Le rette r e s sono dette generatrici del fascio. Lezione 16 - Algebra e Geometria - Anno accademico 2009/10 1

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1 Fsi di rette Si die fsio imrorio di rette generto d rett r:, di rmetri direttori [(,-)], insieme di tutte e rette ree d r. Te insieme srà quindi ostituito d rette rtterite d equioni de tio:,. Si die fsio rorio di rette di entro C( C, C ) insieme di tutte e rette ssnti er C. Sendo he un rett di equione onterrà i unto C se e soo se C C, or te insieme srà ostituito, er esemio, d rette rtterite d equioni de tio: -( C C ),, on (,) (,). Teorem. Se r: e s: sono rette distinte inidenti ne unto C, or i fsio rorio di entro C è rresentto de equioni: α( )β( ) α,β,(α,β) (,) Le rette r e s sono dette genertrii de fsio. Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/

2 Eseriio ) Determinre un equione de fsio rorio di rette individuto d r: ed s: e determinre e oordinte de entro de fsio. ) Determinre tutte e equioni dee rette on rmetri direttori[(-,)]. Svogimento ) α()β( ) α,β, (α,β) (,). I entro de fsio è i unto di oordinte: (,-). 4 ttenione: srivendo, er esemio, ()() si rresentno tutte e rette ssnti er eetto r. ) Le rette rtengono tutte fsio imrorio di equione:,. Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/

3 Eseriio Sino r: e s: -- due rette.si determinino: ) i fsio di rette generto d r e d s; ) rett ssnte er r s e er (,-); ) i fsio imrorio generto d r; d) i fsio generto d due rette ssnti er. Svogimento ) I fsio generto de rette r e s h equione: F : α()β(--) α, β, (α,β) (,). ) rett rtiene F e ss er : α( )β( - -) ioè α(-)β(-) α, sostituendo ne fsio F si ottiene:. equivente. ) F :. d) - e sono rette distinte ssnti er, dunque i fsio rorio di entro h equione: F : α(-)β( ) α, β, (α,β) (,) Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/

4 Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 4 Oure: -(.(-)),, Eseriio Interretre in () disussione de sistem 4 ) ( ) ( ) (. L mtrie omet de sistem: 4 non h mi rngo tre (determinnte nuo semre). er :. er :. er :.

5 unto medio Dti (, ) e B( B, B ), i unto medio de segmento B è di oordinte (è i trsto di risetto vettore ½ B ): M B, B B B M M e O e M B Esemio Dti (4,-) e B(-,), i unto medio de segmento B è di oordinte: M M, 4 -, Simmetri entre (risetto d un unto) Un unto è simmetrio di un unto risetto C (entro di simmetri) se e soo se C è i unto medio di. Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 5

6 D B C B D Eseriio 4 Determinre i unto simmetrio di (-,) risetto C(,). I unto erto h oordinte (,,) he soddisfno formu: ' C, ' - ' ' Eseriio 5 ' ' 4 (4,-). Determinre un equione de rett t simmetri di t: - risetto C(-,). Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 6

7 Un unto generio de rett t h oordinte (, ) on. I suo simmetrio h oordinte (,) he devono soddisfre e formue de unto medio: C, 4 ( ) ( ) equione rmetri de rett t, sostituendo i rmetro si ottiene t :. Eserii d svogere: ) Determinre ntur, genertrii ed eventumente i entro de fsio F: (αβ)(α-β)α α, β, (α,β) (,) ) Determinre un equione de rett r simmetri di r: - risetto C(,-). Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 7

8 Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 8 Sio ffine () Dto uno sio ffine e un riferimento ffine [O,B], i egme tr e oordinte e e omonenti è ( ) e e e O,, ( ) ( ) e ) ( )e ( )e (,,,,, Durnte e eioni di teori sono stte dimostrte: Equioni de rett Form rmetri form rtesin, d d n m on ondiione he: r O e e e

9 Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 9 [(,m,n)] è sse dei rmetri direttori de rett. mn ρ ρ,, )],, [( o si risove i sistem inere omogeneo ssoito: n m n m Equioni de ino Form rmetri form rtesin,, d n n m m µ µ µ µ on ondiione he: n n m m r Condiioni di reismo ) rett-rett [(,m,n )] [(,m,n )] ) ino ino r ) rett-ino mn

10 Eseriio Si [O,B] un riferimento ffine neo sio ffine (). Si determini (ne so esistno) e equioni dei seguenti: ) rett r ssnte er (-,-,-) e on sio direttore W{(α,α,) α }; ) i ino ssnte er i unti, (,,-) e (,,); ) i ino π ssnte er e ontenente r; d) i ino τ ssnte er e reo π; e) i ino ω ontenente rett r e reo ino δ: --. Svogimento ) sse dei rmetri direttori è dunque [(,,)] e rett uò essere sritt i form rmetri medinte e equioni: Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/

11 r : de qui si ottiene un rresentione rtesin: ( ) ioè r :. er ottenere direttmente form rtesin si uò rgionre su vettore he ongiunge on un qusisi unto di te rett (,,): te vettore h omonenti (,,) e deve essere inermente diendente d (,,). or: r Usndo i teorem degi orti: imonimo he i due minori di ordine he orno ino determinnte nuo: Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/

12 Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ ) ( equioni già trovte. ) Con un rgionmento simie queo ftto ne ino ffine er determinre rett ssnte er due unti si ottiene he i ino er tre unti h eq.: det det Dunque: det d ui --. ) I ino π, dovendo ontenere r, onterrà neessrimente due unti distinti di r di ui uno è. rendimo ome seondo unto, distinto d,

13 (,,-). Utiindo formu reedente, i ino π ss er tre unti:, e. π:. r d) er determinre i ino reo π onsiderimo i fsio imrorio di ini rei π di equione on. Imonendo he i unto rteng ino: ioè -. or τ : -. e) I ino rihiesto rtiene fsio imrorio di ini rei ino δ: -- di equione: - on. Te ino onterrà neessrimente due unti distinti di r (-,-,-) e (,,-); imonendo i ssggio er si ottiene: -(-)(-)(-), 8. erò equione de ino orrisondente Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/

14 Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 4-8 non è soddisftt de oordinte di. I ino ω... Eseriio Determinre e equioni dee rette ssnti er (,,): ) re r di equione: : r ; ) ssnte er B(,,-); ) re rett er C(,,) e D(-,,-). Svogimento ) i rmetri direttori de rett r sono [(,,)], dunque e equioni rmetrihe si ottengono: n m er vere e equioni rtesine si uò esiitre d seond equione ottenendo i sistem:

15 Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 5 Oure d ondiione: r ) I rmetri direttori sono roorioni e omonenti de vettore B: (-,,-). L rett h equioni: n m. L equione rtesin è ottenut o isondo e eiminndoo in due equioni oure d ondiione: r ) I rmetri direttori sono roorioni e omonenti de vettore B: (-,-,-4).

16 Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 6 L rett h equioni 4 n m. L equione rtesin è ottenut o isondo e eiminndoo in due equioni oure d ondiione: 4 r 4

17 Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 7 Fsio imrorio di ini, Fsio rorio di ini di sse r rngo on : d d r Sono i ini di equione: α,β, (α,β) (,) ( ) ( ) d d β α Ste rori di ini di entro (,, ) π i : i i i d i i,, α( d )β( d )γ( d ) (α,β,γ) -{(,,)} r

18 Eseriio Si F : (-) (-) on, rresentione di un fsio di ini, ) se ne studi ntur; ) si studi interseione tr F e i ino di equione. Svogimento ) e equioni dte rresentno tutti i ini de fsio rorio di sse : r d eeione de ino di equione -. ) er studire interseione dovremo studire i sistem: ( ) ( ) oihé mtrie inomet de sistem h semre rngo (rngo mssimo). Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 8

19 e souioni di te sistem srnno -. Geometrimente questo signifi he i ini ssegnti si interseno er ogni ree ungo un rett e e souioni de sistem (er fissto) rresentno unti di te rett. Leione 6 - ger e Geometri - nno demio 9/ 9