Principi di Fisica - Relatività Speciale; grafici spazio-temporali Carlo Cosmelli 2013

Transcript

1 Prinipi di Fisia - Relatività Speiale; grafii spazio-temporali Carlo Cosmelli 0 Definizione dei simboli utilizzati - S(,): Sistema di riferimento inerziale on origine in, e assi (, ); = veloità della lue nel vuoto. -, L linee di universo degli osservatori, L - A, B, C, P eventi nello spazio tempo; A() evento A nella posizione spaziale ; B(t) evento B nella posizione temporale t; C(,t) evento C nella posizione spazio-temporale,t. - = posizione di un erto evento. Lo spazio-tempo in due dimensioni. Il piano dello spazio-tempo, del sistema a riposo S(, ). Il punto (0,0) è lorigine e rappresenta, nel sistema S: qui e ora. Io, he sto fermo in S, ho =0 ostante e mi muovo lungo Linea di universo di un osservatore, fermo in =0 S(,) L Linea di universo di un osservatore L, fermo in = Linee di universo nello spazio-tempo L: parte da = e si muove on veloità v / = /tg β L P L : parte da =0 e si muove on veloità v 0 / = /tg α L: parte da = e si muove on veloità v / =/ tg α β - e L non si inontrano mai - e L si inontrano in P Definizione di simultaneità per eventi misurati on orologi sinroni a riposo (è la definizione data da A. Einstein) B(t B ) L Da parte un raggio di lue verso A. Nel grafio langolo α è tale he tg α = /, ma /t =, quindi tg α =, e α = 5 0. IMPRTANTE: nel piano ( ; ) la lue fa sempre un angolo di 5 0 on gli assi, se sono ortogonali. Se gli assi non sono ortogonali (vedi dopo) langolo è la bisettrie dei due assi. B(t B /) A(t A ) Il raggio di lue arriva allosservatore L in A he legge sul suo orologio il tempo t A, poi viene riflesso e va verso losservatore, (sempre faendo un angolo di 5 0 on gli assi), dove arriva in B al tempo t B. La definizione di simultaneità die he gli orologi in e in B sono sinronizzati se: t(,b)=t(b,b) quindi t(b)=t b / e t(b)=t(a), e gli eventi in B e in A sono simultanei nel sistema S(,). Nota: lasse è parallelo a BA, ioè alla linea di simultaneità, i punti dellasse, infatti, hanno tutti t=0.

2 La griglia (ideale) dello spazio-tempo per il sistema di riferimento S (a riposo) gni linea orizzontale della griglia unise eventi simultanei, e. A e B avvengono nello stesso istante t. gni linea vertiale della griglia unise eventi he avvengono nello stesso luogo; e. C e D avvengono nello stesso luogo. Levento D può essere raggiunto da un fasio di lue partito da. V= C Linee di universo possibili: S(,) V< - A può essere una linea di universo, perhé = A tg, quindi A / = v A /= /tg <, ioè v< A D V> B - B non può essere una linea di universo, perhé = B tg b, quindi B / = v B /= /tg >, ioè v>, e nessun segnale può andare da a B - D può essere una linea di universo, ma solo per segnali luminosi (fotoni) perhé D = tg 5 0, quindi / D = v D /= /tg 5 0 =, ioè v=. b Come si ostruise la griglia per un sistema di riferimento S in moto rispetto ad S Il sistema S(,) è il sistema a riposo. ed L sono le linee di universo di due osservatori he sono partiti da 0 () e da (L) on la stessa veloità v<. Il sistema he vogliamo aratterizzare è quello in ui è a riposo, e lo hiamiamo S. S(,) S(,) - Lasse sarà lasse dei tempi. - Da inviamo un raggio di lue he inontra L nel punto A, allistante t. La lue viaggia sempre a A riflette il raggio, he ritorna allosservatore in B allistante t. La lue viaggia sempre a Per definizione di sinronismo, il punto B, a metà strada fra e B, ha lo stesso tempo t di A. - Lasse si può ostruire in due modi: ) lasse è il simmetrio dellasse rispetto al raggio di lue, i due angoli sono uguali, è questo he garantise he la veloità della lue sia sempre. ) Si traia la retta he parte da (origine di S al tempo t=0), parallela la tratto BA. Questo tratto infatti ongiunge per definizione tempi simultanei nel sistema t. -La griglia ompleta si ottiene traiando le rette parallele ai due assi di S (, ). Vedi dopo. - Si noti he levento A ha oordinate diverse nei due sistemi di riferimento, in S( A,t A ) e in S ( A,t A ). t A B(t A ) B(t A ) A A(t A ) L Nota: t(b) = t(a) t(a) A

3 Come si ostruise la sala (temporale) è un sistema he si muove, rispetto al sistema S, on veloità V= /5, infatti per t A = 5 ha perorso uno spazio = quadretti, mentre ha perorso uno spazio = 5 quadretti. Quindi il g relativo ai sistemi [S, S] vale g = /[-9/5] / = 5/ Nel sistema S misuro t= g t, quindi per esempio: t A = g t A, ioè t A = t A / g da ui t A = 5 /(5/) = Questo vuol dire he lorologio in S, nel punto B segnerà un tempo t A = < t A = 5; ome i aspettavamo va più lento, quindi le unità di tempo sullasse sono più lunghe di 5/ rispetto a quelle di. Nota: Nel sistema S misuro t= g t, quindi per esempio: t A = g t B, ioè t B = t A / g =,, ioè anhe S vede il tempo in S ontratto di g. S(,) S(,) t A 5 B(t A,t A ) t B t A A 0 0 A

4 Problemi di ausalità: lordine temporale di due eventi, in generale, non è definito. Esempio: i due eventi e hanno un ordine temporale he dipende dal sistema in ui vengono misurati. - Nel sistema S(,) t < t quindi levento preede levento - Nel sistema S(,) t < t quindi levento preede levento S(,) S(,) t t t t Problemi di ausalità: soluzione Dopo aver disegnato i due oni di lue per levento (linee blu) e per levento (linee verdi), si vede he e sono altrove uno rispetto allaltro, per ui non i possono essere relazioni di ausalità fra di loro, e lordine relativo dei tempi di aadimento dipende dai sistemi di riferimento da ui vengono guardati. S(,) t S(,) Nella storia passata o futura e : possono aver interagito nel passato nella zona RSSA o potranno interagire nel futuro nella zona GIALLA. t t t

5 La struttura dello spazio tempo in dimensioni, La distanza fra due eventi, uno dei quali avviene nellorigine (qui e ora), mentre laltro ha oordinate,, è: s = t -. In dimensioni (,y,) le rette ± diventano un ono he separa la zona superiore (il futuro di ), la zona inferiore (il passato di ) e la zona laterale (laltrove di ). Analogamente in dimensioni (,y,z,). - Eventi tempo : s >0, sono nel passato o nel futuro di, è possibile una relazione ausale on. Eventi spazio : s <0, sono altrove rispetto ad, NN è possibile una relazione ausale on. Eventi lue : s =0, sono eventi raggiungibili da solo tramite segnali luminosi a veloità. La distanza spazio temporale s = t - è rappresentata, nelle quattro zone del grafio (futuro, passato altrove) da iperboli. Tutti gli eventi di ogni singola iperbole hanno la stessa distanza da. Ma non sono gli stessi eventi! - Un evento tempo: s >0, in partiolare questo ha: s = a. E t (=0, =a) Un evento spazio: s <0, in partiolare questo ha: s = -b. E (=-b, =o) b a