La risoluzione di una disequazione di secondo grado

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1 L risoluzione di un disequzione di seondo grdo Quest nno le disequzioni srnno importntissime. Non si prlerà però proprimente di disequzioni m di studire il segno di un funzione. In effetti un numero può essere, dl punto di vist del segno, o positivo o negtivo o nullo. Quindi risolvere un disequzione o studire il segno di un funzione, non è molto differente! M ne riprleremo. Cos è un disequzione di seondo grdo e os vuol dire risolverl? Considerimo l disequzione letterle (i oeffiienti sono lettere): x² + b x + 0 Quest disequzione present il simbolo:, he si legge: mggiore o ugule. Questo tipo di simbolo diremo he indi l RICHIESTA dell disequzione. Un disequzione è inftti un domnd: per quli vlori di x il numero orrispondente l onto espresso dll espressione mtemti onsidert h un erto segno o un ltro? Risolvere l disequzione di prim, per esempio, signifi trovre quegli intervlli 1 di numeri he, messi l posto dell x, dnno ome risultto, zero o un numero positivo. Vedremo he possimo ffrontre lo studio di un disequzione in due modi: lgebrio e geometrio-lgebrio (per brevità: geometrio). Vedimoli in prllelo osì he tu poss onfrontrli e segliere, ll fine, quello he pisi meglio o ti pie di più. Risolvere un disequzione di seondo grdo signifi Algebrimente Geometrimente Trovre qul è quell intervllo di numeri tle he, preso un qulunque numero Considert l prbol di equzione: dell intervllo, sostituito l posto dell x e y= x²+b x+, trovre gli inervlli di ftti i onti (un volt he l posto di, b e sisse (x) di punti dell prbol he i sono numeri, ovvimente) ompresi hnno ordint (y) orrispondente positiv o gli eventuli elevmenti potenz dell x null. stess si h ome risultto un numero positivo o nullo. Per utilizzre questo punto di vist - per risovere le disequzioni (o studire il segno) - ti dev essere hiro ome si sompone un polinomio di seondo grdo Fi ttenzione! Per utilizzre questo punto di vist - per risovere le disequzioni (o studire il segno) - ti devono essere hire le orrispondenze fr punti di un urv e loro oordinte. 1 Se pensi i numeri reli rppresentti su un sse (rett orientt e grdut), un intervllo numerio può essere rppresentto d un segmento di rett o d un semirett. L intervllo si die perto se non si prendono i vlori numerii he orrispondono gli estremi del segmento (o ll origine dell semirett) e si die hiuso in so ontrrio. Un intervllo può nhe essere hiuso solo destr o solo sinistr. In simboli un intervllo può essere rppresentto in diversi modi. Per esempio l intervllo perto dei numeri onpresi fr e 5 si può indire: (;5); o: ];5[; o: < x < 5. Se l intervllo fosse hiuso (d entrmbe le prti), srebbe: [;5]; oppure: x 5, e... 1

2 N.B. Per semplifire il numero di si d onsiderre (e nhe per semplifire i onti), stbilimo un volt per tutte he, nel so il oeffiiente di x si negtivo, mbieri segno tutti i termini e mbieri il verso dell disequzione. ES 3 x 5 x + 7 > 0 diventerà: + 3 x + 5 x 7 < 0 Come risolvere le disequzioni di seondo grdo lgebrimente? Per risolvere un disequzioni lgebrimente, si sfrutt il ftto he: 1. Il segno di un prodotto è dto dl prodotto dei segni Che signifi? Signifi he, se moltiplio dei numeri reli, il segno del risultto dell moltiplizione (prodotto) srà il risultto dell moltiplizione (prodotto) dei segni dei singoli fttori (termini dell moltiplizione). ES: il risultto di: 3 risultto di: [(-) (-) +]: l moltiplizione dei segni dei fttori, l di là del vlore del modulo, vrà segno + he è il. Un polinomio si può somporre se e soltnto se esistono vlori he l nnullno, ioè se e soltnto se l equzione ssoit h soluzioni reli. 3 Ciò premesso, vi vedere se si può risolvere l equzione ssoit ll disequzione: quell he ottieni sostituendo il simbolo on il simbolo = : x² + b x + = 0. Nell pplire l formul risolutiv (vedi box lto) - o nhe prim di pplire tle formul - loleri il Δ (delt, o disriminnte, e ioè quello he trovi sotto l rdie: b² 4 ). A seond del segno di Δ vri tre CASI: CASO 1. Δ>0 x 1 e x sono reli e distinte, il polinomio si può somporre nel modo seguente: x b x ( x x ) ( x x ). 1 Poihé il segno di bbimo detto he srà sempre positivo (e un segno positivo NON CAMBIA il segno di un prodotto), il segno del polinomio srà dto dl prodotto fr i segni dei due binomi in ui l hi somposto. Le formule risolutive sono: x 1,x = Se b è dispri: b b 4 Il prodotto dei segni lo puoi rppresentre shemtimente ome nell figur seguente; in ui l line trtteggit orrisponde ll intervllo di numeri he rendono negtivo il fttore orrispondente, e l line ontinu orrisponde ll intervllo di numeri he rendono positivo il fttore orrispondente (se preferisi puoi metteri un sequenz di e +++) e i O, indino vlori per i quli il fttore (e quindi - per l legge di nnullmento del prodotto il polinomio tutto) si nnull. E neessrio mbire il verso dell disequzione us dl diverso modo he si h per onfrontre (stbilire hi è più piolo e hi è più grnde) i numeri positivi e i numeri negtivi. Se inftti: 5 > 3, srà llor: -5 < -3. Periò, qundo mbi i segni tutti i oeffiienti di un disequzione di seondo grdo, devi mbire nhe il verso dell disequzione 3 Questo, di ftto, è l enunito del Teorem di Ruffini (orollrio del Teorem del Resto, he trovi nhe su Wikipedi) e, ome tutti gli enuniti di un teorem, può essere dimostrto. E se b è pri: b b x 1,x = Attenzione: b/ è l metà di b! Non fre ose strne...

3 Se l rihiest dell disequzione, ome sopr, rigurd vlori positivi o nulli, l soluzione dell disequzione srà: (- ; x 1 ] v [x ; + ) oppure x x 1 o x x. A prole: l disequzione è verifit per il vlori esterni lle rdii, omprese le rdii stesse. CASO. Δ=0 x 1 = x, ioè sono reli e oinidenti, il polinomio si può somporre nel modo seguente: x b x ( x x1 ) periò il segno del polinomio è positivo per ogni vlore di x diverso d x 1 e nullo per x ugule x 1 (il qudrto di qulsisi os è sempre positivo, se l bse NON è zero e nullo se l bse è zero). Se l disequzione è del tipo: x² + b x + 0, l soluzione srà tutto l insieme dei numeri reli. Potri srivere l soluzione in uno dei seguenti modi: x x ; (- ;+ ); sempre verifit. Se l disequzione è del tipo: x² + b x + > 0, l soluzione srà tutto l insieme dei numeri reli esluso x 1. Potri srivere l soluzione in uno dei seguenti modi: x x \ x1 ; x x ; x x (- ;x 1 ) v(x 1 ; ). 1 Se l disequzione è del tipo: x² + b x + 0, l soluzione srà solo x 1. Se l disequzione è del tipo: x² + b x + < 0, non vrà soluzione. Potri srivere questo ftto in uno dei seguenti modi: x (o il simbolo di esistenz sbrrto) ; impossibile. CASO 3. Δ<0 x 1 e x NON sono numeri reli perhé l rdie di un numero negtivo non è un numero rele e periò il polinomio non si può somporre nell insieme dei reli. Il segno del polinomio srà dto dl segno di. Poihé bbimo reso positivo, il segno del polinomio srà positivo per ogni vlore di x. Ti lsio srivere le soluzioni nei vri si he si possono presentre. Come si risolve grfimente un disequzione di seondo grdo? Per utilizzre il metodo grfio di risoluzione delle disequzioni, non è neessrio disegnre l prbol in mnier estt: ti bst determinre eventuli punti d intersezione on l sse delle x e l onvità. M un bel ripsso sull prbol FALLO! I grfii medinte i quli si possono rppresentre le soluzioni ottenute medinte metodo lgebrio sono in reltà un stilizzzione di un porzione di pino rtesino. Vedimo ome ppre il grfio intero. ES1: onsiderimo l disequzione 3x² + x - 1 > 0 3

4 L prbol ssoit vrà equzione: y = 3x² + x - 1 Possimo dre un signifito geometrio ll risoluzione dell disequzione. Risolvere quest disequzione inftti signifi, geometrimente, trovre gli intervlli di sisse (x) dei punti dell prbol le ui orrispondenti ordinte (y) sono positive. Per il osiddetto Prinipio fondmentle dell geometri nliti : tutti e soli i punti dell prbol sono quelli le ui oordinte veirfino l equzione dell prbol stess. L funzione y = 3x² + x 1 rppresent mtemtimente il legme or rihimto fr sisse e ordinte di tutti e soli i punti dell prbol. Andimo disegnrl e vedimo ome risolvere l disequzione servendoi del disegno. Innnzitutto osservimo he l urv dell funzione interse l dx in due punti distinti (l equzione ssoit 3x²+x 1=0 inftti, h Δ>0). - Trovimo le sisse dei punti d intersezione on l sse delle x: x 1 =-1 e x =1/3 - Disegnimo l prbol sul pino rtesino (volendo nhe senz trovre le oordinte del vertie V). Inftti >0 (e bbimo detto he srà sempre osì) periò l prbol h onvità rivolt verso l lto. Dl disegno si vede ome i punti he hnno ordint positiv (ioè l di sopr dell dx) sono quelli he hnno sisse esterne i vlori x 1 e x. L intervllo olorto di rosso. Confrontimo questo risultto on quello he vremmo vuto lgebrimente (fi i onti d te) e ovvimente i due perorsi dnno l stess soluzione! Vedimo os de grfimente qundo Δ = 0 oppure Δ < 0 ES: onsiderimo l disequzione x² + x + 1 > 0 - Prendimo l prbol ssoit y = x² + x Trovimo i vlori x 1 e x e osservimo he sono oinidenti (Δ = 0) - Disegnimo or l prbol sul pino rtesino. L disequzione i hiede : quli sono le sisse dei punti venti ordinte positive? Dl disegno si vede he i punti dell prbol hnno ordinte positive (e non nulle) in orrispondenz di qulunque vlore di x esluso x 1 =-1 Andndo onfrontre questo risultto on quello he otterremmo lgebrimente ovvimente, di nuovo, bbimo l stess soluzione. ES3: onsiderimo l disequzione x² + x + 1 > 0 4

5 - Prendimo l prbol ssoit y = x² + x Cerhimo i vlori x 1 e x e osservimo he non esistono nei reli (Δ < 0) - Disegnimo or l prbol sul pino rtesino. NB: In questo so l disequzione è sempre verifit (per ogni vlore he ssegnimo x l y è positiv). Conlusioni All fine potete osservre ome, mettendosi in ondizione he il oeffiiente di x si sempre positivo, i si he si possono presentre sono sempre gli stessi! Costruite periò uno shem dei si possibili e imprtelo memori (dopo ver pito om è il rgionmento!). Opure ripetete il rgionmento finhé vi serve. Qulunque os, m non sbglite più, per fvore!!! Osservzioni sulle equzioni di seondo grdo Oltre ll form: x² + b x + =0, di ui bbimo già prlto, i sono due si prtiolri he si possono risolvere in mnier più rpid rispetto ll pplizione dell equzione ssoit; e he, oltretutto, presentno nhe delle regolrità omode. x² + b x =0. H sempre soluzioni distinte, un delle quli è 0. Si può inftti risolvere somponendo il polinomio: x1 0 x ( x b) 0 b x x² + = 0 Si risolve o meno seond se i oeffiienti sono disordi (segno differente) o onordi (stesso segno). Si h inftti: x 0 0 x 1, 0 0 soluzioni 5