Strutture cristalline 2

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1 Chimi fisi dei mterili Strttre ristlline Sergio Brtti

2 Retioli tri-dimensionli I retioli (primitii e non) sono rggrppti in se lle relioni tr i prmetri retiolri m nhe in se ll esisten di elementi di simmetri tr i pnti retioli. Retiolo Simmetrie rmetri retiolri Trilino Nessn α β γ 9 Monolino Un pino m oppre n sse α = β = 9 γ Ortoromio Esgonle Tetrgonle Trigonle Romoedrio Cio Ogni sse h n pino m o n sse o entrmi Un sse 6 on o sen n entro di inersione - Un sse 4 on o sen n entro di inersione - Un sse on o sen n entro di inersione - 4 ssi interseti on o sen n entro - α = β = γ =9 = α=β=9 γ= = α = β = γ =9 Trig. = α=β=9 γ= Rom. == α = β = γ 9 == α = β = γ =9

3 Retioli tri-dimensionli Oltre le tssellioni primitie è possiile indiidre nhe tssellioni non primitie nello spio D. In totle i sistemi retiolri primitii D sono 7 e qelli non primitii 7. I 4 retioli D possiili sono detti Retioli di Bris. I retioli non primitii ontengono più di n pnto retiolre: - primitii p.to C fi entrt p.ti I orpo entrto p.ti F fe entrte 4 p.ti

4 Retioli tri-dimensionli I totle qindi possono esistere 4 retioli tridimensionli detti Retioli di Bris.

5 Retioli tri-dimensionli - lger Anlogmente qnto ftto per i retioli i-dimensionli nhe nel so dei retioli di Bris è possiile drne n desriione mtrile meno dei ersori di n tern rtesin nello spio D. er n retiolo io semplie == α= β=γ=9 I ettori retiolri oinidono on i ettori dell ell elementre

6 Retioli tri-dimensionli - lger Esistono ltri retioli trimensionli primitii oltre qello io. er n retiolo ortoromio semplie α= β=γ=9 In entrmi i si i ettori retiolri oinidono on i ettori dell ell elementre er n retiolo tetrgonle semplie = α= β=γ=9

7 Retioli tri-dimensionli - lger I retioli monolini primitii hnno n serie di possiili settings oero possono essere reliti formndo l ngolo dierso d 9 tr n qlnqe delle oppie di ettori retiolri. Conenionlmente: Alph è formto tr e. Bet è formto tr e. Gmm è formto tr e. er n retiolo monolino semplie α=γ=9 β os sin os sin In qesto so i ettori retiolri oinidono on i ettori dell ell elementre

8 Retioli tri-dimensionli - lger I retioli trilini sono solo primitii. er n retiolo trilino semplie α β γ 9 Dlle preedenti eqioni è immedito lolre l mpie dei prmetri retiolri (oinidono on i modli dei ettori) e gli ngoli (on il metodo del prodotto slre) os os os

9 Retioli tri-dimensionli - lger er n retiolo esgonle primitio I ettori retiolri oinidono on i ettori di trslione dell ell elementre I ettori retiolri di elle primitie oinidono on i ettori di trslione dell ell stess. Nel so di elle non primitie (he ontengono più di n pnto retiolre) i ettori retiolri NON oinidono on i ettori di trslione dell ell. = α= β=9 γ=

10 Retioli tri-dimensionli - lger I retioli romoedrii sono solo primitii e possono essere rppresentti on settings romoedrii o trigonli. er n retiolo romoedrio semplie == α = β = γ 9 Dlle preedenti eqioni è immedito lolre l mpie del prmetro retiolre e l ngolo... os os os

11 Retioli tri-dimensionli - lger I retioli romoedrii sono solo primitii e possono essere rppresentti on settings romoedrii o trigonli. er n retiolo romoedrio in setting trigonle (nlogo ll esgonle) = α = β = 9 γ = E importnte sottolinere he il retioli romoedrio nel so setting trigonle è non primitio. Qesto signifi he il medesimo rrngimento spile di pnti retiolri pò essere desritto d n retiolo primitio (romoedrio) o non primitio (trigonle). L differen tr essi e il sistem esgonle rigrd l esisten di n sse di simmetri 6 tr i pnti retiolri.

12 Retioli tri-dimensionli - lger E sempre possiile trsformre n setting romoedrio primitio in n setting trigonle non primitio e ie-ers. Le de operioni di trsformione D per pssre d n sistem retiolre ll ltro sono: rhom rhom rhom trig trig trig Qesto signifi he n medesim strttr ristllin pò essere desritt sndo indifferentemente n tssellione dello spio D on n setting trigonle (non primitio) o romoedrio (primitio). trig trig trig rhom rhom rhom

13 Retioli non-primitii er n retiolo io orpo entrto p p p p p p I ettori retiolri primitii I ettori di trslione dell ell elementre I ettori retiolri NON oinidono on i ettori di trslione dell ell elementre. L elle primiti è ROMBOEDRICA. == α= β=γ=9

14 Retioli non-primitii er n retiolo tetrgonle orpo entrto I ettori retiolri primitii I ettori di trslione dell ell elementre I ettori retiolri NON oinidono on i ettori di trslione dell ell elementre. L ell primiti è n ell TRICLINA. = α= β=γ=9

15 Retioli non-primitii er n retiolo ortoromio orpo entrto I ettori retiolri primitii I ettori di trslione dell ell elementre α= β=γ=9 I ettori retiolri NON oinidono on i ettori di trslione dell ell elementre. L ell primiti è n ell TRICLINA

16 Retioli tri-dimensionli - lger I ettori retiolri NON oinidono on i ettori di trslione dell ell elementre. L ell elementre è n ell MONOCLINA. er n retiolo ortoromio fi entrt p p p I ettori retiolri primitii I ettori di trlsione dell ell elementre α= β=γ=9

17 Retioli tri-dimensionli - lger er n retiolo monolino fi entrt p p p os os I ettori retiolri primitii I ettori retiolri non primitii α=γ=9 β sin os I ettori retiolri NON oinidono on i ettori di trslione dell ell elementre. L ell primiti è n ell TRICLINA

18 Retioli tri-dimensionli - lger er n retiolo io fe entrte I ettori retiolri primitii I ettori di trslione dell ell elementre = α= β=γ=9 I ettori retiolri NON oinidono on i ettori di trslione dell ell elementre. L ell primiti è n ell ROMBOEDRICA

19 Retioli tri-dimensionli - lger er n retiolo io fe entrte I ettori retiolri primitii I ettori di trlsione dell ell elementre α= β=γ=9 I ettori retiolri NON oinidono on i ettori di trslione dell ell elementre. L ell primiti è n ell TRICLINA

20 Volme delle elle elementri Il olme di n ell elementre si pò lolre filmente prtire di ettori di trslione dell ell stess. er n retiolo trilino primitio V ell sin sin sin In termini di lger mtrile: V det V V

21 Volme delle elle elementri er sistemi simmetri mggiore le eqioni si semplifino. V ell sin sin sin er i ri sistemi retiolri:. Cio V i. Tetrgonle. Esgonle V tetrgonl V hegonl 4. Romoedrio Vrhom r 5. Ortoromio V orthorhomi 6. Monolino sin V Vmonolini sin trigonl t t

22 Eseriio ST Determinre he tipo di retiolo primitio desriono le segenti mtrii tridimensionle degli ssi ristllini. Eseriio ST Trsform l segente mtrie dei ettori retiolri n retiolo tetrgonle non primitio orpo entrto nell orrispondente mtrie del retiolo primitio 6 I

23 Retioli tri-dimensionli I totle qindi possono esistere 4 retioli tridimensionli detti Retioli di Bris.

24 Costrione di n strttr ristllin Un retiolo ristllino ompleto è ostrito prtire d: Retiolo + se ristllin = strttr ristllin M nhe replindo in nd (D per le strttre idimensionli o D per le strttre tridimensionli) l ell elementre e ttto il so ontento nti retiolri nell ell elementre + Bse ristllin + Repli D o D seondo le operioni di trslione propri dell el nitri = strttr ristllin

25 Bsi ristlline Anlogmente he l so delle strttre ristlline idimensionli nhe nel so delle strttre D è neessrio definire oltre l retiolo nhe n se ristllin (motio D) Ogni posiione tomi iene rppresentt nel retiolo primitio o si ettori di trslione dell ell nitri ome n ettore tomio: r t sono le oordinte frionrie he orrispondono lle proieioni lngo gli ssi del retiolo (ell nitri). In generle ogni se ristllin pò ontenere più di n tomo he qindi iene replito per ogni pnto retiolre. Ttti in modo nlogo lle strttre idimensionli nhe in qesto so è opportno distere nhe le operioni di simmetrie proprie delle si oero i grppi pntli D

26 Le qttro operioni di simmetri pntle Esistono 4 differenti operioni pntli di simmetri d tenere in onsiderione per le si ristlline tri-dimensionli.. Gli ssi rotionli. I pini di riflessione. I entri di simmetri 4. Gli ssi di rotoinersione L ominione delle operioni pntli di simmetri possiili nello spio tridimensionle gener grppi pntli di simmetri.

27 Gli ssi di rotione Un sse di simmetri rotione è presente qndo n oggetto del motio oinide on n s repli identi qndo è sottoposto d n rotione di n ngolo pri 6/n. Vengon inditi on nmeri interi pri d n. N= ssi inri N= ssi ternri N=4 ssi qternri N=6 ssi esri Anlogmente l so idimensionle non sono possiili ltri ssi di simmetri rotionle perhé portereero d n mnt tssellione del % dello spio D. 4 6 In termini lgerii n sse lngo l sse () entrto sll origine determin he n pnto generio () genererà n repli identi in (- - )

28 ini di riflessione Un oggetto he n olt riflettto ttrerso n pino oinide on n s repli identi gode di n simmetri di riflessione. Viene indito on: m In termini lgerii n pino di riflessione pssnte per l origine e normle ll sse [] determin he n pnto generio () genererà n repli identi in ( -) Anlogmente l so idimensionle sono possiili molti pini di riflessioni ontempornemente presenti he possono fr emergere simmetrie rotionli ggintie.

29 Centro di simmetri Un oggetto h n entro di simmetri se isn pnto () reltio l entro di simmetri stesso tro n immgine repli identi (---). Esso è nhe detto entro di inersione e iene indito on: In termini lgerii n inersione nell origine dell ell determin he n pnto generio () genererà n repli identi in (- - -)

30 Assi di rotoinersione L rotoinersione è n operione di simmetri in -stdi. rim si oper l operione di simemeri rotione Dopo di oper l inersione. Si indi on i simoli 4 6 In termini lgerii n sse di rotoinersione - lngo l sse () entrto in () determin he n pnto generio () genererà n repli identi in ( -)

31 Grppi pntli D L insieme delle 4 operioni pntli di simmetri gener grppi pntli di simmetri ristllin D.

32 Grppi pntli D L insieme delle 4 operioni pntli di simmetri gener grppi pntli di simmetri ristllin D.

33 Costrione di n strttr ristllin Un retiolo ristllino ompleto pò qindi essere ostrito prtire d: Retiolo D + se ristllin = strttr ristllin O se sono note le operioni di simmetri retiolri e dell si ristlline prtire di grppi di simmetri spili Grppo spile + Bse irridiile = strttr ristllin Nel grppo spile inftti sono ontente ttte le operioni di simmetri e le trslioni (e qelle ominte) proprie di n dt strttr ristllin. L se irridiile non oinide neessrimente on l se ristllin

34 Simmetrie trslionli e grppi spili D Un olt hiriti i grppi pntli he possono esistere nelle si ristlline per i 7 tipi di retioli è possiile ostrire i grppi spili orrispondenti lle operioni di simmetri omplessimente presenti in n dt ell elementre (nhe on più di pnto retiolre ll interno). Mi spetto omplessimente 6 ominioni tr simmetrie dell se ristlline e simmetrie retiolri. M qestione ttti è omplit dll generione di noe operioni di simmetri (rotioni/riflessioni + trslioni). Qeste noe operioni mentno il nmero omplessio di grppi spili tridimensionli.

35 Assi sre L sse sre è presente qndo n rotione di 6/n è omint on n trslione di m/n di n ettore retiolre e iò gener n retiolo identio. Si indi on i simoli n m In termini lgerii n sse sre lngo l sse () determin he n pnto generio () genererà n repli identi in (- - ½ +)

36 ini glide Il pino glide è presente qndo n riflessione s n dto pino è omint on n trslione lngo n direione prllel l pino e iò gener n retiolo identio. Si indi on i simoli orrispondenti ll direione di trslione di meo psso retiolre. Glide d è n riflessione-trslione lngo l digonle dell ell. Glide n è n riflessione-trslione lngo (+)/ n d In termini lgerii n pino glide lngo l sse [] on n riflessione sl pino () determin he n pnto generio () genererà n repli identi in (- ½ +)

37 Simmetrie trslionli e grppi spili D Tenendo onto nhe delle operioni di roto-trslione e riflessione-trslione il nmero omplessio di grppi spili tridimensionli è.

38 Denominione dei grppi spili Ogni grppo spile si indi on n sigl di lettere e nmeri.. L prim letter indi l tipologi di retiolo oero: i. = primitio ii. I = orpo entrto iii. F = fe entrte i. R= romoedrio. A o B o C = fi entrt s A o B o C. Sessimente l sigl del grppo spile è segito d simoli he denotno l simmetri lngo isno dei ssi ristllogrfii: i. m = pino di riflessione ii. = pini glide iii. n = pino glide di tipo n i. d = pino glide di tipo d. 46 = ssi di rotione i. 4.6 = ssi sre

39 Denominione dei grppi spili er pire qle sistem ristllino pprtiene n dto grppo spile è sffiiente riportre il simolo delle simmetrie qello pntle.. er fr qesto isogn ignorre il simolo he desrie l tipologi di retiolo (IFABC). Sessimente isogn semplifire le operioni di simmetri togliendo le omponenti trslionli - pertnto: i. m = m ii. = m iii. n = m i. d = m. 46 = 46 i. 4.6 = 46. In qesto modo si ri il grppo pntle he è filmente ttriito l sistem ristllino. (E. nm dient mmm he è n grppo pntle ortoromio).

40 Esempio di n grppo spile: nm Considerimo il grppo spile nm. Esso orrisponde d n retiolo RIMITIVO Il grppo pntle è mmm he è ortoromio resent n pino glide n on riflessione in () resent n pino di riflessione in () resent n pino glide on diflessione in () In reltà esistono ltre operioni di simmetri ( ssi di rotioni inri e n entro di inersione) he sono impliite lle operioni di riflessione onsiderte

41 Esempio di n grppo spile: nm L insieme delle operioni di simmetri pntli e delle ominioni on le trslioni determin he n tomo in n posiione generi () si troerà nhe in: position generl d Le replihe per simmetri (pntle e omint) di n posiione generi si ridono lddoe l tomo si posto esttmente s n delle operioni di simmetri 8d esempio in n pnto di inersione):

42 Esempio di n strttr nm Considerimo il mterile MgB4 tetrorro di mgnesio Il so grppo spile è nm. Le se ostnti di ell sono: = 5.46 A = 4.4 A = 7.47 A H 4 tomi in posiioni ineqilenti. Mg B B B d Non è qindi diffiile lolre doe sono ttti i 4 tomi di Mg e i 6 tomi di B nell ell elementre: st pplire i genertori delle posiioni eqilenti i siti speili 4 e 8d. Complessimente nell ell i sono qindi tomi on stehiometri Mg:B=:4