Verifica di matematica

Transcript

1 Nome Cognome. Clsse D 7 Mrzo Verifi di mtemti ) Dt l equzione: (punti ) k ) Srivi per quli vlori di k rppresent un ellisse, preisndo per quli vlori è un ironferenz b) Srivi per quli vlori di k rppresent un ellisse on i fuohi sull sse ) Disegn l ellisse he si ottiene per k e determin le oordinte dei vertii del qudrto insritto ( lti prlleli gli ssi rtesini) ) Srivi l equzione dell ellisse riferit gli ssi on i fuohi sull sse, he h eentriità e un vertie in B(;-) Detto T il punto dell ellisse nel primo qudrnte di siss ugule, determin sull ro di ellisse he si trov nel terzo qudrnte un punto P in modo he l re del tringolo BPT si ugule. (punti,) ) Risolvi grfimente le seguenti disequzioni: ) (punti,7) b) (punti,7) ) Tri il grfio delle seguenti funzioni e rispondi lle rihieste ) b) ) f ( ) Dedui dl grfio di f() quello di f ( )? (punti ) 9 ( ) Speifi opportuni dominio e odominio he rendono l funzione biunivo. (punti ) Dedui il grfio di e (punti ) ) Consider l ellisse di vertii A (;), A (; ) ; B(; ) e B (;) Determin: ) Centro e ssi di simmetri b) Coordinte dei fuohi ed eentriità (punti ) ) Equzione ) Srivi l equzione dell funzione rppresentt fino. (punti )

2 Soluzioni ) Dt l equzione: k ) Srivi per quli vlori di k rppresent un ellisse, preisndo per quli vlori è un ironferenz Perhé l equzione rppresenti un ellisse i oeffiienti dei termini di seondo grdo devono essere onordi, quindi: k > k >, perhé si un ironferenz devono essere uguli k k <k< k> k b) Srivi per quli vlori di k rppresent un ellisse on i fuohi sull sse I fuohi sono sull sse delle se >b k > k > ) Disegn l ellisse he si ottiene per k e determin le oordinte dei vertii del qudrto insritto ( lti prlleli gli ssi rtesini) k b Il qudrto insritto vrà i vertii sulle bisettrii degli ssi, le oordinte dei vertii nel primo e terzo ± qudrnte soddisfno il sistem: ± m I vertii nel e qudrnte sono i simmetrii dei preedenti rispetto gli ssi: ± ) Srivi l equzione dell ellisse riferit gli ssi on i fuohi sull sse, he h eentriità e un vertie in B(;-) Detto T il punto dell ellisse nel primo qudrnte di siss ugule, determin sull ro di ellisse he si trov nel terzo qudrnte un punto P in modo he l re del tringolo BPT si ugule. (punti,) L equzione dell ellisse riferit gli ssi è dto il vertie B, b b

3 Il vlore di si determin imponendo l ondizione sull eentriità e sfruttndo il lege tr i prmetri rtteristii dell ellisse L ellisse h quindi equzione: L ordint del punto T si determin not l siss, prtire dll equzione: e tenendo onto he è un punto del qudrnte : T P B T Per determinre il punto P he individu un tringolo di re, possimo proedere in diversi modi: metodo I vertii del tringolo hnno oordinte: P(,) B(;-) ; T dove le oordinte di P devono nhe soddisfre l equzione dell ellisse. L re di un tringolo noti i vertii è espress d: det Le ondizioni su e sono : ) ( figur in verdi rette

4 < imp : P Trttndosi di un punto nel terzo qudrnte P ; metodo fissimo ome inognite le oordinte (,) di P, l bse del tringolo è 9 BT L ltezz del tringolo BPT è l distnz tr P e l rett per BT, L rett pssnte per B e T h equzione: quindi 9 h Le ondizioni su, di P sono dunque: 9 9 Si ottiene un sistem equivlente l preedente. ) Risolvi grfimente le seguenti disequzioni: ) Si trtt di onfrontre i grfii delle funzioni: (;) ) ( b C qudrto del ompletmento L rett si trov sotto ll semiellisse per α on < α < 7 α

5 Oppure dividendo mbo i membri per il onfronto è tr un rett e un semiironferenz b) Si devono onfrontre i grfii di semi prbol trslt sinistr di ( ) C(;) b α L semi ellisse è sempre sotto ll semi prbol, dove sono onfrontbili, ioè ) Tri il grfio delle seguenti funzioni e rispondi lle rihieste ) Dedui dl grfio di f() quello di f ( )? ompletmento del qudrto ( ) C(;) b Il grfio di f() si ottiene diltndo orizzontlmente di, ioè dimezzndo le sisse di tutti i punti. b) 9 ( ) Speifi opportuni dominio e odominio he rendono l funzione biunivo. Disutendo il vlore ssoluto si h: 9 ( ) > 9 ( ) < Entrmbe le urve sritte sopr sono prti dell ellisse di equzione:

6 ( ) 9 9 C(;) b, in prtiolre se >, se < L funzione f: ; ; ( ; ) non è biunivo perhé h due ontroimmgini, ffinhé si invertibile si può definire: f: ; ; ( ; ) e il grfio ).. ( ) C( ; ) b. Dedui il grfio di.. (è suffiiente ribltre l prti negtive, ioè dei punti on. ordint negtiv si devono onsiderre i simmetrii rispetto ll sse delle sisse).. null più i orrispondenti simmetrii rispetto ll sse delle ordinte) (è suffiiente onsiderre tutti i punti on siss positiv o... ) Consider l ellisse di vertii A (;), A (; ) ; B(; ) e B (;) Determin: ) Centro e ssi di simmetri Il entro di simmetri è il punto medio di A A C(; ) Gli ssi di simmetri sono l rett pssnte per A A he h equzione - e quell pssnte per B B he h equzione - b) Coordinte dei fuohi ed eentriità L lunghezz del semisse mggiore è A A L lunghezz del semisse minore è B B.

7 Quindi l semidistnz fole è b L eentriità è e Le oordinte dei fuohi si ottengono intersendo l equzione dell sse mggiore on l ironferenz he h entro nel entro di simmetri e rggio ugule ll semidistnz fole: F ( ; ) F ( ; ) ( ) ( ) Oppure spendo he l distnz tr entro e fuohi è rispetto ll vertile: F ; e F e osservndo h l sse fole è inlinto di ) Equzione Riordndo he l ellisse è il luogo dei punti P del pino per i quli è ostnte l somm delle distnze d due punti detti fuohi PF PF, l equzione è: ; ( ) ( ) ) Srivi l equzione dell funzione rppresentt fino. 7 L funzione è definit trtti, per è l semiellisse di entro (-;) on ( ) ( ) b simmetri orizzontle: ± 9( ( ) ) 9 Per > è l prbol on sse vertile he si ottiene trslndo destr di e in lto di l funzione, quindi: ( )., dovendo prendere l prte sotto l sse di 9 >