GEOMETRIA ANALITICA 8 LE CONICHE

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1 GEOMETRIA ANALITICA 8 LE CONICHE Tra tutte le urve, ne esistono quattro partiolari he vengono hiamate onihe perhé sono ottenute tramite l intersezione di una superfiie i-onia on un piano. A seonda della inlinazione del piano si ottiene: ELLISSE CIRCONFERENZA PARABOLA IPERBOLE Tali urve hanno anhe la aratteristia di essere luoghi geometrii. Un luogo geometrio è l insieme di tutti e soli i punti he godono di una erta proprietà. Tale proprietà permette di riavarne l'equazione algeria he rappresenta la urva nel piano artesiano. Ad esempio: la ironferenza è il luogo geometrio dei punti he hanno la stessa distanza, detta raggio, da un punto fisso detto entro. Sia r la lunghezza del raggio, C(x ; ) il entro e P(x;) un.p generio punto sulla ironferenza: C. r la proprietà si tradue nella formula

2 GEOMETRIA ANALITICA 9 CP = r o anhe CP = r. O Essendo CP = ( x x ) + ( ) si ha ( x x ) + ( ) = r ironferenza generia di entro C(x ; ) e raggio r. he è l equazione della LA PARABOLA La paraola è il luogo geometrio dei punti equidistanti da una retta (direttrie) e da un punto (fuoo). La retta passante per il fuoo e perpendiolare alla direttrie si hiama asse della paraola. L'asse della paraola è un asse di simmetria e intersea la paraola nel vertie. Una paraola on asse parallelo all'asse è rappresentata da un'equazione del tipo = ax + x + on a 0. In figure sono riportate le equazioni di direttrie e asse e le oordinate di fuoo e vertie della paraola on asse parallelo all asse delle : detto = 4a, si ha: V a ; 4a ; 1 F ; a 4a ; asse : x = a ; direttrie 1 + =. 4a Per trovare l ordinata del vertie si può anhe sfruttare la ondizione di appartenenza ad una urva, andando a sostituire nell equazione l asissa x trovata on la formula x V = esempio, data la paraola di equazione = x 8x + 7:. Ad a 8 8 l asissa del vertie è x V = = = + =, sostituiso x = nell equazione e trovo a 4 = () = = 1. Il vertie avrà dunque oordinate V = ( ; 1). Nell equazione generia = ax + x +, deve essere a 0. Nella taella sono riassunte le aratteristihe prinipali delle paraole nella ui equazione si ha =0 e/o =0:

3 GEOMETRIA ANALITICA 10 Equazio ne Asse Vertie PARABOLE = ax + = ax +x = ax (=0, 0) (=0, 0) (==0) = x= 0 x = a x= 0 V = (0;) V = ; V=O= (0;0) 4a a 4a = ax +x+ (, 0) x a V = ; a Figure Conavità e apertura della paraola dipendono dal parametro a: se a>0 la onavità è verso l alto; se a<0 la onavità è verso il asso. Per studiare la dipendenza dell apertura della paraola dal parametro a, osserviamo il grafio delle paraole di 1 equazione = x, = x, = 5x e =9x : L ampiezza della paraola diminuise all aumentare del parametro a.

4 GEOMETRIA ANALITICA 11 Per disegnare il grafio di una paraola di equazione assegnata è suffiiente trovare le oordinate del vertie, quelle di un altro generio punto della paraola e sfruttare la simmetria rispetto all asse. Ad esempio: data l equazione = x + 4x trovo le oordinate del vertie: x V = = = = + ; a 1 ( ) V = - () + 4() 1= = 3 V(;3) trovo le oordinate del punto a piaere, ad esempio quello di asissa x = 0: x=0 = = - 1 P(0;-1) Sul piano artesiano traio i punti V e P trovati e l asse x =. Per la simmetria della paraola rispetto al suo asse, se il punto P(0;-1) è un punto della paraola, lo sarà anhe il punto P (4;-1), simmetrio di P rispetto alla retta x = (i punti hanno la stessa ordinata e distano unità dall asse). Ora si può traiare la paraola. V(;3) P(0;-1) P'(4;-1) x Eserizi: Traiare il grafio delle seguenti paraole: 1. = x 4x + 7. = x 4x 3 3. = 4x 5 4. = x + 8x 5. = 4x 6. = x + 4x 7 7. = x 6x = 3x 1 9. = x 4x 10. = x x = x = x 5x + 6 INTERSEZIONE DI UNA PARABOLA CON UNA RETTA Per trovare i punti di intersezione tra una retta e una paraola si dovranno mettere a sistema le equazione delle due funzioni.

5 GEOMETRIA ANALITICA 1 Nella figura è rappresentata la paraola di equazione = x x + 3 e le rette di equazione r 1 : = 3x r : = x + 7 r 3 : = x + 4 Dal grafio si nota he la retta r 1 inontra la paraola in due punti A e B (retta seante), la retta r nel solo punto T (retta tangente) e la retta r 3 non ha nessun punto in omune on la paraola (retta esterna). Il sistema tra la paraola e r 1 avrà due soluzioni, quello tra la paraola e r avrà una soluzione e quello tra la paraola e r 3 sarà impossiile. Eserizio svolto: 1. si erano le oordinate dei punti A e B di intersezione tra la paraola e r 1 risolvendo il sistema = x x + 3 = 3x x x = 0 = 3x 3x = x = 3x x + 3-3x + x + x 3 = 0 = 3x Risolvendo l equazione di seondo grado x x = 0, si trovano le due soluzioni x 1 = 1 e x =. A questo punto il sistema si sdoppia nei due sistemi = 1 = 3x = 1 = 3 ( 1) = 1 = 4 e = = 3x = = -3 = = -5

6 GEOMETRIA ANALITICA 13 I punti di intersezione saranno quindi A( 1; 4) e B(; 5).. si erano le oordinate del punto T di tangenza della paraola e r risolvendo il sistema = x x + 3 = x + 7 x + 7 = x = x + 7 x + 3 x 4x + 4 = 0 = x + 7 l equazione x 4x+4=0 = = - ha ome unia soluzione x =, quindi. Il punto è T(-;3) = ( ) + 7 = 3 3. Mettendo a sistema la paraola on la retta r 3 si arriva ad un equazione di seondo grado impossiile, dunque il sistema è impossiile. Si onferma, osì, he la retta è esterna alla paraola. Eserizi Dopo aver traiato sullo stesso piano artesiano il grafio della paraola P e delle rette r 1, r e r 3, trovare i punti di intersezione di iasuna retta on la paraola: 1) P: = x 4x + 3 ; r 1: = x 1 ; r : = 6x + ; r 3 : = x 8 ) P: = x 4x + 6 ; r 1: = 4x 4 ; r : = 4x + 8 ; r 3 : = 3x + Riordando he l asse x ha equazione = 0, per trovare i punti di intersezione di una paraola = x on l asse x si dovrà risolvere il sistema = 0 x + 3 e risolvere quindi l equazione x x + 3 = 0. trovate le soluzioni x 1 = 1 e x = 3, si trova he i punti di intersezione della paraola on l asse sono P(1; 0) e Q(-3; 0). Eserizi Trovare i punti di intersezione delle seguenti paraole on l asse x: 1) = x 4x + 3 ) = x 4x + 6 3) = 4x 4x 4) = x + x + 7

7 GEOMETRIA ANALITICA 14 LA CIRCONFERENZA Si è già definita la ironferenza ome il luogo geometrio dei punti he hanno la stessa distanza, detta raggio, da un punto fisso detto entro. Appliando la definizione si è trovata l equazione ( x x ) + ( ) = r. ESEMPIO: trovare l equazione della ironferenza di entro C(-;3) e raggio r=5 ( x ( ) ) + ( 3) = 5 (x + ) + ( 3) = 5 Sviluppando i quadrati dei inomi e sommando i monomi simili si trova: x + 4x = 0 x + + 4x 6 5 = 0. L equazione può quindi anhe essere sritta nella forma x + + ax + + = 0 (equazione generale), dove a, e sono legati alle oordinate del entro C(x ; ) ed al raggio r dalle seguenti relazioni: a x C = C = a r = + e vieversa a = x C = C = x C + C r Per disegnare il grafio di una ironferenza di equazione assegnata asta trovare le oordinate del entro e la lunghezza del raggio on le suddette formule. Ad esempio: traiare il grafio della ironferenza di equazione x + + 6x = 0 ( a = + 6, =, = ): x C C r = = + 6 = 3 = = ( 3) + ( ) ( ) = 9 1 = 9 = 3

8 GEOMETRIA ANALITICA 15 Si segnalano i seguenti asi partiolari Equazione Caratteristia Figure x =0 a=0, il entro appartiene all asse : C(0; ). x + + ax + =0 x + + ax + = 0 x + + = 0 =0, il entro appartiene all asse x: a C( ;0) =0, la ironferenza passa per l origine degli assi a==0, il entro è nell origine degli assi: C(0;0) Eserizi Traia il grafio delle seguenti ironferenze: 1) x + 3 = 0 ) x + + x = 0 3) x + 9 = 0 4) x + + 8x 7 = 0 5) x + 4x + 6 = 0 6) x + + 6x = 0 INTERSEZIONE DI UNA CIRCONFERENZA CON UNA RETTA Una retta rispetto ad una ironferenza, ome nel aso della paraola, può essere seante, tangente o esterna, a seonda he aia, rispettivamente, due, uno o nessun punto di intersezione.

9 GEOMETRIA ANALITICA 16 ELLISSE L ellisse è il luogo geometrio dei punti he hanno ostante la somma da due punti fissi detti fuohi. Consideriamo la paraola on entro nell origine degli assi e fuohi di oordinate (-;0) e (;0). Imponendo he F1 P + F P = ostante, si ottiene l equazione generale dell ellisse x a + = 1, dove a =. Se I fuohi si trovano sull asse l equazione non amia ma si avrà a =. Per disegnare l ellisse di equazione assegnata è suffiiente trovare i vertii A e B in figura, he hanno oordinate A(a;0) e B(0;). Ad esempio: Il grafio dell ellisse di equazione x + = 1 è la urva he passa per i punti 9 4 A(3;0), A (-3;0), B(;0) e B (-;0). L IPERBOLE L iperole è il luogo geometrio dei punti he hanno ostante la differenza da due punti fissi detti fuohi. L equazione generale dell iperole di entro (0;0) e fuohi (-;0) e (;0) è x a = 1, on a + =. I vertii A e A hanno oordinate (a;0) e (-a;0). Le rette rappresentate in figura delimitano i due rami dell iperole e hanno equazioni = x e = x. a a