01 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 6 La retta 1

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1 Mtemti Lieo \ Unità Didtti N 6 L rett Unità didtti N 6 L rett rtesin ) Equzione vettorile dell rett 2) Equzioni prmetrihe dell rett 3) Equzione dell rett pssnte per due punti 4) Equzione dell rett pssnte per un punto ed vente oeffiiente ngolre ssegnto 5) Equzione generle dell rett 6) Equzione noni dell rett 7) Equzione segmentri dell rett 8) Equzioni di rette in posizione prtiolre rispetto gli ssi rtesini 9) Rppresentzione grfi dell rett ) Il punto omune due rette ) L risoluzione dell equzione + + >

2 2 Mtemti Lieo \ Unità Didtti N 6 L rett Equzione vettorile dell rett L rett r si individut di punti P(, ) e P( ) 2 2 2,, Se P ( ), è un generio punto di r, vle l seguente relzione vettorile : P P ( P P) 2 [] on R e P P, P 2 P vettori prlleli venti lo stesso sostegno. L [] è dett equzione vettorile dell rett sritt in form sinteti. L equzione vettorile [] sritt in form rtesin r r r r i + j i + j [2] divent : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 P r B o A P 2 P P P P P 2 Equzioni prmetrihe dell rett Dll [2] rivimo : ( 2 ), ( ) 2 Ponendo 2 2 oppure 2 2 ottenimo ( ) ( ) [3] he rppresentno le equzioni prmetrihe dell rett r.

3 Mtemti Lieo \ Unità Didtti N 6 L rett 3 Equzione dell rett pssnte per due punti Se dlle relzioni, ( 2 ) ( 2 ) eliminimo il prmetro ottenimo l equzione dell rett pssnte per due punti : 2 2 [4] Ess non si prest rppresentre né rette prllele ll sse delle sisse ( ) né rette prllele ll sse delle ordinte ( 2 ) in qunto, nnullndosi uno dei due denomintori, verree perdere di signifito. Equzione dell rett pssnte per un punto ed vente oeffiiente ngolre ssegnto Ponendo : m 2 2 [5] l [4] divent : m( ) he rppresent l equzione dell rett pssnte per un dto punto P( ) ngolre m ssegnto. Il numero m è detto oeffiiente ngolre dell rett. [6], ed vente oeffiiente Dll [6] rivimo :, ( Equzione generle dell rett ( ) ( ) ( ) + + Ponendo : + ottenimo l equzione : + + [7] ) he è l equzione generle dell rett o equzione dell rett sotto form impliit., e B( 25, ) >> r r r r + + j ioè : r i + 3 r j i r + 2 r j << Srivere l equzione dell rett individut di punti A( 3) equzione vettorile : ( ) i ( 3) j ( 2 ) i ( 5 3) ( ) ( ) + Equzioni prmetrihe : ( ) Il punto P +, pprtiene ll rett AB. 3 Rett pssnte per due punti : 2

4 4 Mtemti Lieo \ Unità Didtti N 6 L rett Equzione generle dell rett : 2 + OSSERVAZIONE + P PB 2 R >, P P 2, P PP 2 < <, P P P PA R Definizione Diesi rett il luogo geometrio dei punti del pino le ui oordinte ( ; ) verifino l equzione di primo grdo due inognite + +. Equzione noni dell rett Ponendo m, n l equzione [7] divent : m + n [8] he rppresent l equzione noni dell rett o equzione dell rett sotto form espliit. Il numero rele reltivo n diesi ordint ll origine perhé rppresent l ordint del punto di intersezione dell rett on l sse, mentre m diesi, ome già sppimo, oeffiiente ngolre o rpporto direttivo dell rett. L equzione [8] non si prest rppresentre rette prllele ll sse delle in qunto m perde di signifito equzione generle dell rett, + 4 equzione noni dell 3 rett, m 4 3 oeffiiente ngolre dell rett, n 4 ordint ll origine Equzione segmentri dell rett Dll equzione generle dell rett rivimo : +, + + Se ponimo : p, q he rppresent l equzione segmentri dell rett. ottenimo : p + [9] q I numeri reli reltivi p e q sogliono himrsi le interette ( dell rett sugli ssi rtesini ) in qunto il primo rppresent l siss del punto in ui l rett inontr l sse,il seondo l ordint del punto in ui l rett inontr l sse. L equzione segmentri dell rett è : + 3 7

5 Mtemti Lieo \ Unità Didtti N 6 L rett 5 Equzioni di rette venti un posizione prtiolre rispetto gli ssi rtesini rppresent l equzione di un generi rett prllel ll sse delle. Ess si riv ponendo :,. Risult : m h rppresent l equzione di un generi rett prllel ll sse delle. Ess si riv ponendo :,. Risult : m ( h ) rppresent l siss ( l ordint ) di un generio punto dell rett. è l equzione dell sse delle ordinte. Si ottiene per : è l equzione dell sse delle sisse. Si ottiene per :,, m,, m è l equzione dell isettrie del I e III qudrnte, dett nhe isettrie fondmentle degli ssi rtesini. Risult :,,, m è l equzione dell isettrie del II e IV qudrnte, dett nhe isettrie seondri degli ssi rtesini. Risult :,,, m + oppure m è l equzione di un generi rett pssnte per l origine degli ssi rtesini. Rppresentzione grfi dell rett Vedimo ome è possiile disegnre un rett qundo onosimo l su equzione. Se l rett è oliqu st trovre le oordinte dei punti d intersezione on gli ssi rtesini. Se pss per l origine degli ssi, st trovre un su qulsisi ltro punto distinto dll origine ; preferiilmente quello he h ome oordinte numeri interi. A volte è onveniente srivere l equzione sotto form segmentri e poi disegnrl utilizzndo l interpretzione geometri dei simoli p e q. Se voglimo disegnre l rett di equzione 2 5 st sriverl in form segmentri, ioè : essendo : p 5, q

6 6 Mtemti Lieo \ Unità Didtti N 6 L rett Se invee voglimo disegnre l rett isogn lolre le oordinte di un suo punto, d esempio A( 5, 2). Inftti ponendo nell equzione dell rett 5 si riv 2. Adesso l rett può essere disegnt in qunto onosimo le oordinte di due suoi punti. 2 5 o A A( 5, 2) Il punto omune due rette Per lolre le oordinte del punto P (, ) omune lle rette r ed s venti, rispettivmente, equzioni : r : + + s : + + st risolvere il seguente sistem : Applindo il teorem di Crmer ottenimo : [] [] Quindi l intersezione delle due rette è il punto P,

7 Mtemti Lieo \ Unità Didtti N 6 L rett 7 Se voglimo lolre le oordinte del punto omune lle rette di equzioni e 2 2, doimo risolvere il sistem : P 3 2, 2 2 P P 3 2, o Disutimo le soluzioni [] del sistem []. so : ioè : ioè i oeffiienti omonimi delle vriili ed non sono proporzionli. Sotto queste ipotesi, le rette r ed s sono inidenti. Vievers, se le rette r ed s sono inidenti, llor i oeffiienti omonimi delle vriili ed non sono proporzionli. 2 so : ioè : ioè i oeffiienti omonimi delle vriili ed sono proporzionli. Ponendo :,, il sistem d risolvere divent : Essendo il sistem non mmette soluzioni, ioè non esiste lun oppi di numeri (, ) he verifi simultnemente le due equzioni del sistem []. In questo so le due rette sono prllele e distinte. Vievers se le rette r ed s sono prllele e distinte llor i oeffiienti omonimi delle vriili ed sono proporzionli, ioè le due rette hnno lo stesso oeffiiente ngolre.

8 8 Mtemti Lieo \ Unità Didtti N 6 L rett r// s, on R. Ponendo ottenimo :, ed nhe : m m Risultno fr loro prllele le rette venti equzioni generli : + +, + + h ed nhe le rette venti equzioni in form noni m + n, m + h Possimo utilizzre queste onlusioni per srivere l equzione dell rett s pssnte per il punto ( P, ) e prllel ll rett r di equzione + +. Un generi rett prllel d r h equzione : + + h ( m + h ) P s + + h ( m + h), h ( h m Quindi l equzione dell rett s pssnte per il punto P( ) ), ssume un delle due seguenti forme : ( ) + ( ) m( ) [2] 3 so :,, on R. Il sistem [] ssume l form : Le equzioni di questo sistem sono equivlenti e quindi rppresentno l stess rett. Rissumendo possimo ffermre qunto segue : Dte le rette r ed s venti rispettivmente equzioni : r : + + s : + + si h : r ed s oinidenti r ed s prllele e distinte r ed s inidenti ioè :,, ioè,,