1 La Lagrangiana di una particella in una campo di forze potenziale

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1 Introduzione alle equazioni di Eulero-Lagrange e ai potenziali generalizzati G.Falqui, Dipartimento di Matematia e Appliazioni, Università di Milano Bioa. Corso di Sistemi Dinamii e Meania Classia, a.a. 2008/2009. Prima versione, 1 Diembre Commenti e orrezioni sono benvenuti. Queste note riportano il ontenuto (di parte) della lezione tenuta nell Ottagono della Galleria Vittorio Emanuele. Sono basate, in buona parte, sul libro di H. Goldstein, Meania Classia, Zanihelli, (Bologna, 1970), 1.5. Indie 1 La Lagrangiana di una partiella in una ampo di forze potenziale 1 2 Le equazioni di Maxwell Operatori Vettoriali in Coordinate Cartesiane La forza di Lorenz e il formalismo di Lagrange 6 1 La Lagrangiana di una partiella in una ampo di forze potenziale Consideriamo l equazione di Newton per una partiella di massa m in un ampo di forze on potenziale U(r; t): U(r; t) m r =. (1.1) r Riordiamo he questa è una notazione ompatta per il sistema di tre equazioni U(x, y, z; t) mẍ = U(x, y, z; t) mÿ =, (1.2) y U(x, y, z; t) m z = 1

2 dove si intende he (x, y, z) siano le oordinate di r in un riferimento Galileiano. Fatto 1. Le equazioni di Newton (1.1) sono equivalenti alle equazioni dt ṙ = r, (1.3) dove la funzione Lagrangiana, (o Lagrangiana tout-ourt) della partiella di massa m nel potenziale U(r) è data da L(r,ṙ; t) = m 2 ṙ 2 U(r; t), (1.4) ioè dalla differenza tra l energia inetia T = m 2 ṙ 2 della partiella e la sua energia potenziale U(r; t). Dimostrazione. Nel aso della Lagrangiana onsiderata (1.4) si ha ṙ = mṙ, r U(r; t) =. r Dunque la affermazione si trova sempliemente notando he dt ṙ = d mṙ = m r. dt È forse utile rimarare he, ome nel aso delle equazioni di Newton, l equazione (1.3) è un modo ompatto per esprimere il sistema di tre equazioni (differenziali del seondo ordine) dt ẋ dt ẏ = = y, (1.5) = dt ż dove, per non appesantire la notazione, abbiamo omesso di srivere la dipendenza dalle oordinate di L, (si dovrebbe leggere L = L(x, y, z, ẋ, ẏ, ż; t)). La rilevanza ed utilità della formulazione tramite la Lagrangiana qui presentata delle equazioni del moto verrà disussa in lezioni suessive. In queste note i interessa fare vedere he la lasse di equazioni di Newton per una partiella he ammettono formulazione Lagrangiana omprende, oltre he quelle in ui la forza F(r) ammette potenziale, una lasse partiolare di forze he dipendono anhe dalla veloità; in partiolare, onsiderermo le forze he governano il moto di una partiella aria in un ampo elettromagnetio assegnato. 2

3 2 Le equazioni di Maxwell È fuori luogo qui disutere in dettaglio le equazioni di Maxwell he governano i fenomeni elettromagnetii, e he sono sostanzialmente argomento dei orsi di Fisia II (CdL in Fisia) e Introduzione alla Fisia Moderna (CdL in Matematia). Qui le riorderemo brevemente; a questo proposito è però neessario premettere un altro breve reminder sugli operatori vettoriali in oordinate artesiane. 2.1 Operatori Vettoriali in Coordinate Cartesiane Le oordinate artesiane godono della importante proprietà he, in ogni punto, gli elementi della base mobile sono i traslati paralleli a se stessi dei orrispondenti elementi della base in ogni altro punto, e.g., nel punto origine. Si può sintetizzare questa situazione on le formule e x = i, e y = j, e z = k x, anhe se è bene riordare he i vettori sono, in generale, appliati in punti diversi. La figura (2.1) illustra la situazione. Le urve oordinate sono molto semplii. Per esempio le x-urve oordinate sono le rette {x = t, y = y 0, z = z 0 }, t R parallele all asse x. Le superfii oordinate (anora ad esempio le x-superfii) sono i piani di equazione x = x 0 (ioè piani paralleli al piano (yz)), e osì via. Gli elementi di linea sono dx, dy, dz, quelli di superfiie, rispettivamente, dy dz, dz dx, dxdy, e l elemento di volume è dv = dxdy dz. Gli operatori differenziali hanno la forma familiare dal orso di Analisi II, ovvero, on ovvio signifiato dei simboli: i) Gradiente: ϕ = ϕi + y ϕj + ϕk ii) Rotore: E = ( y E z E y )i + ( E x E z )j + ( E y y E x )k, o, nella fomula più ompatta, E = Det iii) Divergenza: E = E x + y E y + E z, i j k y E x E y E z. 3

4 Figura 1: Coordinate artesiane z e z = k P e x = i e y = j y x e per il Laplaiano si ha ϕ = 2 x ϕ + 2 y ϕ + 2 z ϕ. Si riordano anhe le formule fondamentali he ollegano i tre operatori, he simboliamente sriviamo ome ( ϕ) = 0 ϕ; ( E) = 0 E, (2.1) ioè he il rotore di un gradiente si annulla, e osì pure la divergenza di un rotore. Dalla topologia differenziale è noto he le formule (2.1) si possono invertire sotto opportune ondizioni sulla topologia dell aperto di R sul quale il ampo salare ϕ e/o il ampo vettoriale E sono definiti. Senza sendere in dettagli riordiamo il seguente Teorema 1. Sia U un aperto ontraibile di R 3, ovvero sia possibile trovare un punto x 0 U e definire una funzione ontinua F x0 : U [0, 1] U tale he: F x0 (x; 0) = x, x U F x0 (x; 1) = x 0, x U. 4

5 Allora, se E è un ampo vettoriale C 1 su U, vale he (E) = 0 ϕ : E = ϕ. (E) = 0 A : E = (A). (2.2) Torniamo ora alle equazioni di Maxwell. Si hiama sistema di equazioni di Maxwell (nel vuoto) il sistema di quattro equazioni per i ampi elettrio E e magnetio B, pensate ome funzioni sullo spazio tempo, he in opportune unità di misura (unità di Gauss) si srive nel seguente modo: B = 0 (Il ampo magnetio non ha sorgenti) (2.3) E + 1 B = 0 (Legge di Faraday) (2.4) E = 4πρ (Legge di Coulomb) (2.5) B 1 E = 4π j (Legge di Ampère Maxwell). (2.6) I ampi (rispettivamente, salare e vettoriale) ρ e j he ompaiono al membro di destra delle ultime due equazioni sono la densità di aria ρ e l intensità di orrente j; esse sono legate dalla equazione di onservazione della aria ρ + j = 0. (2.7) Consideriamo ora le equazioni (2.3,2.4), ovvero le equazioni omogenee. Supponendo valide le ipotesi del Teorema 1. Allora, dalla seonda delle (2.2) abbiamo Sostituendo questo risultato nella (2.4) otteniamo E + 1 B = A. (2.8) A = 0 (E + 1 Dalla prima equazione (2.2) possiamo dunque porre A ) = 0. (2.9) E + 1 A = Φ. (2.10) Il ampo salare Φ ed il ampo vettoriale A si hiamano, rispettivamente, potenziale salare e potenziale vettore del ampo elettromagnetio (E,B). È utile notare la seguente proprietà dei portenziali salare e vettore, ovvero he non sono univoamente definiti. Infatti, posto (Φ,A ) = (Φ 1 λ,a + λ), (2.11) per una arbitraria funzione λ = λ(r, t) (regolare) sullo spazio-tempo, vediamo he le equazioni (2.8,2.10) sono soddisfatte da (Φ,A) se e solo se lo sono da (Φ,A ). L invarianza espressa da (2.11) si hiama invarianza di gauge. 5

6 3 La forza di Lorenz e il formalismo di Lagrange Consideriamo un partiella di massa m e aria elettria q he si muove on veloità v in un ampo elettromagnetio (E,B). Allora sperimentalmente si sa he su di essa agise una forza F data da 1 F = q(e + 1 (v B)). (3.1) La ostante è la veloità della lue nel vuoto. Dunque le equazioni di Newton he governano il moto della partiella saranno m r = q(e + 1 (ṙ B)). (3.2) In altre parole, la forza he agise sulla partiella è data dalla forza di Coulomb dovuta al ampo elettrio E, ed alla forza di interazione on il ampo magnetio F L = q (v B). Quest ultima forza è detta forza di Lorenz. Notiamo he la forza di Lorenz ha sempre potenza nulla. Utilizzando le espressioni (2.8) e (2.10), sivere (3.1) nei termini dei potenziali salare e vettore Φ e A ome ( m r = q Φ 1 A + 1 ) (ṙ ( A)). (3.3) Teorema 2. Le equazioni di Newton (3.3) si possono derivare, nel formalismo Lagrangiano, dalla Lagrangiana L(r,ṙ; t) = m 2 ṙ 2 + q (A ṙ) qφ, (3.4) ovvero sono le equazioni di Eulero-Lagrange definite da L = T U gen, on U gen = qφ q (A ṙ), ioè da un potenziale generalizzato, dipendente dalla veloità ṙ, dato espliitamente dalla somma dell energia potenziale della forza elettria qφ meno il prodotto salare tra il potenziale vettore A e il rapporto tra la veloità della partiella e quella della lue nel vuoto. Dimostrazione. Espliitamente, dobbiamo mostrare he le equazioni di Eulero- Lagrange definite da (3.4), ioè dt ṙ = r, (3.5) 1 Consistentemente on la notazione utilizzata in queste note per il rotore, denoteremo on X Y il prodotto vettoriale tra i vettori X e Y. 6

7 oinidono on le equazioni (3.3). Consideriamo una omponente di queste equazioni vettoriali, per esempio la omponente x. Abbiamo: ẋ = m ẋ + A x, e dunque, dt ẋ = d dt (m ẋ + A x) = mẍ + ( A x + ẋ A x + ẏ A x y + ż A x ), (3.6) dato he A x A x (x, y, z, ; t), e quindi, per il teorema della funzione omposta, denotando on A x D altro anto, la derivata parziale rispetto a t della omponente A x, si ha d dt (A x) = A x + ẋ A x + ẏ A x y + ż A x. = q Φ + q Φ (A ṙ) = q + q (ẋ A x + ẏ A y + ż A z q Uguagliando (3.6) a (3.7), osserviamo he i termini ẋ A x danno luogo (raogliendo rispetto ad ẏ e ż) all equazione Osservando he mẍ = q Φ + q (ṙ ( A)) x = ). (3.7) si elidono, e gli altri ( ( Ay ẏ A ) ( x Az ż y A ) ) x. (3.8) ( ( Ay ẏ A ) ( x Az ż y A ) ) x otteniamo dunque he la omponente x delle equazione di Eulero Lagrange relative alla Lagrangiana L data da (3.4) oinide on la omponente x delle equazioni di Newton (3.3). La dimostrazione si onlude osservando he, mutatis mutandis gli stessi argomenti si possono ripetere per le omponenti y e z. 7