Capitolo 2. Il problema del calcolo delle aree

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1 Cpitolo 2 Il prolem del clcolo delle ree Introduzione Il prolem del clcolo delle ree nsce più di 2000 nni f qundo i greci tentrono di clcolre le ree con un metodo detto di esustione. Tle metodo può essere scritto come segue: dt un figur pin dell qule voglimo determinre l re, l si circoscriv d un regione poligonle che pprossimi l regione dt e l cui re si fcilmente clcolile. Nell esempio sotto vedimo che l tendere del numero di lti ll infinito, l re del poligono ndrà coincidere con l re del cerchio. Clcolndo quindi l re del poligono in funzione del numero di lti e fcendo tendere questi ll infinito si ottiene l re del cerchio. L re sottes d un funzione Dt l funzione di figur, considerimo un certo numero di rettngoli di se e ltezz il minimo che l funzione ssume nell intervllo di se del rettngolo. Tli rettngoli hnno un re totle che pprossim per difetto l re sottes dll funzione. Se usssimo l re dei rettngoli otterremmo un errore y=f() N Al tendere ll infinito del numero dei rettngoli l errore commesso nell pprossimzione si riduce zero e si ottiene il vlore dell re di figur. Il simolo che si utilizz per indicre tle re è: y=f() A

2 Tle simolo (un s llungt) è stto per l prim volt introdotto d Leinitz nel 1675 e si legge integrle tr e dell funzione f() in d. Tle simolo semr rppresentre un somm di infinite ree infinitesimli di infiniti rettngoli di se d e ltezz f(). M in prtic come si può clcolre tle vlore? L primitiv di un funzione Si dice che F() è un primitiv di f() se F ()=f(). In prtic l ricerc dell primitiv è l ricerc invers dell derivt. C è d osservre che se F() è un primitiv di f() llor lo è nche F()+c, dove c è un costnte qulunque. D qunto detto segue che le primitive si possono clcolre leggendo l tell dell derivt ll rovesci: funzione f() Primitive F() L verific si può eseguire derivndo F() e osservndo che viene proprio f(). L costnte c rppresent un qulunque numero poiché l derivt di un numero è zero. Si può quindi dire che le primitive di un funzione sono infinite. In mtemtic si us il seguente simolo per descrivere tutte le primitive: Tle simolo si legge integrle di f() in d e rppresent l operzione invers dell derivt. Attenzione non confonderlo con che rppresent un re. Quindi scriveremo

3 Esempio1: trov tutte le primitive di Soluzione: per qunto sopr osservto si può nche scrivere Esempio2: Trov tutte le primitive di Soluzione: cioè Esempio3: Trov l primitiv di che pss per il punto Soluzione: or determinimo c in modo che pssi per il punto (1,2) sostituendo le coordinte del punto nell funzione: d cui. Quindi l primitiv cerct è Il teorem fondmentle del clcolo integrle (Torricelli- Brrow) e il clcolo dell re Questo teorem fferm che si può trovre l re sottes d un funzione con l seguente formul Dove rppresentno le primitive clcolte nei due estremi di integrzione. Osservzione: se l funzione ssume vlori negtivi (il suo grfico è sotto l sse ) come in figur y=f() A Allor l integrle fornisce l re m cmit con il segno meno. =-A Se invece l funzione è in prte positiv e in prte negtiv come in figur:

4 y=f() Allor l integrle fornisce l somm lgeric delle ree. Esempio4: Clcol l re sottes ll rett tr gli estremi =1 e =3 Soluzione: In figur è rppresentt l figur di cui stimo clcolndo l re Il clcolo si svolge nel modo seguente: Esempio5: Trov l re sottes dll funzione tr i punti =0 e =2 In figur è rppresentt l figur di cui stimo clcolndo l re

5 Esempio6 Clcol l re sottes ll funzione tr i punti Soluzione: Esempio7 Clcol l re sottes ll funzione tr i punti quindi l re è Esempio8 Clcol Il grfico è il seguente:

6 Il risultto è zero perché le due ree di figur si equivlgono, m un è conteggit positivmente mentre l ltr negtivmente.

7 Esercizio1 Clcol tutte le primitive delle seguenti funzioni Esercizio2 Tr le primitive delle seguenti funzioni trov quelle che pssno per il punto indicto finco Esercizio3 Clcol i seguenti integrli definiti Esercizio4 Esegui il grfico dell funzione. Trov l rett tngente ll funzione nel punto =1 ed esegui un grfico. Trov poi l re sottes tr =1 e =3. Esercizio5 Dt l funzione f()=2+1, trov l re sottes nell intervllo [0,t] e chim l funzione così ottenut F(t). Verific che F ()=f(). Esercizio6 Trov l re dell prte nel primo qudrnte sottes dll prol