31. L IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO

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1 31. L IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO DEFINIZIONE DI IPERBOLE 11 Si die iperole il luogo dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi, detti fuohi : PF PF = ostnte 1 Indiheremo l differenz ostnte on k, e l distnz fr i due fuohi ( = distnz fole) on. Si osserv he l urv è distriuit su due rmi distinti: il rmo ostituito di punti P per i quli PF1 PF = k il rmo ostituito di punti P per i quli PF PF1 = k Con riferimento ll figur, riordndo he in un tringolo l differenz fr due lti è sempre minore del terzo lto, vremo k = PF PF < FF =. 1 1 Se segliessimo k >, il luogo dei punti P per ui PF1 PF = k sree vuoto; se poi prendessimo k =, il luogo degenereree in dillo tu! Insomm: dovrà essere k < ( k < ) ffinhé il luogo non si né vuoto, né degenere. Si intuise, si onstt d uoni disegni, e si potree filmente dimostrre, he un iperole è dott di due ssi di simmetri: l rett pssnte per i due fuohi (dett sse fole ) e l sse del segmento he h per estremi i due fuohi ( sse trsverso ). L urv possiede pure un entro di simmetri (detto, per revità, sempliemente il entro dell iperole): esso è l intersezione O fr l sse fole e l sse trsverso, ossi il punto medio del segmento he h per estremi i fuohi. Si diono vertii dell iperole, i punti di intersezione dell urv on l sse fole. E file dimostrre he, in un iperole, l distnz tr i vertii è ugule ll ostnte dell iperole (ossi ll differenz ostnte di ui prl l definizione, quell he imo indito on k ). Con riferimento ll figur qui fino, inftti, poihé per ogni punto P del rmo destro dell iperole si h PF1 PF = k ed essendo V un punto del rmo destro dell iperole, srà pure VF 1 VF = k quindi VV 1 + VF 1 1 VF = k dove nel semplifire imo tenuto onto he è VF = V F per motivi di simmetri. 11

2 Per sempliità, supporremo inizilmente he gli ssi del riferimento rtesino oinidno on gli ssi di simmetri dell iperole. In queste ondizioni, si prlerà di iperole riferit i suoi ssi, o nhe di iperole in posizione noni (revemente: iperole noni ). 115 L EQUAZIONE DELL IPERBOLE Se l iperole è in posizione noni, il entro di simmetri dell iperole oiniderà on l origine e i fuohi strnno o sull sse, o sull sse. In isuno dei due si, l origine srà il punto medio del segmento F 1 F. Supponimo dpprim he i fuohi stino sull sse. In questo so, l posto di indire l differenz ostnte on k, l indiheremo on (quest selt è dettt d motivi di opportunità he lo studente omprenderà posteriori). Avremo dunque: F 1(,0); F (,0) P(, ) PF1 PF = Quest equzione equivle PF1 PF =± ossi PF1 PF = PF1 PF = (PF PF1 = ). Periò se P(, ) pprtiene ll urv si vrà PF1 PF =± d ui seguono le uguglinze (*) ( + ) + ( ) + =± =± = ± + + =± + + ± + + = + + = + ( ) + = ( ) Essendo or k < ( k < ) srà nhe = k <, quindi <, e dunque < 0. Converrà periò mire i segni di tutti i termini, ottenendo ( ) = ( ) Poihé si h > 0, potremo porre =, e l nostr equzione diventerà =. Dividendo or per otterremo: (**) = 1 ( = ) Aimo fin qui ftto vedere he, se un punto P (, ) pprtiene ll iperole di fuohi F( 1,0); F (,0) e ostnte, llor le oordinte (, ) di P verifihernno l equzione (**). Si può poi dimostrre he vle nhe il vievers, ossi he, se un punto (, ) è tle he le sue oordinte verifihino l (**), llor (, ) pprtiene ll iperole di fuohi F( 1,0); F (,0) e ostnte. Rest osì stilito he l iperole di fuohi F 1(,0); F (,0) e ostnte h equzione = 1 ( = )

3 E se i fuohi stessero sull sse? 116 In questo so, l posto di indire l differenz ostnte on k, l indiheremo on e, ftti i loli, otterremo + ( ) = ( ) Essendo or k < ( k < ) srà nhe = k <, <, < 0 Cmieremo periò i segni di tutti i termini: + ( ) = ( ) Grzie ll positività di, potremo porre =, ottenendo + = ; = Dividendo infine per l equzione ssumerà l form = 1 ( = ) Ripitolimo: Considert un iperole noni oi FUOCHI SULL ASSE, se si indi on l su distnz fole e on l su ostnte, l su equzione è = 1 ( = ) Considert un iperole noni oi FUOCHI SULL ASSE, se si indi on l su distnz fole e on l su ostnte, l su equzione è = 1 ( = ) Si pise questo punto he l selt di indire l ostnte dell iperole ( = l differenz ostnte di ui prl l definizione) on nzihé on k qundo i fuohi stnno sull sse, on nzihé on k qundo i fuohi stnno sull sse, è motivt dl ftto he, in questo modo, si ottengono, nei due si, due equzioni on ugul primo memro. Ohio però: qundo i fuohi stnno sull sse, il seondo memro è +1, mentre qundo i fuohi stnno sull sse, il seondo memro è 1. In definitiv, un iperole noni h sempre equzione dell form =± 1 e preismente: = 1 se i fuohi sono in orizzontle (in questo so, l ostnte è ) = 1 se i fuohi sono in vertile (in questo so, l ostnte è ) Or i domndimo: dt un equzione dell form = 1, ess rppresenterà sempre un iperole oi fuohi in orizzontle, qulunque sino i vlori dei due prmetri,? L rispost è ffermtiv. Inftti: posto = +, se ndimo rivre l equzione dell iperole di fuohi ( ±,0) e ostnte, otterremo proprio = 1 E dt un equzione dell form = 1, ess rppresenterà sempre un iperole oi fuohi in vertile, qulunque sino i vlori dei due prmetri,? L rispost è ffermtiv. Inftti: posto = +, se ndimo rivre l equzione dell iperole di fuohi ( 0, ± ) e ostnte, otterremo proprio = 1.

4 117 RIASSUNTO DEL RIASSUNTO SULL IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO Cso dei fuohi in orizzontle: PF PF = 1 = 1 on = = + Cso dei fuohi in vertile: PF PF = 1 = 1 on = = + Se è dt un equzione dell form =± 1, noi sppimo he ess rppresent un iperole in posizione noni, nel senso he gli ssi di simmetri dell urv oinidono on gli ssi rtesini. Pertnto, se prendimo l equzione dt e l ponimo sistem prim on l equzione dell sse ( = 0) e poi on l equzione dell sse ( = 0 ), otterremo he uno degli ssi rtesini viene interseto dll urv, l ltro no. L sse he viene interseto dll urv, ne è l sse fole; i punti di intersezione trovti sono i vertii dell iperole. E poi sempre utilissimo riordre he l ostnte dell iperole (NOTA) è sempre ugule ll distnz tr i due vertii. NOTA: Per ostnte dell iperole intendimo l differenz ostnte di ui prl l definizione, quell he vevmo in generle indito on k, e he per l iperole noni imo preferito indire on nel so i fuohi fossero in orizzontle, on per fuohi in vertile Si qundo l equzione è = 1, si qundo è = 1, vle l relzione = + he permette di rivre l semidistnz fole (e quindi le oordinte dei fuohi), prtire di due prmetri,. Inversmente, qundo un prolem mi prl di un iperole noni, devo pensre d un iperole riferit i suoi ssi, ioè d un iperole ollot in un sistem di riferimento i ui ssi rtesini oinidno on gli ssi di simmetri dell iperole. So he l equzione srà dell form =± 1, e preismente: = 1 se i fuohi sono in orizzontle, = 1 se i fuohi sono in vertile. Si trtterà di determinre i vlori delle due ostnti, (o direttmente:, ), sfruttndo due opportune ondizioni he il prolem mi fornirà.

5 118 GLI ASINTOTI DI UNA CURVA Avri notto he, qundo i si llontn di fuohi, l iperole tende d ttenure l su urvtur, ssumendo un ndmento qusi rettilineo. In effetti si può dimostrre he esistono due rette, dette gli sintoti dell iperole, lle quli l urv si vviin sempre più, mn mno he i si llontn di fuohi. Per drti un ide preliminre, seppure sommri, di os si intend, in Mtemti, per sintoto, ti dirò he si prl di sintoto ogniqulvolt si è in presenz di un rett, ll qule un urv si vviin indefinitmente, si vviin di tnto qunto noi voglimo, qundo il punto sull urv viene ftto llontnre indefinitmente, viene ftto tendere ll infinito. L IPERBOLE POSSIEDE DUE ASINTOTI! E possiile dimostrre he un iperole è un urv dott di due sintoti. A tle sopo, pensimo l iperole ollot in un riferimento rtesino, on gli ssi selti in modo d oinidere on gli ssi di simmetri dell iperole (posizione noni). Supponimo inoltre he i fuohi stino sull sse. L equzione dell urv srà llor = 1 e il grfio si presenterà ome nell figur qui fino. Nell stess figur è rppresentt nhe un rett per l origine, di equzione = m. Ponimo sistem tle equzione on l equzione dell iperole: vremo = 1 (1) = m L equzione risolvente del sistem è () ( m ) = he divent (3) = sotto l ondizione m 0 ossi m ±. m Qundo m =± l equzione () non può essere portt sotto l form (3), e risult impossiile ( = priv di soluzioni); m l equzione () è impossiile pure se il seondo memro dell (3) è negtivo. Or, si h 0 m < se e solo se ( m < 0 m > 0) ossi m < m >. In definitiv: dt l iperole = 1, un rett = m NON l interse se è m m ; invee l interse qundo m < <. Possimo nhe dire he l iperole = 1 è tutt ontenut ll interno dell oppi di ngoli opposti l vertie he hnno per lti le due rette = e = e sono iseti dll sse. Le due rette =± ( trtto ontinuo nell figur)

6 119 sono, fr le rette per l origine, le prime non intersere l iperole. Dimostreremo or he esse fnno d sintoti oliqui per l iperole, nel senso sopr speifito: un punto sull urv molto lontno è viinissimo ll rett. Inftti: espliitimo l equzione dell nostr iperole rispetto : = 1 = ; = ; ; = =± Noi onsidereremo innnzitutto quell prte dell nostr iperole, he de nel primo qudrnte, ioè quell prte di iperole he è =+ individut dl sistem > 0 e fremo vedere he mmette ome sintoto oliquo l rett =. Detto P il punto di siss > 0 dell urv =, e detto P' il punto, vente l stess siss, dell rett =, i proponimo di fr vedere he l differenz P' P fr le rispettive ordinte (orrispondente, nell figur, ll lunghezz del segmento PP' ), tende 0 qundo tende ll infinito. + P' P = PP' = = ( ) = ( ) = + ( ) = = = Si h periò P' P = PP' = ; m or, se pensimo di fr tendere + + (vle dire, se pensimo di ssegnre vlori positivi grndi, molto grndi, ritrrimente grndi), il denomintore di quest frzione si frà grndissimo, mentre il numertore rest ostnte, e quindi il vlore dell frzione diventerà piolissimo. Si esprime questo ftto srivendo lim PP' = lim = Considerzioni di simmetri i portno or stilire he iò he vviene nel 1 qudrnte on l rett =, vverrà nhe nel 3 on l medesim rett, e vverrà pure nel e nel, on l rett =. Aimo osì provto he le due rette =± fnno d sintoti oliqui ilterli (ioè: si on + he on ) per l iperole = 1. Si potree nlogmente fr vedere he, nhe nel so dei fuohi in vertile (equzione = 1), le equzioni dei due sintoti sono sempre =±. Ripitolndo: tnto l iperole = 1 qunto l = 1 mmettono ome sintoti oliqui ilterli (ioè: si verso destr he verso sinistr ) le due rette =±

7 10 ECCENTRICITA DI UN IPERBOLE Nell ellisse, l eentriità er un numero, ompreso fr 0 e 1, tnto più grnde ( = più viino 1) qunto più l ellisse si disostv dll form irolre. Nel so dell iperole, l eentriità è invee un numero mggiore di 1, he è tnto più grnde qunto più l forie degli sintoti è divrit. Si pone, rigurdo ll iperole, l seguente definizione: semidistnz fole semidistnz fole e = = = semiostnte dell ' iperole semidistnz fr i vertii k ed essendo il numertore mggiore del denomintore (NOTA), srà ertmente e > 1. NOTA: Come sppimo, l ostnte dell iperole, ossi l differenz ostnte di ui prl l definizione, è minore dell distnz fole: k < k <. Con riferimento d un iperole noni, vremo e = se i fuohi sono in orizzontle se i fuohi sono in vertile UNA VISUALIZZAZIONE DELLA RELAZIONE FRA,, ; UN METODO PER DETERMINARE GEOMETRICAMENTE L INCLINAZIONE DEGLI ASINTOTI Considerimo il so in ui i fuohi sino in orizzontle; un nlog ostruzione si potree effetture oi fuohi i n vertile. Riordimo he = +. Ne onsegue he intersendo l ironferenz di entro l origine e rggio OF 1 = OF = on l perpendiolre ll sse ondott per il vertie (,0), si ottengono due punti N, N' l ui distnz dll sse è un segmento di lunghezz. Se questo punto si trino le due rette O N, ON', esse vrnno periò oeffiienti ngolri / e / rispettivmente: srnno dunque gli sintoti dell iperole.

8 11 ESEMPI DI ESERCIZI SULL IPERBOLE CANONICA ESEMPIO 1 - Studi e disegn le iperoli nonihe seguenti: = ; = = = 3, =, = + = 5 = 5 I fuohi sono in orizzontle perhé il memro è +1. Fuohi: ( ± 5,0). Vertii: ( ± 3, 0). Asintoti: =± =±. 3 5 Eentriità: e = = 3 = = 3, =, = + = 5 = 5 I fuohi sono in vertile perhé il memro è 1. Fuohi: (0, ± 5). Vertii: (0, ± ). Asintoti: =± =±. 3 5 Eentriità: e = = ESEMPIO - Consider l iperole noni di fuohi F ( 13, ) ( ) 1, = ± 0 e vertii V1, = ± 1, 0. Srivi l equzione dell urv, e determinne gli sintoti e l eentriità. Disegno. I fuohi sono in orizzontle, quindi equzione è dell form = 1. Aimo = 13 e = 1. Riordndo he = +, si riv = 5 = 5. L equzione è periò = Gli sintoti hnno equzioni: =± =±. L eentriità vle e = =. 1 1 ESEMPIO 3 - Studi e disegn l iperole noni, vente i fuohi sull sse, semidistnz fole, e pssnte per W(1,1). L equzione, poihé i fuohi sono in vertile, è dell form = L ondizione di pprtenenz del punto W fornise = 1; si h poi + = =. Ponendo sistem le due ondizioni si trov: = 1+ 5; = 3 5, per ui l equzione è = Asintoti: =± =± =± =± 5 ± 0, Eentriità: e = = = = 3+ 5,

9 1 ESEMPIO - Srivi l equzione dell iperole noni oi fuohi sull sse, tngente ll rett di equzione 3 = e pssnte per il punto ( ) A, 6. L equzione, poihé i fuohi sono sull sse, srà dell form = 1. Oorre or porre ondizioni per determinre i vlori dei prmetri,. L ondizione può essere il pssggio per il punto A(, 6 ), he i fornise = 1. L ondizione è l tngenz rispetto ll rett 3 =. Dovremo mettere sistem l equzione dell iperole on l equzione dell rett, per poi, nell equzione risolvente del sistem stesso, porre Δ = 0. 3 = = 1 3 = = = 1 = = ( 16 9 ) + 1 ( 1+ ) = 0 Δ = ( 1 + )( 16 9 ) = 0 Semplifindo per : 9 + ( 1+ )( ) 16 9 = = = = Dunque = = = ; ; = = = = = = = = 0 3 = 0 ( ) ( ) ( )( 3) = 0 = 3 3 = = = = = = = = = Ci sono pertnto due distinte iperoli he risolvono questo prolem: un h equzione = 1 9 e l ltr h equzione = 1 o nhe = 1 o 7 6 =

10 13 ESEMPIO 5 - Consider l urv di equzione = 1. Determinne le rtteristihe, disegnl, e srivi l equzione dell rett he è d ess tngente nel punto di siss 3. = 1 = 1 = 1 ( 0) = 1; = 1, =1 1 Si trtt periò dell metà superiore ( 0 ) di un iperole oi fuohi sull sse. V = ±, 0 = ± 1, 0, I vertii di quest iperole hnno oordinte ( ) ( ) F = ±,0 = ± +, = ± 1 +,0 = ±,0 = ±,0 ; 1 1 gli sintoti hnno equzioni =± =± =±, l eentriità è = 1 i fuohi 1, ( ) ( ) L figur è l seguente: 1, 1 ( 3) Il punto di siss 3 h ordint = = = = = = ed è dunque ( 3, ). Trttndosi di un punto he pprtiene ll urv, l equzione dell rett tngente si può srivere pplindo l omod REGOLA DEGLI SDOPPIAMENTI, l qule fferm he l equzione dell rett tngente un urv di grdo γ nel suo punto ( 0, 0) si può ottenere effettundo, nell equzione d + e + f = 0, le sostituzioni Nel nostro so l equzione è 1 (, ) = 3,, per ui si vrà = ed è 0 0 ( ) t: 3 = 1 o nhe t:3+ + 1= 0.

11 1 IPERBOLE TRASLATA Se onsiderimo un iperole, he si ollot nel pino rtesino in modo d essere trslt rispetto ll posizione noni, quest iperole vrà il suo entro di simmetri in un punto P( 0 0, 0) nzihé nell origine, m vrà pur sempre gli ssi di simmetri, uno orizzontle e l ltro vertile. L equzione di un iperole trslt, di entro (, ), è ( 0) ( 0) = ± 1 ( + 1 se i fuohi sono in orizzontle, 1 se sono in vertile). 0 0 E hiro he l iperole trslt eredit tutte le rtteristihe dell iperole noni. In prtiolre: l ostnte dell iperole ( = l differenz ostnte di ui prl l definizione, l qule, è sempre importnte riordrlo, oinide nhe on l distnz tr i due vertii) è se i fuohi sono in orizzontle, se i fuohi sono in vertile Vle l relzione = +, essendo l semidistnz fole; I oeffiienti ngolri degli sintoti sono ±. Ohio, però: nhe gli sintoti sono trslti! Essi non si inroino più nell origine, ensì nel punto ( 0, 0) he f d entro di simmetri per l urv. Le equzioni degli sintoti sono periò 0 = ± ( 0) ESEMPIO - Srivi l equzione dell iperole trslt di fuohi F( 1 1,1); F( 1,7) e ostnte. Disegn l urv. = 3, = 1 = 8 =. ( + 1) Il entro h oordinte ( 1, ) e periò l equzione è ( ) = Gli sintoti hnno oeff. ng. ± =± =± ± 0,35 ed equzioni =± ( +1) DIETRO-FRONT: DALL EQUAZIONE ALLA CURVA Prendendo l equzione dell iperole trslt di entro (, 0 0 ) e lierndol di denomintori, si ottiene un equzione dll form: m + n + p + q + r = 0 on m ed n DISCORDI. Vievers, un equzione he si present sotto l form m + n + p + q + r = 0 on m, n DISCORDI, può essere SEMPRE riondott, ol metodo del ompletmento dei qudrti, d un delle tre forme ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) =+ 1; = 1; = 0 e quindi rppresent SEMPRE: un iperole trslt (oi fuohi he potrnno essere in orizzontle, o in vertile); oppure, qulor il seondo memro risulti essere 0, un oppi di rette. In quest ultimo so si pens d un iperole degenere nei suoi sintoti. NOTA Riorderi he un equzione dell stess form m + n + p + q + r = 0, m on m, n CONCORDI, potev rppresentre, seond dei si, un ellisse, oppure un luogo puntiforme, oppure il luogo vuoto. ESEMPIO - Studire l urv di equzione + 3= 0 L equzione è di grdo in,, e mn del termine rettngolre ; i oeffiienti di, sono disordi; ess rppresenterà llor un iperole trslt, eventulmente degenere nei suoi sintoti. Avremo: ( 6 ) 3 = 0; ( ) 3 = 0; ( 3) = 0; ( 3) = e finlmente ( 3) = 1: iperole di entro C(0,3). Il seondo memro è 1, quindi i fuohi sono in vertile. =, = 1 = + = 5. L ostnte dell iperole è =. I fuohi hnno oordinte (0, 3 5); (0, 3 + 5) e i vertii sono ( 0, ); (0, ).

12 15 ESEMPI DI ESERCIZI SULL IPERBOLE TRASLATA 1) Srivi l equzione del LUOGO dei punti P (, ) del pino rtesino per i quli è ostnte, e unitri, l differenz delle distnze di due punti A(,5) e ( ) B,5. Si trtt evidentemente di un iperole; determin il entro, i vertii, gli sintoti, l eentriità dell urv. 1 MODO I due fuohi sono in orizzontle, hnno distnz 6, sono simmetrii rispetto l punto ( 1, 5); possimo llor pensre di ottenere l nostr iperole trslndo destr di 1 e in lto di 5 l iperole di fuohi orizzontli ( ±,0) = ( ± 3,0) e ostnte k = = 1. Avremo dunque 1 = 3( = 9), = 1 = d ui suito 1 35 = = 9 =. L equzione dell iperole noni d ui riveremo per trslzione l nostr è dunque L iperole rihiest è in definitiv ( 1) ( 5) = Il suo entro è ( 1, 5 ) ; 1 i vertii dell iperole noni orrispondente sono,0 ± quindi i vertii dell nostr srnno ± + 1, 5 ossi, 5 e, 5. Gli sintoti dell iperole noni orrispondente sono 35 / =± =± =± 1/ quindi gli sintoti dell nostr iperole srnno 5=± 35( 1) L eentriità, per entrme le iperoli, è 3 e = = = 6 1/ MODO Possimo pensre di trsferiri, provvisorimente, nel riferimento rtesino O'XY rispetto ll qule l nostr iperole è in posizione noni, sriverne l equzione e infine ritornre l sistem di riferimento O di prtenz. In O'XY le oordinte dei fuohi sono ( 3, 0) e ( + 3, 0) X Y X Y per ui è = 3 e l equzione, tenuto onto he 1 1 k = 1= =, = = = = 9 =, 35 = srà X Y = Or, le equzioni del mimento di riferimento sono per ui vremo in definitiv ( 1) ( 5) = X = 1 Y = 5

13 3 MODO 16 Più lorioso sree stto proedere srivendo direttmente l equzione del luogo geometrio P, A,5 B,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) =± 1 ( + ) + ( 5) =± 1+ ( ) + ( 5) ( + ) + ( 5) = 1+ ( ) + ( 5) ± ( ) + ( 5) + + = ± ± = 13 1 ( ) = ( 13 1) = = = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 5) = = = = ( 1) ( 5) = ) Se si sottopone l iperole γ di equzione = 1 3 ll trslzione di vettore v= 3i j, essendo i, j i versori degli ssi rtesini, qul è l equzione dell urv osì ottenut? ' = + 3 L trslzione onsidert h equzioni e, ome è noto, ' = per srivere l equzione dell urv immgine oorre 1) invertire le equzioni dell trsformzione ) sostituire nell equzione dell urv 3) sopprimere gli pii. Periò: ( ) ( ) ( ) ( ) ' 3 ' 3 ' 3 = + + = 1 = 1 = 1 = ' ', immgine di γ D ltronde, si potev giungere ll equzione nel riqudro nhe più rpidmente, se si tenev presente he un trslzione di vettore v= 3i j è un trslzione destr di 3 unità e in sso di unità, per ui (effetto stin ontrrio : e ne simo oupti qundo imo prlto di mnipolzioni di grfii ) si può ottenere sempliemente sostituendo, nell equzione dell urv, 3 l posto di e + l posto di. Anor: l trslzione in esme port l origine O (0,0), he è il entro dell iperoleγ, nel punto (3, ), he srà il entro dell iperole immgine γ ' d ui immeditmente l equzione di quest ultim.

14 17 IPERBOLE EQUILATERA Un iperole si die equilter qundo i suoi sintoti sono perpendiolri fr loro. Dto he un iperole è individut dll su ostnte k e dll su distnz fole, l perpendiolrità degli sintoti dipenderà dl verifirsi di un opportun relzione fr k e. Ci domndimo qule si tle relzione. Per rispondere, potremmo studire l nostr iperole pensndol ollot in un riferimento rtesino, rispetto l qule l su posizione si noni. Supponimo inoltre, per mggiore onsuetudine, he i fuohi sino in orizzontle. In tl so l equzione è = 1. M noi sppimo he gli sintoti hnno equzioni =± ; pertnto essi srnno perpendiolri qundo il oeffiiente ngolre srà tle d determinre un ngolo di 5 on l sse : 1, = =. Aimo osì soperto he nel so di un iperole noni, l ondizione ffinhé si equilter è espress d = (è evidente he lo stesso vle pure per l iperole trslt). Essendo poi = +, si h he tle ondizione = equivle ll ondizione = ossi =. Questi risultti si estendono nhe l so dei fuohi in vertile, essendo nhe qui ± i oeffiienti ngolri degli sintoti. Un iperole noni = ± 1 è equilter (ioè: h gli sintoti perpendiolri) se e solo se o, equivlentemente, = = ; = ( ) in ltre prole, qundo l su equzione si present sotto l form = ± 1 ( = ± ) Sppimo he l ostnte dell iperole, ossi l differenz ostnte k di ui prl l definizione, vle per l iperole noni oi fuohi in orizzontle, per l iperole noni oi fuohi in vertile. Allor l ondizione =, equivlente =, equivle pure = k. E quest ondizione presinde dl ftto di pensre o meno l urv nell mito di un riferimento rtesino. In definitiv, imo soperto he un iperole, onsidert indipendentemente dl ftto di essere inserit o meno in un riferimento rtesino, è equilter se e solo se fr l su semidistnz fole e l su semiostnte k sussiste l relzione = k ; il he si verifi se e solo se risult e = = k Insomm, l perpendiolrità degli sintoti si h qundo il vlore dell eentriità è.

15 18 IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI SUOI ASINTOTI Dunque un iperole si die equilter se e solo se i suoi sintoti sono perpendiolri, il he vviene se e solo se fr l semiostnte k dell iperole e l su semidistnz fole sussiste l relzione = k. Se gli sintoti sono perpendiolri fr loro, potremmo pprofittrne per segliere gli sintoti stessi ome ssi del riferimento rtesino, nel qule studire l iperole. Che equzione ssumeree l urv in questo so? E molto file rispondere. I fuohi e i vertii streero sull isettrie del primo e terzo qudrnte, oppure, in lterntiv, sull isettrie del seondo e qurto qudrnte. Supponimo dpprim he i fuohi stino sull =. Allor, ffinhé si poss indire sempre on l semidistnz fole, ssegneremo i fuohi oordinte, e, Trduendo in oordinte l ondizione PF1 PF = k = = =, otterremo, ftti i vri loli, l equzione =. Ponendo questo punto = p, l equzione ssumerà l form = p ( p > 0). Se invee i fuohi stnno sull =, vremo F 1, = ±, e, ftti i loli, perverremo ll equzione = ; dopodihé, posto nor = p, otterremo = p ( p > 0) In definitiv: L equzione di un iperole equilter ( = on sintoti perpendiolri), riferit i suoi sintoti, ossi inserit in un riferimento rtesino i ui ssi oinidno on gli sintoti dell iperole stess, è dell form = h Nel so h > 0, l urv è ontenut nel 1 e 3 qudrnte; Nel so h < 0, l urv è ontenut nel e qudrnte. h Osservndo he = h può essere sritt ome =, si vede he l urv risult essere il grfio dell FUNZIONE DELLA PROPORZIONALITA INVERSA. 6 ESERCIZIO: E dt l urv di equzione: =. ) Disegnl ) Trovne vertii e fuohi.

16 Viene osì himt un funzione dell form 19 LA FUNZIONE OMOGRAFICA + = + d purhé il suo grfio non si ridu un rett; purhé, quindi: si 0 ; si d 0 ; inftti, se l quntità d è null, llor (vedi NOTA), il grfio degener nuovment e in un rett (preismente, in un rett ol uo ). NOTA + Supponimo he nell funzione = (già stimo supponendo 0 ) si i d = 0. + d Allor è d =. M il verifirsi dell ondizione d = impli l possiilità di semplifire l funzione. Inftti: Se d è diverso d zero, llor vle l proporzione : = : d e periò esiste un ostnte λ tle he = λ = λd. Di onseguenz l frzione + è semplifiile: + d + λ + λd λ( + d) d = = = = λ on l ondizione + d 0, ioè + d + d + d. L funzione onsidert rppresent un rett on uo. Se d = 0, dovrà essere = 0 e quindi, essendo 0, ne risulterà = 0 : dunque l frzione ssumerà l form ioè si vrà ( on l ondizione 0 = = ). Rett on uo. Il dominio ( = l insieme dei vlori di per ui esiste il orrispondente vlore di ) di un funzione omogrfi NON è tutto : d inftti, per l presenz del denomintore + d, l è lolile soltnto se è + d 0. d Qundo prendimo molto viino l vlore, il denomintore dell frzione è molto viino zero, mentre il numertore ssume un vlore molto viino d d d + d 0 + = =. M un frzione in ui il denomintore è piolissimo rispetto l numertore, h un vlore grndissimo: 3 d esempio, , =. Possimo sintetizzre tutto il disorso nell srittur + lim =. d + d Pertnto l rett d = f d sintoto vertile per l funzione. E interessnte nhe il omportmento dell qundo si f, in vlore ssoluto, grndissimo (tende infinito): + + è inftti lim = lim = ± + d ± d + (i fttori si semplifino; le frzioni / e d/ tendono 0 qundo tende ) Quindi, qundo tende iò signifi he l rett +, oppure, l orrispondente tende l vlore = f d sintoto orizzontle per l funzione. :

17 130 Rissumendo, l funzione omogrfi + = + d h sempre due sintoti: d uno vertile, di equzione = l ltro orizzontle, di equzione = = = = Le figure di quest pgin mostrno he il grfio di un funzione omogrfi present un evidente somiglinz on quello dell iperole equilter riferit i suoi sintoti In effetti, si può dimostrre he h =. ogni funzione omogrfi è interpretile ome un iperole equilter riferit i suoi sintoti, TRASLATA. I vertii di quest iperole si potrnno filmente determinre intersendo l urv on un isettrie degli sintoti; i fuohi, riordndo he l loro distnz dl entro è ugule ll distnz dl entro dei vertii, moltiplit per.

18 131 DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA: OGNI FUNZIONE OMOGRAFICA È INTERPRETABILE COME UN IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI PROPRI ASINTOTI, TRASLATA Considerimo un funzione omogrfi + = + d Voglimo fr vedere he il suo grfio è otteniile per trslzione prtire d un urv dell form POSSIAMO PROCEDERE IN DUE MODI 1 MODO: MEDIANTE UNA TRASLAZIONE DEL RIFERIMENTO Ponimoi nel riferimento rtesino XO' Y, trslto rispetto quello inizile, vente l origine nel punto O' d,. Che equzione ssumerà l nostr urv in tle nuovo riferimento? Le equzioni del mimento di riferimento sono: d d X = + X =. Y = = Y + Dunque vremo: ( X d/ ) X / Y + ; Y d + + = = ; X d/ + d X d +d Y = X ( ) d d / + X ; Y = X X Quindi, in effetti, vist in un opportuno riferimento, trslto rispetto quello inizile, l nostr urv risult essere un iperole equilter, riferit i propri sintoti (equzione dell form: ordint = ostnte / siss) MODO: MEDIANTE UNA TRASLAZIONE DELLA CURVA Sottoponimo l urv + = ( 0, d 0) + d ll trslzione di vettore v di omponenti d,. Tle vettore di trslzione è stto, ovvimente, selto in modo he il punto di intersezione fr i due sintoti dell funzione omogrfi onsidert, veng trsportto nell origine.. h =. Che equzione ssumerà l urv dopo l trslzione? Sppimo he per trslre un urv di equzione F (, ) = 0, st onsiderre le omponenti v1, v del vettore di trslzione e sostituire, nell equzione dell urv, v 1 l posto di e v l posto di. + Or, pres l equzione = + d, se ndimo sostituire d l posto di, e + l posto di, d otterremo, dopo qulhe pssggio, =. Di onseguenz, un opportun trslzione port l urv oinidere on un iperole equilter riferit i propri sintoti (equzione dell form: ordint = ostnte / siss). Se or noi immginimo di prendere quest iperole e sottoporl ll trslzione di vettore opposto, otterremo proprio l nostr urv inizile; e iò dimostr, ppunto, he l urv d noi onsidert è un iperole equilter, riferit i propri sintoti, e poi trslt.

19 13 UNA PROVA FINALE SULL ELLISSE E SULL IPERBOLE 1) Srivi l equzione dell ellisse noni tle he l rett = 0 ttrversi l sse in un suo fuoo e l sse in un suo vertie. 3 ) Srivi l equzione dell ellisse noni pssnte per 1, e tle he il rettngolo d ess irosritto i re 8. 3) Srivi le equzioni degli sintoti e determin l eentriità dell iperole di equzione =0. ) Srivi l equzione dell iperole noni oi fuohi sull sse, vente sintoti di equzioni =± e tle he l re del tringolo individuto dgli sintoti e dll tngente in un vertie vlg 8. 5) Tri il grfio dell funzione = + 1 6) Srivi l equzione del luogo dei punti per i quli l distnz dl punto K( 1,0) è l metà dell distnz dll rett =, verifindo he si trtt di un ellisse on eentriità ½. 7) Verifi he l distnz di un fuoo dell iperole = 1, d un sintoto, vle. 8) Verifi he il lto del qudrto oi lti prlleli gli ssi e i quttro vertii sull iperole = 1 vle (supponi >, ltrimenti il qudrto in questione non esisteree) 9) Clol l re del tringolo he l rett tngente ll urv = 6 nel suo punto di siss, determin on gli ssi rtesini. 9 ) Generlizzzione: lol l re del tringolo he l rett tngente ll urv = k nel suo generio punto di oordinte ( t,... ) determin on gli ssi rtesini: troveri un vlore ostnte, indipendente d t. 10) Giustifi l seguente ffermzione: Dti su di un pino un punto fissto A e un ironferenz fisst γ, ll qule A si esterno, il luogo dei entri P delle ironferenze pssnti per A e tngenti γ è un iperole. SOLUZIONI 1) + = ) 9 + = 1 oppure + = 3) =± ; e= 5/ ) = ) + = 1 3 9) S = 1 9 ) S = k 10) Detto C il entro dell ironferenz γ, T il punto di tngenz, si h: Se PC > PA : PC PA = (PT+ TC) PA = PT + TC PT = TC = r = COSTANTE Se PA > PC : PA PC = PA (PT CT) = PT PT + CT = CT = r = COSTANTE