FACOLTÀ DI INGEGNERIA. ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica PROF. A. PRÁSTARO 21/01/2013

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1 FACOLTÀ DI INGEGNERIA ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meania PROF A PRÁSTARO /0/03 Fig Diso D, ruotante, on rihiamo elastio radiale in un piano vertiale π, e portatore di aria elettria barientrale, immerso in ampo elettrio ostante E ed in un ampo magnetio ostante B, (B E, B π) SISTEMA MECCANICO From non-poinsot motions to Poinsot motions Il sistema meanio è esattamente lo stesso della V Eseritazione del --0 Quindi il sistema meanio è ostituito da un diso D, omogeneo di raggio R, piano del diso ortogonale ad una retta r, passante per il barientro G di D La retta r ruota in un piano vertiale, π, intorno ad un punto O π Il barientro G è portatore di una aria elettria q > 0 Inoltre lungo r è infilata una molla ideale di ostante elastia > 0, puntata in O ed appliata a G D Tutto il sistema è immerso in un ampo elettrio ostante E, vertiale e diretto verso l alto ed in un ampo magnetio ostante B, (orizzontale, B E, B π) I vinoli si onsiderano lisi e bilateri (Vedere Fig ) QUESITI ) Assumendo he le equazioni di Lagrange del sistema sono ome riportate in () (Vedere V Eseritazione del --0) () (ρ-omponente) µ ρ µρ α + (µg q E ) os α + ρ q B ρ α = 0 (α-omponente) (µρ + A) α + µρ α ρ + q B ρ ρ (µg q E )ρ sin α = 0 (β-omponente) C β = 0 dimostrare he esistono onfigurazioni di stato stazionario di puro spinning, dove la distanza, ρ 0, di G da O rimane ostante e differente da zero ) Esistono onfigurazioni stabili tra quelle del punto )? 3) È possibile raggiungere queste onfigurazioni partendo dall equatore?

2 SOLUZIONE ) Dimostriamo he esistono moti di Poinsot on β 0 Questi sono onfigurazioni di stato stazionario e sono riportati in Tab Infatti soluzioni possibili he rispet- Tab Configurazioni di stato stazionario di puro spinning α = α 0 ρ = ρ 0 Condizioni Hamiltoniana ρ 0 = 0 q E = µg H = C β 0 = α 0 = π, 3π ρ 0 = 0 H = C β 0 = α 0 = 0 ρ 0 = q E µg 0 q E > µg H = C β 0 (q E µg = α 0 = π ρ 0 = µg q E 0 q E < µg H = C β 0 (q E µg = tino il moto alla Poinsot, sono anhe on β 0 e α = 0 L equazione di Lagrange per questi asi si riduono al sistema () µ ρ + (µg q E ) os α 0 + ρ = 0 () ρ ρ q B (µg q E ) sin α 0 ] = 0 Si vede allora he le unihe possibili soluzioni sono quelle riportate in Tab, he sono tutte di stato stazionario e di puro spinning, nelle quali la distanza del barientro G da O non varia e rimane anhe ostante la posizione dell asta r passante per il barientro G Infatti, una possibile soluzione della seonda equazione in () è ρ = 0 Allora dalla prima equazione in () riaviamo he si deve avere µg = q E, oppure os α 0 = 0, quindi α 0 = π, 3π Se invee si assume l altra possibilità per soddisfare la seonda equazione in (), ioè (3) ρ = dalla prima equazione in () riaviamo q E µg q B / sin α 0, q E µg (4) ρ = os α 0 D altro anto, per integrazione della (3) abbiamo q E µg (5) ρ = sin α 0 t + ρ 0 q B / Quindi ugualiando la (4) on la (5), ioè q E µg q E µg ρ = os α 0 = sin α 0 t + ρ 0 q B / segue neessariamente he deve essere q E µg q B / sin α 0 = 0 Questo può essere realizzato on q E µg = 0, quindi on ρ = 0 = ρ 0, oppure hiedendo he sia sin α 0 = 0, ioè α 0 = 0, π In altri termini, la ondizione he il moto sia di Poinsot, on α = 0 e β 0, implia neessariamente he il moto sia una onfigurazione di stato stazionario, ioè on ρ = 0 e ρ = ρ 0 ome riportato in Tab Osservazione 0 Questo risultato è piu forte he erare sempliemente le soluzioni he sono onfigurazioni di stato stazionario Naturalmente la riera delle onfigurazioni di stato stazionario si può anhe effettuare imponendo i vinoli: {( ρl) =

3 3 0, ( αl) = 0} Infatti β è ignorabile In questo aso si otterrebbero, omunque, sempre e soltanto le onfigurazioni riportate in Tab Osservazione 0 Notare he il ontenuto energetio della onfigurazione di stato stazionario di puro spinning on α = 0, oinide on quella a α = π È omunque da osservare he queste due onfigurazioni non sono realizzabili nello stesso sistema meanio! Infatti dipendono dal parametro γ q E /µ g Esiste la prima (risp la seonda) onfigurazione di puro spinning se γ > (risp γ < ) ) Lo studio della stabilità delle onfigurazioni di puro spinning si ottiene linearizzando l equazione di Lagrange (intorno a queste onfigurazioni) L equazione linearizzata è riportata in (6) (6) (ρ-omponente) (α-omponente) µ ν (µg q E ) sin α 0 ] ν + ν q B ] µρ 0 + A ] ν + q B ρ 0 ν ρ 0 ] ν = 0 (µg q E ) sin α 0 ] ν (µg q E ) os α 0 ρ 0 ] ν = 0 (β-omponente) C ν 3 = 0 La terza equazione si integra direttamente ottenendo ν 3 = C 3 t + C, 3 quindi la oordinata β risulta instabile Per sempliità onsideriamo soltanto il aso (ρ 0 = q E µg, α 0 = 0) Il sistema (6), relativo alle prime due omponenti, si ridue al sistema (7) (ρ-omponente) µ ν + ν q B (7) ρ 0 ν = 0 (α-omponente) (µρ 0 + A) ν + q B ρ 0 ν (µg q E )ρ 0 ] ν = 0 La orrispondente equazione aratteristia, det ( Hj kω]) = 0, on ( ) (Hj k µω ω]) = + ( q B ρ 0)ω ( q B ρ 0)ω (µρ 0 + A)ω (µg q E )ρ 0 si può risrivere nella forma (8) (8) â ω 4 + b ω + ĉ = 0, â = ( µ ĉ + µa > 0 ( ) ] b = ĉ µ + q B + A > 0 ĉ = (q E µg > 0 Quindi abbiamo le soluzioni ω, = ± ξ, ω 3,4 = ± b ξ, on ξ, = b± 4 â ĉ â Il alolo espliito di b 4 â ĉ dà ( ) ( ] ( q B q B q B = ĉ + 4 µ + ĉ A + A > 0 Inoltre, risulta < b, quindi ξ, < 0 Ne segue he le radii ω,,3,4 sono tutte immaginarie, pertanto ogni possibile perturbazione delle onfigurazioni stazionarie, di puro spinning on α 0 = 0 e ρ 0 0, sono stabili per la ρ e la α

4 4 3) Al fine di verifiare se un moto, soluzione dell equazione di Lagrange (), onsente di passare da una onfigurazione ammissibile in α = π, ad una onfigurazione di stato stazionario di puro spinning, per α = 0, dobbiamo vedere se le leggi di onservazione dell equazione () onsentono l esistenza di un tale moto Identifihiamo la ondizione iniziale orrispondente a α = π on (0) e quella orrispondente alla onfigurazione di stato stazionario di puro spinning, per α = 0, on () La legge di onservazione p β = i obbliga a rihiedere he β(0) = β() = β 0 Inoltre la onservazione dell Hamiltoniana, i rihiede he H(0) = H() D altro anto abbiamo: { H(0) = µ ( ρ 0 + ρ α 0 + A α 0 + C β( + ρ 0 H() = C β( Quindi dobbiamo avere (q E µg µ ( ρ 0 + ρ α 0 + A α 0 + ρ 0 = (q E µg Questa equazione non può essere soddisfatta siome il termine di sinistra deve essere positivo e quello di destra è invee negativo In onlusione, qualunque sia la ondizione iniziale per α = π, il orrsipondente moto, soluzione dell equazione di Lagrange (), non potrà mai raggiungere il moto di onfigurazione di stato stazionario, di puro spinning, a α = 0 Osservazione 03 (Moti di Poinsot e moti non di Poinsot) Vale la pena notare he la distinzione tra moti di Poinsot e moti he non sono di Poinsot, per le soluzioni dell equazione di Lagrange (), è onsentita in relazione al fatto he questa equazione, diiamo E JD (W ), è determinata, mentre i moti di Poinsot, si ottengono da un equazione (P oinsot) E sopra-determinata In altri termini, l equazione he identifiano i moti di Poinsot è una sotto-equazione dell equazione (): (P oinsot) E E JD (W ) Osservazione 04 (Soluzioni deboli di Poinsot) È anhe interessante mettere in evidenza l esistenza di soluzioni deboli della (P oinsot) E, he permettono di passare da soluzioni periodihe di Poinsot a soluzioni di puro spinning di Poinsot Infatti, onsideriamo la soluzione periodia aratterizzata dalla ondizione iniziale (ρ 0 = (q E µg), α 0 0, β 0 = 0) on ontenuto energetio a α = 0, H 0 = α 0µ( (q E µg)) + A] Inoltre onsideriamo anhe la soluzione di puro spinning a α = 0, aratterizzata dalla ondizione iniziale (ρ S = q E µg, ρ S = 0, α S = 0, β S 0) Possiamo allora onsiderare la soluzione debole, he passa, dopo un periodo, dalla soluzione periodia alla soluzione di puro spinning, per α = 0 Questo passaggio determina β S, imponendo la ondizione H 0 = H S Infatti, questa ondizione implia β S = C ( α 0 µ 4 ) (q E µg) + A + ] (q E µg) Riordiamo he un equazione differenziale si die determinata se il numero di funzioni inognite è eguale al numero di omponenti indipendenti Per esempio l equazione di Lagrange () è determinata essendo formata da tre omponenti nelle tre funzioni inognite ρ(t), α(t) e β(t) Se invee il numero delle omponenti indipendenti è superiore al numero delle funzioni inognite, l equazione si die sopra-determinata

5 5 Questa soluzione debole, malgrado omporti la onservazione dell Hamiltoniana, e sia formata da due rami he sono moti alla Poinsot, non rispetta globalmente la onservazione del momento angolare Ω(G) Infatti nel ramo periodio, e nel punto di disontinuità, risulta Ω(G) 0 = A α 0 e, mentre nel ramo di puro spinning risulta Ω(G) S = C β S e 3 Questa soluzione debole è quindi ompletamente ontenuta in (P oinsot) E, pur non rappresentando un moto alla Poinsot Soluzioni di questo tipo si possono quindi hiamare soluzioni deboli di Poinsot dell equazione di Lagrange E, riportata in () Notare he la ρ0, nella soluzione periodia, è doppia della ρ S, della soluzione di puro spinning Pertanto il passaggio dalla soluzione periodia a quella di puro spinning, nella onfigurazione α = 0, avviene on il riolloamento del barientro G ad una quota (rispetto ad O) ridotta della metà Le soluzioni deboli sono molto utili, dal punto di vista ingegneristio Infatti queste soluzioni danno importanti informazioni per la progettazione di meanismi interni al fine di realizzare le neessarie disontinuità Per esempio, in questo aso, si tratta di determinare una variazione Ω(G) = Ω(G) 0 Ω(G) S = A α 0 e C β S e 3