Per risolvere un equazione letterale fratta occorre: 1. Scomporre in fattori i denominatori e calcolare il m.c.m.

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1 Equazioni letterali fratte di II grado Un equazione letterale fratta è un equazione fratta che contiene, oltre la lettera che rappresenta l incognita dell equazione, altre lettere, dette parametri, che rappresentano numeri ben determinati, cioè aventi valore costante ma non indicato. La risoluzione di un equazione letterale fratta, detta discussione, consiste nel determinare come variano le sue soluzioni al variare dei valori assunti dai parametri che in essa compaiono. Per risolvere un equazione letterale fratta occorre:. Scomporre in fattori i denominatori e calcolare il m.c.m.. Determinare le condizioni di esistenza, cioè quei valori dei parametri che fanno perdere di significato l equazione (per tali valori non ha senso risolvere l equazione) 3. Determinare le condizioni di accettabilità delle incognite. Tali condizioni sono utilizzate nella fase finale della discussione per stabilire l accettabilità delle soluzioni trovate. 4. Ridurre l equazione a forma normale e studiare i vari casi: equazione che si riduce a I grado equazione completa con >0 equazione completa con =0 equazione completa con <0 5. Discutere le soluzioni trovate confrontandole con le condizioni di accettabilità delle incognite (punto3) 6. Effettuare il riepilogo finale. Matematica

2 Esempio + =0 L equazione si può scrivere: =0 Condizione di accettabilità:. Moltiplicando per il...= 0 =0 ; = Essendo A = l equazione non è mai di I grado. si ha: A B ( b a) = C = ab = +4= + +4= + +=+ >0 per + 0 cioè, = = + = + = = = = = è accettabile se essa è diversa da b, cioè se = non è accettabile perché non soddisfa la condizione di accettabilità discussa all inizio. =0 per =, = = = = = non è accettabile perché non soddisfa la condizione di accettabilità discussa all inizio. Valore del parametro Tipo di equazione Soluzioni a = b Equazione impossibile a b Equazione completa con > 0 a Matematica

3 Esempio = Condizione di esistenza: 0. Per =0 l equazione perde significato Condizione di accettabilità: Riduzione a forma normale: moltiplicando per: 0 si ha: = ; +=0 Discussione: Per =0 cioè: = oppure = si ha: =0 ; =0. =0 Per 0 si ha: +=0 ; = =4>0 =0 Equazione che perde significato = oppure = Equazione di I grado determinata =0 0 e e Equazione determinata con >0 =0 e = Matematica 3

4 Esempio 3 = Condizione di esistenza: 0. Per =0 l equazione perde significato Condizione di accettabilità: 0 e. = = Riduzione a forma normale: moltiplicando per: 0 si ha: = ; = ; + =0 ; =0 ; =0 =0 =0 Discussione: Per la condizione di accettabilità posta all inizio, la soluzione =0 non è accettabile. Nella seconda equazione: =0; Se =0 ; cioè se: Se = 0 =0 equazione indeterminata. Se 0 ; cioè se: Se = = Tale soluzione + 0 e + = ; hè 0 h ; 0 ; 0 =0 Equazione che perde significato 0 = Equazione indeterminata 0 Equazione determinata = + Matematica 4

5 Esempio = + + Condizione di esistenza: 0 e. Per =0 e = l equazione perde significato. Condizione di accettabilità: 0 e. Riduzione a forma normale: moltiplicando per: ++ 0 si ha: ++++=++++ ; = ; =0 ; + + = =0 ; + +=0 =+ = = + =0 (equazione di I grado) per = =0 ; = +4+ += ++ + =0 ; = >0 per ++ 0 ; ma essa è sempre diversa da zero poiché non si annulla mai. Pertanto sotto le condizioni di esistenza, 0 e, si ottengono le soluzioni:, = = = ++ + = + = = + = + + = ++ + = = + + = Tali soluzioni sono accettabili se verificano le condizioni di accettabilità: 0 e. Cioè: ; + 0 ; + ; + + ; Ma tali valori sono già stati esclusi in precedenza nella condizione di esistenza, pertanto l equazione risulta sempre determinata nel dominio delle incognite ( 0 e ). =0 per nessun valore di k <0 per nessun valore di k Valore del parametro Tipo di equazione Soluzioni =0 = Equazione che perde significato = 0 Equazione di I grado = Equazione completa con > 0 = = e = Matematica 5

6 Esercizio =3 Condizione di accettabilità: e. Moltiplicando per il...= 0 si ha: + + =3 +0 ; =0 ; =0 ; 3 =0 ; 3 4=0 ; =0 =4 La soluzione =0 0 e 0 cioè se 0 La soluzione =4 4 e 4 cioè se 0 =0 Equazione impossibile 0 Equazione spuria =0 =4 Esercizio =5 4 Condizione di accettabilità: e. Moltiplicando per il...=4 + 0 si ottiene: 4++ = = =0 +3+6=0 3 6=0 Se =0 0=0 equazione è indeterminata. Se 0 dividendo per a si ottiene: 3 6=0, = = = = = = = = = = =3 a = 0 Equazione indeterminata a 0 Equazione Completa con > 0 x = e 3 Matematica 6

7 Esercizio = Condizione di esistenza: 0. Per =0 l equazione perde significato. Condizione di accettabilità: 0 e. Moltiplicando per il...= 0 si ottiene: = + + =0 + +=0 a = A = 0 Equazione di I : a = 0 ; a = + ( + ) x = 0 ( ) x + = 0 x = 0 x + = 0 = 4 = = = + += + Il discriminante >0., = = ++ = La soluzione = La soluzione = La soluzione = La soluzione = = ++ + = ++ + = + = + = + = + = + + = 0 cioè se 0. ; + ; vera. = 0 ; 0 ; vera. ; ; cioè se 0. =0 =± Equazione che perde significato Equazione di I grado 0 Equazione Completa con > 0 a + a a Matematica 7