Le forze ponderomotrici esercitate su corpi a riposo. nel campo elettromagnetico. A. Einstein e J. Laub
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- Arturo Manfredi
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1 Le fore ponderomotrii eseritte su orpi riposo nel mpo elettromgnetio A. Einstein e J. Lub In un dissertione pprs d poo Il signor Minkowski h dto un espressione per le fore ponderomotrii di origine elettromgneti he gisono su orpi in moto rbitrrio. Se si speili l espressione di Minkowski i orpi riposo, isotropi ed omogenei, si ottiene per l omponente X dell for he gise sull unità di volume: K = -, ( dove indi l densità elettri, l orrente di onduione elettri, l intensità del mpo elettrio, l induione mgneti. Quest espressione i pre non essere in ordo on il modello dell teori degli elettroni per il motivo seguente: mentre un orpo perorso d un orrente elettri (orrente di onduione in un mpo mgnetio subise un for, seondo l equione ( iò non drebbe, qundo il orpo he si trovsse nel mpo mgnetio invee he d un orrente di onduione fosse perorso d un orrente di polriione ( / t. Per Minkowski si h quindi un distinione di prinipio tr un orrente di spostmento ed un orrente di onduione tle he un onduttore non può essere trttto ome un dielettrio di ostnte dielettri infinitmente grnde. In onsiderione di questo stto di ose i ppre interessnte derivre l for ponderomotrie per orpi mgnetibili rbitrri utilindo l teori degli elettroni. Dimo nel seguito un derivione sifftt, limitndoi tuttvi i orpi riposo. Annlen der Phsik 6, 54 (908. H. Minkowski, Gött. Nhr p. 45.
2 . Fore he non dipendono dll veloità delle prtielle elementri. Nell derivione i porremo onsistentemente nel punto di 3 vist dell teori degli elettroni ; srivimo quindi: =, ( =, (3 dove indi il vettore di polriione elettri, quello di polriione mgneti. Pensimo l polriione elettri ovvero mgneti ome onsistente in spostmenti spili di prtielle on ri elettri o mgneti pprtenenti dipoli, legte posiioni di equilibrio. Oltre questi introduimo nor l presen di rihe elettrihe mobili non vinolte dipoli (elettroni di onduione. Nello spio tr le suddette prtielle vlgno le equioni di Mwell per lo spio vuoto e, ome per Lorent, le interioni tr mteri e mpo elettromgnetio srnno determinte eslusivmente d queste prtielle. In onformità iò ssumimo he l for eseritt sull unità di volume dell mteri dl mpo elettromgnetio si ugule ll risultnte delle fore ponderomotrii he sono eseritte d questo mpo su tutte le prtielle elementri elettrihe e mgnetihe he si trovno nell elemento di volume onsiderto. Come elemento di volume dell mteri intendimo sempre un volume osì grnde d ontenere un numero ssi grnde di prtielle elettrihe e mgnetihe. Inoltre i onfini dell elemento di volume onsiderto si devono pensre sempre ssunti in modo tle he l superfiie di ontorno non tgli nessun dipolo elettrio o mgnetio. Clolimo in primo luogo quell for gente su un dipolo elettrio, he origin dl ftto he l intensità di mpo non è esttmente l stess nelle posiioni in ui si trovno le msse elementri del dipolo. Se si indi on il vettore del momento 3 Per sempliità d esposiione i ttenimo tuttvi ll rppresentione dule dei fenomeni elettrii e mgnetii.
3 = di dipolo, si ottiene per l omponente X dell for ert l espressione: =. Si pensi di ostruire quest ultim espressione e di sommrl per tutti i dipoli nell unità di volume; tenendo onto dell relione: si ottiene l equione: = =. (4 Qundo l somm lgebri degli elettroni di onduione positivi e negtivi non si nnull, ll espressione (4 si ggiunge nor un termine, he or voglimo lolre. L omponente X dell for ponderomotrie he gise su di un elettrone di onduione di mss elettri e risult e. Se si somm su tutti gli elettroni di onduione dell unità di volume, si ottiene: = e. (5 Se l mteri onsidert, he si trov nell unità di volume, l si pens rhius d un superfiie he non tgli lun dipolo, si ottiene per il teorem di Guss e per l definiione del vettore spostmento : e = div, di modo he srà = div. (5 L omponente X dell for eseritt dll intensità di mpo elettrio sul volume unitrio dell mteri è periò ugule = div. (6 e Tenendo onto dell relione 3
4 div = 0 ottenimo nlogmente per l omponente X dell for prodott dll intensità del mpo mgnetio: =. (7 m E notevole he per l derivione delle espressioni (6 e (7 non si debb fre lun ipotesi rigurdo lle relioni he legno le intensità di mpo ed on i vettori di polriione ed. Se si h he fre on orpi nisotropi, le intensità di mpo elettrihe e mgnetihe non produono solo un for, m nhe oppie, he si trsferisono ll mteri. Il momento torente erto si ottiene filmente per i singoli dipoli e per somm su tutti i dipoli elettrii e mgnetii nell unità di volume. Si ottiene: = {[ ] [ ]}. (8 L formul (6 dà quelle fore ponderomotrii he giono un ruolo nei problemi elettrosttii. Trsformeremo quest equione, nel so he si trtti di orpi isotropi, in modo tle he onsent un onfronto on le espressioni per l for ponderomotrie ome si dnno in elettrostti. Ponimo = ( -, llor l equione (6 divent: = div ( - -. e I primi due termini di quest espressione sono identii quelli noti dll elettrostti. Il tero termine, ome si vede, è derivbile d un potenile. Se si h he fre on fore he gisono su un orpo he si trov nel vuoto, llor questo termine per integrione sul orpo non dà nessun ontributo. M se si trtt dell ione ponderomotrie su un fluido, llor l prte dell for he orrisponde l tero termine srà ompenst ll equilibrio d un distribuione di pressioni nel fluido. 4
5 . Fore he dipendono dlle veloità delle prtielle elementri. Pssimo quell prte dell for ponderomotrie he è prodott dll veloità del moto delle rihe elementri. Prtimo dll legge di Biot-Svrt. Su un elemento di volume perorso d orrente, he si trovi in un mpo mgnetio, seondo l esperien gise per unità di volume l for: [ ], nel so he l mteri onsidert, perors dll orrente, non si polribile mgnetimente. Per l interno di orpi polribili mgnetimente si dovrebbe, per qunto i risult, porre 4 quell for ugule [ ], dove indi l induione mgneti. Dimostreremo or he nhe nel so he il mterile perorso d orrente si polribile mgnetimente, l for he gise sull elemento di volume perorso d orrente si otterrà ggiungendo ll for espress medinte l equione (7 l for di volume: = [ ]. (9 s Renderemo prim intuitivo questo ftto medinte un esempio semplie. L strisi S infinitmente sottile, disegnt in seione, si estend, perpendiolrmente l pino del foglio, ll infinito su entrmbi i lti. Ess onsist di mterile polribile mgnetimente e si trovi in un mpo mgnetio omogeneo, l direione del qule è indit dlle free (vedi figur. Ci hiedimo qule si l for he gise sull strisi mterile, nel so he ess si perors d un orrente. L esperien insegn he quest for è indipendente dll 4 Vedi per esempio nhe M. Abrhm, Theorie der Elektriität. p
6 permebilità mgneti del mterile onduttore, e si onlude pertnto he non dev essere l intensità di mpo m l induione d essere determinnte per l for ponderomotrie; inftti ll interno dell strisi l induione mgneti è ugule ll i for he gise ll esterno dell strisi, indipendente dl vlore dell permebilità dell strisi, mentre l for he i sussiste ll interno dell strisi per un dto mpo esterno dipende d. M quest onlusione non è vlid, poihé l for ponderomotrie onsidert non è l sol d gire sull nostr strisi mterile. Il mpo esterno indue inftti sull fi superiore e sull fi inferiore dell strisi mterile 5 strti mgnetii on l densità : (-/, e preismente sull fi superiore uno strto negtivo, sull fi inferiore uno positivo. Su isuno di questi strti gise un for genert dll orrente he sorre nell strisi, on l intensità /b per 6 unità di lunghe dell strisi, l for mgneti dell qule è dirett in senso opposto sull fi superiore e sull fi inferiore. Le fore ponderomotrii osì risultnti si sommno, osihé ottenimo l for ponderomotrie: (-/. Pre he di quest for finor non si si tenuto onto. L for eseritt omplessivmente su un lunghe unitri dell nostr strisi è ugule ll somm di quell or or lolt e dell for R he gise sull elemento di volume dell strisi us del pssggio dell orrente in un mpo mgnetio. Poihé l for ponderomotrie omplessiv he gise sull unità di lunghe è seondo l esperien, vle l equione: ovvero (-/ R = R = / =. i Si vede quindi he per il lolo dell for ponderomotrie R he gise sull elemento di volume perorso d orrente non è deter- 5 L densità è inftti ugule : = - = (-/. i i i 6 In onformità on i risultti del prgrfo preedente l posto di queste fore he gisono sugli strti si dovrebbero rigore introdurre fore di volume, m iò è tuttvi sen importn. 6
7 minnte l induione m l intensità di mpo. i i Per llontnre ogni dubbio trtteremo or un esempio, dl qule si vede he il prinipio dell uguglin dell ione e dell reione rihiede l ipotesi d noi selt. Immginimoi un onduttore ilindrio irondto dllo spio vuoto e perorso dll orrente, he si estende ll infinito lungo entrmbi i versi dell sse X di un sistem di oordinte. Le ostnti mterili del onduttore, ome pure i vettori di mpo he ompiono nel seguito, sino indipendenti d, m funioni di e. Il onduttore si un mgnete permnente e possied un mgnetiione obliqu rispetto ll sse X. Supponimo he sul onduttore non gis un mpo esterno, he quindi l for mgneti si nnulli grnde distn dl onduttore. E hiro he sul onduttore ome un tutto non gise lun for ponderomotrie, inftti quest ione non srebbe opponibile lun reione. Mostreremo he segliendo l nostr ipotesi quell for di ftto si nnull. L for omplessiv he gise sull unità di lunghe del nostro onduttore nell direione dell sse Z si può rppresentre seondo le equioni (7 e (9 nell form: %&!#" ' $ % R = df df, (0! dove df indi un elemento di superfiie del pino YZ. Assumimo he tutte le quntità he intervengono sino ontinue ll superfiie del onduttore. Trttimo in primo luogo il primo integrle dell equione (0. Si h: (#*# ## & ' = -. " $ Se si sostituise il seondo membro di quest equione nel nostro integrle, per integrione sul pino YZ si nnullno i primi due termini, poihé le fore si nnullno ll infinito. Tenendo onto di div = 0 il tero termine si può trsformre in modo tle he il nostro integrle ssume l form: 7
8 " Or è: %!," & ( $ ' df. & ( - '. - =. $ M per integrione i due termini - - / si nnullno. Il termine si può trsformre medinte le equioni di Mwell in: / -, di modo he l equione (0 l possimo infine srivere: %! /! % 0 R = - df df % % = - df = - df.!! L ultimo integrle srà ero poihé ll infinito le fore si nnullno. - Dopo ver osì determinto l for he gise su mteri perors d un orrente di onduione, ottenimo l for he gise su un orpo ttrversto d un orrente di polriione osservndo he orrente di polriione e orrente di onduione dl punto di vist dell teori degli elettroni devono essere del tutto equivlenti rispetto ll ione elettrodinmi. Tenendo onto dell dulità dei fenomeni mgnetii ed elettrii si ottiene inoltre l for he srà eseritt su un orpo perorso d un orrente di polriione mgneti in un mpo elettrio. Come espressione omplessiv per quelle fore he dipendono dll veloità delle prtielle elementri ottenimo in questo modo le equioni: [ 3# # = ]. ( t t 8
9 3. Uguglin d ione e reione. Se si sommno le equioni (6, (7 e ( si ottiene l espressione totle per l omponente X dell for ponderomotrie per volume unitrio he gise sull mteri, nell form: = div [ 3# # ]. t t L equione si può nhe srivere: 3# = div [ 73 8 ] div 76 8 t t ( ( ( ( ( ( [ - t ]. Se si sostituisono & # :$ t' e t " per meo delle equioni di Mwell on rot e on rot, si ottiene on un trsformine semplie: #; X X X = - (/, ( 7 dove si è posto t 7 Il signor onsigliere Wien h vuto l bontà di renderi noto he già H.A. Lorent h dto l for ponderomotrie per orpi non mgnetibili in quest form. (Enkl. d. mthem. W. 5. p
10 %! X = - ( <, X = <, X = <, ; = [ ]. (3 Equioni orrispondenti vlgono per le ltre due omponenti dell for ponderomotrie. Se si integr l ( sullo spio infinito, nel so he i vettori di mpo si nnullino ll infinito, si ottiene l equione: d= %! d= d; = - (/. (4 dt Ess fferm he le nostre fore ponderomotrii, se si introdue l quntità di moto elettromgneti, soddisfno l legge dell uguglin dell ione e dell reione. Bern, 7 mggio 908. (Rievuto il 3 mggio 908 0
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