Consideriamo l'origine di S' vista da S. x' = q (x ut) (1) dove q è un parametro probabilmente dipendente da u.

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1 Come aennato nell'artiolo preedente, proediamo alla ostrzione espliita delle traformazioni di Lorentz-Einstein partendo direttamente dai de postlati della Relatività ristretta he qi riformliamo. Ttte le leggi e prinipi fisii relativi alla relatività meania di Galileo-Newton e alla relatività elettromagnetia di Lorentz hanno la stessa forma in ttti i sistemi inerziali, ioè, in ttti i sistemi di riferimento he si movono di moto rettilineo niforme on veloità relativa. La veloità della le nel voto ha lo stesso valore in ttti i sistemi enerziali indipendentemente da movimento della sorgente e/o dell'osservatore. Rimandiamo all'artiolo preedente anhe per lteriori preisazioni slle onvenzioni iniziali si de riferimenti he si movono di moto rettilineo niforme on veloità relativa e per sempliità assmiamo he i de assi x sorrino l'no sll'altro. Per t=t'=0, si abbia x=x'=0; y=y'=0; z=z'=0. Poihè il moto è lngo l'asse x, de delle eqazioni di trasformazione saranno y=y' e z=z'. Rimane da trovare la relazione fra x, x', t, t'. Nel orso del tempo negli svariati sritti slla Relatività ristretta si trovano entinaia di dedzioni delle nostre formle, visto anhe he no potrebbe partire da ipotizzare l'invarianza della forma dell'espressione matematia di qalsiasi legge fisia per arrivare ad esse. Noi segiremo na delle tante dedzioni, segendo la traia riportata in R. B. Lindsay & H. Margena, Dover Pbbliations pag. 335 a segire. Consideriamo l'origine di S' vista da S Nel sistema S la oordinata x ddell'origine di S' al tempo t è data da x=*t, per i la sa eqazione oraria è x-t=0. La oordinata t è leggibile s n orologio fissato in S e loalizzato in x e sinronizzato on l'orologio all'origine di S e on ttti gli altri orologi di S. Nel sistema di S' il moto della sa origine è sempliemente x'=0. Le de eqazioni desrivono la stessa osa: per i, assmendo na relazione lineare otteniamo : x' = q (x t) () dove q è n parametro probabilmente dipendente da. Consideriamo ora l'origine di S vista da S' Se applihiamo la stessa argomentazione al moto dell'origine di S visto dall'osservatore in S' avremo x' = -*t', ossia x'+ t'=0 e da S il moto della sa origine è x=0, per i : x = q'(x' + t') () Se le leggi sono le stesse per S e S' (postlato N. ) q e q' saranno gali e li hiamerò k e k= nella relatività di Galileo-Newton. Per ottenere la relazione fra t e t', sostitiso x' della () nella (), ottenendo la (3) x=k[k(x - t) + t']= k (x-t) + kt' da i x = k x k t + kt' x - k x = k (t' kt) t' kt = [( k )x] / k t' = kt + [( k )/ k] x (3)

2 Cerhiamo ora la ostante k, tilizzando il postlato N. Nella () e nella (4) differenziamo le variabili: dx' = k(dx dt) (4) dt' = kdt + [(- k )/k]dx raogliamo nel seondo membro k dt' = k{dt + [(- k )/k ]dx} Se dx'/dt' è l'espressione della veloità istantanea in S', e dx/dt qella in S', rielaborando le (4) faendo apparire le veloità istantane e hiamando [(- k )/k ] = w, dividendo le (4) membro a membro, abbiamo: dx'/dt' = [k(dx dt)] / k{dt + wdx} semplifiando k al seondo membro: dx'/dt' = [(dx dt)] / {dt + wdx} raogliendo nel seon membro al nmeratore e al denominatore dt: dx'/dt' = dt(dx/dt ) / dt( + wdx/dt) e sempliiando dt dx'/dt' = (dx/dt ) / ( + w dx/dt) (5) La (5) vale in generale. Possiamo infatti sostitire v e v' alle veloità istantanee di na partiella riferite ai de sistemi S e S', mentre è la veloità relativa dei de sistemi. Si abbia in partiolare n fotone di le he si move lngo l'asse x. Sia in S sia in S' la veloità della partiella di le è sempre (seondo postlato), he viene a sostitire nelle (5) le de veloità istantanee. = ( ) / ( + w ) e tenendo onto del valore di w si riava failmente il fattore: k = / (-v / ) / (6) infatti: = (-) / [ + ( -k )/k ] = [(-) k ] / (k + -k ) = (k k ) / (k +-k ) k + - k = k k eliminando k - k = - k isolando i monomi on k k k = k = / ( - )k = / [ (- / )] semplifiando : k = (- / ) -/ Sostitendo infine nelle eqazioni () e (3) la (6) otteniamo le eqazioni di Lorentz-Einstein nel nostro esempio semplifiato (vedere sotto il riqadro).

3 L'immagine nel riqadro, in origine sritta in inglese in E. M. Rogers Physis for the inqiring mind, Prineton University Press,973, pag. 48, f poi trasferita e tradotta in italiano in The Projet Physis Corse Unità 4 e Unità 5, Zanihelli Editore, 98 ( Lettre 5/5) e, in ltimo da noi presa in prestito. Per srivere le trasformazioni reiprohe basta sostitire a x' e t', x e t, ai primi membri; sostitire poi ai seondi membri a x', t', x e t e ambiare di segno la. x *( x' t') t *( t' x') y=y' z=z (7)

4 La prima eq. di Lorenz, a destra nel riqadro, dal pnto di vista di n singolo osservatore he pensa di essere in qiete nel sistema S, signifia he, se esso sta osservando n evento in n pnto di oordinate x, e t ome indiato dalla sa stea metria e dal so orologio (fermi rispetto a li), la oordinata orrispondente x' he egli assegna allo stesso evento (per es., ollisione in x,t di de partielle, ovvero na partiella he ragginge qesta posizione...), nel sistema he vede in movimento, è data da: x' / *( x t) Similmente il tempo ( la seonda eq. Di Lorentz) he egli dovrebbe assegnare a qesto stesso evento letto però da n orologio fisso all'origine del seondo sistema in moto (S') e dato da: t x' *( t ) ' mentre y'=y e z'=z (8) MISURE DI LUNGHEZZA NEI DUE SISTEMI Immaginiamo he il fisio voglia misrare la lnghezza di na sbarra AB in qiete in S lngo l'asse x. Allora xb xa =l è la lnghezza della sbarra misrata in S. Non fa differenza a qali istanti i de estremi della sbarra sono stati annotati. Dalle eqazioni (7) si ha: xb xa ( xb' xa') ( tb' ta') o se noi indihiamo xb' xa' = l', la lnghezza in S', si ha: l' l * *( tb' ta') da i si nota he l', la lnghezza in S', non è definita in qanto dipende anhe da ta'-tb', dove ta' è l'istante in S' he orrisponde alla misra di xa' e osì per tb'. Come aennato sembra natrale assmere he sia tb'=ta' per la misra della lnghezza della sbarra in S' he si move on veloità ostante -. Fitzgerald aveva parlato di n'analoga ontrazione per spiegare il risltato nllo dell'esperimento di Mihelson-Morley. Colldiamo he l' = l * ( / ) ½ COMPORTAMENTI DEGLI OROLOGI IN DIFFERENTI SISTEMI INERZIALI Inversione del tempo e di relazioni di asa effetto

5 Consideriamo n orologio or' fisso all'origine di S' per i x' = 0 sempre e x=t. Consideriamo inoltre n'intera strttra di orologi fissati in S a x, x, x3..., adegamente sinronizzati per t=0 fra loro e on qelli dell'altro sistema. Qando l'orologio or' passa davanti all'orologio in x si pò leggere t e s Or', t'. Similmente al passare di Or' davanti all'orologio x sono disponibili le lettre degli istanti t e t' rispettivamente. Ammettiamo he in x e x (sistema fisso) si verifihino de eventi, e e e, negli istanti (distanze dall'origine fissa) t e t e he e preeda e e il pnto di asissa x preeda x. Se t' e t' sono i orrispondenti tempi misrati dall'osservatore in moto ome 'visti' dal fisso, dalle trasformazioni di Lorentz-Einstein si pò srivere: [( t t) / t' t' *( x x)] / Se per ipotesi (t t) e / * (x x) sono positivi, se vogliamo ottenere he t' preeda t' invee di segirlo (t' t'<0) basta he il nmeratore della preedente eqazione sia negativo ioè (t t) < / * (x x); se lospostamento dal pnto x a qello x era avvento on veloità V per es.diverso da, (x x)=v (t t), he sostitita nella preedente si ha: [( t t) V / *( t t)] t' t' si mette in evidenza: / [( t t)*( V / )] t' t' da i / dovrebbe essere -vv/ < 0 e V/ > ; ma al massimo *V potrebbe essere, da i è impossibile invertire il tempo, sambiare l'effetto on la asa, morire prima di nasere o, ome ebbe ad affermare, Einstein telefonare nel passato! DA CONTINUARE