(da dimostrare); (da dimostrare).

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1 Proprietà delle trsposte Sino, K m,n e si K, llor vlgono le seguenti relzioni: 1) ( )= 2) (+)= + 3) ()= (d dimostrre); (d dimostrre). (dimostrt di seguito); DIM. 2): Devo dimostrre che l mtrice ugule ll mtrice + ) hnno lo stesso numero di righe, b) lo stesso numero di colonne e c) le stesse entrte. : (+) è Inftti:, K m,n + K m,n D ltr prte (+) K n,m., K m,n, K n,m + K n,m (bbimo dimostrto ) e b)). 1 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

2 Rest d dimostrre che bbino le stesse entrte, cioè che per ogni i=1,,n e j=1,,m in posizione (i,j) nell mtrice (+) ci si lo stesso elemento che si trov in posizione (i,j) nell mtrice +. L entrt (i,j) dell mtrice (+) ll entrt (j,i) dell mtrice A+B: j,i +b j,i. L entrt (i,j) dell mtrice + delle entrte (i,j) di e di. è ugule è l somm è D ltr prte l elemento in posizione (i,j) di j,i e l elemento in posizione (i,j) di è b j,i : l entrt (i,j) di + è j,i +b j,i. c.v.d. 2 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

3 Esercizi d svolgere: 1) Completre le dimostrzioni non svolte in ul. 2) Si eseguno, qundo possibile, le seguenti operzioni con le mtrici: A t B; t C D; t C t D; t D t C. 3) Dte le mtrici Si verifichi che: ) t (EL)= t L t E; b) t (EL) t E t L; c) t L= L. 3 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

4 Mtrici qudrte prticolri Si A Mn(K) un mtrice qudrt. Gli elementi ( 1,1, 2,2,, n,n ) costituiscono l digonle principle di A. Gli elementi ( 1,n, 2,n-1,, n-1,2, n,1 ) costituiscono l digonle secondri di A. L mtrice A è dett tringolre superiore se i, j = 0 per ogni i > j (tutti gli elementi l di sotto dell digonle principle sono nulli). L mtrice A e dett tringolre inferiore se i, j = 0 per ogni i < j (tutti gli elementi l di sopr dell digonle principle sono nulli). L mtrice A è dett digonle se 0 per ogni i, j = i j (tutti gli elementi l di fuori dell digonle principle sono nulli). L mtrice digonle è si tringolre superiore che inferiore. L mtrice A è dett simmetric se coincide con l trspost: A= t A. 4 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

5 Esempi Osservzioni: 1) Se A è un mtrice tringolre superiore/inferiore, llor t A è un mtrice tringolre inferiore/superiore; 2) Se A è un mtrice digonle, llor t A è nch ess digonle e A= t A, dunque è nche simmetric. Attenzione: le mtrici simmetriche non sono necessrimente digonli. 5 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

6 Minori di un mtrice Si A K m,n si definisce minore di ordine p con p N, p <minimo{ m, n}, estrtto d A un mtrice ottenut togliendo d A n p colonne. m p righe ed Osservzioni: 1) è evidente che un minore di ordine p è un sottomtrice qudrt di ordine p estrtt d A in qunto rimngono esttmente p righe e p colonne. 2) In generle esistono più minori di ordine p estrtti in qunto è possibile togliere d A righe e colonne differenti. Esempio 6 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

7 Dt un mtrice A Mn(K) qudrt di ordine n, indichimo con A, il minore di ordine n-1 di A i j ottenuto togliendo d A l i-esim rig e l j-esim colonn. Esempio 1 e 2 7 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

8 L nozione di determinnte Intendimo ssocire in modo univoco d ogni mtrice sclre di K. A Mn(K) qudrt di ordine n, uno Chimimo determinnte di A Mn(K) e lo indichimo con det A oppure A, l elemento di K definito ricorsivmente nel seguente modo: se n = 1 llor l mtrice è del tipo A = ) e det A : = 1, 1 ( 1, 1 se n > 1, supponendo di sper clcolre i determinnti delle mtrici qudrte di qulsisi ordine k con k n 1, definimo per ogni coppi di indici ( i, j) con i, j = 1,..., n il complemento lgebrico di sclre Γ i, i j j i+ Γ, : = ( 1) det A i, j j e il determinnte come: det : = 1,1Γ1,1 + 1,2 Γ1, , nγ, come lo A 1, n (sviluppo del determinnte seguendo l I rig di A). i j 8 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

9 Clcolo del determinnte di mtrici qudrte di ordine 2 Dt l mtrice: : = ( 1) Γ det A 1,1 = + 2, : = ( 1) Γ det A1,2 = 2, 1 llor det A = 1,1 Γ1,1 + 1,2 Γ1,2 = 1,1 2,2 1,2 2, 1 Esercizio 1 9 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

10 Esercizio 2 Clcolo del determinnte di un mtrice di ordine 3. Clcolo del determinnte di mtrici qudrte di ordine 3 Dt l mtrice: 10 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

11 quindi: infine: 11 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

12 Osservimo però che si può ottenere lo sviluppo del determinnte di A nel seguente modo: ccostimo, destr dell mtrice, l prim e l second colonn 1,1 2,1 3,1 1,2 2,2 3,2 sommimo il prodotto degli elementi dell digonle principle con i prodotti degli elementi delle due digonli d ess prllele; dll somm sottrimo il prodotto degli elementi dell digonle secondri e i prodotti degli elementi delle due digonli d ess prllele. L regol descritt è l cosiddett regol di Srrus. 1,3 2,3 3,3 1,1 2,1 3,1 1,2 2,2 3,2 Esercizio 2 Clcolo del determinnte di un mtrice di ordine Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

13 Primo teorem di Lplce Dt un mtrice A Mn(K) qudrt di ordine n il determinnte di A è: per ogni i=1,,n fissto (sviluppo secondo l i-esim rig) per ogni j=1,,n fissto (sviluppo secondo l j-esim colonn) 13 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

14 Conseguenze importnti 1) Potendo scegliere un qulsisi rig (o colonn) di un mtrice qudrt converrà selezionre quell con il mggior numero di zeri. 2) Se un rig o un colonn contiene tutti zeri, llor l mtrice vrà determinnte nullo. Esercizi Osservzione Dt un mtrice A Mn(K) qudrt di ordine n tringolre superiore, il determinnte di A è dto dl prodotto degli elementi dell digonle principle: det A = 1,1 2,2... n, n Inftti continundo sviluppre il determinnte rispetto ll prim colonn si ottiene: 14 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

15 Allo stesso risultto si perviene nche nel cso l mtrice si tringolre inferiore, sviluppndo il determinnte sull prim rig. Esercizio 7 15 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012

16 Esercizi d svolgere Clcolre i determinnti di 16 Lezione 2 - Esercitzioni di Algebr e Geometri Anno Accdemico 2011 / 2012