Alcune note introduttive alle serie di Fourier.

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1 Alcune note introduttive lle serie di Fourier. Definizione. Si f : IR IR periodic di periodo e integrbile su [, ]. Diremo coefficienti di Fourier di f i numeri reli = f dx, = IN f cos dx, b = IN e serie di Fourier di f l serie di funzioni f sin dx, + cos + b sin, x [, ]. Not. Essendo f periodic di periodo e integrbile su [, ] llor risult integrbile su ogni intervllo [x, x ] IR. Se g : IR IR è continu su IR llor l funzione fg è integrbile su ogni intervllo [x, x ] IR. In prticolre risultno ben definiti i coefficienti di Fourier di f. Diseguglinz di Bessel. Si f : IR IR periodic di periodo e integrbile su [, ]. Considert l somm przile n esim dell serie di Fourier s n = + cos + b sin, x [, ], vle per ogni n IN che () f s n dx = f dx [ + ( + b ) ], d cui discende l seguente diseguglinz, not come diseguglinz di Bessel: () + ( + b ) f dx. Osservzione. si h L () discende direttmente dll () che implic inftti che per ogni n IN + ( + b ) f dx. L diseguglinz di Bessel si ottiene come limite per n + dell disequzione precedente. Osservzione. Dll diseguglinz di Bessel ottenimo che ( + b ) < + d cui segue che lim + = lim + b =. Il risultto è noto (sotto ipotesi in reltà meno Srà possibile pssre l cso di periodo T > trmite diltzioni Intendimo l integrbilità ll Riemnn. Si noti che l teori delle serie di Fourier si estende d mbiti più generli

2 restrittive) come Lemm di Riemnn Lebesgue: se f : IR IR è periodic di periodo e integrbile su [, ] llor (3) lim f cos dx = lim f sin dx =. + Dimostrzione di (): (4) Chirmente f s n dx = f dx fs n dx + s n dx. Visto che s n = + n cos + b sin e ricordndo l definizione dei coefficienti di Fourier di f, ottenimo direttmente che 3 fs n dx = f dx + ( ) f cos dx + f sin dx b = + ( ) ( ) + b = + + b, s n dx = ( + cos + b sin) dx [ = [=] + cos + b sin dx] + [ ] [=δ,j ] + j cos cos(jx) dx +,j= [ [=] [ ] [=δ,j ] + b j cos sin(jx) dx] + b b j sin sin(jx) dx,j= = + ( ) + b, d cui l (4) ci permette di concludere come si volev che f s n dx =,j= f dx ( ) + b. # 3 Si sfruttno le uguglinze (nche note come formule di Werner) cos sin(jx) = (sin(+j)x+sin(j )x), sin sin(jx) = (cos( { j)x cos( + j)x), cos cos(jx) = (cos( + j)x + cos(j )x). Introdott l delt j di Kronecer δ,j, ottenimo llor = j cos sin(jx) dx = sin sin(jx) dx = cos cos(jx) dx = { [ +j cos( + j)x + +j cos( + j)x] se j [ 4 cos] se = j, = { [ j [ x { [ j sin( j)x +j sin( + j)x] se j 4 sin] se = j, = sin( j)x + +j sin( + j)x] se j [ x + 4 sin] se = j, = { se j se = j, = δ,j { se j se = j, = δ,j.

3 6 D 5 D 4 D 3 D D - Figure : Nuclei di Dirichelet D,..., D 5 Definizione. Dto n IN si pone D n = + cos + cos cos(nx), x IR. L funzione D n viene dett Nucleo di Dirichelet (vedi figur ). Lemm. Dto n IN si h che D n : IR IR è un funzione continu, pri, periodic di periodo e tle che (5) Inoltre (6) D n = D n =. sin((n + )x) D n = sin( x ) se x [, ] \ {}, n + se x =. Dimostrzione. Come somm di funzioni continue, pri e periodiche di periodo, nche il nucleo di Dirichelet gode delle stesse proprietà. Notimo inoltre che, essendo sin() = per ogni IN, si h nche che D n dx = + n [ sin ] =. Si osservi or che dll formul di ddizione ottenimo che per ogni {,..., n} si h sin(( + )x) sin(( )x) = cos sin(x ). Sommndo tle uguglinz per {,..., n} ottenimo che se x llor D n = + cos = + sin( x)[ sin(( + )x) sin(( )x)][=somm telescopic] = = + sin( x )[sin((n + )x) sin(( )x)] = sin((n + )x) sin( x ). #

4 Lemm. Se f : IR IR è periodic di periodo e integrbile su [, ] llor l somm przile n-esim dell su serie di Fourier è dt d (7) s n = f(x + t)d n (t) dt, x [, ]. Dimostrzione. Ricordndo l definizione dei coefficienti di Fourier di f (che denotimo ncor,, b ) ottenimo s n = + ( cos + b sin) = [ ] f(y) + (cos(y) cos + sin(y) sin) dy = [ ] f(y) + cos((y x)) dy = [t=y x] +x f(x + t)d n (t) dt. +x Il Lemm segue llor dl ftto che l funzione x IR f(x + t)d n (t) IR è periodic di periodo e dunque +x +x f(x + t)d n (t) dt = f(x + t)d n (t) dt 4. # Definizione. Se f : (, b) IR e x [, b], denoteremo, qulor sino definiti in IR, f(x ± ) = lim x x ± f. Si dice che f è C (risp. continu) trtti su (, b) qulor esist un prtizione x = < x <... < x n = b per l qule risulti che f è derivbile con derivt continu (risp. continu) su (x i, x i ) ed f (x + i ), f (x i ) (risp. f(x+ i ), f(x i )) per ogni i {,..., n}. Se f : IR IR è continu o C trtti su ogni intervllo (, b) IR diremo che lo è su IR. Not. Notimo che se f : (, b) IR è continu trtti su (, b) llor è integrbile su ogni intervllo [x, x ] (, b) (se è C trtti su (, b) llor risult nche continu trtti su (, b)). Teorem. (Convergenz puntule dell serie di Fourier) Se f è periodic e C trtti su IR llor per ogni x IR l serie di Fourier di f converge ll semisomm f(x +)+f(x ). In prticolre se f è periodic, C trtti su IR e continu in x llor s n (x ) f(x ) per n +. Dimostrzione. Per vi dell (5) del Lemm vle che f(x + ) = f(x + )D n dx e f(x ) = f(x )D n dx. 4 Tle ffermzione segue dl seguente risultto generle: Se g : IR IR è periodic di periodo T > e integrbile su [, T ] llor +T g(t) dt = b+t g(t) dt per ogni, b IR. Inftti mostrimo che +T g(t) dt = b T g(t) dt per ogni IR. Ponimo [ T ] = mx{j Z / j T } (l prte inter di T ) e notimo che +T g(t) dt = [periodicit ] +T g(t + [ T ]T ) dt =[y=t+[ T ]T ] T +( T [ T ])T ( T [ T ])T g(y) dy = T ( T [ g(y) dy + T ])T T +( T [ T ])T g(y) dy = [periodicit ] T T ( T [ T ])T g(y) dy + T +( T [ T ])T g(y T ) dy = [t=y T ] T T ( T [ g(y) dy + T ])T ( T [ T ])T g(t) dt = T g(t) dt.

5 Dll (6) del Lemm e dll (7) del Lemm segue llor che s n [f(x +) + f(x )] = = = f(x + t) sin((n + )t) sin( t ) dt f(x + t) f(x + ) sin( t ) sin((n + )t) dt + f(x + ) sin((n + )t) sin( t ) dt Definit F : IR IR tle che F risulti periodic di periodo e f(x+t) f(x + ) < t, sin( t F (t) = ) t =, f(x+t) f(x ) t <, sin( t ) f(x ) sin((n + )t) sin( t ) dt f(x + t) f(x ) sin( t ) sin((n + )t) dt. l uguglinz sopr determint si scrive in form più comptt come segue (8) s n [f(x +) + f(x )] = = F (t) sin(n + )t dt F (t) cos( t) sin(nt) dt + F (t) sin( t) sin(nt) dt. Notimo che visto che f è C trtti su IR e quindi esistono f ( ± ), dl teorem di De L Hôpitl deducimo che esistono nche F ( ± ) = f ( ± ). L esistenz di F ( ± ) e il ftto che f è C trtti (e quindi continu trtti) su IR implicno che F è continu trtti su IR. 5 Essendo F essendo continu trtti su IR, risultno continue trtti su IR, e quindi integrbili su [, ], nche le funzioni F (t) = F (t) cos( t) e F (t) = F (t) sin( t). Possimo llor utilizzre il Lemm di Riemnn Lebesgue per concludere che F (t) sin(nt) dt n + e F (t) sin(nt) dt n + d cui per l (8) segue come si volev che s n [f(x +) + f(x )] n +. # Corollrio. (Integrle termine termine dell serie di Fourier) Se f è periodic di periodo e continu trtti su IR, detti,, b i suoi coefficienti di Fourier, se [, τ] [, ] si h τ f(t) dt = + (τ ) + τ [ cos(t) dt + b τ ] sin(t) dt. Dimostrzione. Ponimo F = x f(t) dt per x IR notndo che F risult continu su IR e derivbile con derivt F = f in tutti i punti in cui f risult continu. 5 Essendo f continu trtti su IR esiste un prtizione x = < x <... < x = <... < x n = per l qule f risult continu su (x j, x j ) esistendo f(x ± j ) per ogni j {,..., n}. Ottenimo llor che nche F è continu su ogni intervllino (x j, x j ) essendo lì rpporto tr funzioni continue non nulle. Se inoltre f(x ± j ) f(x+) j {,,..., n} e j llor visto che sin( xj ), esiste F (x± j ) = sin( x j j > ) f(x ± j ) f(x ) sin( x j j <. Visto che esistono ) F ( ± ) = F (x ± ) concludimo che F è continu su (x j, x j ) ed esistono F (x ± j ) per ogni j {,..., n} ed essendo F periodic di periodo, risult che F è continu trtti su IR.

6 Essendo f continu trtti su IR esiste un prtizione x = < x <... < x n = per l qule f risult continu su (x j, x j ) esistendo f(x ± j ) per ogni j {,..., n}. Ottenimo llor che nche F è derivbile con derivt ugule f(t) su (x j, x j ) esistendo F (x ± j ) per ogni j {,..., n} e risultndo dunque che F è C trtti su (, ). Notimo or che dll definizione di segue che f(t) dt = f(t) dt = e visto che f è periodic di periodo ottenimo F (x + ) F = x+ x f(t) dt =4 f(t) dt = per ogni x IR, cioè F è nch ess periodic di periodo. Essendo F periodic di periodo e C trtti su (, ) risult C trtti su IR. Dl Teorem di convergenz puntule dell serie di Fourier deducimo che posto si h (9) α = F dx, α = F cos dx e β = F α = [α cos + β sin], x IR. F sin dx, Integrndo per prti su ogni intervllo [x j, x j ], ricordndo che F = f su (x j, x j ) ottenimo l identità xj F cos dx = [F sin x j xj ] x j x j f sin dx xj sin dx. x j x j Sommndo per j {,..., n} ottenimo llor per dditività dell integrle che α = F cos dx = [F sin ] f sin dx+ sin dx = b. Ciò mostr che α = b e in modo del tutto nlogo si deriv nche che β = per ogni IN. Utilizzndo tli relzioni unitmente ll (9) concludimo che se [, τ] [, ] llor τ f(t) dt = F (τ) F () = = = α (cos(τ) cos()) + β (sin(τ) sin()) b ( cos(τ) cos() ) + ( sin(τ) sin() ) τ τ b sin dx + cos dx. # Esempio. Si consideri l funzione f : IR IR periodic di periodo e tle che f = x per x [, ]. L funzione risult continu su IR e C trtti su IR. Dl Teorem di convergenz puntule l su serie di Fourier converge f per ogni x IR. Per clcolre i suoi coefficienti di Fourier

7 s s 3 f - - Figure : L funzione f e le sue somme di Fourier s e s 3 notimo ntitutto che essendo f un funzione pri llor i coefficienti b si nnullno 6. qunto rigurd gli si h 7 Per = f dx = x dx = = = f cos dx = x cos dx = [xsin = [ cos ] = { pri, ( ( ) ) = dispri. 4 Dl Teorem di convergenz puntule derivimo dunque che ] sin dx f = 4 + cos( )x ( ) x IR. In prticolre per x = vle che f() = = 4 + ( ) e ciò ci permette di determinre 6 In generle un funzione dispri h integrle nullo su ogni intervllo simmetrico rispetto ll origine. Inftti se ψ = ψ( x) llor ψ dx = [t= x] ψ( t) dt = [disprit ] ψ(t) dt = ψ(t) dt. Se dunque f è un funzione pri, risultndo f sin dispri, si h b = f sin = per ogni IN. Anlogmente se f è un funzione dispri, risultndo f cos dispri, llor = f cos dx =. 7 Si noti che se ψ è un funzione pri su un intervllo [, ] llor ψ dx = ψ dx + ψ dx = ψ( t) dt + ψ dx = ψ( x) + ψ dx = ψ dx.

8 s s 3 s 5 s Figure 3: L funzione f e le sue somme di Fourier s, s 3, s 5.s 7 l somm dei reciproci dei qudrti dei numeri dispri: + 8 = ( ). In figur è riportto il grfico di f insieme quello delle prime ridotte s e s 3 dell su serie di Fourier. Esempio. Si consideri l funzione f : IR IR periodic di periodo e tle che { < x f = < x. L funzione risult C trtti su IR e dl Teorem di convergenz puntule l su serie di Fourier converge f per ogni x IR ove f risulti continu cioè per tutti gli x IR \ Z (Z = { / Z}). Se x Z llor essendo f non continu l su serie di Fourier tende f(x + )+f(x ) = = = b =. Per qunto rigurd i suoi coefficienti di Fourier si h f dx = f cos dx = d cui ottenimo che f sin dx = dx =, cos dx = [sin sin dx = [ cos ] = ] =, { pri, dispri. f = + + sin( )x ( ) x IR \ Z.

9 + ( ) ( ) In prticolre per x = ottenimo che f() = = + d cui = ( ) 4 = = ( ) rctn(). Si noti che essendo sin(j) = per ogni j IN llor si h che s n () = per ogni Z.