Chimica fisica dei materiali. Recupero di matematica. Sergio Brutti

Transcript

1 Chimi fisi dei mterili Repero di mtemti Sergio Brtti

2 Nmeri omplessi Un nmero omplesso è n espressione mtemti ostitit d 3 elementi ( nmeri reli, e l nità immginri i: i i definiione Re Im

3 Dti de nmeri omplessi: Alger di se i id Somm o sottrione: i id i d Prodotto: i id id i i d d id

4 Dto n nmero omplesso Complesso onigto i Il so omplesso onigto è: i i Re Im Che gode delle segenti proprietà: i Re Im

5 Rpporto tr nmeri omplessi Dti de nmeri omplessi: i id Il rpporto tr i de è pri : i id d i d i d id i id id id d

6 Im() Digrmm di Argnd E tile rppresentre n nmero omplesso ome n pnto s n pino idimensionle detto di Argnd nel qle l sse riport Re() e l sse Im() i θ Re()

7 Digrmm di Argnd Dto il nmero omplesso rppresentto s n digrmm di Argnd si definisono: r modlo, mpie o mgnitdine del nmero omplesso θ rgomento o fse del nmero omplesso r r os sin r tn

8 Esponenile immginrio L esponenile dell nità immginri è possiile esprimerlo ome: os isin e i Le definioni trigonometrihe dell mpie e dell fse di n nmero immginrio onsentono di sriere: i e r i r i sin os Che impli: * * * * ; * r r r e r r e r r e r r i i i

9 Teorem di De Moire Utilindo tili fnioni trigonometrihe è possiile dimostrre he i e os isin m os isin osm isinm Considerndo il omplesso onigto di : È possiile sriere: * i e os m i e e isin m im sin e i e i i os e i e i

10 Eqione di n ettore Vettore Dto n qlnqe pnto di no spio ettorile rtesino (on ersiori,,) definito d n tern di oordinte (,,) si definise ettore pplito ll origine (O) il segmento orientto he onginge O (,,). Eqione di n ettore Vettore Modlo di n ettore Distn tr l origine e il ertie del ettore O

11 Vettore-rig (o ettore olonn) Vettori ome mtrii Un mtrie definit d n sol rig (o olonn) oero di dimensione N (o N) iene dett ettore-rig o ettore-olonn. I ettori del mpo dei nmeri reli definiti d no spio ettorile rtesino engono rppresentti ome ettori-olonn Eqione di n ettore Desriione on n ettore-olonn

12 Somm tr ettori Dti de ettori e di eqione Desritti di segenti ettori-olonn Si definise somm tr ettori l segente operione elementre: w Il risltto è n noo ettore w on n dierso modlo, direione e erso.

13 Prodotto di no slre per n ettore Dto n ettori e no slre l Il prodotto dello slre per il ettore definise n noo ettore k dto d: l l l l l l l l k

14 Prodotto slre tr ettori Dti de ettori e di eqione Desritti di segenti ettori-olonn Il prodotto slre tr i de ettori è dto d: g g, os Le de operioni sono eqilenti e il risltto è lo slre g.

15 Determinnti: metodo dei minori Dt n mtrie n n on elementi ij Il so determinnte srà dto dll somm dei determinnti di ttti i soi minori (n-) (n-) ottenti nellndo isn elemento j dell rig (e l orrispondente olonn j ) e moltipliti per (-) +j j nn n n n n A Con i nmero di rig e j nmero di olonn det det det det nn n n n n nn n n nn n n A

16 Mtrii e determinnti Dt n mtrie B Il so determinnte srà dto dl prodotto roe tr i soi elementi det B Nel so di n mtrie 33: det det det 3 det

17 Mtrie trspost Dt n mtrie d L s mtrie trspost si otterrà smindo le righe on le olonne d Nel so di n mtrie 33 il menismo è lo stesso: trspost

18 Mtrie identità definiione e proprietà Si definise mtrie identità n mtrie n n i i elementi sono ttti nlli trnne qelli gienti sll digonle priniple. Qesti ltimi sono ttti nitri. L mtrie identità gode di lne proprietà prtiolri: Il so determinnte è nitrio det L s mtrie trspost è sempre pri ll mtrie identità trspost

19 Prodotto ettorile tr ettori Dti de ettori e di eqione Desritti di segenti ettori-olonn Il prodotto ettorile tr i de ettori è dto dl determinnte dell segente mtrie 33: w det Il risltto è n noo ettore he non pprtiene llo spio ettorile di prten

20 Prodotto ettorile tr ettori Dti de ettori nello spio rtesino Di norm (modlo) pri : Il modlo del ettore ottento dl prodotto ettorile dei de ettori è dto d w In i è l ngolo formto dlle de direioni/ersi di ppliione dei de ettori. sen w Similmente qnto de per il prodotto slre nhe nel so del prodotto ettorile le de formle he onsentono di rirne il risltto onsentono di ottenere indirettmente l ngolo tr i ettori.

21 Mtrii ESERCIZI

22 Prodotto tr mtrii d Dte mtrii Il prodotto delle de mtrii prode n no mtrie on n nmero di righe pri l nmero di righe dell mtrie e nmero di olonne pri l nmero di olonne dell mtrie. Il prodotto tr mtrii è possiile solo se il nmero di olonne dell mtrie orrisponde l nmero di righe dell mtrie. e g e d g f f e g h d h f h Ciò he si f è n somm di prodotti rig-olonn ' d ' e d' ' e'... d d' d'' ' d d' e e e' e'' '

23 Prodotto tr mtrii Dte mtrii non qdrte in i il nmero delle righe dell mtrie orrisponde l nmero delle olonne dell mtrie. d e d' e' d e d Il prodotto delle de mtrii è d ' e d ' e ' e d' ' e' d' ' e' d ' ' e' d d d ' e ' e ' e L mtrie finle è n mtrie qdrt (sempre) he h ome nmero di righe e olonne il nmero di righe dell mtrie (o il nmero di olonne dell mtrie )

24 Mtrie iners Si definise mtrie iners di n mtrie qdrt n n, n diers mtrie qdrt di dimensioni n n he moltiplit per l mtrie di prten prode ome mtrie risltnte l mtrie identità A ' ' ' d '' '' '' d e f In generle non esiste n lgoritmo semplie he onsente di lolre qndo esiste l iners di n dt mtrie. Esistono lgoritmi non nli ome qello dei ofttori o il Gss-Jordn. Seondo il metodo dei ofttori per le mtrii (e solo per esse) le: d' e' f A ' d'' e'' f '' det A d

25 Mtrie iners metodo dei ofttori A of Dt n mtrie qdrt i j i j A,, detminor A,i, j i j A, i,, j i, j L s mtrie iners è dt d: det A of of A, of A,, A, of A, In i det(a) è il determinnte dell mtrie A, T indi l operione di trsposiione e of(a, i,j ) è definito dll segente relione: det(minor(a,i,j)) è il determinnte del minore dell mtrie A ottento nellndo l rig i e l olonn j. i,, j i, j T