= det b, a, b, c R 3. In quest ottica, il determinante del terzo ordine e caratterizzato dalle seguenti proprieta : a a. c c

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1 Determinnti n = 3. Propriet Possimo rigurdre il determinnte di un mtrie del terzo ordine ome un funzione delle sue olonne: det b = det [, b,,, b, R 3. In quest otti, il determinnte del terzo ordine e rtterizzto dlle seguenti propriet : det [ + d, b, = det [, b, + det [d, b, det [r, b, = rdet [, b, det [, b + d, = det [, b, + det [, d, det [, rb, = rdet [, b, det [, b, + d = det [, b, + det [, b, d det [, b, r = rdet [, b, det [b,, = det [, b, = det [,, b = det [, b, det [,, = det [, b, b = det [, b, = 0 per ogni, b,, d in R 3 ed ogni slre r in R. Possimo rigurdre il determinnte di un mtrie del terzo ordine nhe ome un funzione delle sue righe: 1 3 det b 1 b b 3 = det b,, b, R Poihe il determinnte e invrinte per trsposizione, si hnno propriet per righe nloghe lle propriet per olonne sopr esposte. D io segue in prtiolre he l operzione di sommre d un rig un multiplo slre di un ltr rig lsi invrito il determinnte Verifihimo quest ffermzione rispetto lle prime due righe: det b + α = det b + α det = det b.

2 Dll invrinz del determinnte rispetto ll operzione di sommre d un rig un multiplo di un ltr rig disende l possibilit di riondurre il lolo del determinnte di un mtrie l so di un mtrie tringolre. Ad esempio: = = = 3. Rngo Proposizione 1 Per ogni mtrie A qudrt di ordine 3 si h Dim. Si A = ρ(a) = 3 se e solo se det(a) = 0. b = [, b,, b, R 3. L enunito e equivlente lle due ffermzioni seguenti: se ρ(a) < 3 llor det(a) = 0, e se ρ(a) = 3 llor det(a) = 0. (1) Si ρ(a) < 3. Allor un delle tre olonne di A si puo ottenere ome ombinzione linere delle ltre due; onsiderimo il so in ui = α + βb, gli ltri sono nloghi. Si h det[, b, = det[, b, α + βb = α det[, b, + β det[, b, b = 0. () Si ρ(a) = 3. Essendo le olonne linermente indipendenti, nell prim olonn deve llor esseri qulhe elemento diverso d zero; smbindo eventulmente due righe, possimo pensre he 1 = 0; sommndo ll seond ed ll terz rig opportuni multipli dell prim rig trsformimo l mtrie dt in un mtrie dell form 0 0 b b 3 3 he vr lo stesso rngo dell mtrie dt. Essendo le olonne linermente indipendenti, uno fr b e b 3 deve essere diverso d zero; smbindo eventulmente due righe, possimo pensre he b = 0; sommndo ll terz rig un opportuno multiplo dell seond rig trsformimo l mtrie dt in un mtrie dell form 0 b, 0 0 3,

3 he vr lo stesso rngo dell mtrie dt. Essendo le olonne linermente indipendenti, si deve vere 3 = 0. Infine si h det b = ± det 0 b = 1 b = 0. Sistemi lineri Il determinnte del terzo ordine fornise l ondizione sotto l qule un sistem di tre equzioni in tre inognite e determinto e sotto tle ondizine fornise un formul espliit per l soluzione ( regol di Crmer ). Proposizione Sino dti un mtrie A = b = [, b, ed un qulsisi sistem linere vente A ome mtrie dei oeffiienti 1 x + b 1 y + 1 z = d 1 x + b y + z = d, ioe x + by + z = d. 3 x + b 3 y + 3 z = d 3 Le seguenti ffermzioni sono equivlenti: (1) det A = 0; () il sistem linere e determinto. In so ffermtivo, l uni soluzione del sistem e dt d x = det [d, b, det [, d, det [, b, d, y =, z = det [, b, det [, b, det [, b, Applizione (Folttivo) Sono dti sei numeri reli x 1, x, x 3 ; y 1, y, y 3, e si vuole determinre un polinomio f (x) = + bx + x tle he f (x i ) = y i, i = 1,, 3. Ci si hiede: sotto quli ondizioni esiste un tle polinomio? nei si in ui esiste, ne esiste esttmente uno? nei si in ui ne esiste esttmente uno, in he modo i oeffiienti del polinomio dipendono di dti inizili? Per evitre ondizioni fr loro ontrddittorie, o ripetute, imponimo he i tre numeri x 1, x, x 3 sino due due distinti: x 1 = x, x 1 = x 3, x = x 3.

4 Or, le tre ondizioni imposte si trduono nel sistem linere + bx 1 + x1 = y 1 + bx + x = y + bx 3 + x3 = y 3 nelle inognite, b,. Clolimo or il determinnte dell mtrie dei oeffiienti: 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 = 0 x x 1 x 1 x 3 x3 x 1 0 x 3 x 1 x3 x 1 1 x 1 x 1 = 0 x x 1 (x x 1 )(x + x 1 ) 0 x 3 x 1 (x 3 x 1 )(x 3 + x 1 ) 1 x 1 x 1 = (x x 1 )(x 3 x 1 ) 0 1 x + x x 3 + x 1 1 x 1 x 1 = (x x 1 )(x 3 x 1 ) 0 1 x + x x 3 x = (x x 1 )(x 3 x 1 )(x 3 x ). Sotto le ondizioni imposte x 1 = x, x 1 = x 3, x = x 3, questo determinnte e non nullo. Dunque il sistem linere h, per ogni vlore di y 1, y, y 3, esttmente un soluzione. L soluzione e dt d = b = = y 1 x 1 x 1 y x x y 3 x 3 x3 (x x 1 )(x 3 x 1 )(x 3 x ) 1 y 1 x1 1 y x 1 y 3 x3 (x x 1 )(x 3 x 1 )(x 3 x ) 1 x 1 y 1 1 x y 1 x 3 y 3 (x x 1 )(x 3 x 1 )(x 3 x ).

5 Determinnte di ordine n. Definimo il determinnte det (A) di un mtrie qudrt A di un qulsisi ordine n 1 in modo riorsivo. (1) Per n = 1, per ogni mtrie A = [ 11 di ordine 1, definimo det (A) = 11 ; (n) Per n > 1, supponimo di vere definito il determinnte per un qulsisi mtrie [ di ordine n 1, e definimo il determinnte per un qulsisi mtrie A = ij di ordine n nel modo seguente. i,j=1,...,n Per ogni i, j = 1,..., n diimo minore omplementre dell elemento ij, ed indihimo on A ij, il determinte dell mtrie di ordine n 1 ottenut dll mtrie A nellndo l rig i m e l olonn j m: j... 1n... A ij = det i1... ij... in.... n1... nj... nn Definimo det (A) ome l somm lgebri on segni +,, +,,... dei prodotti degli elementi dell prim olonn di A per i rispettivi minori omplementri: det (A) = 11 A 11 1 A A 31 ± n1 A n1. Sviluppnndo quest espressione si ottiene un polinomio omogeneo di grdo n negli elementi dell mtrie, ostituito d n! termini. Per il determinnte di un mtrie qudrt A, oltre ll notzione det (A) useremo nhe l notzione A. Si prov he il determinnte di un mtrie oinide ol determinnte dell su trspost. Per un mtrie tringolre si h n 0... n.... = nn... n nn =... = 11 nn.

6 Propriet dei determinnti Si n un intero positivo rbitrrimenente fissto. Il determinnte dell generi mtrie A = [ ij i,j=1,...,n qudrt di ordine n puo essere visto ome un funzione delle n olonne j = 1j. nj det [ 1,..., j,..., n di A. Come tle, il determinnte e rtterizzto dlle seguenti propriet per 1 j n e j = j + j, si h: det [ 1,..., j,..., n = det [ 1,..., j,..., n per 1 j n e j = r j, si h: det [ 1,..., j,..., n = r det [ 1,..., j,..., n [ + det 1,..., j,..., n ; ; per 1 p < q n si h: det [ 1,..., p,..., q,..., n = det [ 1,..., q,..., p,..., n ; per 1 p < q n e p = q, si h: Vlgono nloghe propriet per le righe. det [ 1,..., p,..., q,..., n = 0. Rngo. Sistemi lineri. L ondizione sotto l qule un mtrie qudrt di ordine n h rngo mssimo ioe n e dt dl Teorem 1 Per ogni mtrie A qudrt di ordine n si h ρ(a) = n se e solo se det(a) = 0. Il determinnte di ordine n fornise l ondizione sotto l qule un sistem di n equzioni in n inognite e determinto e sotto tle ondizine fornise un formul espliit per l soluzione ( regol di Crmer ). Teorem Sino dti un mtrie qudrt A di ordine n, on olonne 1,..., n R n, A = [ 1,..., n

7 ed un qulsisi sistem linere vente A ome mtrie dei oeffiienti 1 x n x n = b. Le seguenti ffermzioni sono equivlenti (1) det A = 0. () il sistem linere e determinto. In so ffermtivo, l uni soluzione del sistem e dt d x i = det [ 1,..., b,..., n det [ 1,..., i,..., n (i = 1,..., n) dove l denomintore ompre il determinnte dell mtrie ottenut sostituendo nell mtrie A l olonn i m i on l olonn dei termini noti b.