Proprietà delle operazioni sui numeri naturali

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1 Proprietà delle operazioni sui numeri naturali 1. Le proprietà delle operazioni possono essere introdotte geometriamente in modo da fornirne una giustifiazione intuitiva e una visualizzazione : 2. Le proprietà delle operazioni vengono utilizzate, ad esempio: a. negli algoritmi di alolo b. nell'individuazione di perorsi più rapidi di alolo. ome supporto al alolo mentale. L ampliamento ai numeri reali (e ai numeri razionali) dell insieme numerio trattato, impone una riflessione se le proprietà delle operazioni siano le stesse. Introduzione geometria alle proprietà delle operazioni addizione: L addizione gode della proprietà assoiativa, della proprietà ommutativa, dell esistenza di un elemento neutro (0) e dell esistenza dell opposto (per iasun numero) La somma di due addendi orrisponde alla giustapposizione (nello stesso ordine) di due aste di lunghezza orrispondente agli addendi. La proprietà ommutativa orrisponde ad osservare he la lunghezza del bastone non varia, se lo ruoto: + 8 = 11 = 8 + Il ruolo speiale di 0 nell addizione (è l elemento neutro, ioè a + 0 (= 0 + a) = a per ogni naturale a) è immediato (perhè sommando 0 non aggiungo nulla ). La proprietà assoiativa tratta un problema generalmente non perepito dai bambini: se la somma è rappresentata da una asta, non sembra fare nessuna differenza il fatto he l asta sia stata ottenuta inollando aste più piole. Da un punto di vista più formale, la definizione iniziale di somma parla della somma di due numeri e non di un numero arbitrario di addendi; ad essere rigorosi, se voglio sommare addendi a, b e, dovrei speifiare in quale ordine eseguire le somme (he oinvolgono solo una oppia di numeri: ad esempio, dovrei srivere (a+b) + oppure a + (b+). La proprietà assoiativa mi assiura he il risultato è sempre lo stesso, ioè (a+b) + = a + (b+) e siamo quindi autorizzati a srivere a + b + intendendo una qualunque delle due sritture preedenti (e a generalizzare per una somma di più di addendi) ( + 8 ) + 5 = 11 = + ( ) 1

2 Usualmente, la srittura della somma a più addendi viene introdotta senza ommenti e anhe l algoritmo della somma viene esteso al aso di più addendi. La proprietà assoiativa viene spesso presentata diendo he, nel fare la somma di o più addendi, posso sommare due di essi e poi sommare il risultato ai rimanenti addendi: a + b + = (a+b) + e anhe a + b + = a+(b + ) Cioè, sostituendo due o più addendi on la loro somma, il risultato non ambia. Riassumendo: quando devo alolare una somma, posso sostituire due o più addendi on il risultato della loro somma sostituire un addendo on una somma di addendi (he abbia per risultato l addendo sostituito) Questi sono due aspetti della stessa proprietà. appliazioni delle proprietà dell addizione: a) l algoritmo dell addizione: l usuale algoritmo di somma in olonna sfrutta un perorso del tipo seguito in questo esempio: 47 + (40 + 7)+ (20 + 4) = (40+20) + (7+4) = 24 = ( )+ 11 = ( ) = ( )+ 10= 24 = = = 7 1 dove, nell algoritmo, la srittura posizionale semplifia la gestione delle deine: le somme svolte nell algoritmo sono, quindi, sempre somme di più addendi, iasuno dei quali ompreso da 0 a 9. Esempio: Si dispongono sulla tavola 10x10 le quantità di quadretti relativi a due addendi (iasuno dei quali maggiore di 10): ad esempio Il numero 2 risulta in modo naturale somposto ome , mentre il numero 18 ome La somma iniziale oinide on ( ) + (10 + 8): riordinando i quadretti in modo da riempire la parte superiore della tavoletta, si sambiano ad esempio le righe on e 10, ottenendo ( ) + (+8). Si passa a alolare la somma delle unità: + 8 = 11, riavando un altra riga ompleta e una unità isolata: 11 = La riga ompleta si aggiunge alle altre righe omplete (per un totale di 4) : ( ) + (+8) = ( ) + (11) = ( ) + (10+1) = ( ) +1 = 41. b) la tavola dell addizione sulle ifre da 0 a 9 è simmetria rispetto alla diagonale prinipale (e on tale tavola, insieme al meanismo dei riporti, si operano tutte le addizioni di numeri naturali) ) semplifiazione nei aloli e, in partiolare, nei aloli mentali: Ad esempio, nel alolare , si può proedere alolando ( ) + (24+6) + 1 2

3 Anora, nel alolare mentalmente 17+ 5, si può riflettere he il omplemento di 17 alla ifra tonda suessiva 20 è : = 17 + ( + 2) = (17 + ) + 2 = = 52 moltipliazione: La moltipliazione gode delle proprietà assoiativa e ommutativa, e dell esistenza dell elemento neutro, 1. La moltipliazione tra numeri razionali o reali gode inoltre del fatto he ogni numero non nullo ammette un inverso. La moltipliazione di due fattori dà ome risultato il numero di quadretti di ui è omposto il rettangolo avente lati pari (rispettivamente) ad uno dei fattori (on un ordine da stabilire): è l area del rettangolo, alolata in quadretti. 7 7 La proprietà ommutativa orrisponde ad osservare he il numero di quadretti ompresi nel rettangolo non varia, se lo ruoto: 7 = 21 = 7 In partiolare, l area del rettangolo non dipende da ome è stato disegnato, ma solo dai sui lati. Posso anhe pensare di aver affettato in modo differente il rettangolo, in strise parallele ai lati. Una volta deomposte le figure in quadretti, il numero di quadretti oinvolti non varia.

4 Il ruolo speiale di 1 nella moltipliazione (è l elemento neutro, ioè a 1 (= 1 a) = a per ogni naturale a) è immediato, perhè il rettangolo da ostruire nella moltipliazione oinide on l asta del numero a: 1 : Il ruolo speiale di 0 nella moltipliazione (a 0 (= 0 a) = 0 per ogni naturale a) è immediato (perhè non ostruiso il rettangolo, visto he un suo lato è nullo). La proprietà assoiativa pone riflessioni analoghe a quelle svolte per l addizione. Una dimostrazione geometria diretta è più semplie se, invee di pensare il prodotto di due fattori ome numero di quadretti he ompaiono nel rettangolo i ui lati rappresentano i due fattori, si ontano i quadretti del parallelepipedo avente per faia uno dei due fattori e per spigolo l altro fattore: a b b b (a b) a a Riaffettando il parallelepipedo seondo fae he oinvolgono i lati b e, si ritrova he (a b) = a (b ). E` possibile utilizzare la proprietà distributiva: [a b] = [( ) b] = (b+b+...+b) = b +b+...+b = a (b ). (ove ogni addendo è ripetuto a volte). Tale perorso può essere rivisitato geometriamente. appliazioni delle proprietà della moltipliazione: a) la tavola pitagoria è simmetria rispetto alla diagonale prinipale b) semplifiazione nei aloli e, in partiolare, nei aloli mentali sottrazione proprietà invariantiva: sommando o sottraendo la stessa quantità da minuendo e sottraendo, la differenza non ambia. Per ora oorre supporre he la quantità sottratta sia minore o uguale al sottraendo, ma nei numeri reali questo è superfluo e la sottrazione non è più onsiderata una operazione distinta dall addizione. 9 = 6 = 4

5 9 2= = 4 4= appliazioni delle proprietà della sottrazione: a) la proprietà invariantiva può esser utilizzata per semplifiare il alolo sritto e il alolo mentale: = 6 10 = 5 NOTA: le proprietà delle operazioni si estendono a frazioni e numeri deimali Divisione proprietà invariantiva: moltipliando o dividendo per la stessa quantità entrambi i termini della divisione, il risultato non ambia. Nella divisione tra numeri reali, vale anhe la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma e alla differenza. appliazioni delle proprietà della divisione: il alolo della divisione tra numeri deimali Proprietà distributiva La proprietà distributiva oinvolge più operazioni. Ad esempio, la proprietà distributiva della moltipliazione rispetto all addizione afferma he: (a+ b) = a + b per ogni numero a, b, Comunque deomposto un rettangolo he ha un lato di lunghezza in due rettangoli aventi un lato di lunghezza parallelo al lato del rettangolo di partenza, l area del rettangolo grande è la somma delle aree dei rettangoli pioli: questo risultato è alla base della possibilità di alolare l area per somposizione: a b a + b Questa osservazione sta alla base della possibilità di alolare le aree per somposizione. Utilizzando foglietti ritagliati o la tavola quadrettata, la proprietà distributiva è failmente verifiata. 5

6 Valgono anhe la proprietà distributiva della moltipliazione rispetto alla sottrazione (a b) = a - b per ogni numero a, b, la proprietà distributiva della moltipliazione rispetto all addizione (a+b) = a + b per ogni numero a, b, la proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione (a b) = a b per ogni numero a, b, appliazioni delle proprietà distributiva a) E possibile alolare tutti prodotti a partire dai prodotti dei numeri ad una ifra (ioè basta limitarsi a studiare le tabelline da 1 a 9); in partiolare, vale l algoritmo della moltipliazione: l usuale algoritmo di prodotto in olonna sfrutta un perorso del tipo seguito in questo esempio: = 47 (20 + 4) = = = = = ove tutto viene semplifiato dall uso della srittura posizionale. b) semplifiazione nei aloli e, in partiolare, nei aloli mentali: Ad esempio, nel alolare 18, si può proedere alolando (10 ) + (8 ) = = 54 ) la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla differenza è alla base dell algoritmo della sottrazione. 6