2x e y = 2x - x. 2 Disegnare le due parabole e determinare i loro punti comuni.

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1 PROBLEMA Sono date le parabole y = x x e y = 2x - x. 2 Disegnare le due parabole e determinare i loro punti comuni. Le parabole passano per l origine O e per il punto A(8/3,16/9) come si evince dalla risoluzione del sistema con le equazioni delle due parabole. Inoltre la prima ha vertice nel punto V 1 (1;-1) e la seconda nel punto V 2 (2;2) Determinare la retta parallela all asse delle ascisse che intercetta corde uguali sulle due parabole. Si tratta di determinare i punti di intersezione fra ciascuna delle due parabole con la retta del fascio y=k e con k compreso fra le ordinate dei due vertici. Si uguagliano, quindi, le distanze trovate in funzione di k e si risolve l equazione irrazionale così ottenuta che ammette soluzione per k=1 Sulle due parabole la retta y=1 intercetta corde uguali di lunghezza 2 2. Trovare l area racchiusa fra le due parabole assegnate Si considera il fascio improprio y= 2x/3+ q di rette parallelo alla retta per O e A di equazione y=2x/3 e si impone la tangenza rispetto a ognuno delle due parabole (il discriminante dell equazione risolvente il sistema fra parabola e retta generica del fascio va eguagliato a zero), ricavando i valori di q=8/9 e q=- 16/9. Lo scopo è quello di trovare l area del rettangolo formato da queste due tangenti e le perpendicolari per O e A ad esse, in quanto l area richiesta è 2/3 dell area di tale rettangolo. Il calcolo da per l area il risultato di 128/27.

2 Spiegare se e perché le due parabole appartengono al fascio F di equazione ( ) 2 2 y= kx k x. 3 Intersecando le due parabole degeneri di questo fascio che sono la retta y=2x/3 e la coppia di rette data dal prodotto x(x-8/3)=0 si ottengono proprio i due punti O e A comuni alle parabole studiate. Del resto tali parabole si ottengono per k=1 e per k=-1/2 Fra le parabole del fascio F individuare, se esistono, quelle con vertice di ordinata 3. Ne esistono due ottenibili eguagliando l ordinata del vertice della parabola generica del fascio a 3. Quindi si ha : (4ac-b 2 )/4a = 3 cioè -4(1-4k) 2 /9=12k, dalla quale si ha 1+16k 2-8k=-27k che semplificata da 16 k 2 +19k+1=0, da cui i due valori di k=

3 ESERCIZIO 1 Disegnare le due curve appresso indicate e determinarne i loro punti di intersezione. 2 x = 3 y E la semicirconferenza di raggio 3 e centro l origine che giace nel semipiano delle ascisse positive (primo e quarto quadrante y = 3 x Si tratta della semiparabola di vertice (3;0) con concavità verso sinistra e che giace nel semipiano delle ordinate positive Esse hanno due punti di intersezione in (0; 3) e in (1; 2)

4 ESERCIZIO 2 Determinare le equazioni della parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate e della circonferenza passanti per i punti A (1 ;0 ), B (0 ;3) e C(-2 ;1). Detto D il quarto punto di intersezione fra le due curve, di calcoli l area del quadrilatero ABCD. Le due equazioni si trovano imponendo l appartenenza dei tre punti dati nella equazione generica della parabola o della circonferenza e risolvendo i relativi sistemi. (la circonferenza si può trovare anche determinando centro e raggio a partire dalla considerazione di due corde e dei rispettivi assi che passano per il centro). Dal sistema delle due curve si ottiene l equazione : 2x 4 +5x 3 -x 2-6x=0 che oltre alle soluzioni note da x= - 3/2. Il quarto punto è allora D(-3/2; 5/2). L area del quadrilatero si trova facilmente se si osserva che AD è diametro della circonferenza per cui il quadrilatero si scompone in due triangoli rettangoli. L area complessiva è uguale a 5.

5 TABELLA DI VALUTAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA A CONOSCENZE 1- contenutistiche : definizioni, formule, regole, teoremi; 2- procedurali : procedimenti elementari ed immediati. B COMPETENZE ELABORATIVE 1 comprensione delle richieste; 2 impostazione della risoluzione di problemi ed esercizi; 3 efficacia della strategia risolutiva; 4 sviluppo della risoluzione; 5 controllo dei risultati. C COMPETENZE COMUNICATIVE 1 sequenzialità logica della stesura ; 2 precisione formale (algebrica e grafica) ; 3 presenza di commenti significativi. A conoscenze B competenze elaborative C competenze comunicative descrittore punteggio descrittore punteggio descrittore punteggio Nulle o quasi 1-2 Nulle 0-2 Nessuna elaborazione 0 molto scarse 3 molto scarse 3 Elaborato di difficile 1-2 interpretazione e/o con lacunose 4 inefficaci 4 varie carenze sul piano incomplete 5 Incerte e/o meccaniche 5 formale e grafico di base 6 di base 6 Elaborato con alcune 3 sostanzialmente corrette 7 efficaci 7 carenze sul piano formale e grafico ma abbastanza scorrevole corrette 8 organizzate 8 Elaborato logicamente ben articolato complete 9-10 sicure e consapevoli 9-10 Elaborato formalmente rigoroso Voto in decimi = somma punteggi parziali /2,5 approssimato all intero Compito in classe del 30 aprile 2009 classe terza sez. D alunno/a 4 5