Equazioni di secondo grado intere letterali

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Antonina Festa
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1 Equazioni di seondo grado intere letterali Esempio. k ) x k + )x + k + 0 a k b k + ) k + Disussione. Se k 0 k l equazione si abbassa di grado. Disutiamo il aso a 0 aso in ui l equazione diventa di primo grado). Sostituiamo il valore di k nell equazione. L eq. diventa: 6x x 3.. Se k : Se a 0 l equazione è di seondo grado. Caloliamone il. b 4a [ k + )] 4 k ) k + ) 4k + 4k + 4) 4k ) 6k Se > 0 6k + 0 > 0 k > 5 4 Se > 0 l equazione ha due soluzioni distinte. x, b ± a [k + ) ± 4k + 5] k ) k + ) ± 6k + 0 k ) k + ± 4k + 5 k k + ) ± 44k + 5) k ) k + ) ± 4k + 5 k ).. Se 0 6k k 5 4 x, b a k + ) k ) ) 9 3 Se 0 l equazione ha due soluzioni oinidenti. Sostituiamo il valore di k nella formula..3. Se < 0 6k + 0 < 0 k < 5 4 Se < 0 l equazione è impossibile. S eq. impossibile) Riassunto Se k : S : x 3 Se k > 5 4 k : S : x, k + ± 4k + 5 k Se k 5 4 : S : x, 3 Se k < 5 4 : S

2 Esempio. k x + x kx 0 x k + )x + k 0 a b k + ) k L equazione non è in forma normale: ax + bx + 0 Portiamola in forma normale raogliendo, dove neessario, x. Disussione. Disutiamo il aso a 0. Non è niente da disutere perhè a è sempre diverso da 0.. Caloliamo il. b 4a k + ) 4 k k + k + 4k k k + k ) il è un quadrato perfetto).. Se > 0 k ) > 0 k Se > 0 l equazione ha due soluzioni distinte. x, b ± a k + ± k ) k + ± k ) x k k x.. Se 0 k ) 0 k Se 0 l equazione ha due soluzioni oinidenti. Sostituiamo il valore di k nella formula. x, b a k +.3. Se < 0 k ) < 0 mai verifiato Riassunto Se k : S : x k x Se k : S : x,

3 Equazioni di seondo grado parametrihe Data un equazione parametria di seondo grado, determinare per quali valori di k:. l equazione ha due soluzioni reali; Porre 0. da ora in poi, nei punti seguenti, ogni volta he otterremo un valore di k per ui le soluzioni dell equazione soddisfano ad una erta proprietà rihiesta, andrà ontrollato he quel valore soddisfi 0, ondizione neessaria affinhè le soluzioni esistano). l equazione ha due soluzioni reali distinte; 3. l equazione ha due soluzioni reali oinidenti; 4. l equazione non ha soluzioni reali; 5. l equazione ha un unia soluzione; In tal modo l equazione diventa di primo grado. 6. una soluzione dell equazione è x ; Porre > 0. Porre 0. Porre < 0. Porre a 0. Sostituire x a x. In tal modo si impone he x sia soluzione. 7. la somma delle soluzioni è n; Porre b a n. x + x n b a n 8. il prodotto delle soluzioni è n; Porre a n. x x n a n 9. le soluzioni sono opposte; Porre b a 0. x x x + x 0 b a 0 0. le soluzioni sono reiprohe; Porre a. x x x x a. la somma dei reiproi delle soluzioni è n; Porre b n. x + x n x + x x x n b a a n b n. la somma dei quadrati delle soluzioni è n; Porre x + x n x + x ) x x n b ) a a n 3. la somma dei ubi delle soluzioni è n; Porre x 3 + x 3 n x + x ) 3 3x x 3x x n x + x ) 3 3x x x + x ) n b ) 3 3 b ) n a a a b ) a a n. b ) 3 3 b ) n. a a a Per determinare quali siano gli effettivi valori delle soluzioni he soddisfino la proprietà rihiesta, si può sostituire a k il valore trovato e risolvere l equazione he si ottiene. 3

4 Esempio. k x k + )x + 0 a k b k. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali? 0 k ) 4 k 0 4k + 4k + 4k 0 k 4.. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali distinte? > 0 k ) 4 k > 0 4k + 4k + 4k > 0 k > Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali oinidenti? 0 k ) 4 k 0 4k + 4k + 4k 0 k Per quali valori di k l equazione non ha soluzioni reali? < 0 k ) 4 k < 0 4k + 4k + 4k < 0 k < Per quali valori di k l equazione ha una sola soluzione reale? a 0 k 0 k Per quali valori di k una soluzione è x +? Verifia il risultato he ottieni. k +) k + )+) + 0 kk ) 0 k 0 a.) Se k 0 l equazione diventa: k x + 0, un equazione di primo grado he effettivamente ha soluzione x. Se k, l equazione diventa: he ha soluzioni 4x 5x + 0, x, 5) ± ± 3 8 a.) x x 4 7. Per quali valori di k la somma delle soluzioni è 3? b a 3 k k 3 3k k 0 k 3 k non a.) a.) 8. Per quali valori di k il prodotto delle soluzioni è 4? a 4 k 4 k 4 k non a.) k + a.) 9. Per quali valori di k le soluzioni dell equazione sono opposte? b a 0 k k 0 k non a.) 0. Per quali valori di k le soluzioni dell equazione sono reiprohe? a k k k non a.) k + a.). Per quali valori di k la somma dei reiproi è 5? b 5 k 5 k a.) 4

5 Esempio. x k + )x + k 0 a b k k. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali? 0 k ) 4k 0 k k + 0 k ) 0 k R infatti k ), essendo quadrato, è sempre positivo o nullo).. Per quali valori di k la somma delle soluzioni è? b a k k + k Esempio 3. x k )x + k 0 a b k + k. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali? 0 k + ) 4k ) 0 4k 8k + 4 4k k k k 3k + 0 k )k ) 0 POS N : k > 0 k > POS N : k > 0 k > N N Z Z N N Z Z S S : k k. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali distinte? > 0 k + ) 4k ) > 0... k < k > i passaggi intermedi si possono riavare dai aloli al punto ). 3. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali oinidenti? 0 k + ) 4k ) 0... k k i passaggi intermedi si possono riavare dai aloli al punto ). 4. Per quali valori di k l equazione non ha soluzioni reali? < 0 k + ) 4k ) < 0... < k < i passaggi intermedi si possono riavare dai aloli al punto ). 5

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