAYLOR

27 Cpitolo 6 Integrli impropri 6. Definizione ed esempi INTEGRALE IMPROPRIO - Si R e f : [, + ) R t.c.. f è integrbile in [, b], b > ; 2. lim b f(x) dx esiste ed è finito Allor si dice che f è integrbile in [, + ) e si pone + f(x) dx = lim b f(x) dx; tle numero si dice integrle improprio di f in [, + ). Se il limite (2) converge, l integrle improprio converge; se il limite diverge (se lim è + ), l integrle improprio diverge. In modo nlogo definimo l integrle improprio di un funzione continu e non negtiv in un intervllo illimitto del tipo (, ], o (, + ); d esempio: + f(x) dx = lim f(x) dx b + b ESEMPIO IMPORTANTE: integrbilità di x in [, + ) l vrire di - Per ogni possimo considerre l integrle: + x dx = Si conclude che: + lim b + x dx = x dx = [ ] x b ( b lim = lim b + b + + ). { /( ) se > (converge) + se < (diverge) 27

28 28 CAPITOLO 6. INTEGRALI IMPROPRI Anche nel cso = l integrle diverge in qunto x = log x b = log b log. INTEGRALE IMPROPRIO PER FUNZIONI NON LIMITATE - Si f : (, b] R non limitt per x +, se f è integrbile in ogni [+ε, b], ε > 0, si pone f(x) dx = lim f(x) dx ε 0 + +ε se questo limite esiste. ESEMPIO IMPORTANTE: integrbilità di x in (0, ] l vrire di - Per ogni clcolimo l integrle: 0 dx = lim x h 0 + Si conclude che: 0 h x dx = [ ] x x ( ) dx = lim = lim h 0 + h h h. { /( ) se < (converge) + se > (diverge) ESEMPIO IMPORTANTE: integrbilità di /(x(logx) β ) in [2, + ) (o più in generle in [, + ) con > ) l vrire di β (con β > 0) - Dto che { x[log x] β dx = β [log x] β b se β log log x b se β = l integrle converge se e solo se b >. 6.2 Teorem del confronto TEOREMA DEL CONFRONTO - Sino f, g : [, + ) R due funzioni integrbili in [, b], b > e t.c. 0 f(x) g(x), x [, + ). Allor se se + + g(x) dx f(x) dx converge diverge + + f(x) dx g(x) dx converge; diverge.

29 6.2. TEOREMA DEL CONFRONTO 29 Dimostrzione - Poichè f, g 0, le funzioni F (b) = f(x) dx G(b) = g(x) dx sono crescenti e vle F (x) G(x), b >. Perciò i loro limiti in b + sono finiti o infiniti e + f(x) dx = lim b + f(x) dx lim b + g(x) dx = + g(x) dx. Trmite quest uguglinz si verific l tesi, in qunto se il limite del secondo membro è finito, lo srà nche quello del primo membro; se non è finito quello del primo membro, non lo srà nche quello del secondo. TEOREMA DEL CONFRONTO ASINTOTICO - Sino f, g : [, + ) R due funzioni integrbili in [, b], b >, e supponimo che f(x) 0 e g(x) > 0, x [, + ). Si se < l < + llor: l = f(x) lim x + g(x) ; + f(x) dx converge sse + g(x) dx converge. Dimostrzione - Preso ε = l 2 > 0, k t.c. f(x) g(x) l < l 2, x > k e quindi o per meglio dire l 2 = l l 2 < f(x) g(x) < l + l 2 = 3l 2, x > k l 3l g(x) < f(x) < g(x), x > k. 2 2 Applicndo il teorem precedente prim lle funzioni l 2g(x) ed f(x), poi f(x) e 3l 2 g(x), si conclude che + k f(x) dx converge sse + k g(x) dx converge. L tesi si ottiene osservndo che k 0 f(x) dx e k 0 g(x) dx convergono per ipotesi.

30 30 CAPITOLO 6. INTEGRALI IMPROPRI

31 Cpitolo 7 Serie numeriche Si n un successione di numeri reli. dell succesione, cioè l espressione Definimo l somm dei termini n +... Introducimo con s n l somm dei primi n termini dell succesione (somm przile o ridott n-esim): s n = n = k. Se il limite per n di s n esiste ed è un numero finito, si dice che l serie è convergente; è divergente se il limite vle ±. Un serie convergente o divergente si dice regolre; è indetermint se non esiste il limite per n di s n. Il crttere di un serie è l su proprietà di essere convergente, divergente o indetermint. CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DI UNA SE- RIE - Se l serie k= k è convergente, llor l successione n tende 0 per n +. Dimostrzione - Indichimo con s n l successione di somme przili e con s R l somm dell serie. Essendo s n+ = s n + n+, n R, risult lim n+ = n + k= lim s n+ lim s n = s s = 0. n + n + SERIE GEOMETRICA - Si q R; l seie n=0 qn si dice geometric di regione q. Se q =, s n = + } + {{... + } = n + n volte 3

32 32 CAPITOLO 7. SERIE NUMERICHE e quindi il suo limite per n + diverge +. Se q : ( q)s n = s n qs n = ( + q + q q n ) (q + q q n+ ) = q n+ (o per mezzo dell formul che esprime l somm di un progressione geometric con x : + x x n = ( x n+ )/( x)) e quindi: s n = qn+ q q n+ lim n + q = { q se q < + se q > se q L serie geometric di regione q converge sse < q < nel qul cso l su somm è q, diverge + se q ed è indetermint se q. SERIE TELESCOPICA - L seie + n= (b n b n+ ) si dice serie telescopic. Dto che s n = b b 2 + b 2 b b n b n+ = b b n+ tle serie converge sse l successione {b n } n N converge; in tl cso + n= (b n b n+ ) = b lim b n. n SERIE ARMONICA - Un seie del tipo n= n si dice rmonic. In questo cso lim n n = 0. L serie non converge, inftti s 2n s n = ( n + n n ) ( n ) = = n n > 2n }{{ 2n} n volte = n 2n = 2. Se l serie convergesse, llor s n s e s 2n s, cioè (s 2n s n ) s s = 0, contro il ftto che s 2n s n > 2, n N. TEOREMA SULLE SERIE A TERMINI NON NEGATIVI - Un serie termini non negtivi (se n N risult n 0) non può essere indetermint; è quindi convergente, o diverge positivmente. Per le serie termini tutti positivi (se n N risult n > 0) è vlido il criterio del confronto come per gli integrli impropri di funzioni positive. SERIE RESTO - Dt un serie n= n ed un intero N, l serie n=n+ n

33 33 si dice un serie resto dell serie originri. OSSERVAZIONE [7.] - Sino {s n } n N e {t n } n N le successioni per le somme przili e e cioè s n = n= n k e t n = k= k=n+ n=n+ n k per n N +. Allor s n = s N + t n, n N + e quindi s n converge sse t n converge. Vle dire che un serie converge (diverge) sse ogni su serie resto converge (diverge). CRITERIO DEL CONFRONTO TRA SERIE A TERMINI POSITIVI - Sino { n } n N e {b n } n N due successioni t.c. 0 n b n, n N llor: Se Se b n < + (converge) n= n = + (diverge) n= n < + (converge); (7.) n= b n = + (diverge). (7.2) Dimostrzione - Sino s n e t n le somme przili (o ridotte n-esime) delle successioni n e b n. Risult che n= s n = n b b n = t n n N. Inoltre, dto che le serie sono terini positivi, se il limite di t n è finito llor nche quello di s n lo è, cioè vle l (7.); se il limite di s n è + llor nche t n diverge, cioè vle l (7.2). Se per ssurdo n= n non convergesse, essendo termini posivi, divergerebbe + e quindi nche n= b n divergerebbe, contrddicendo l ipotesi. CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO TRA SERIE A TERMINI POSITIVI - Si n > 0, b n > 0, n N. Ponimo Allor l = n lim. n + b n i) se 0 < l < + l serie n= n converge sse converge n= b n;

34 34 CAPITOLO 7. SERIE NUMERICHE ii) se l = 0, n= b n convergente n= n convergente; iii) se l = +, n= n convergente n= b n convergente; Dimostrzione (i) - Preso ε = l 2 > 0, dto che l = n lim, n + b n N N t.c. n l b n < l 2, n N + e cioè l 2 = l l 2 < n < l + l b n 2 = 3l 2, n N + e quindi l 2 b n < n < 3l 2 b n, n N +. Quest disuguglinz ed il teorem precedente implicno che l serie converge sse converge b n. n=n+ n Dll osservzione [7.] si deduce l tesi. (ii) - Preso ε =, N N t.c. 0 n b n < ε =, n N + n=n+ e quindi 0 < n < b n, n N +. Anche qui, si conclude llor con il teorem precedente e l osservzione [7.]. (iii) - In questo cso si vrà b n lim = 0. n n Bst quindi pplicre il (ii) di questo teorem. TEOREMA DI MCLAURIN - Si f : [, + ) R un funzione decrescente e t.c. lim f(x) = 0. x + Allor l serie n= f(n) converge sse converge l integrle imporoprio + f(x) dx. Dimostrzione - Dto che f(x) è decrescente ed è quindi infinitesim ll infinito, si h che f(x) 0, x [, + ). Considerimo or f nell intervllo [k, k + ) con k N. Dto che f decresce risult che f(k + ) f(x) f(k), x [k, k + ) e quindi f(k+) = k+ k f(k+) dx k+ k f(x) dx k+ k f(k) dx = f(k). (7.3)

35 35 Geometricmente, l re sotto f e sopr ll sse delle scisse, tr i punti k e k + ( o tr le funzioni y = k e y = k + ) è compres tr le ree dei rettngoli con bsi [k, k + ) ed ltezze f(k + ) e f(k), rispettivmente. Sommndo i termini in (7.3) tr k = e k = n ottenimo: f(k + ) k= k= k+ k f(x) dx = Abbimo perciò dimostrto l formul s n+ f() n+ n+ f(x) dx f(x) dx s n, f(k). dove s n = f() + f(2) f(n) è l ridott n-esim dell serie n= f(n). É chiro llor che: se tle serie converge llor {s n } n N converge d un numero s e quindi: k= n+ lim n + f(x) dx s, dunque + f(x) dx converge; se tle serie divergesse llor il limite per n tentende d di s n+ divergerebbe + e quindi n+ lim n + f(x) dx = +, dunque + f(x) dx diverge. LA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA - Un seie del tipo n= n p si dice rmonic generlizzt. Cerchimo di studirne il crttere. Considerimo un intervllo [k, k + ] t.c. k x k + ; riuslt che (k + ) p x p, x [k, k + ]. kp Integrndo nell intervllo [k, k + ] e sommndo rispetto k, si h: s n+ = k= n+ (k + ) p dx x p k= k p = s n, x [k, k + ]. A questo punto, il cso p = coincide con quello dell serie rmonic. Se p < : s n n+ [ ] dx x p n+ x p = (n + ) p = p p p ; dto che p > 0, l ultimo membro tende + per n +, quindi che l successione s n tende +.

36 36 CAPITOLO 7. SERIE NUMERICHE Se p > : n+ dx (n + ) p s n+ + = + xp p p ; dto che p < 0, per n + l successione (n + ) p tende 0 e quindi l successione s n+ (che h limite perchè è termini positivi) è convergente. Rissumendo, l serie rmonic generlizzt è convergente se p > ed è divergente se 0 < p. Inoltre è divergente se p 0 in qunto il suo termine n-esimo non tende Criteri D Alembert CRITERIO DELLA RADICE - Si n 0, n N (succesione termini non negtivi) e si l = n n. Allor, l serie i) converge se 0 l < ; ii) diverge se l >. lim n + n= Dimostrzione (i) - Si q N t.c. l < q <. Dto che n n l, preso ε = q l > 0, N N t.c. n n l < ε = q l, n N + e quindi n n < ε + l = q, n N +. Perciò risult 0 n q n, n N +. Dto che n n=n+ è un serie geometric (di cui conoscimo il crttere), essendo q <, per il criterio del confronto nche l serie n=n+ n converge e quindi nche n= n. (ii) - Preso ε = l > 0, N N t.c = l ε < n n, n N + ossi < n ; quindi n non può tendere 0 e dunque n= n diverge. Inoltre nel cso l = non è possibile giungere d un conclusione. CRIETERIO DEL RAPPORTO - Si n 0, n N e si l = q n n+ lim. n + n

37 7.2. CONVERGENZA ASSOLUTA E CRITERIO DI LEIBNITZ 37 Allor, l serie i) converge se 0 l < ; n= n ii) diverge se l >. Dimostrzione - (i) - Si l < q <, come prim, N N t.c n+ n < q quindi n+ < q n, n N +. Dto che n N + si h: n < q n < q 2 n 2 <... < q n N+ N+ = N+ q N+ qn. Dto che l seguente serie converge (essendo q < ) n=n+ N+ qn qn+ llor, sempre per il criterio del confronto, converge nche l serie n=n+ n, e quindi nche n= n. (ii) - Come prim, N N t.c n+ n >, n N +. M llor n N+, n N +, quindi n non può tendere 0. ESEMPIO - L seguente serie converge x > 0: Inftti, x > 0, vle: l = lim n x n+ (n+)! x n n! n=0 x n n!. x = lim n n + = 0 <. 7.2 Convergenz ssolut e criterio di Leibnitz CONVERGENZA ASSOLUTA - Un serie n +... si dice ssolutmente convergente se risult convergente n Un serie ssolutmente convergente è convergente, m non è necessrimente vero il contrrio (si pensi lle serie lternte).

38 38 CAPITOLO 7. SERIE NUMERICHE Un criterio simile è vlido per gli integrli impropri: + f(x) dx converge + f(x) dx converge. CRIETERIO DI LEIBNITZ PER SERIE A SEGNO ALTERATO - Si consideri l serie ( ) n+ n n= dove n 0, n N. Se { n } n N è decrescente e n 0, per n, llor l serie originri converge. Dimostrzione - Considerimo l ridott n-esim s n = ( ) n n. Ponimo t k = s 2k ed u k = s 2k ; si osserv che: t k+ = s 2k+2 = s 2k 2k+ + 2k+2 s 2k = t k dto che 2k+2 2k+, essendo l successione { n } n N decrescente. Allo stesso modo si h: u k+ = s 2k+ = s 2k + 2k 2k+ s 2k = u k. Abbimo quindi dimostrto che {t k } k N decresce e {u k } k N cresce. Inoltre t k = s 2k = s 2k + 2k s 2k = u k, k N. Dto che t k t e u k u, k N, le due successioni convergono rispettivmente i due membri t e u. Inftti {t k } k N decresce ed è limitt inferiormente d u (t k u k u ), mentre {u k } k N cresce ed è limitt superiormente d t (u k t k t ). Inoltre si h t u = lim k (t k u k ) = lim k 2k = 0 cioè t = u. Ponimo llor s = t = u. Osservimo che se n è pri (= 2k) llor s n s = t k t = t k t = t k u t k u k+ = 2k+ = u n+ ; invece, se n = 2k bbimo s n s = u u k = t u k t k u k = 2k = n+. Quindi in ogni cso si h s n s n+, n N. Dto che n+ 0 per n, nche s n s per n, cioè l serie converge.

39 Cpitolo 8 Equzioni differenzili EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE - Un equzione differenzile ord. di ordine n in form generle si scrive così: F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. (8.) F è un funzione di n + 2 vribili che vincol l vribile indipendente x, un funzione y e le sue derivte. Un soluzione di (8.) è un funzione φ = φ(x) definit in un intervlli [, b] ed in esso continu insieme tutte le sue derivte fino ll ordine n, t.c. F (x, φ, φ, φ,..., φ (n) ) = 0 x (, b). 8. Equzioni differenzili lineri del ordine EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL ORDINE - Un equzione differenzile linere del ordine è del tipo y = (x)y + b(x), (8.2) con (x) e b(x) funzioni continue in un intervllo fissto. L funzione y = y(x) è l incognit dell equzione differenzile; y(x) è soluzione dell equzione dt se è derivbile e se y(x), y (x) soddisfno l equzione dt x nell intervllo. Se l funzione b(x) è identicmente null, l equzione si dice omogene. L ide per risovere (8.2) consiste nel cercre un funzione m(x) (il cosiddetto fttore integrnte) t.c. d dx [m(x)y(x)] = m(x)[y (x) A(x)y(x)]. (8.3) Se trovimo tle fnzione, llor dll (8.2) ottenimo d [m(x)y(x)] = m(x)b(x), dx 39

40 40 CAPITOLO 8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI e quindi integrndo: ossi m(x)y(x) = L equzione (8.3) implic che x x 0 m(t)b(t) dt + c { x } y(x) = m(x) m(t)b(t) dt + c. (8.4) x 0 m (x)y(x) + m(x)y (x) = m(x)y (x) m(x)a(x)y(x) cioè m (x) = A(x)m(x) se supponimo che y(x) non si sempre null. D quest ultim ricvimo l soluzione { x } m(x) = exp A(t) dt ; x 0 mentre dll (8.4) ottenimo l formul risolutiv: x x } y(x) = e x A(t) 0 dt{ t B(t)e x A(s) ds 0 dt + c. x 0 Dto che y(x 0 ) = c, possimo riscrivere l formul rislutiv con l sostizuine ppen enuncit. TEOREMA - Tutte le soluzioni dell equzione diferenzile linere del ordiene sono espresse d y(x) = e A(x) e A(x) b(x) dx, dove A(x) è un primitiv dell funzione (x). EQUAZIONI DI BERNOULLI - Si dicono di Bernoulli le equzioni differenzili del ordine del tipo: y = (x)y + b(x)y α con (x) e b(x) funzioni continue in uno stesso intervllo e α un numero rele che supporremo diverso d 0 e d (per non ricdere nel cso delle eq. lineri). Se α > 0, l funzione y(x) identicmente null è soluzione dell equzione dt. Se α > 0 e y(x) non si nnull per lcun vlore di x, o se α < 0, vnno divisi entrmbi i membri per y α : y y α = (x)y α + b(x).

41 8.2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL 2 ORDINE 4 EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI - Si dicono vribili seprbili le equzioni differenzili del ordine del tipo: y = f(x) g(y) con f(x) e g(y) funzioni continue. Se g(y 0 ) = 0 per qulche vlore rele y 0, llor l funzione costnte y(x) = y 0 è soluzione dell equzione propost. Se g(y) non si nnull possimo dividere entrmbi i membri per g(y) ed integrre rispetto x: y (x) g(y(x)) dx = f(x) dx. Indichimo con F (x) un primitiv dell funzione f(x) e con G(y) un primitiv di g(y), pensndo y come vribile indipendente. L relzione precedente si può scrivere nell form G(y(x)) = F (x) + c. Se G è un funzione invertibile, si ricv l espressione dell soluzione. 8.2 Equzioni differenzili lineri del 2 ordine EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL 2 ORDINE - Un eq. diff. lin. del 2 ord. è un equzione nell qule, oltre ll incognit y(x), compiono nche l derivt prim y (x) e l derivt second y (x). Un eq. diff. lin. del 2 ord. coefficienti costnti è del tipo y + y + by = f(x), dove le costnti e b si dicono coefficienti dell equzione, mentre f(x), funzione continu in un intervllo fissto, è il termine noto. L equzione si dice omogene se f(x) 0, ltrimenti si dice non omogene. Un funzione y = y(x) è soluzione dell eq. diff. dt se è derivbile due volte e se y(x), y (x) e y (x) soddisfno l eq. di prtenz, x nell intervllo fissto. L insieme di tutte le soluzioni si chim integrle generle. Introducimo il simbolo L(y) (detto opertore): L(y) = y + y + by. Possimo dunque riscrivere l equzione differenzile nell form L(y) = f, con L(y) = 0 equzione omogene ssocit d ess. Per trovre tutte le soluzioni di L(y) = f si cerc prim un soluzione y(x) di tle equzione, poi si cercno tutte le soluzioni y 0 (x) dell equzione

42 42 CAPITOLO 8. EQUAZIONI DIFFERENZIALI omogene ssocit. Infine, l integrle generle (y(x)) di L(y) = f si ottiene sommndo y(x) e y 0 (x). SOLUZIONI DELL EQUAZIONE OMOGENEA - Tutte le soluzioni dell equzione del 2 ordine linere omogene si descrivono nel seguente modo: se > 0: y(x) = c e λ x + c 2 e λ 2x ; se = 0: y(x) = c e λ x + c 2 e λ x ; se < 0: y(x) = c e αx cos βx + c 2 e αx sin βx. Dove: e λ = 2 4b, λ = + 2 4b 2 2 α = 4b 2, β = 2 =. 2 2 METODO DELLA RIDUZIONE DELL ORDINE A COEFFICIENTI COSTAN- TI - Dt l equzione differenzile linere del 2 ordine y + (x)y + b(x)y = f(x); (8.5) suponimo che, b, f sino continue in (α, β). Quest equzione si può sempre integrre non ppen si conosc un soluzione y (x) dell eq. omogene ssocit. L ide è quell di supporre che ogni soluzione y(x) si dell form y(x) = u(x)y (x), dove u(x) è un funzione incognit. Un volt clcolte le derivte di y(x): sostituimole nell (8.): y = u y + uy y = u y + 2u y + uy f = y + y + by = u y + 2u y + uy + (u y + uy ) + buy = = u y + u (2y + y ) + u(y + y + by ) = u y + u (2y + y ). L ultimo pssggio si h in qunto y è soluzione dell eq. omogene ssocit. Ottenimo dunque l equzione: y (x)u + [2y (x) + (x)y (x)]u = f(x); in cui non c è dipendenz d u. Ponendo z = u : [ z + 2 y (x) ] y(x) + (x) z = f(x) y (x)

43 8.2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL 2 ORDINE 43 che è un eq. linere del ordine, per cui si us l formul z(x) = e { } A(x) dx B(x)e A(x) dx dx + c dove A(x) = 2 y (x) f(x) y (x) + (x) e B(x) = y (x). Dto che u = z(x), integrndo ottenimo: [ u(x) = e ] A(x) dx A(x) dx B(x)e dx + c 2 e A(x) dx dx + c }. In conclusione, dto che y = uy, si h y(x) = ȳ(x) + c y (x) + c 2 y 2 (x) con [ ȳ(x) = y (x) e A(x) dx y 2 (x) = y (x) ] A(x) dx B(x)e dx ; e A(x) dx dx; dove ȳ(x) è un soluzione prticolre di (8.) e y (x), y 2 (x) sono due soluzioni dell eq. omogene ssoit. METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI - Sino y (x), y 2 (x) due soluzioni dell equzione omogene ssocit d un dt equzione difrenzile linere coefficienti costnti del 2 ordine.