" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

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1 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione derivt di f () : con funzione primitiv di un dt funzione f () si intende un funzione F () che, se derivt, coincide con l funzione f () stess. Sussiste l seguente R Definizione (Primitiv) Si f () definit nell intervllo perto (, b). Se esiste un funzione F () continu in [,b] e derivbile in (,b) e tle che F () = f () (,b), l funzione F () srà dett funzione primitiv di f (). E Esempio 6. Si f () = k, con k R. Siccome l funzione F () = k è tle che l funzione F () è un primitiv di f (). " Osservzione Prim proprietà delle primitive. F () = k = f () R, Se F () è un primitiv di f (), nche l funzione G() = F () + c, c R è un funzione primitiv di f (). In effetti risult G () = D[F () + c] = F () = f (). Ne segue, quindi, che se un funzione f () mmette un primitiv F () llor mmetterà come primitive nche tutte le funzioni dell form G() = F () + c. Rimne chirmente perto il problem seguente: esistono ltre primitive di f () che non sino dell form F ()+c? Il teorem seguente stbilisce che tle domnd mmette un rispost negtiv. 6

2 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 7 w Teorem (Second proprietà delle primitive) Ipotesi) Si f () definit in (,b) e sino G() e F () due primitive di f (). Tesi) G() = F () + c, c R. Dimostrzione Siccome F () e G() sono due primitive di f (), dovrà risultre G () = f () e F () = f (), d cui segue G () = F () (6.) Siccome per ipotesi F () e G() sono primitive di f (), esse sono continue in [,b] e derivbili in (,b) : è llor possibile utilizzre il secondo corollrio l teorem di Lgrnge: l relzione (6.) implic pertnto che d cui l tesi. G() F () = c [,b], R Definizione (Integrle indefinito) Si f () definit in (,b) e si suppong che ess mmett primitive. L totlità delle primitive di f () srà indict con il simbolo f ()d, che si legge integrle indefinito di f () in d. L funzione f () srà dett integrndo. In bse lle due proprietà delle primitive ppen descritte si vrà, pertnto, f ()d = F () + c, c R, dove F () è un qulsisi primitiv di f (). " Osservzione L integrle indefinito è, l pri dell derivt, un operzione cosiddett linere: risult, cioè [αf () + βg ()]d = α f ()d + β In effetti, se F () è un primitiv di f () e G() lo è di g (), l funzione αf () + βg() g ()d. (6.2)

3 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 8 è un primitiv di αf () + βg (), visto che D[αF () + βg()] = αf () + βg () = αf () + βg (). Ne segue che [αf () + βg ()]d = αf () + βg() + c, c R. (6.3) Dll definizione di primitiv segue, d ltr prte, che α f ()d + β g ()d = α[f () + c ] + β[g() + c 2 ] = αf () + βg() + c, c R, (6.4) vendo posto c = αc + βc 2 che, vist l rbitrrietà delle costnti c e c 2 implic c R. Confrontndo le relzioni (6.3) e (6.4) si ottiene quindi l linerità dell integrle indefinito (6.2). " Osservzione Tenendo conto dell definizione di integrle definito risult D[g ()]d = g () + c, c R. (6.5) In effetti nel clcolo dell integrle D[g ()]d occorre trovre un funzione F () l cui derivt si pri ll integrndo, D[g ()]. Chirmente l funzione F () = g () gode di tle crtteristic, F () = D[g ()], d cui segue l vlidità dell relzione (6.5). " Osservzione Dlle regole di derivzione di un funzione compost introdotte nel cpitolo 5, che di seguito si riportno per comodità, y y α+ (α + ) α [f ()] α α[f ()] α f () f () f () f ()ln e f () e f () f () log [f ()] ln[f ()] sin[f ()] cos[f ()] f () f () log e f () f () cos[f ()]f () sin[f ()]f ()

4 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 9 è possibile clcolre in modo immedito il vlore di precchi integrli indefiniti. Ad esempio dll relzione D[ α+ ] = (α + ) α e dll osservzione precedente, segue che (α + ) α d = D[ α+ ]d = α+ + c, c R. (6.6) Utilizzndo poi l linerità dell integrle indefinito si h, per α, (α + ) α d = (α + ) α d = α d = (α + ) α d. (6.7) α + Inserendo nell relzione (6.7) l relzione (6.6) si ottiene α d = α + [α+ + c], c R = α+ α + + c α +, c R. Dll rbitrrietà dell costnte c segue nche l rbitrrietà dell costnte c α+, per cui si è ottenuto, infine, α d = α+ + c, c R seα. α + Se, invece, α =, occorre clcolre l integrle d. Tenendo conto del ftto che, per definizione, si richiede che l integrndo f () si definito in un intervllo, si distinguono due csi: ) f () = si definit per > 0. In tl cso è immedito verificre che l funzione F () = ln è un primitiv di f (), essendo D[ln ] =. 2) f () = si definit per < 0. In tl cso un primitiv di f () può essere scelt pri F () = ln( ), essendo D[ln( )] = ( ) ( ) =. I csi ) e 2) possono essere unificti ponendo d = ln + c, c R. In modo nlogo qunto visto nell osservzione precedente, dll tbell delle derivte di un funzione compost e utilizzndo l linerità dell integrle indefinito è possibile pertnto costruire un tbell di integrli indefiniti che si possono clcolre immeditmente:

5 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 20 Integrle definito α d d d [f ()] α f ()d [f ()] f ()d f () f () f () d α+ α+ Primitive + c, c R se α ln + c, c R [f ()] α+ α+ + c, c Rseα ln f () + c, c R f () log e d log f () + c, c R f () f ()ln d f () + c, c R e f () f ()d e f () + c, c R e d e + c, c R cos[f ()]f ()d sin[f ()] + c, c R sin[f ()]f ()d cos[f ()] + c, c R Tbell 6. Alcuni integrli immediti Utilizzndo l relzione α d = α+ + c, α α + è possibile clcolre gli integrli indefiniti negli esempi seguenti. EEsempio 6.2 Si clcoli l integrle indefinito 5 d. Si h: EEsempio 6.3 Si clcoli l integrle indefinito 5 d = c. 5 3 d. Si h: 5 3 d = 3 5 d = c = c

6 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 2 EEsempio 6.4 Si clcoli l integrle indefinito 3 d. Si h: 3 d = EEsempio d = c = c. Si clcoli l integrle indefinito 3 d. Si h: 3 d = 3 d = c = c. Utilizzndo l relzione [f ()] α f ()d = α + [f ()]α+ + c è possibile clcolre gli integrli indefiniti negli esempi seguenti. EEsempio 6.6 Si clcoli l integrle indefinito 2 (2 )d. L integrle dto è dell form [f ()] α f ()d con f () = 2 e α = 2. Si h, pertnto, 2 (2 )d = 2 [2 ] c = 2 3 [2 ] c = 2 3 (2 ) 3 + c.

7 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 22 EEsempio 6.7 Si clcoli l integrle indefinito sin 2 ()cos d. L integrle dto è dell form [f ()] α f ()d con f () = sin e α = 2. Si ottiene, pertnto, sin 2 ()cos d = 2 + [sin ]3 + c = 3 sin3 + c. EEsempio 6.8 Si clcoli l integrle indefinito 2 ( 2 + 3) 2 d. L integrle dto è dell form [f ()] α f ()d con f () = e α = 2. Si ottiene, pertnto, 2 ( 2 + 3) 2 d = 2 + [2 + 3] 2+ + c = c. Utilizzndo l relzione f () d = ln f () + c f () si possono clcolre gli integrli indefiniti negli esempi che seguono. EEsempio 6.9 Si clcoli l integrle indefinito d.

8 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 23 L integrle dto è dell form f () f () d con f () = Si ottiene, quindi, d = ln c = ln( 2 + 7) + c. EEsempio 6.0 Si clcoli l integrle indefinito cos sin d. L integrle dto è dell form f () f () d con f () = sin. Si ottiene, quindi, cos d = ln sin + c. sin EEsempio 6. Si clcoli l integrle indefinito 2e 2 e 2 3 d. L integrle dto è dell form f () f () d con f () = e 2 3. Si vrà, quindi, 2e 2 e 2 3 d = ln e2 3 + c.

9 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 24 Utilizzndo l relzione e f () f ()d = e f () + c si possono clcolre gli integrli negli esempi che seguono. EEsempio 6.2 Si clcoli l integrle indefinito e 2 + (2 + )d. L integrle dto è dell form e f () f ()d con f () = 2 +. Si vrà, quindi, e 2 + (2 + )d = e c. EEsempio 6.3 Si clcoli l integrle indefinito L integrle dto è dell form e d. e f () f ()d con f () = Si vrà, quindi, e d = e c. Utilizzndo l relzione sin f ()f ()d = cos f () + c si può clcolre l integrle indefinito nel seguente

10 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 25 EEsempio 6.4 Si clcoli l integrle indefinito 2 sin d. L integrle dto è dell form sin f ()f ()d con f () =. Si vrà, quindi, 2 sin d = cos + c. Utilizzndo l relzione cos f ()f ()d = sin f () + c si può clcolre l integrle indefinito nel seguente EEsempio 6.5 Si clcoli l integrle indefinito 2 cos 2 d. L integrle dto è dell form cos f ()f ()d con f () = 2. Si vrà, quindi, 2 cos 2 d = sin 2 + c. " Osservzione Utilizzndo l linerità dell integrle indefinito è possibile clcolre integrli nche nei csi che non rientrno in quelli dell tbell 6., come mostrto negli esempi seguenti.

11 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 26 EEsempio 6.6 Si clcoli l integrle indefinito (5 2e + 3sin )d. Si h: (5 2e + 3sin )d = 5 d 2 e d + 3 sin d = = e 3cos + c. EEsempio 6.7 Si clcoli l integrle indefinito d. Si h: d = ( )d = 2 + 3ln + c. " Osservzione L linerità dell integrle indefinito può essere utilizzt nei csi in cui l funzione f () nell tbell 6. è costnte m non compre nell integrndo. In tl cso si può moltiplicre l integrndo per tle costnte, pur di dividere per l stess costnte tutto l integrle, come mostrto nei seguenti esempi. EEsempio 6.8 Si clcoli l integrle indefinito (2 3) 4 d. L integrle dto può essere ricondotto l cso [f ()] α f ()d = α + [f ()]α+ + c

12 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 27 con f () = 2 3 e α = 4 moltiplicndo l integrndo e dividendo tutto l integrle per f () = 2 : (2 3) 4 d = 2 2 (2 3) 4 d = 2 [ 4 + (2 3) 4+ + c] = EEsempio 6.9 = 6 (2 3) 3 + c. Si clcoli l integrle indefinito d. L integrle dto può essere ricondotto l cso f () d = ln f () + c f () con f () = 3+5 moltiplicndo l integrndo e dividendo tutto l integrle per f () = 3 : d = d = ln c. 3 EEsempio 6.20 Si clcoli l integrle indefinito sin(2)d. L integrle dto può essere ricondotto l cso sin(f ())f ()d = cos f () + c con f () = 2 moltiplicndo l integrndo e dividendo tutto l integrle per f () = 2 : sin(2)d = 2 2sin(2)d = 2 ( cos2 + c) = cos2 + c. 2 L linerità dell integrle indefinito può essere utilizzt nche nel cso un in cui f () non è costnte m è sufficiente moltiplicre l integrndo per un costnte l fine di riprodurre l funzione f () nell integrndo stesso, come mostrto nel seguente

13 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 28 EEsempio 6.2 Si clcoli l integrle indefinito e d. L integrle dto può essere ricondotto l cso e f () f ()d = e f () + c con f () = moltiplicndo l integrndo e dividendo tutto l integrle per 4 3 : e d = 3 4 e d = 3 4 e c. Un ltr ppliczione dell proprietà di linerità è mostrt nell esempio seguente EEsempio 6.22 Si clcoli l integrle indefinito d. Utilizzndo l linerità dell integrle, si ottiene: d = d. Per il clcolo dell integrle + 3 d si può ncor sfruttre l linerità dell integrle sommndo e sottrendo 3 l numertore: d = + 3 d = [ ]d = = d 3 d = 3ln c. + 3 Per l integrle di prtenz si ottiene, quindi, 2 d = 2 6ln c. + 3

14 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE Integrzione per prti Dll regol che consente di clcolre l derivt di un prodotto di funzioni, D[f ()g ()] = D[f ()]g () + f ()D[g ()], si ottiene, integrndo membro membro l precedente relzione e utilizzndo l linerità dell integrle indefinito, D[f ()g ()]d = D[f ()]g ()d + f ()D[g ()]d = D[f ()]g ()d = D[f ()g ()]d f ()D[g ()]d e, tenendo conto che il primo integrle secondo membro D[f ()g ()]d = f ()g () + c, c R, si è ottenut l relzione f ()g ()d = f ()g () f ()g ()d + c, c R, not come regol di integrzione per prti. Tle regol consente di clcolre integrli non immediti dell form f ()g ()d riconducendoli l clcolo di integrli dell form f ()g ()d. " Osservzione Un esempio tipico in cui è utile pplicre l formul di integrzione per prti è quello di integrli dell form e ± P n ()d, dove P n () è un polinomio di grdo n in. In tl cso, scegliendo nell formul di integrzione per prti, f ()g ()d = f ()g () f ()g ()d + c, c R,

15 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 30 f () = e ± e P n () = g () ci si riconduce l clcolo dell integrle e ± P n ()d, visto che, se f () = e ± si h f () = ±e ±, e che g () = P n () srà un polinomio P n () di grdo n. Tle regol consente quindi di ridurre, d ogni su ppliczione, il grdo del polinomio d integrre, cos che fcilit il clcolo dell integrle indefinito, come mostrto nei seguenti esempi. EEsempio 6.23 Si clcoli l integrle indefinito e d. Posto f () = e e g () =, si h e f () = e g () =, d cui si ottiene, pplicndo l relzione f ()g ()d = f ()g () f ()g ()d + c, e d = e e d + c = e e + c. EEsempio 6.24 Si clcoli l integrle indefinito 2 e d. Posto f () = e e g () = 2, si h f () = e e g () = 2, d cui si ottiene, pplicndo l relzione f ()g ()d = f ()g () f ()g ()d + c,

16 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 3 2 e d = e 2 e 2 d + c = 2 e 2 e d + c. Utilizzndo il risultto dell esempio precedente, e d = e e, si ottiene, quindi, 2 e d = 2 e 2(e e ) + c = 2 e 2e + 2e + c. " Osservzione Un ltro esempio in cui è utile pplicre l formul di integrzione per prti è quello di integrli dell form α ln d. In effetti, ponendo f () = α e g () = ln, si vrà, se α, e per cui f () = α + α+ g () =, f ()g ()d = α + α+ ln α + α+ ln α + α + α+ d + c = α d + c = α + α+ ln (α + ) 2 α+ + c.

17 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 32 EEsempio 6.25 Si clcoli l integrle indefinito ln d. Posto f () = e g () = ln si ottiene f () = 2 2 e g () =. Applicndo l formul di integrzione per prti, si vrà EEsempio 6.26 ln d = 2 2 ln 2 2 d = = 2 2 ln 2 d = 2 2 ln c. Si clcoli l integrle indefinito ln d. Posto f () = e g () = ln si ottiene f () = e g () =. Applicndo l formul di integrzione per prti, si vrà ln d = ln d = = ln d = ln + c.

18 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE Integrzione per sostituzione Per clcolre l integrle definito f ()d volte è comodo effetture un cmbio di vribili. Dt un funzione g (t) invertibile e derivbile, si pong = g (t). Come srà mostrto in seguito, il differenzile d deve essere sostituito con il differenzile di g (t) : d = g (t)dt, per cui l integrle di prtenz può essere clcolto dpprim risolvendo l integrle f (g (t))g (t)dt = G(t) + c, c R e poi clcolndo l primitiv G(t) nell vribile, trmite l sostituzione t = g (). EEsempio 6.27 Si clcoli l integrle indefinito e + d. Ponendo + = t si ottiene e, quindi, Di conseguenz si vrà + = t 2 = t 2. d = 2t dt e l integrle di prtenz potrà essere clcolto prtire dll integrle e t 2t dt = 2 e t t dt. L integrle in t può essere clcolto pplicndo l formul di integrzione per prti: 2 e t t dt = 2[te t e t + c].

19 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 34 Clcolndo l espressione precedente nell vribile di prtenz, si ottiene, infine, e + d = 2[te t e t + c]con t = + = e + d = 2 + e + 2e + + c L formul di integrzione per sosituzione può essere provt utilizzndo l regol di derivzione di un funzione compost. Si suppong, inftti, che F () si un primitiv di f () e si g (t) un funzione invertibile e derivbile. Si h: D[F (g (t))] = F (g (t))g (t) = f (g (t))g (t) e, integrndo membro membro l precedente identità, si ottiene: D[F (g (t))]dt = f (g (t))g (t)dt = F (g (t)) = f (g (t))g (t)dt = G(t). Dll relzione ottenut, F (g (t)) = G(t) si può ricvre F () dll relzione t = g () : essendo G(g ()) = F (g (g ())) = F (), g (g ()) =. 6.2 Integrle definito Si suppong di dover clcolre l re del trpezoide T sotteso dll curv f () e vente per bse il segmento [,b] (si ved l figur 6.)

20 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 35 f() T b Figur 6. Il trpezoide T individuto dll curv f (). E possibile pprossimre l re del trpezoide T per eccesso e per difetto trmite l costruzione seguente: si suddivid l intervllo [,b] in n sottointervlli [ i, i ), i =,...,n con = 0 < < 2 <... < n < n = b. Per il generico sottointervllo [ i, i ) si pong e i = inf{f (), [ i, i )} e E i = sup{f (), [ i, i )}.

21 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 36 f() Ei ei b i i Figur 6.2 Estremo superiore ed inferiore di f () nell intervllo [ i, i ). Si consideri or solo l porzione del trpezoide T sotteso dll curv f () nell intervllo [ i, i ), e lo si indichi con T i. Il rettngolo di bse i i e ltezz e i (rettngolo inscritto) pprossim per difetto l re di tle porzione mentre il rettngolo di bse i i e bse E i (rettngolo circoscritto) l pprossim per eccesso (si osservi l figur 6.3) f() f() Ei ei i i i i () (b) Figur 6.3 Il rettngolo inscritto () e quello circoscritto (b).

22 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 37 Risult, quindi e i ( i i ) re{t i } E i ( i i ) (6.8) essendo E i ( i i ) (e i ( i i )) l re del rettngolo circosritto (inscritto). Siccome è rgionevole supporre che l re di tutto il trpezoide T poss essere ottenut come somm delle ree di ciscun porzione T i, dll relzione (6.8) si ottiene dove i= re{t } = n re{t i }, i= n n e i ( i i ) re{t } E i ( i i ), i= n e i ( i i ) i= individu l re del plurirettngolo inscritto mentre n E i ( i i ) i= individu l re del plurirettngolo circoscritto. R Definizione (Somm integrle inferiore) Si dice somm integrle inferiore ssocit ll decomposizione dell intervllo [, b] nei sottointervlli [ i, i ), i =,...,n con = 0 < < 2 <... < n = b il numero s = n e i ( i i ). i= R Definizione (Somm integrle superiore) Si dice somm integrle superiore ssocit ll decomposizione dell intervllo [,b] nei sottointervlli [ i, i ), i =,...,n con = 0 < < 2 <... < n = b il numero n S = E i ( i i ). " Osservzione i= Se l intervllo [,b] è decomposto nei sottointervlli [ i, i ), i =,...,n con = 0 < < 2 <... < n = b con i i è chiro che, in generle, i vlori delle somme integrle superiore ed inferiore cmbiernno. Al vrire di tutte le possibili decomposizioni dell intervllo [, b], si otterrà quindi un insieme di vlori {s} per le somme integrli inferiori e {S} per le somme integrli superiori.

23 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 38 " Osservzione Si suppong che l estremo superiore delle somme integrli inferiori{s} coincid con l estremo inferiore delle somme integrli superiori {S}, sup{s} = inf{s} = A. Visto che dll relzione segue che s re{t } S sup{s} re{t } inf{s} si vrà A re{t } A = re{t } = A. In tl cso si ssegnerà, quindi, il vlore A ll re del trpezoide T e l funzione f () si dirà integrbile (secondo Riemnn) in [,b]. " Osservzione L costruzione ppen effettut si può estendere nche l cso in cui l funzione f () ssume vlori negtivi. In tl cso è ncor possibile prlre di re del trpezoide ssocito f () pur di introdurre l nozione di re lgebric, dott cioè di segno (si confronti l figur 6.4) f() Are lgebric > 0 b Are lgebric < 0 Figur 6.4 L re lgebric. E possibile or dre l seguente

24 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 39 R Definizione (Funzione integrbile secondo Riemnn) Si f () definit in [,b]. Si dice che f () è integrbile secondo Riemnn in [,b] se R Definizione (Integrle definito) inf{s} = sup{s} = A Si f () definit e integrbile secondo Riemnn in [, b]. Il vlore A dell estremo superiore delle somme integrli inferiori e dell estremo inferiore delle somme integrli superiori si dice integrle definito di f () d b e si indic con il simbolo A = b f ()d. " Osservzione Dll definzione di integrle definito come re (lgebric) sottes dll curv f (), si può gevolmente provre che un funzione continu in [, b] è integrbile in [,b]. L continuità di f () non è tuttvi necessri. Si consideri in effetti l figur 6.5: f() 3 T T Figur 6.5 Un esempio di funzione non continu integrbile. l re sottes dll curv f () è chirmente dt dll somm dell re di T e T 2 : A = 0 f ()d = re{t } + re{t 2 } = = 2.

25 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE Proprietà dell integrle definito Dll definizione di integrle definito (o, più intuitivmente, dl suo significto di re lgebric) si possono dedurre le seguenti proprietà:. 2. b [αf ()+βg ()d = α b f ()d +β b g ()d (linerità dell integrle definito) b f ()d = c f ()d + b c f ()d per ogni c [,b] (dditività dell integrle definito). Tle relzione è ovvi se si pens l ftto che l re sottes d f () tr e b è pri ll re sottes tr e c più l re sottes tr c e b 3. Se f () g () [,b] si h b f ()d b g ()d (monotoni dell integrle definito). Tle proprietà segue dl ftto che se f () g () l re sottes dll curv f () srà minore dell re sottes dll curv g (). b 4. f ()d = b f ()d. L ultim proprietà segue dl ftto che f ()d = 0, essendo null l re di un trpezoide di bse null, e dll dditività dell integrle definito: 0 = f ()d = b f ()d + b f ()d = b f ()d = b f ()d Teoremi sugli integrli definiti w Teorem (Medi integrle) Ipotesi) Si f () continu in [,b]. Tesi) c (,b) tle che b Dimostrzione f ()d = f (c)(b ). Siccome f () è continu in [, b] mmetterà, per il teorem di Weierstrss, mssimo ssoluto (M) e minimo ssoluto (m). Si vrà, quindi, m f () M. Per l monotoni dell integrle definito, si vrà b m d b f ()d b M d. L integrle definito di un costnte può essere clcolto gevolmente come re di un rettngolo (si ved l figur 6.6):

26 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 4 f() k b Figur 6.6 L integrle definito di un funzione costnte: b k d = k(b ). b m d = m(b ) b M d = M(b ), d cui m(b ) b f ()d M(b ) = m b f ()d M. b b f ()d Il numero λ = b è compreso tr il mssimo e il minimo ssoluto di f () : per il teorem di Drbou esisterà un punto c (,b) tle che d cui b f (c) = b f ()d, b f ()d = f (c)(b )

27 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 42 e, quindi, l tesi. R Definizione (Funzione integrle) Si f () continu in [,b]. L funzione I () = f (t)dt, [,b] si dice funzione integrle di f (). Ess rppresent l re del trpezoide T rppresentto in figur 6.7. f() T b Figur 6.7 Significto geometrico dell funzione integrle I (). w Teorem (Torricelli-Brrow o teorem fondmentle del clcolo integrle) Ipotesi) Si f () continu in [,b]. Tesi) L funzione integrle I () è derivbile in (,b) e risult I () = f (). Dimostrzione Si consideri il rpporto incrementle dell funzione integrle I () : I () = I ( + ) I () = + f (t)dt f (t)dt. Ponendo + f (t)dt = f (t)dt + + f (t)dt

28 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 43 l relzione precedente diviene I () = + f (t)dt f (t)dt = f (t)dt + + I () = + Dl teorem dell medi integrle segue che + f (t)dt f (c)( + ) = e, quindi, l relzione (6.9) diviene f (t)dt f (t)dt = f (t)dt. (6.9) = f (c) I () = f (c), c (, + ). = f (c), c (, + ) Il limite per 0 del rpporto incrementle dell funzione integrle vle, pertnto, I () lim = lim f (c). 0 0 Siccome c (, + ), per 0 si h c e, quindi, I () lim = lim f (c) = f (), 0 c essendo f () un funzione continu. Ne segue che e, quindi, l tesi. I () = f () " Osservzione Un conseguenz del teorem di Torricelli-Brrow è che l funzione integrle I () è un primitiv di f (), essendo I () = f (). Il teorem di Torricelli-Brrow mmette il seguente Corollrio Ipotesi) Si f () continu in [,b]. Tesi) b f ()d = F (b) F (), dove F () è un qulsisi primitiv di f ().

29 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 44 Dimostrzione Siccome l funzione integrle I () è un primitiv dell funzione f () risult, dlle proprietà delle primitive, che un generic primitiv F () di f () potrà essere espress come F () = I () + c, c R cioè F () = f (t)dt + c, c R. (6.0) Si h: visto che F () = f (t)dt + c, c R = F () = c, f (t)dt = 0. Inserendo tle relzione nell (6.0) si ottiene e, pertnto, F () = F (b) = b b f (t)dt + F () f (t)dt + F () = f (t)dt = F (b) F (). " Osservzione Il corollrio l teorem di Torricelli-Brrow fornisce lo strumento che consente di clcolre gli integrli definiti: per clcolre l integrle b f ()d si clcol dpprim un primitiv qulsisi F () di f (). Il vlore dell integrle definito srà dto dll differenz tr il vlore che tle primitiv ssume nel punto b e il vlore che ess ssume nel punto : b f ()d = F (b) F ().

30 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 45 EEsempio 6.28 Clcolre l integrle definito 4 d. Per il clcolo di tle integrle definito occorre dpprim clcolre un primitiv di f () =. Si h: d = ( )d = c F (). 3 Si h 4 EEsempio 6.29 d = F (4) F () = [ c] [ c] = Clcolre l integrle definito d. Per il clcolo di tle integrle definito occorre dpprim clcolre un primitiv di f () =. Si h: d = d = d = [ ]d = d d = d = 2 ln c F (). 4 Il clcolo dell integrle definito dà, quindi, il risultto, d = F () F (0) = [ 2 4 ln c] [ 2 0 ln c] = 4 = 2 4 ln3.

31 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 46 EEsempio 6.30 Clcolre l integrle definito 0 e 2 d. Per il clcolo di tle integrle definito occorre dpprim clcolre un primitiv di f () = e 2. Si h: e 2 d = 2 e 2 ( 2)d = 2 e 2 + c F () e, quindi, 0 e 2 d = F () F (0) = [ 2 e 2 + c] [ 2 e 02 + c] = e EEsempio 6.3 Clcolre l integrle definito e 2 ln d. Per il clcolo di tle integrle definito occorre dpprim clcolre un primitiv di f () = 2 ln. Si h: 2 ln d = 3 3 ln c F () risult e 2 ln d = F (e) F () = [ 3 e3 9 e3 + c] [ 9 + c] = = 2e " Osservzione Il teorem di Torricelli-Brrow può essere utilizzto nche per

32 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 47. clcolre dei limiti in cui compre un funzione integrle 2. determinre gli estremi reltivi e/o i punti di flesso di un funzione integrle. EEsempio 6.32 Clcolre il limite lim te t dt 3. Essendo 3 lim te t dt = 0, il limite d clcolre dà luiogo d un form indetermint 0 0. Applicndo il teorem di de l Hospitl tle form indetermint, posto I 0 () = 0 3 te t dt = I 0 () = 3 e, si h lim te t dt 3 = lim e 3 2 = +. EEsempio 6.33 Studire l esistenz di estremi reltivi dell funzione nell intervllo [2,+ ). F () = 2 t 5 ln 2 t dt L funzione t 5 è continu in [2,+ ) : si può pertnto utilizzre il teorem di ln 2 t Torricelli-Brrowper clcolre l derivt di F (). Si ottiene: F () = 5 ln 2, [2,+ ). L funzione F () è positiv per (5,+ ) e negtiv per [2,5) : il punto = 5 è quindi un minimo reltivo per F ().

33 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 48 EEsempio 6.34 Studire l esistenz di flessi dell funzione nell intervllo (,+ ). F () = t 2 ln t dt L funzione t 2 ln t è continu in (,+ ) e si può quindi pplicre il teorem di Torricelli- Brrow per clcolre l derivt di F (). Si ottiene L derivt second di F () vle, invece, F () = 2 ln. F (2ln ) () = ln 2. Siccome F () > 0 se ( e,+ ) e F () < 0 se (, e), il punto = e è un punto di flesso per F () Integrli impropri L definizione di integrle definito è stt dt in precedenz per un funzione f () definit in un intervllo limitto [, b]. In molte ppliczioni, comunque, è necessrio considerre l integrle definito di un funzione f () in un intervllo illimitto. Tle integrle, detto improprio, può essere definito come cso limite dell integrle definito in un intervllo limitto [,b]. Si h, in effetti, l seguente R Definizione (Integrle improprio su un intervllo illimitto) Si f () definit in [,+ ). Se f () è integrbile in ogni intervllo [,b], si dice integrle improprio di f () su [,+ ) l grndezz + b f ()d = lim f ()d. b + Se il limite b lim f ()d b + è finito si dice che f () è integrbile in senso generlizzto in [,+ ) è infinito si dice che l integrle di f () in [,+ ) è divergente non esiste si dice che f () non è integrbile in [,+ ).

34 CAPITOLO 6. CALCOLO INTEGRALE 49 Se, invece, f () è definit in (,b) e integrbile in ogni intervllo [,b], si dice integrle improprio di f () su (,b] l grndezz b f ()d = lim b f ()d. Se il limite b lim f ()d è finito si dice che f () è integrbile in senso generlizzto in (,b) è infinito si dice che l integrle di f () in (,b) è divergente non esiste si dice che f () non è integrbile in (,b). Si, infine, f () definit in (,+ ) e integrbile in ogni intervllo [,b]. Se c R convergono gli integrli e + c f ()d c f ()d si dirà che f () è integrbile in senso generlizzto in (,+ ) e si porrà + c b c f ()d = lim f ()d + lim f ()d = f ()d + b + c + c f ()d.