Ing. Alessandro Pochì

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1 Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte.0 Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll ITIS M.M.Milno Aggiornmento l 8 gennio 0 Itli.

2 Il Clcolo delle Aree Introduzione l clcolo di un supericie Gli integrli Deinizione di integrle indeinito Deinizione di integrle deinito Regole elementri sugli integrli deiniti Deinizione di integrle improprio csi -- Regole di integrzione Integrzione di unzioni rzionli rtte Il clcolo delle ree comprese tr due unzioni Clcolo dell Lunghezz di un rco di curv Clcolo dell supericie estern di un solido di rotzione Clcolo volume di un solido di rotzione Il teorem del vlor medio Pg.

3 IL PROBLEMA DEL CALCOLO DELLE AREE. Spesso per risolvere svriti prolemi si di mtemtic m nche di ltre discipline, occorre determinre un supericie. Fino qundo queste superici sono delimitte d un curv spezzt, m con lti rettilinei, il tutto è stnz semplice potendo utilizzre le ormule geometriche note sin dlle scuole elementri Tringolo, rettngolo, qudrto, trpezio ecc,. L unic ltr supericie cilmente clcolile nche se non delimitt d lti rettilinei è quell dell circonerenz. Per tutte le ltre, delimitte dl grico di un unzione, le suddette ormule non sono più suicienti. Un metodo, pprossimto, per determinre un supericie di questo tipo è quello di suddividerl in più prti, ssimilili rettngoli. Immginimo di voler determinre l Supericie A compres tr l sse delle, l unzione e le due rette verticli pssnti per e. Nel grico seguente, per esempio, sostituendo l supericie A con quell dei rettngoli, commetteremmo un errore per eccesso, in qunto l re dei rettngoli è superiore quell rele. Clcolo delle Aree: Are superiore S y Se chimimo, quest supericie, clcolt per eccesso S, sicurmente potremo ermre che S>A. D notre che ogni rettngolo h l stess se, ciò che cmi srà l su ltezz che non è ltro che il vlore dell unzione determint per le vrie scisse. Are superiore S n / n Pg.

4 Se invece clcolimo l supericie come nel grico seguente, commettimo un errore per dietto: Clcolo delle Aree: Are ineriore s y Se chimimo, quest supericie, clcolt per dietto s, sicurmente potremo ermre che s<a. Are ineriore n s / n Un prim conclusione, quindi può essere l seguente: s < A < S Aumentndo il numero dei rettngoli, si ridurrà sempre di più l dierenz tr S ed s e quindi il clcolo dell A diventerà sempre più ccurto. Al crescere ipoteticmente ll ininito del numero dei rettngoli, non vi srà più lcun dierenz tr s ed S e quindi vremo risolto il prolem dell determinzione di A. E chiro però che, non è mmissiile un operzione del genere dove, seppur con dei semplici rettngoli, il numero delle operzioni d re srà ininito. Ci ideremo, pertnto ll elortore elettronico, il qule in pochi secondi potrà determinre con strordinri precisione l re richiest. Per esempio, issto un certo vlore di n potremmo clcolre l supericie cendo l medi ritmetic tr s ed S: S s A In seguito integrli deiniti studieremo il modo per determinre in modo molto semplice l supericie A. Pg.

5 Gli integrli. Deinizione di integrle indeinito Si deinisce integrle indeinito dell unzione l insieme di tutte le primitive F, e si indic con d F per le quli risult: ' F l unzione è dett unzione integrnd. Le primitive F dieriscono tr loro di un costnte c. Cos è quest costnte c? L spiegzione è semplice: poiché derivndo l F si deve ottenere l, un qulsisi costnte viene sprire quindi tutte le F che dieriscono di un costnte rispettno l: ' F Esempio: F E un primitiv dell unzione. F e nche: F M lo è nche: D ricordre che, qundo si svolge un integrle indeinito, si h come risultto un unzione e, come vedremo in seguito invece, svolgendo un integrle deinito, vrò come risultto un numero che rppresent un supericie. Pg.

6 Tell integrli immediti d kd k d n c n d n d log e d e c Osservzioni L integrle del prodotto di un unzione per un costnte è ugule ll costnte per l integrle dell unzione. Fcendo l integrle di un potenz, l primitiv d log ument di grdo. Il contrrio ccdev derivndo.. Se e si ricde nell regol precedente sen d cos os d sen d tg cos d rctg Alcune regole di integrzione ' d log Osservzioni D utilizzre qundo l numertore imo l derivt dell unzione l denomintore. sen ' d cos os ' d sen Pg.

7 Deinizione di integrle deinito Si deinisce integrle deinito dell unzione, nell intervllo [,] il vlore così clcolto: d F F, sono gli estremi di integrzione è l unzione integrnd Il vlore risultnte di tle operzione di integrzione rppresent l supericie compres tr: L sse delle scisse Le due rette verticli di equzione = e = L unzione Per qunto detto sinor, gli integrli deiniti possono essere utilizzti per il clcolo delle ree. Molto interessnte è il cso in cui si de determinre un supericie compres tr due unzioni. Pg.7

8 Regole elementri sugli integrli deiniti d [invertendo gli estremi di integrzione vri il segno dell integrle] d d 0 [Se gli estremi coincidono, l integrle è nullo] c d d d [c è un punto interno ll intervllo [,] c Come si risolve un integrle deinito Prim di tutto risolvimo l integrle come se osse indeinito e poi sostituimo con un dierenz i vlori degli estremi di integrzione: S d F F S F Pg.8

9 INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE. Supponimo di vere un integrle del tipo: d Con l equzione l denomintore con due soluzioni reli e Per risolvere questo tipo di integrle, se escludimo il cso in cui l numertore vi si l derivt del numertore ricde nel cso precedente del logritmo doimo trsormre l rzione in questo modo: d A B d dove e sono le due rdici dell equzione di secondo grdo l denomintore. Esempio Risolvendo l equzione di secondo grdo l denomintore vremo: X =, X =- Quindi d 9 9 d A B d Clcolndo il minimo comune multiplo nel secondo integrle, vremo: A B A B A A B B A B A B Quindi 9 d A B A B d Pg.9

10 Ainche l eguglinz si rispettt dovremo vere: cioè: A B A B A B A B Risolvendo questo semplice sistem otterremo le costnti: 7 A B Avremo quindi l eguglnz: 9 d 7 d Che, scritt in modo più semplice, dà: 9 d 7 d Adesso, entrmi gli integrli l secondo memro sono risolviili con l semplice regol del logritmo: F 7 log log Pg.0

11 Pg. Clcolo di un supericie compres tr due unzioni e g Il prolem è di cile soluzione: st clcolre il seguente integrle: d g A ] [ Per determinre gli estremi di integrzione e, doimo risolvere il sistem: g y y Esercizio svolto: Determinre l supericie compres tr le due unzioni di equzione: g Risolvendo il sistem determinimo i punti di intersezione tr le due unzioni e quindi gli estremi di integrzione: g 0 0

12 Pg. 0 questi sono gli estremi di integrzione d g A ] [ divent quindi: 0 ] 0 [ d A A

13 Deinizione di integrle improprio Nello svolgere un integrle potree ccdere che l unzione non si continu nell intervllo [,] oppure che i come estremi i vlori. In tli csi si h un integrle improprio. Possono essere presenti diverse tipologie di integrle improprio: L discontinuità si trov in uno degli estremi dell intervllo [,] L discontinuità si trov ll interno dell intevllo [,] L unzione h come uno o entrmi gli estremi il vlore Cso : L discontinuità si trov in uno degli estremi dell intervllo [,] Supponimo che nell estremo l unzione non si deinit. In questo cso, nello svolgere l integrle: d F F Non potremmo clcolre il vlore F. L unzione però srà continu in un intorno destro di, e quindi nell intervllo:, L soluzione del prolem si ricv cendo tendere zero il vlore di : d lim 0 d Se dovesse ccdere che tle limite non esiste, diremo che L unzione non è integrile in [,]. Pg.

14 Cso : L discontinuità si trov ll interno dell intevllo [,] Supponimo che un punto c, interno ll intervllo [,] si sede di un discontinuità. In questo cso cendo un rgionmento nlogo l precedente, doimo spezzre il nostro integrle in due prti sinistr e destr del punto c: c d lim d lim 0 0 c d Nel grico seguente, d esempio, l unzione non è deinit nel punto. Nturlmente, nche in questo cso, se dovesse ccdere che tli limiti non esistono, diremo che L unzione non è integrile in [,]. Cso : Uno degli estremi di integrzione è pri In questo cso sostituimo ll estremo in questione l vriile δ ed vremo: d lim d Pg.

15 Teorem del vlor medio Ipotesi: è un unzione continu in un intervllo [,] Tesi: Allor esisterà un punto [, ] c per il qule risult: d c Il teorem, dice, in prtic che possimo eguglire l re curviline con l re di un rettngolo vente come se l intervllo [,] e come ltezz il vlore dell unzione clcolto in un determinto punto c. Esempio Determinre il vlor medio per l unzione: nell intervllo [,] Per l deinizione vremo: d c c d cui c Quindi: 9 c Per trovre il vlore di c ponimo: 9 d cui 9 Ricordndo che possimo utilizzre esclusivmente il vlore ricdente nell intervllo [,], l soluzione srà: c 9, Pg.

16 Pg. Esempio Determinre il vlor medio per l unzione: nell intervllo [,8] Per l deinizione vremo: 8 c d 8 c d cui c Quindi: 7 c Per trovre il vlore di c ponimo: 7 d cui, risolvendo l equzione di secondo grdo:,0 7,0 Ricordndo che possimo utilizzre esclusivmente il vlore ricdente nell intervllo [,], l soluzione srà: 7,8,0 7 c

17 Clcolo dell lunghezz di un rco di curv Gli integrli deiniti possono nche essere utilizzti per determinre l lunghezz di un curv tr due determinti punti: l ' d, Clcolo dell supericie estern di un solido di rotzione Altr ppliczione è quell del clcolo dell supericie estern di un solido di rotzione che si ottiene cendo ruotre l unzione intorno ll sse. In questo cso l supericie srà così clcolt: S, ' d Clcolo volume di un solido di rotzione L determinzione del volume del solido di rotzione srà: V, d Pg.7