Teorema fondamentale del calcolo integrale
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- Eloisa Casini
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1 Clcolo integrle Proprietà dell integrle deinito Teorem dell medi integrle Corollri del Teorem ond. clc. int. Regole di integrzione deinit Clcolo di ree 2 26 Politecnico di Torino 1
2 Estensione dell integrle deinito Si ponimo Z c e c R([, b]); Il simbolo per ogni Z c d (x) dx = Z d c se (x) dx = (x) dx c, d [, b] c<d b Z d c (x) dx risult essere deinito 4 26 Politecnico di Torino 2
3 Proprietà 1 Additività rispetto l dominio di integrzione Si limitto Per ogni un unzione integrbile su un intervllo I dell rett rele, b, c I, si h (x) dx = Z c (x) dx + c (x) dx 5 Proprietà 2 Linerità dell integrle deinito Sino e unzioni integrbili su un intervllo limitto g I dell rett rele, b I α, β R, Per ogni e si h ³ α(x)+βg(x) dx = = α (x) dx + β g(x) dx 6 26 Politecnico di Torino 3
4 Proprietà 3 Positività dell integrle deinito Sino e unzioni integrbili su un intervllo limitto dell rett rele Sino con Se in llor Inoltre, se solo se g I, b I, <b. [, b], (x) dx è continu, vle l uguglinz se e è identicmente null 7 Proprietà 4 Conronto tr integrli deiniti Sino e unzioni integrbili su un intervllo limitto dell rett rele Sino con Se in llor g I, b I, <b. g [, b], (x) dx g(x) dx 8 26 Politecnico di Torino 4
5 Proprietà 5 Mggiorzione dell integrle deinito Si limitto un unzione integrbile su un intervllo I dell rett rele, b I, <b. Sino con Allor (x) dx (x) dx 9 26 Politecnico di Torino 5
6 Deinizione Si deinisce medi integrle (o vlor medio) di sull intervllo [, b] il numero m(;, b) = 1 b (x) dx 11 Deinizione Politecnico di Torino 6
7 Signiicto geometrico [, b] Se è positiv sull intervllo riscrivendo l deinizione come si osserv che l re del trpezoide di su [, b] è ugule ll re del rettngolo vente come bse intervllo integrle di (x) dx =(b )m(;, b) [, b] e come ltezz l medi su tle intervllo 13 Deinizione Politecnico di Torino 7
8 Teorem dell medi integrle Si un unzione integrbile sull intervllo [, b] L medi integrle di su soddis le seguenti disuguglinze in (x) m(;, b) sup x [,b] (x) x [,b] [, b] Inoltre, se è continu su esiste lmeno un punto [, b] z [, b] m(;, b) =(z) 15 Dimostrzione in (x) m(;, b) sup x [,b] (x) x [,b] Ponimo i = in (x) e s = sup x [,b] x [,b] (x) Per ogni x [, b] si h i (x) s Politecnico di Torino 8
9 Dimostrzione Ricordndo l Proprietà 4, si ottiene i dx i (x) s ricordndo l espressione dell integrle di un costnte, si h i dx =(b ) i e (x) dx s dx s dx =(b ) s 17 Dimostrzione Dunque (b ) i (x) dx (b ) s b Dividendo per disuguglinze volute si ottengono le i 1 b (x) dx s Politecnico di Torino 9
10 Dimostrzione Se or supponimo Weierstrss si h i = min x [,b] (x) continu, per il Teorem di e s = mx x [,b] (x) e dunque l prim prte del teorem grntisce che m(;, b) è un vlore compreso tr il minimo e il mssimo di su [, b] 19 Dimostrzione L esistenz di un punto z per cui vle l m(;, b) =(z) segue d un conseguenz del Teorem dei vlori intermedi 2 26 Politecnico di Torino 1
11 Esempio 1 Considerimo l unzione continu (x) = 2x 2 se se x 1, 1 <x 2 sull intervllo [, 2] 21 Esempio 1 L su medi integrle è Z 2 m(;, 2) = 1 (x) dx 2 = 1 µz 1 2xdx+ 2 Z dx = 1 2 (1 + 2) = Politecnico di Torino 11
12 Esempio 1 L medi integrle è un vlore ssunto dll unzione; intti si h m(;, 2) = ( 3 4 ) 23 Esempio Politecnico di Torino 12
13 Esempio 2 Considerimo l unzione continu trtti (x) = 2x 5 se se x 1, x>1 25 Esempio 2 [, 2] L medi integrle di sull intervllo è dt d Z 2 m(;, 2) = 1 (x) dx 2 = 1 µz 1 2xdx+ 2 Z dx Politecnico di Torino 13
14 Esempio 2 [, 2] L medi integrle di sull intervllo è dt d µz 1 Z 2 m(;, 2) = 1 2 2xdx+ = 1 (1 + 5) = dx 27 Esempio 2 e tle vlore non è ssunto dll unzione Politecnico di Torino 14
15 Esempio 2 29 Esempio 2 L medi integrle di sull intervllo [, 5 4 ] vle m(;, 5 4 )=4 5 = 4 5 Z 5/4 (x) dx à Z 1 2xdx+ Z 5/4 1! 5 dx 3 26 Politecnico di Torino 15
16 Esempio 2 L medi integrle di sull intervllo vle m(;, 5 = 4 4 ) 5 [, 5 4 ] Ã Z 1 Z! 5/4 2xdx+ 5 dx 1 = 4 5 ( )= Esempio 2 In questo cso l medi è un vlore ssunto dll unzione perché m(;, 5 4 )=( 9 1 ) Politecnico di Torino 16
17 Osservzione 1 Questo esempio illustr il tto che l continuità di è un condizione suiciente, m non necessri, perché vlg l m(;, b) =(z) 33 Osservzione 2 L medi integrle di un unzione su un intervllo di estremi e b non dipende dll ordine degli estremi dell intervllo m(;, b) = 1 b = 1 b Z b (x) dx (x) dx =m(; b, ) Politecnico di Torino 17
18 Deinizione Si un unzione deinit su un intervllo e integrbile su ogni sottointervllo chiuso e limitto di I Si dice unzione integrle di su ogni unzione dell orm F (x) =F x (x) = x I dove è un punto issto e è vribile nell intervllo I Z x I x (s) ds x I R Politecnico di Torino 18
19 Osservzione F (x) =F x (x) = Z x x (s) ds Risult F x : I R e F x (x )= 37 Teorem Si Si deinit e continu su un intervllo x I e si I R un unzione integrle di su è derivbile in ogni punto di F F (x) = Z x x (s) ds I I e si h F (x) =(x), x I Politecnico di Torino 19
20 Dimostrzione x I x x + x I Si interno d e si un incremento tle che Considerimo il rpporto incrementle di e x + x F (x + x) F (x) = x à Z = 1 x+ x (s) ds x x Z x F tr! (s) ds x x 39 Dimostrzione Si h Z x+ x x (s) ds = Z x x (s) ds + Z x+ x x (s) ds e dunque F (x + x) F (x) x = 1 x Z x+ x x (s) ds =m(; x, x + x) 4 26 Politecnico di Torino 2
21 Dimostrzione 41 Dimostrzione Per il Teorem dell medi integrle pplicto ll unzione continu, esiste un punto z = z( x) x tr e per cui dunque x + x m(; x, x + x) =(z( x)) F (x + x) F (x) x = (z( x)) Politecnico di Torino 21
22 Dimostrzione Supponimo x > x z( x) x + x. Dll relzione e dl Teorem del doppio conronto sui limiti, si h lim z( x) =x x + Similmente e quindi lim x z( x) =x lim z( x) =x x 43 Dimostrzione Usndo l continuità di in si h Pertnto, pssndo l limite nell relzione lim (z( x)) = ( lim z( x)) = (x) x x F (x + x) F (x) x x =m(; x, x + x) = (z( x)) Politecnico di Torino 22
23 Dimostrzione si ottiene F (x) = lim x F (x + x) F (x) x = (x) Nel cso in cui il punto dell intervllo I si un estremo si procede come sopr considerndo limiti unilterli destro o sinistro x Politecnico di Torino 23
24 Corollrio 1 Si F x continu G un unzione integrle di un unzione su I Se è un qulunque primitiv di su F x (x) =G(x) G(x ), x I I 47 Dimostrzione Per il Teorem di crtterizzzione delle primitive, esiste un costnte tle che Il vlore dell costnte è determinto dll condizione ossi c F x (x) =G(x) c, x I F x (x )= c = G(x ) Politecnico di Torino 24
25 Corollrio 2 Si G un unzione continu sull intervllo Si un primitiv di su tle intervllo (x) dx = G(b) G() [, b] 49 Dimostrzione Se F indic l unzione integrle di che si nnull in si h Il risultto segue llor dl corollrio precedente con, x = e (x) dx = F (b) x = b 5 26 Politecnico di Torino 25
26 Osservzione È comune indicre l dierenz con un delle seguenti espressioni: G(b) G() [G(x)] b oppure G(x) b 51 Esempi Si h Z 1 x 2 dx = x3 = 1 3 Z π sin xdx =[ cos x] π =1+1=2 Z x dx = [log x]6 2 =log6 log 2 = log Politecnico di Torino 26
27 Corollrio 3 Si un unzione derivbile in un intervllo I, con derivt continu per ogni x I, vle Z x (x) =(x )+ x (s) ds, x I 53 Dimostrzione È suiciente osservre che dell su derivt Dunque ottenimo è un primitiv Z x x (s) ds =[(x)] x x = (x) (x ) Politecnico di Torino 27
28 Corollrio 4 Si ϕ un unzione continu in un intorno di ϕ(x) =o(x α ) x, soddiscente per con α Z x l su primitiv ψ(x) = ϕ(s) ds soddis per ψ(x) =o(x α+1 ) x In ormule, possimo scrivere che Z x o(s α ) ds = o(x α+1 ) per x 55 Dimostrzione Applicndo il Teorem di de l Hôpitl, bbimo che lim x ψ(x) =lim xα+1 x ψ (x) (α +1)x α = 1 α +1 lim x ϕ(x) x α = Politecnico di Torino 28
29 Esempio 1 Voglimo determinre lo sviluppo di Mclurin dell unzione L su derivt è (x) =rctnx (x) = 1 1+x 2 e dunque, per il Corollrio 3, possimo scrivere Z x rctn x = 1 1+s 2 ds 57 Esempio 1 Lo sviluppo di Mclurin dell unzione con l sostituzione x = s 2, è dto d (s), 1 1+s =1 2 s2 + s 4 +( 1) m s 2m + o(s 2m+1 ) mx = ( 1) k s 2k + o(s 2m+1 ) k= Politecnico di Torino 29
30 Esempio 1 Integrndo termine termine e usndo il Corollrio 4, ottenimo lo sviluppo di Mclurin dell unzione (x) 59 Esempio 1 rctn x = Z x = 1 s 2 + s 4 +( 1) m s 2m + o(s 2m+1 ) ds = = x x3 3 + x5 5 mx k= ( 1) k x2k+1 +( 1)m x2m+1 2m +1 + o(x2m+2 ) 2k +1 + o(x2m+2 ) 6 26 Politecnico di Torino 3
31 Esempio 2 Voglimo determinre lo sviluppo di Mclurin dell unzione Possimo scrivere (x) = rcsin x rcsin x = Z x 1 1 s 2 ds 61 Esempio 2 Usndo lo sviluppo di 1 1 x 2 con α = 1 2 e con l sostituzione 1 1 s 2 = = x = s 2, mx µ 1 s 2k + o(s 2m+1 ) k= 2 k ottenimo = s2 + 3 µ 8 s s 2m + o(s 2m+1 ) 2 m Politecnico di Torino 31
32 Esempio 2 Integrndo termine termine e usndo il Corollrio 4, ottenimo lo sviluppo di Mclurin dell unzione (x) 63 Esempio 2 rcsin x = Z x µ = s2 + 3 µ 8 s s 2m + o(s ) 2m+1 ds =x + x x µ 1 2 m 2 m x 2m+1 2m +1 + o(x2m+2 ) = mx µ 1 k= 2 k x 2k+1 2k +1 + o(x2m+2 ) Politecnico di Torino 32
33 Regol di integrzione per prti [, b], g Sino e unzioni derivbili su un intervllo con derivte continue (x)g (x) dx =[(x)g(x)] b (x)g(x) dx Politecnico di Torino 33
34 Dimostrzione Si H(x) (x)g(x) [, b] un qulunque primitiv dell unzione su L regol di integrzione indeinit per prti dice precismente che l unzione è un primitiv dell unzione Pertnto, si h (x)g(x) H(x) (x)g (x) (x)g (x) dx =[(x)g(x)] b [H(x)] b =[(x)g(x)] b (x)g(x) dx 67 Regol di integrzione per sostituzione Si (y) [, b] e si Si ϕ(x) [α, β] un unzione continu su un intervllo F (y) un su primitiv un unzione deinit su un intervllo vlori nell intervllo derivt continu [, b], derivbile con Z β α (ϕ(x))ϕ (x) dx = Z ϕ(β) ϕ(α) (y) dy Politecnico di Torino 34
35 Regol di integrzione per sostituzione Se l unzione ϕ [α, β] e l intervllo [, b] è un biiezione tr l intervllo (y) dy = Z ϕ 1 (b) ϕ 1 () (ϕ(x))ϕ (x) dx 69 Esempio 1 Si vogli clcolre Z 3π/4 sin 3 x cos xdx Ponimo y = ϕ(x) =sinx, si h ϕ (x) =cosx, ϕ() =, ϕ( 3π 4 )= Politecnico di Torino 35
36 Esempio 1 ϕ (x) =cosx, ϕ() =, ϕ( 3π 4 )= 1 2 Pertnto, si ottiene Z 3π/4 sin 3 x cos xdx= Z 1/ 2 y 3 dy 71 Esempio 1 Pertnto, si ottiene Z 3π/4 sin 3 x cos xdx= = Z 1/ y4 y 3 dy 1/ 2 = 1 16 Si noti che ϕ non è iniettiv sull intervllo [, 3π 4 ] Politecnico di Torino 36
37 Esempio 2 Si vogli clcolre Z 1 S = Ponimo con vribile nell intervllo rcsin p 1 y 2 dy y = ϕ(x) =cosx, [, π 2 ] x 73 Esempio 2 y = ϕ(x) =cosx, x [, π 2 ] In tle intervllo ϕ dunque iniettiv inoltre, si h è strettmente decrescente e ϕ() = 1, ϕ( π 2 )=, ϕ 1 () = π ϕ 1 (1) = 2, Notimo inoltre che si h rcsin p 1 cos 2 x =rcsin p sin 2 x =rcsin(sinx) =x Politecnico di Torino 37
38 Esempio 2 Dunque Z S = = π/2 Z π/2 (rcsin p 1 cos 2 x)( sin x) dx x sin xdx = x cos x π/2 + Z π/2 cos xdx 75 Esempio 2 Dunque Z S = = π/2 Z π/2 (rcsin p 1 cos 2 x)( sin x) dx x sin xdx = x cos x π/2 + = sin x π/2 =1 Z π/2 cos xdx Politecnico di Torino 38
39 Corollrio Si [, ], > Se un unzione integrbile sull intervllo è pri Z (x) dx =2 Z (x) dx Se è dispri Z (x) dx = Politecnico di Torino 39
40 Esempio 1 Clcolimo l re dell regione del pino rcchius tr le curve di equzione y = (x) =x 2 A e y = g(x) = x 79 Esempio 1 Le curve si intersecno nei due punti di scisse x = e x =1 L regione cui simo interessti è l dierenz tr il trpezoide dell unzione unzione reltivi ll intervllo g [, 1] e quello dell 8 26 Politecnico di Torino 4
41 Esempio 1 Pertnto A = = Z 1 Z 1 g(x) dx Z 1 [ x x 2 ] dx = (x) dx 2 3 x3/ x3 = Esempio 2 Determinimo l re A delimitt dll prbol dell regione del pino y = (x) =x(1 x) e dll rett y = g(x) = x Politecnico di Torino 41
42 Esempio 2 Le due curve si intersecno nell origine e nel punto di coordinte ( 3 2, 3 4 ) Nell intervllo [, 3 2 ] si h sempre (x) g(x) 83 Esempio 2 L regione di interesse si trov in prte nel semipino delle ordinte positive, in prte in quello delle ordinte negtive L su re può essere clcolt come A = Z 3/2 ((x) g(x)) dx Politecnico di Torino 42
43 Esempio 2 Si osservi che A è nche l re dell regione dierenz tr il trpezoide dell unzione trslt (x)+ 3 4 e il trpezoide dell unzione trslt g(x) Esempio 2 Applicndo un trslzione verticle che port l sse delle scisse nel punto di ordint y = 3 4, l re non cmbi Pertnto Z 3/2 A = µ 3 2 x x2 dx = 3 4 x2 1 3/2 3 x3 = Politecnico di Torino 43
44 Esempio Politecnico di Torino 44
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