Le omotetie. Nel caso in cui il centro di omotetia O corrisponda con l'origine degli assi, le equazioni dell'omotetia sono. le equazioni sono ωch

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1 O Le omotetie Dato un numero reale non nullo h e un punto P del piano l omotetia di rapporto h e entro O è quella trasformazione he assoia a P il punto P' tale he P P OP' = h OP. Se è P(xy) allora P'(hx ; hy). P' è detto omotetio di P. O si die entro di omotetia. Il numero h è detto rapporto di omotetia. se h =1 si ha l'identità; se h = 1 si ha la simmetria rispetto all'origine. se h>0 l'omotetia si die diretta (P e P' si trovano dalla stessa parte rispetto ad O); se h<0 l'omotetia si die indiretta (P e P' si trovano da parti opposte rispetto ad O). Nel aso in ui il entro di omotetia O orrisponda on l'origine degli assi le equazioni dell'omotetia sono x = hx x ω0 h : ossia y = hy y = h 0 x 0 h y e la matrie della trasformazione ha det(a)=h. ( C) ( ) x = h x x + xc Se il entro è il punto C( xc; y C) le equazioni sono ωch : o anhe svolgendo i aloli y = h y yc + yc x = hx+ p ωch : il ui entro è alolabile riordando he esso è l'unio punto unito per l omotetia. y = hy + q Le rette passanti per il entro dell omotetia sono invee rette unite per l omotetia. Omotetia deriva dal greo e signifia simile-posto ; in effetti per omotetia una figura risulta ingrandita o rimpiiolita ma non risulta spostata rispetto al entro della trasformazione. Proprietà fondamentali delle omotetie. trasforma un segmento in un segmento proporzionale una retta in una retta ad essa parallela onserva le ampiezze degli angoli il parallelismo e la perpendiolarità; trasforma una figura geometria in una figura simile a quella data ingrandendola se h > 1 o riduendola se h < 1. omponendo due omotetie on lo stesso entro C si ha anora una omotetia di entro C e rapporto dato dal prodotto dei singoli rapporti di omotetia (se i rapporti sono diversi k e h allora la omposta ha è un omotetia he ha rapporto kh): omponendo due omotetie on entri diversi si ha: Ogni omotetia ω Ch ammette l omotetia inversa ω. 1 1 C h

2 Le similitudini Una similitudine è una trasformazione geometria he onserva il rapporto fra le lunghezze di segmenti orrispondenti; ioè omunque si selgano A e B onsiderati i loro trasformati A' e B' si ha AB ' ' = kab dove k (sempre positivo k>0) si hiama rapporto di similitudine. Da un punto di vista analitio si dimostra he una similitudine è definita da equazioni del tipo: x = ax+ by+ (he sono quelle più generali di un affinità he vedremo fra poo) on la ondizione però y = ax + by + a + a = b + b he sia:! Vedi Approfondimento pag.10/11 ab + a b = 0 Da questa relazione segue he una similitudine può essere espressa in due soli modi: x = ax by+ a b σ1 : on = a + b = k > 0 SIMILITUDINE DIRETTA x y = bx + ay + b a y = a b x b a y + oppure x = ax+ by+ a b σ : on = a b = k < 0 SIMILITUDINE INDIRETTA x y = bx ay + b a y = a b x b a y + In entrambi i asi il rapporto di similitudine k positivo di ui sopra è dato da k A a b = det( ) = +. Proprietà fondamentali delle similitudini. Si può dimostrare he una similitudine gode delle seguenti proprietà: onserva il rapporto fra le lunghezze (per definizione); mantiene la "forma" in partiolare trasforma ironferenze in ironferenze (trasforma una figura geometria in una figura simile a quella data ome si die normalmente). trasforma un angolo in un angolo ongruente (onserva l ampiezza degli angoli); trasforma rette parallele in rette parallele e rette perpendiolari in rette perpendiolari; se F' è la figura geometria trasformata di F allora valgono: Area(F')=k Area(F) e perimetro(f')=k perimetro(f); k = det( A) = a + b omponendo due similitudini di rapporti k1 e k si ha anora una similitudine di rapporto k1 k ; il entro di similitudine è punto unito. Osservazione Un omotetia è un tipo partiolare di similitudine. Inoltre il valore assoluto h del rapporto di omotetia è uguale al rapporto di similitudine k ioè h = k = a + b. Composizione di un omotetia e di un isometria La omposizione di un omotetia on un isometria è sempre una similitudine; ogni similitudine si può ottenere dalla omposizione di un omotetia on un isometria (o vieversa). In partiolare si ha una similitudine diretta se è il omposto di un omotetia e di un isometria diretta (in ordine qualsiasi) mentre si ha una similitudine indiretta se è il omposto di un omotetia e di un isometria indiretta (in ordine qualsiasi). Una similitudine he abbia l origine ome punto fisso si può pensare ome il risultato della omposizione di: k 0 una omotetia di entro l origine di rapporto k 0 e matrie e di 0 k una isometria (diretta o indiretta) he lasia fissa l origine. Componendo l omotetia on ognuna delle due isometrie si ottengono le matrii dei due tipi di similitudini (ambedue di rapporto k ): Per studiare una similitudine onviene mettere in evidenza il rapporto di similitudine (he indiherà anhe il rapporto dell omotetia) per studiare poi la matrie dell isometria he resta. FF 7

3 Le affinità Si hiama affinità (o trasformazione affine) la orrispondenza biunivoa T he fa orrispondere al punto P x = ax+ by+ di oordinate ( xy ; ) il punto P' di oordinate ( x ; y ) seondo le equazioni: ossia y = ax + by + x a b x = + dove i oeffiienti a b a b sono numeri reali. L'appliazione è biunivoa y a b y se e solo se det( ) a b A = = ab ab 0. La matrie A si hiama matrie dell affinità. a b 1 Se e sono nulli l origine resta fissa. N.B. det(a) 0 A 1 b = b det( A) a a ; A-1 è la matrie assoiata alla trasformazione inversa T -1 la ui equazione risulta abbastanza semplie utilizzando la x notazione matriiale: y = 1 b b x det( A) a a y. Si ha: Affinità diretta (ioè onserva l orientamento dei vertii di un poligono) det(a)>0; Affinità indiretta (ioè inverte l orientamento dei vertii di un poligono) det(a)<0; Proprietà fondamentali delle affinità. Si può dimostrare he un'affinità gode delle seguenti proprietà: a una retta orrisponde un altra retta (onserva l allineamento); a rette parallele orrispondono rette parallele (onserva il parallelismo); a rette inidenti orrispondono rette inidenti (onserva l inidenza); le onihe si trasformano in onihe (ellisse ellisse parabola parabola iperbole iperbole); il rapporto delle aree di figure orrispondenti è ostante ioè: se la figura F' è l'immagine orrispondente di una figura F allora Area (F')= det(a) Area (F). Area(F') Il rapporto ostante fra tali aree si hiama rapporto di affinità r ioè r = det( A) =. Area(F) Esso rappresenta l area del parallelogramma nel quale si trasforma il quadrato di lato unitario. In generale un'affinità: non onserva la forma delle figure (non onserva le distanze fra i punti). Infatti l'immagine di un rettangolo è in generale un parallelogramma osì ome l'immagine di una ironferenza è un'ellisse. non onserva gli angoli per esempio rette perpendiolari non neessariamente vengono trasformate in rette perpendiolari. Nel aso in ui il rapporto di affinità r sia uguale a +1 l affinità onserva le aree e si die equivalenza. Partiolari affinità: le dilatazioni x = hx + p Le equazioni on hh 0 rappresentano partiolari affinità hiamate dilatazioni di rapporti h y = hy + q e h. x = ax+ by+ Si ottengono dall equazione on b= 0 a = 0 y = ax + by + FF 8

4 Classifiazione delle affinità Le affinità si possono lassifiare in vari tipi a seonda delle proprietà di ui godono o meglio a seonda delle proprietà invarianti proprietà ioè he si onservano nella trasformazione. Le proprietà invarianti delle trasformazioni sono riassunte nella tabella he segue; si può osservare he passando dall insieme delle isometrie a quello delle similitudini a quello delle affinità le proprietà invarianti diventano via via più deboli : Invarianti delle isometrie Allineamento dei punti Inidenza e parallelismo tra oppie di rette Forma delle figure Ampiezza degli angoli Lunghezze: A'B' = AB Aree: Area(F')=Area(F) Invarianti delle similitudini Allineamento dei punti Inidenza e parallelismo tra oppie di rette Forma delle figure Ampiezza degli angoli Rapporti tra le lunghezze: k= det( A) = A'B' AB Rapporti tra le aree: k = det( A) = Area(F') Area(F) Invarianti delle affinità Allineamento dei punti Inidenza e parallelismo tra oppie di rette Rapporti tra le aree: r = det( A) = Area(F') Area(F) Il rapporto di affinità è il quadrato del rapporto di similitudine r = k oppure il rapporto di similitudine è la radie quadrata del rapporto di affinità: ossia k = r. Un isometria è una partiolare similitudine in ui il rapporto di similitudine k vale 1: k = det( A) = 1. L insieme delle affinità si può quindi osì rappresentare e shematizzare. Traslazioni Simmetrie entrali Rotazioni Isometrie DIRETTE Simmetrie assiali Glissosimmetrie Isometrie INDIRETTE Si osserva he all'insieme delle affinità appartengono le similitudini e le isometrie ome asi partiolari di affinità. All'insieme delle similitudini appartengono le omotetie e le isometrie. a + a = b + b x = ax + by + Un affinità di equazioni è una similitudine se e solo se vale:. ab + a b = 0 y = ax + by + x = ax by + L omotetia è una partiolare similitudine diretta (si ottiene dall equaz. on b = 0 ) y = bx + ay + a + a = b + b = 1 x = ax + by + Un affinità di equazioni è un isometria se e solo se vale: e ab + ab = 0 y = ax + by + det(a)=±1. FF 9

5 Approfondimento Come si spiegano le ondizioni a + a = b + b ab + a b = 0 e a + a = b + b = 1 per similitudini e isometrie? ab + a b = 0 Premessa I versori di un sistema di riferimento sono: i! 1! 0 = = ( 1;0 ) j = = ( 0;1) 0 1 Mediante l appliazione di una trasformazione geometria he lasia fissa l origine x y = a b x a b y i versori si trasformano ome segue:! a b i =! a b 1 a i = = a b a b 0 a 1! a b j =! ioè a b 0 b 0 a a 0 1 b b' j = = a b a b 1 b La matrie A dei oeffiienti i fornise informazioni su ome si trasformano i versori del sistema di riferimento a seguito della trasformazione affine: le due olonne orrispondono alle omponenti dei a b trasformati dei versori fondamentali ioè A =. a b 1 Esempio 1): A 1 = = a 0 1 = a 1 = b 1 = b' det( A) = 1 ( ) = 3 Il quadrato di lato unitario individuato dai versori! i e! j è trasformato nel parallelogramma he ha per lati i!"!" e j. Nell esempio trattato l area del parallelogramma è 3 = he è proprio il valore del determinante della matrie della trasformazione. Questo fatto vale in generale e lo si può provare. a b det ( A) = = ab ab a b L area del parallelogramma nel quale si trasforma il quadrato di lato unitario è uguale al valore assoluto del determinante della matrie della trasformazione: Area = A det ( ) Esempio ): A = det( A) = 6 *6 ( * 4) = 36 8 = 8 Area parallelogramma=10 *8 ( ) = 80 5 = 8 FF 10

6 Parliamo ora delle isometrie. Per isometria due figure sono ongruenti ed in partiolare hanno la stessa area. Questo omporta he i versori fondamentali i! e j! devono essere trasformati in modo da definire anora un quadrato di lato A =±. Però questo non basta; affinhé il parallelogramma dei versori trasformati sia un quadrato di lato unitario oorre he i!"!" e j siano perpendiolari e abbiano modulo 1. a b Data quindi la matrie della trasformazione A = a b e i trasformati dei versori fondamentali i!" = a a = ( a; a ) e!" j b = b = ( b; b a b ) oorre he sia: = 1 ossia ab = a b ioè: a b ab + a b = 0 (ondizione di perpendiolarità) unitario. Per quanto appena detto iò implia he sia det ( ) 1 poihé m 1 = a a m = b b si ha m 1 m m 1 m = 1. Inoltre i!"!" = j = 1 he signifia: a + a = b + b = 1 ioè: a + a = b + b = 1 (moduli dei versori fondamentali trasformati uguali a 1) Vediamo ora per le similitudini. Affinhé un affinità sia una similitudine oorre omunque he il parallelogramma dei versori trasformati sia anora un quadrato (per similitudine gli angoli rimangono gli stessi) e iò omporta he i!"!" e j siano anora perpendiolari; quindi deve valere: ab + a b = 0 (ondizione di perpendiolarità) Inoltre per similitudine basta he i moduli dei versori trasformati siano fra loro uguali ossia: a + a = b + b (moduli dei versori fondamentali trasformati uguali fra loro) FF 11