Appunti di Relatività Ristretta

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1 I.S.I.S.S. A. Sarpa Motta di Livenza (TV) Lieo Sientifio Classe V A Anno Solastio 007/008 Appunti di Relatività Ristretta Esher Relatività Tutto è relativo! L astuzia matematia di Lorentz Il pensiero innovativo di Einstein Le 4 dimensioni spazio temporali di Minkowsky A ura del Prof. Giulio Stringelli

2 Un giornalista : Prof. Einstein, i spieghi in parole povere osa si intende per tempo relativo. Einstein: Pensi di stare in ompagnia di una bella donna, il tempo sembra fuggire via; vieversa pensi si stare on i piedi sui arboni ardenti, un seondo sarà un eternità. Il tempo si fonde, ma non si onfonde on le variabili spaziali V. Fok Anno solastio 007/008 Pag. 1 Prof. Giulio Stringelli

3 Appunti Relatività Ristretta Questi appunti non esaurisono l argomento relatività, ma sono un supporto alla normale attività di doenza. Quindi è neessario integrare il tutto on appunti personali durante la lezione e la lettura del testo. Introduzione La teoria della relatività, elaborata da Albert Einstein all inizio del XX seolo, è alla base dell intera fisia moderna. Solo mediante la teoria della relatività si può dare una sistemazione ompleta all elettromagnetismo e alla teoria della gravitazione; ed è solo grazie ad essa he la fisia nuleare e la fisia delle partielle elementari hanno potuto svilupparsi e avere le appliazioni ingegneristihe attuali. La teoria della relatività si può suddividere, anhe storiamente, in due fasi suessive: la relatività speiale e la relatività generale. Il problema di fondo, per risolvere il quale Einstein elaborò la propria teoria, è in ambedue i asi quello di dare una forma invariante, indipendente ioè dal sistema di riferimento, alle leggi fisihe. Per molto tempo si rimase onvinti he l unia risoluzione del problema fosse ostituita dal Prinipio di relatività di Galileo. Seondo questo prinipio tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti per la desrizione dei fenomeni meanii. Riordiamo he un sistema di riferimento è detto inerziale se in esso sono soddisfatte le tre leggi di Newton della meania. Comunemente si die he il sistema delle stelle fisse (ioè un sistema avente ome origine il entro del Sole e l orientazione degli assi invariante rispetto alla posizione delle stelle fisse) è inerziale. Un sistema di riferimento solidale on la Terra non è inerziale in quanto la Terra è in moto rotatorio su se stessa. Gli effetti dovuti a questo moto sono però osì pioli he, in prima approssimazione, si possono trasurare e onsiderare la Terra un sistema di riferimento inerziale. Il prinipio di relatività venne dedotto da Galileo dallo studio dei fenomeni meanii noti al suo tempo (basta riordare il famoso esperimento della aduta dei gravi dalla torre di Pisa). Esso viene messo in disussione alla fine del XIX seolo in seguito alla soperta dei fenomeni elettromagnetii. In modo partiolare la formulazione maxwelliana dell elettromagnetismo e la soperta della natura elettromagnetia della lue portavano a ontraddizioni molto profonde on il prinipio di relatività galileiano. Aluni tra i più famosi fisii dell epoa, in partiolare il franese Jules Henry Poinarè e l olandese Hendrik A. Lorentz tentarono di risolvere queste ontraddizioni ma on sarsi risultati. Bisogna attendere il 1905, anno in ui viene pubbliato da Albert Einstein ( ) sulla rivista Annalen der physik il famoso artiolo intitolato Eletrodynami bewegter korpen (Sull elettrodinamia dei orpi in moto) perhé si riesano a superare le ontraddizioni tra prinipio di relatività e teoria elettromagnetia. È in questo artiolo he Einstein espone i onetti della sua teoria. La teoria della relatività di Einstein si basa su due postulati: Le leggi della fisia devono essere le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. La veloità della lue è una ostante, ioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento. Egli inoltre analizza a fondo i onetti di spazio e di tempo e dimostra, sulla base di due postulati, he né lo spazio né il tempo hanno arattere assoluto; ogni osservatore ha un suo proprio tempo e un suo proprio sistema di oordinate. Einstein dimostra inoltre, partendo dall esistenza di un tempo proprio per ogni osservatore, he le trasformazioni di Galileo sono errate. Esse vanno sostituite on leggi di trasformazione più generali, note ome leggi di trasformazione di Lorentz. Utilizzando queste leggi di trasformazione Einstein dimostra he le equazioni di Maxwell del ampo elettromagnetio sono invarianti; non esiste quindi aluna ontraddizione tra prinipio di relatività ed elettromagnetismo. La teoria della relatività einsteiniana non si limita a spiegare i fatti sperimentali: partendo da essa si derivano una nuova inematia Anno solastio 007/008 Pag. Prof. Giulio Stringelli

4 e una nuova dinamia, hiamate relativistihe, he sostituisono la meania newtoniana. La dinamia relativistia è alla base di tutta la moderna ingegneria nuleare. Con la teoria della relatività Einstein stabilise la ompleta equivalenza, per quanto riguarda la desrizione dei fenomeni fisii, di tutti i sistemi di riferimento inerziali; osì faendo egli estende il prinipio di Galileo, valido per i soli fenomeni meanii, a tutta la fisia. La teoria rimane però limitata ai soli sistemi di riferimento inerziali, da ui il nome di relatività ristretta. Il desiderio di generalità vorrebbe un prinipio di relatività valido anhe per tutti i sistemi di riferimento, anhe non inerziali. È anora Einstein a risolvere il problema formulando la teoria della relatività generale nell opera Die Grundlage der aligemeinen Relativitätstheorie (I fondamenti della relatività generale), presentata nel egli dimostra l equivalenza tra un sistema di riferimento inerziale e uno non inerziale in ui è presente un ampo gravitazionale; si può ioè passare da un sistema di riferimento inerziale a uno non inerziale introduendo un opportuno ampo gravitazionale. Su queste basi Einstein sviluppa una nuova teoria della gravitazione, he si sostituise a quella newtoniana e he è alla base di tutta la moderna osmologia. Relatività Galileana Si onsiderino due sistemi di riferimento inerziali, Σ 0 (x,y,z) e Σ 0 (x,y,z ), tali he Σ si muova di moto rettilineo e uniforme rispetto Σ on VELOCITA RELATIVA, ed in modo he l asse x si muova rispetto ad x nella stessa direzione on veloità, ed y e z parallelamente a rispettivamente a y, z on la stessa veloità. Inoltre si onsideri he al tempo t 0 0,, e quindi dopo un tempo t,il Sistema Σ si trovi ad una distanza. Nelle ipotesi appena fatte si sono dati per impliiti due onetti ardine della posizione galileana di relatività, dopo ereditati dalla meania Newtoniana, tali onetti sono: Prinipio di Spazio Assoluto ( ed infinito) : Lo Spazio misurato da un Osservatore solidale on Σ 0, è sempre lo stesso sia per Σ he per Σ. Lo spazio è da onsiderarsi INFINITO. Prinipio di Tempo Assoluto: Due Cronometri fissati in O e in O, azionati all istante t 0 0, segnano sempre lo stesso tempo; quindi impliitamente si intende he il tempo t per Σ è sempre uguale al tempo t per Σ (tt ) Se si onsidera un punto P solidale on Σ, le sue Coordinate, in un determinato istante t, nel sistema Σ saranno P(x,y,z,t ), allo stesso momento le sue oordinate in Σ saranno P(x,y,z,t). SI FACCIA ATTENZIONE CHE OLTRE LE CANONICHE COORDINATE SPAZIALI SI E INTRODOTTA UNA QUARTA COORDINATA (o dimensione), IL TEMPO. In tale tipo di onezione può anhe omettersi, per quanto detto sopra, ma i Anno solastio 007/008 Pag. 3 Prof. Giulio Stringelli

5 servirà ome riferimento. Per trasformare le oordinate di Σ in quelle di Σ e vieversa si avra bisogno di queste due semplii TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE, Traslazioni in questo aso partiolare: Σ Σ, mentre vieversa Σ Σ Da questa impostazioni disende il eleberrimo Teorema dalla somma delle veloità. Se il punto P si muoverà on veloità di omponenti,, rispetto gli assi omologhi, e riordando he nel aso he il punto P(x,y,z ) in Σ, e P(x,y,z) in Σ, si muova le sue oordinate sono delle funzione in t e quindi si dovrebbero esprimere in questo modo P (x (t),y (t),z (t)), e quindi P(x(t),y(t),z(t)) : Esempio: Un uomo orre on veloità v x all interno di un vagone ferroviario, e il vagone si muove on veloità V, un osservatore sulla terra ferma a quale veloità vedrà orrere l uomo sul vagone? L osservatore vedrà l uomo orrere alla veloità v x v x +V Prinipio di Relatività Galileana : Tutte le leggi Meania ( e quindi si estende a tutte le leggi della fisia) sono le stesse in tutti i possibili sistemi di riferimento inerziali. O meglio, tutte le leggi della fisia sono invarianti rispetto le trasformazioni galileane. La teoria dell elettromagnetismo non è invariante rispetto le trasformazioni galileane. La CRISI della Fisia. Come nell esempio preedente si onsideri un uomo su di un vagone ferroviario he si muove on veloità V, e l uomo aende un toria elettria. L uomo sul treno vedrà la lue propagarsi on veloità 3,00 10 /, veloità ostante determinata da MAXWELL, arta e penna, partendo dalle quattro eleberrime equazioni (Si riordi he. Anno solastio 007/008 Pag. 4 Prof. Giulio Stringelli

6 L osservatore a terra, seondo il teorema della somma veloità vedrà la lue propagarsi alla veloità. Ma iò è un paradosso, in quanto la veloità della lue non è più ostante! E risi della fisia! La veloità della lue alolata da Maxwell, dovrebbe aver bisogno di sistemi privilegiati di riferimento. Insomma una legge delle fisia non è invariante rispetto le trasformazioni galileleane. Ciò va ontro un prinipio di tutta la fisia, e quindi SCRICCHIOLA TUTTA LA FISICA. Riordiamo he se le ipotesi di qualsiasi teoria vengono ontraddette nell ambito della stessa teoria, la teoria stessa viene a adere per ontraddizione e bisogna trovare nuove ipotesi he possano essere prive di ontraddizioni. La veloità della lue e l etere La ontraddizione appena esposta, fu al entro di molte interpretazioni e nuove ipotesi. La omunità sientifia reagì, in modo onservatore e ipotizzo he la lue, radiazione elettromagnetia, non si potesse propagare nel vuoto. Infatti si suppose l esistenza in una fantasmagoria sostanza he avvolgeva tutti e tutto hiamata etere. Così faendo si sarebbe distrutta la teoria Maxwell. Tale ipotesi reava un parallellismo tra le onde meanihe, tra ui il suono, he ha bisogno di mezzo per propagarsi e la lue he avrebbe bisogno dell etere per propagarsi. Invee la lue è apae di propagarsi nel vuoto, o meglio nello SPAZIO VUOTO! L esperimento di Mihelson Morley Torniamo all etere, l etere era inteso ome mezzo immobile in ui tutto si muove. Quindi anhe il moto di rivoluzione della terra attorno al sole si svolge nell etere. Ma se indihiamo la veloità della terra, un osservatore sulla terra POTREBBE PERCEPIRE UN VENTO D ETERE on veloità v e quindi potrebbe vedere propagarsi la lue on veloità ompresa nell intervallo ;. Serviranno a questo punto delle prove sperimentali! Per verifiare l esistenza dell etere e quindi la sua inidenza sulla veloità della lue, si riorse ad un esperimento partiolare he avrebbe permesso di rilevare anhe le più piole variazioni della veloità della lue dovute al vento d etere. L esperimento fu eseguito on un partiolare tipo di interferometro osì fatto Anno solastio 007/008 Pag. 5 Prof. Giulio Stringelli

7 La posizione iniziale è stata quella del fasio di lue dell emettitore è parallelo alla superfiie terrestre e il rilevatore perpendiolare alla superfiie terrestre stessa. Il fasio di lue emessa dalla fonte olpise lo spehio semi riflettente e lo sinde in due fasi di lue he vanno a olpire i due spehi perorrendo le distanze d 1 nel tempo t 1 e d nel tempo t. La differente distanza e l influenza del vento d etere fanno si he t 1 provohi un partiolare spettro d interferenza ostituito da una partiolare suessione di frange d interferenza. In seguito si ripete l esperimento ruotando di 90 l interferometro, osì he la distanza d 1 sia perorsa dalla lue, per il diverso effetto del vento d etere, in un tempo t 1 e la distanza d in tempo t. Così faendo si avrà t 1, on. Questo dovrebbe produrre un diverso spettro di interferenza. Ma le ripetute prove effettuate, on strumentazioni sempre più sofistiate, e ambiando persino l angolo di inlinazione rispetto la superfiie terrestre on ampiezze omprese tra 0 e 90, non hanno prodotto alun ambiamento delle frange d interferenza. Da iò si dedusse he la lue si propagava in tutte le direzioni alla stessa veloità, non subendo l azione del vento d etere! Chi aveva ragione a questo punto. Galileo e Newton oppure Maxwell? EINSTEIN ideò questo paradosso, a tal proposito, intuendo he fosse ostante e he Maxwell avesse ragione : Un uomo viaggia alla veloità della lue su di una naviella spaziale e parallelamente ad esso viaggia un raggio luminoso. L uomo dovrebbe rilevare un ampo elettromagnetio statio, quindi la lue non potrebbe esistere. Le Trasformazioni di Lorentz Un virtuosismo matematio per spiegare la propagazione della lue. Lorentz tentò di oniugare il tutto on un virtuosismo matematio, per spiegare l ISOSTROPIA della propagazione della lue. Partendo dalle TRASFORMAZIONI DI GALILEO, già esposte preedentemente, le modifiò introduendo tre parametri γ, a, b. Dopo innumerevoli tentativi riusì a posizionarli nel modo giusto e riusì ad ottenere un gran bel risultato he giustifiava il fenomeno, ma fu Einstein a giustifiarlo on un signifiato fisio adeguato. Anno solastio 007/008 Pag. 6 Prof. Giulio Stringelli

8 L impostazione teoria delle nuove trasformazioni è la seguente: Per determinare γ, a e b onsideriamo un fenomeno fisio partiolarmente semplie: supponiamo di averee una sorgente puntiforme fissa in O,, la quale all istante t0, in ui O passa per O emette un breve segnalee elettromagnetio, he si propaga in tutto lo spazio irostante formandoo un onda sferia il ui raggio r x + y + z rese on il passare del tempo. In S la equazione della superfiie dell onda al tempo t del segnale emesso al tempo t0 sarà: x + y + z (tt ) (*) ome volevamo una superfiie sferia. Poihé le leggi della fisia devonoo avere la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, e la veloità della lue deve avere il medesimo valore in tali sistemi,in S avremo: x + y + z ( t ) Sostituendoo le trasformazioni di sopra : Cioè: γ ( x vxt + v t ) + y + z + ( a t + abxt + b x ) x ( γ b ) xt( γ v + ab) + y + z (a γ v ) t Che deve essere identia alla (*), per ui per il prinipio di identità dei polinomi si ha: γ b 1; γ v + ab 0; a γ v 1 Risolvendo le tre equazioni a tre inognite di sopra avremo: 1 b ( γ 1), a 1+ γ v, on γ 1 v 1 Anno solastio 007/008 Pag. 7 Prof. Giulio Stringellii

9 Quindi v b γ e a γ Abbiamo quindi determinati le elebri trasformazioni di Lorentz: γ 1 1 Le trasformazioni di Lorentz soddisfano il prinipio di reiproità infatti se risolviamo il sistema di equazioni rispetto a x, y,z,t avremo: γ 1 1 Che differisono dalle preedenti solo per il segno di v ; il fattore γ non è ambiato in quanto dipende da ( v / ). Notiamo he quando v allora γ, mentre per v << allora possiamo on buona approssimazione, onsiderare γ 1, ritornando alle trasformazioni di Galileo. Le trasformazioni delle veloità Quando un punto materiale P si muove la sua veloità è diversa a seonda he l osservatore he la misura sia fermo nel riferimento Σ o Σ. L osservatore in Σ trova infatti: Anno solastio 007/008 Pag. 8 Prof. Giulio Stringelli

10 dx v x dt ; dy v y dt Mentre quello in Σ: dx dy v x ; v y ; dt dt Differenziando ambo i membri delle trasformazioni: ; dz v z dt dz v z dt v dx γ ( dx vdt) ; d y dy ; d z dz ; dt γ ( dt dx ) ; dividendo le prime tre equazioni per la quarta e, suessivamente, dividendo le espressioni a destra per dt si ottiene: dx vdt vx v vx v v dt dx 1 v x 1 dy 1 v y v y γ v γ v dt dx 1 v 1 dz 1 vz vz γ v γ v dt dx 1 v Le regole per la omposizione delle veloità si riduono alle trasformazioni di Galileo per v/<<1. Per hiarire il signifiato di tali trasformazioni onsideriamo un aso semplie in ui : Le veloità in Σ saranno Ponendo v x avremo v v v x y z v 0 0 vx v v x vvx 1 v y 0 v z 0 v ( v ) v x v v 1 Ciò onferma il fatto he la veloità della lue ha lo stesso valore ne sistemi Σ e Σ. x x Anno solastio 007/008 Pag. 9 Prof. Giulio Stringelli

11 Il prinipio di relatività di Einstein. Abbiamo visto ome i risultati sperimentali relativi alla propagazione della lue appaiano tra loro in ontraddizione quando si erhi d interpretarli utilizzando l ipotesi dell etere ome sede dei fenomeni elettromagnetii e le leggi di trasformazione galileiana per il passaggio da un sistema di riferimento a un altro in moto rettilineo e uniforme rispetto al primo. La spiegazione e il superamento di queste ontraddizioni fu opera di Albert Einstein il quale pubbliò nel 1905 il elebre sritto Sull elettrodinamia dei orpi in moto, nel quale veniva enuniata la teoria della relatività einsteiniana. Einstein innanzitutto estese il prinipio di relatività di Galileo, valido per i fenomeni meanii, a tutti i fenomeni fisii, basandosi sul fatto he, sperimentalmente, i fenomeni elettromagnetii sembravano indipendenti dal moto rettilineo e uniforme della sorgente. Egli enuniò quindi il prinipio di relatività (ristretta): le leggi della fisia rimangono identihe in tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo ed uniforme uno rispetto all altro. Una onseguenza immediata di questo prinipio è l abolizione dell etere. Infatti, se anhe l etere esistesse, non sarebbe in alun modo distinguibile dagli altri sistemi di riferimento: questo, fisiamente, equivale a negarne l esistenza. A questo prinipio Einstein aggiunse anhe il seguente postulato, relativo alla propagazione della lue: la veloità di propagazione della lue è sempre la stessa, indipendentemente dal moto del sistema di riferimento in ui viene misurata. Questo risultato è pienamente onfermato dal risultato dell esperimento di Mihelson e Morley, seondo ui la veloità della lue è indipendente dal moto della sorgente. In sintesi, Einstein poggiò le fondamenta della NUOVA teoria he mette d aordo tutti e tutto; tali fondamenta sono i PRINCIPI DI RELATIVITA EINSTENIANA: Prinipio Zero: La veloità della lue nel vuoto deve avere lo stesso valore e in tutti i sistemi inerziali. Prinipio 1: Tutte le leggi della MECCANICA e dell ELETTROMAGNETISMO devono essere invarianti in tutti i possibili sistemi inerziali. Prinipio : Se i fenomeni studiati si svolgono a veloità, le nuove trasformazioni (Trasformazioni di Lorentz) devono ridursi alle trasformazioni di Galilelo. Il onetto di tempo nella fisia relativistia. La simultaneità. Il prinipio di relatività di Einstein impone he le leggi dell elettromagnetismo abbiano la stessa forma per due osservatori O e O in moto rettilineo uniforme uno rispetto all altro. Sappiamo he questo non è vero per le equazioni di Maxwell, he non sono invariati per trasformazioni di Galileo. Per risolvere questa ontraddizione bisogna abbandonare o le equazioni di Maxwell oppure le trasformazioni di Galileo. Ma le equazioni di Maxwell hanno avuto troppe onferme sperimentali per essere messe in dubbio. Sono le leggi di trasformazione di Galileo he, ome mostrò per la prima volta Einstein, non sono orrette. Einstein riusì inoltre a dimostrare he il punto debole delle equazioni di trasformazione di Galileo sta nell assunzione di un tempo assoluto, indipendente dal sistema di riferimento. Come vedremo, questa ipotesi non ha aluna giustifiazione fisia, pur sembrando al senso omune logio e naturale. Anno solastio 007/008 Pag. 10 Prof. Giulio Stringelli

12 Il onetto di tempo è intuitivo e tutta la nostra esperienza quotidiana i die he il tempo sorre. Nasiamo giovani e diventiamo vehi on il passare del tempo; il sole sorge la mattina e tramonta la sera, he è più tardi della mattina. Un altro onetto intuitivo, legato alla nostra esperienza quotidiana, è quello di simultaneità: in base a esso i apita sovente di affermare he degli eventi sono avvenuti ontemporaneamente. Molte volte però noi usiamo la parola simultaneo in modo errato. Consideriamo infatti un treno immaginario, enormemente lungo, tanto he dal vagone di testa non si possa vedere il vagone di oda. Quando il treno si ferma due viaggiatori sendono, uno (A) dal vagone di testa l altro (B) da quello di oda. In he modo possiamo dire se sono sesi simultaneamente? La risposta più banale è: fornendo a iasuno un orologio e faendoi poi riferire l ora in ui sono sesi. Il metodo sembra ragionevole, ma non tiene onto del fatto he un orologio potrebbe ritardare rispetto all altro. Il problema diviene allora quello di poter sinronizzare gli orologi. Alla stessa distanza da A e da B mettiamo una sorgente luminosa S. S emette un raggio luminoso he viaggia sia verso A sia verso B. Ora, per il seondo dei due postulati di Einstein, il raggio luminoso si propagherà on la stessa veloità sia nella direzione di A sia in quella di B, e quindi giungerà nel medesimo istante in A e in B. Quando la lue arriva ad A e B, entrambi regolano i loro orologi in modo da indiare la stessa ora, ad esempio le 1. In questo modo e solo in questo modo è possibile sinronizzare gli orologi e quindi parlare di simultaneità di due eventi. Il punto fondamentale di questo esempio sta nell utilizzo del postulato d invarianza della veloità della lue: senza questa assunzione non si può trovare alun metodo logiamente orretto per sinronizzare gli orologi e quindi stabilire la simultaneità di due eventi. La domanda he sorge spontanea a questo punto è la seguente: se due eventi A e B sono simultanei per un erto osservatore S, essi risultano simultanei anhe per una altro osservatore S in moto rettilineo uniforme rispetto ad S? Consideriamo allora la seguente situazione: abbiamo ioè un treno in moto, on veloità v rispetto a un osservatore S, fermo a terra. Supponiamo he in A e B si aendano due lampade, e he questo avvenga, per l osservatore S, simultaneamente. Vediamo osa aade per un osservatore S solidale on il treno. Al momento dell aensione delle lampade in A e in B i due ipotetii osservatori S e S si trovano nello stesso punto. Se il treno non si muovesse, i raggi di lue emessi da A e B raggiungerebbero S simultaneamente. Ma l osservatore S si sta muovendo, rispetto ad S, inontro al raggio di lue proveniente da B, mentre sta sfuggendo al raggio di lue emesso da A. Quindi il raggio di lue emesso da B raggiungerà S prima di quello emesso da A e quindi per S l aensione della lampada in B è avvenuta prima dell aensione della lampada in A: per S i due eventi non sono simultanei. Il onetto fondamentale he si riava dall esempio riportato è il seguente: gli eventi he sono simultanei per un erto osservatore S non saranno in generale simultanei per un altro osservatore S, in movimento rispetto ad S. Possiamo quindi affermare he ogni osservatore (sistema di riferimento) ha il suo tempo proprio. Lo Anno solastio 007/008 Pag. 11 Prof. Giulio Stringelli

13 speifiare un tempo o un dato intervallo di tempo ha signifiato solo quando venga speifiato anhe il sistema di riferimento ui i si riferise. Questo fatto è assolutamente nuovo nella fisia; prima dell avvento della teoria della relatività al tempo veniva attribuito un arattere assoluto. Un ipotesi del genere è però inompatibile on la più naturale definizione di simultaneità, ome abbiamo visto nell esempio preedente. Se abbandoniamo l ipotesi del tempo assoluto, sompare anhe l inongruenza tra leggi di Maxwell e prinipio di relatività. Tale apparente inongruenza era legata alla legge di omposizione della veloità; questa legge si basa però sulle trasformazioni di Galileo in ui il tempo è assunto essere lo stesso nei due sistemi di riferimento. Poihé questa ipotesi non è sostenibile, anhe le trasformazioni di Galileo devono essere abbandonate. In he modo è allora possibile determinare il tempo e la posizione di un evento, rispetto a un osservatore S, quando onosiamo il tempo o la posizione dello stesso evento rispetto a un osservatore S, in moto relativo rispetto ad S? Bisogna trovare delle nuove leggi di trasformazione: queste leggi dovranno essere in aordo on i due postulati della teoria della relatività: in partiolare dovranno essere tali per ui la veloità della lue nel vuoto rimanga la stessa per tutti gli osservatori, quale he sia il loro stato di moto. La ontrazione delle lunghezze di Lorentz. Come diretta onseguenza, le trasformazioni di Lorentz portano a due importanti modifihe, poihé introduono il onetto di relatività in grandezze normalmente onsiderate assolute: la lunghezza e il tempo. La lunghezza di un orpo appare più orta se misurata quando il orpo è in movimento e più lunga quando il orpo è fermo. Un orpo laniato alla veloità della lue i apparirebbe di lunghezza nulla, mentre il suo orologio non amminerebbe! La misura della lunghezza di un oggetto, quando esso è in movimento rispetto al sistema di riferimento in ui avviene la misurazione, è minore del valore misurato quando esso è fermo (questo valore si hiama lunghezza propria) Supponiamo di dover misurare la lunghezza di un regolo di lunghezza L solidale on il sistema Σ (he si muove in modo solidale on Σ ) fissato per omodità sull asse x. Anno solastio 007/008 Pag. 1 Prof. Giulio Stringelli

14 Nel momento iniziale del moto, quando il regolo è anora fermo, la sua lunghezza L si misura in oordinate simultanee rispetto Σ, e tale lunghezza risulterà: on x e x 1, le oordinate degli estremi del regolo in Σ e L 0 Lunghezza a riposo. Mentre, una volta he il moto è iniziato il regolo si muoverà on il sistema Σ, e la sua Lunghezza (relativistia) si misurerà in oordinate simultanee rispetto Σ, tale lunghezza sarà: on x e x 1, le oordinate degli estremi del regolo in Σ e L Lunghezza relativistia. (Relativa all osservatore solidale on Σ ). Riprendendo le equazioni di Lorentz, si ha: Questo risultato signifia he: Rispetto ad un osservatore solidale on Σ, gli oggetti in moto APPAIONO ontratti nella direzione del moto. Non si ontraggono, ma appaiono ontratti, e ritorneranno ad apparire a dimensione normale quando si fermeranno, a riposo! NON ESISTE PIU LO SPAZIO ASSOLUTO! Esempio: Un astronave sfreia sopra la testa di osservatore alla veloità di 0,9, se l astronave misura a riposo 1Km, quanto sembrerà lunga all osservatore?,, Anno solastio 007/008 Pag. 13 Prof. Giulio Stringelli

15 La dilatazione temporale di Einstein. Con il solito shema di sistemi inerziali, si onsiderino ulteriormente due ronometri fissati nell origine dei sistemi Σ e Σ. Cronometrando un qualsiasi evento, nell uno e nell altro sistema si ottengono i seguenti intervalli temporali: Σ Σ Appliando la quarta equazione di trasformazione di Lorentz si ha: L intervallo di tempo T risulta essere dilatato rispetto a T. Pensando ad un evento he a riposo si ompie in un seondo, a veloità prossime a quelle della lue, potrebbe diventare pressohé infinito per un osservatore sulla terra. Anno solastio 007/008 Pag. 14 Prof. Giulio Stringelli

16 Osservazioni: La durata minima dell'intervallo di tempo è misurata da un orologio solidale on gli eventi; tale intervallo T viene hiamato tempo proprio. Si definise tempo proprio di un orpo, il tempo misurato da un orologio he si muove insieme a quel orpo. Un osservatore he veda questo orpo in movimento può sempre risalire al tempo proprio, he sarà hiaramente diverso dal tempo misurato nel proprio sistema di riferimento, purhé ovviamente onosa la veloità del orpo. Il tempo proprio appare quindi ome un invariante della teoria, nel senso he tutti gli osservatori inerziali possono failmente alolarlo. Il tempo misurato da un orologio in movimento sorre più lentamente rispetto al tempo misurato da un orologio fermo, in modo tanto più evidente quanto più veloemente l'orologio si muove. In altre parole, il tempo misurato da una persona he orre rallenta, in modo tanto più evidente quanto più veloe essa orre. Questo rallentamento dello sorrere del tempo orrisponde a una dilatazione dei tempi, ossia degli intervalli di tempo misurati, per ui due eventi, ontemporanei per un osservatore in quiete, non lo saranno più per un osservatore he si muova rispetto al primo. Ciasun osservatore non noterà alun effetto sul "proprio" tempo, vale a dire per iasuno di essi il ti ta del "proprio" orologio batterà sempre on la onsueta veloità; ma tanto maggiore sarà la veloità relativa dei due osservatori, tanto più lento apparirà mariare all'uno l'orologio dell'altro. Paradossalmente, al raggiungimento della veloità limite della lue, i due osservatori, in moto relativo, vedranno fermarsi l'uno l'orologio dell'altro, pur ontinuando a veder amminare regolarmente il "proprio" orologio. In sostanza, se i due osservatori sono in moto relativo uniforme fra di loro, senza aelerare, né rallentare, né ambiare direzione, e hanno on sè orologi identii, ognuno dei due osserverà l'orologio dell'altro funzionare più lentamente. Vale a dire: esiste una perfetta simmetria tra i due osservatori, per ui ognuno dei due darà una desrizione analoga, ugualmente valida, del fenomeno. Anhe nel aso della teoria della relatività ristretta, ome per tutte le teorie è sempre neessario he i siano delle verifihe sperimentali. La dilatazione temporale è stata onfermata on un elevato grado di preisione da numerosi esperimenti eseguiti nei laboratori di fisia atomia dove studiando il tempo di vita delle partielle subatomihe, in quiete ed in moto, è possibile verifiare appunto he le partielle in moto relativistio vivono più a lungo di quelle in quiete o omunque in moto newtoniano. Uno degli esperimenti più noti fu ompiuto nel 1966, in un aeleratore di partielle al CERN a Ginevra: dei muoni (mesoni instabili), he si muovevano a una veloità di pari al 99,6% della veloità della lue, avevano una vita media esattamente 1 volte più lunga di quella dei muoni a riposo. Si noti he questo effetto è importante soltanto a veloità relativistihe, ossia a veloità he siano una onsiderevole frazione della veloità della lue. È hiaro però he nel momento in ui onsideriamo eventi he si muovono a veloità molto basse rispetto a quella della lue vale la fisia lassia. Ma osa suede se il moto non è più uniforme? Paradosso dei gemelli A tale proposito, Einstein suggerì l'ormai famoso "paradosso dei gemelli" (anhe se in realtà non si tratta di un "paradosso", in quanto viene spiegato ompletamente nel ontesto dei due postulati della teoria della Relatività Ristretta). Anno solastio 007/008 Pag. 15 Prof. Giulio Stringelli

17 "Se un organismo vivente, dopo un volo arbitrariamente lungo ad una veloità approssimativamente uguale a quella della lue, potesse ritornare nel suo luogo d'origine, egli sarebbe solo minimamente alterato, mentre i orrispondenti organismi rimasti, già da tempo avrebbero dato luogo a nuove generazioni." (Einstein, 1911) Ci sono due gemelli, inizialmente nello stesso posto e dotati di due orologi uguali, sinronizzati. Uno dei due gemelli rimane sulla Terra, mentre l'altro parte per un viaggio interstellare a bordo di un'astronave, la ui veloità, molto elevata, raggiunge l'80% di quella della lue. Al suo ritorno a Terra, l'orologio del gemello astronauta segna he sono trasorsi 30 anni (di tempo "proprio") dalla partenza, mentre quello del suo gemello, rimasto a Terra, quanti ne segnerà?,, Ne segnerà ben 50 dalla partenza dell'astronave. Poihé nel veiolo spaziale, in movimento ad altissima veloità, tutti i fenomeni sorrono più lentamente, nell'ipotesi he gli orologi biologii (ad esempio, le pulsazioni ritmihe del uore, i battiti del polso) si omportino ome gli ordinari segnatempo, anhe l'invehiamento avverrà on un ritmo più lento. In altri termini, dopo avere fatto questo viaggio a veloità elevatissime, ritornando sulla Terra, l'astronauta ritroverà il fratello gemello più vehio di lui di ben 0 anni! In questo aso, poihé il gemello astronauta non ompie un moto uniforme, ma deve neessariamente aelerare e deelerare per effettuare l'andata e il ritorno, la situazione non è più simmetria: l'astronauta avrà, in effetti, vissuto di meno rispetto al suo gemello rimasto a Terra. Questo fatto è sorprendente, ma, di per sé, non paradossale. Il paradosso emerge se si tiene presente he anhe per gli astronauti i fenomeni terrestri sarebbero rallentati, poihé essi vedono la Terra muoversi; per le stesse ragioni onsiderate sopra, essi potrebbero arguire he il gemello terrestre rimane più giovane, in ontraddizione on le previsioni terrestri. Poihé non si tratta di opinioni soggettive, al ritorno dell astronave, si potrebbe omunque deidere quale delle due opzioni è vera, e quindi la relatività onterrebbe una vera ontraddizione. L errore he invalida queste ultime onsiderazioni, e he vanifia il presunto paradosso, è ontenuto nella onsiderazione seondo la quale anhe l astronave sarebbe un sistema inerziale, mentre le variazioni di veloità (aelerazione e deelerazione) mostrano hiaramente he l astronave non ostituise un sistema inerziale durante l intera missione. Per desrivere orrettamente ome appaiono gli eventi terrestri agli astronauti bisognerebbe onosere le trasformazioni tra oordinate di sistemi non inerziali, ai quali non si applia il prinipio di relatività formulato all inizio di questo lavoro. Cioè, si dovrebbe riorrere alla teoria della relatività generale. Nonostante l'apparente irrealizzabilità, il paradosso dei gemelli è stato verifiato sperimentalmente! Questo grazie a degli orologi atomii olloati a bordo di due aerei he volavano in direzioni opposte rispetto al pianeta: l'aereo he viaggia in direzione est somma la sua veloità a quella di rotazione della terra, dunque viaggia più veloemente di quello he viaggia in direzione ovest, e quindi deve segnare un tempo inferiore di alune frazioni di seondo. Anno solastio 007/008 Pag. 16 Prof. Giulio Stringelli

18 Questo effetto ha rievuto reentemente un ulteriore onferma: orologi molto preisi sono stati messi a bordo di aerei in viaggio intorno al mondo ed in seguito onfrontati on orologi rimasti a Terra. Anhe se l effetto è piolo, perhé gli aerei ovviamente viaggiavano a veloità molto inferiori rispetto a quella della lue, si è visto he il tempo segnato dagli orologi he hanno viaggiato in aereo era diverso da quello segnato dagli orologi rimasti a Terra, in perfetto aordo on le previsioni della relatività (nei aloli si è tenuto anhe onto del rallentamento degli orologi in un ampo gravitazionale previsto dalla relatività generale). Spazio tempo di Minkowski Il matematio lituano Herman Minkowski ( ), nel 1908 poo dopo la pubbliazione delle idee di Einstein, diede alle stesse una formulazione geometria molto elegante. Nella visione di Minkowski, il tempo è trattato alla pari delle altre oordinate spaziali. Dato he un evento può essere sempre individuato tramite la sua posizione nello spazio e lungo l'asse temporale, il formalismo relativistio può essere formulato in uno spazio a 4 dimensioni (spazio tempo), nel quale le prime 3 oordinate oinidono on le normali oordinate spaziali e la quarta è rappresentata dal tempo. In questo modo un evento è identifiato da una quaterna di numeri (x,y,z,t) he lo individuano nello spazio tempo detto di Minkowski o ronotopo. Uno spaziotempo è sempliemente la versione matematia di un universo he, ome il nostro universo fisio, ha dimensioni sia spaziali he temporali. Uno spaziotempo piatto è uno spaziotempo he non onsidera gli influssi gravitazionali, poihé questi ultimi tendono a deformarne la struttura. Ciò he rende uno spaziotempo diverso da un spazio eulideo sono, naturalmente, le differenti leggi he lo governano. Definizione matematia di spazio tempo L usuale spazio eulideo può essere definito a partire dall'invariante della distanza: Δs Δx + Δy + Δz Con gli assiomi della relatività einsteniana, e in partiolare on l'assunto della ostanza della veloità della lue, ad essere invariante è, a questo punto, la distanza perorsa dalla lue in un detto intervallo temporale Δt: s Δt e quindi s Δx + Δy + Δz Δt Anno solastio 007/008 Pag. 17 Prof. Giulio Stringelli

19 I nuovi vettori, he fanno parte di uno spazio a quattro dimensioni, sono tali per ui: Δx + Δy + Δz Δt 0 Si possono, quindi, utilizzare due onvenzioni: o si assegna il segno positivo al quadrato del tempo e quello negativo a quello dei vettori spaziali, o vieversa; l'importante è he i due quadrati, temporale e spaziale, siano opposti in segno, ovvero he uno dei due venga onsiderato immaginario. Quindi mentre per la fisia lassia spazio e tempo sono due entità fra loro separate, perhé il tempo sorre on un suo ritmo indipendente da quale sistema di riferimento usiamo, al ontrario nella teoria della relatività spazio e tempo sono talmente intreiati fra di loro he non possono più essere onsiderati separati, ma si deve introdurre il onetto di spazio tempo per sottolineare questa mutua influenza. I punti dello spaziotempo sono detti eventi e iasuno di essi orrisponde ad un fenomeno semplie he si può risontrare verifiarsi in una erta posizione spaziale in un erto istante. Ogni evento è individuato da quattro oordinate. Può osì aadere he in un erto sistema di riferimento un evento A preeda, ioè aada prima di, un evento B, mentre in un altro sistema di riferimento sarà l evento B a preedere l evento A. L inversione temporale si può verifiare solo se un raggio di lue partito da uno dei due eventi è in grado di raggiungere il punto spaziale orrispondente all altro evento, solamente dopo he questo seondo evento si è verifiato. La natura non i fornise evidentemente nessun sistema di assi artesiani il ui riferimento è assoluto. Nel mondo reale le oordinate devono essere definite artifiialmente. Di onseguenza due differenti osservatori O e O posti in uno spaziotempo possono avere sistemi di oordinate diversi, e possono quindi trovarsi in disaordo su una posizione spaziotemporale di un evento. Da qui nase la neessità di reare delle relazioni fra le diverse misurazioni attuate dagli osservatori, relazioni he possono essere suddivise in due tipi: la prima quando i due osservatori sono tra loro in stato di quiete, l altra quando gli osservatori sono in moto relativo fra loro. Di quest ultimo aso i ouperemo in modo partiolare in quanto base fondamentale della relatività ristretta. Possiamo rappresentare su un piano una sezione dello spazio tempo limitandoi alle oordinate x e t. Inoltre, per rendere omogenee le oordinate, moltiplihiamo la oordinata tempo per la ostante. Il generio evento è quindi rappresentato dalla quaterna (x,y,z,t). Due sistemi di riferimento O e O, in moto l uno rispetto all altro lungo l asse x e on origini oinidenti all istante tt 0, saranno rappresentati dallo shema sotto riportato. Gli eventi A e B hanno, rispettivamente, oordinate (x A, t A ) e (x B, t B ) in O e (x A, t A ) e (x B, t B ) in O. Inoltre gli eventi A e B risultano ontemporanei per O, mentre A è anteedente a B per O. Anhe la distanza spaziale tra i due eventi, x B x A e x B x A appare diversa se misurata da O o da O. Le due linee gialle rappresentano due raggi di lue partiti all istante tt 0 dall origine e propagantesi in direzioni opposte. La Anno solastio 007/008 Pag. 18 Prof. Giulio Stringelli

20 loro equazione nei due sistemi di riferimento, per la ostanza della veloità della lue, è x ±t e x ±t Ciò he risulta identio (invariante per trasformazioni di Lorentz) per i due osservatori è il osiddetto intervallo s, dato dalla seguente espressione: I raggi di lue dividono lo spazio tempo di O e O in tre regioni, passato, presente e futuro. Il passato è ostituito da tutti gli eventi he possono aver trasmesso informazione ad O, il presente da tutti quegli eventi he non possono inviare informazione ad O e il futuro da tutti quegli eventi he possono rievere informazioni da O. A ausa dell'insuperabilità della veloità della lue ui si è fatto riferimento, non tutti i punti del ronotopo possono essere raggiunti a partire da uno di essi; ad esempio, quelli per i quali vale la relazione: x > it sono osì lontani dall'origine he non può raggiungerli neppure la lue, e dunque sono fuori dalla portata di un osservatore posto nell'origine. Quelli per ui invee vale la relazione: x < it possono essere raggiunti, e quindi ostituisono il passato (se t < 0) o il futuro (se t > 0) dell'osservatore he si trova nell'origine dei tempi (t 0 signifia il presente) In uno spazio tridimensionale i punti he soddisfano l'equazione preedente sono i punti interni di un ono, he viene detto ono di lue. Tali punti possono avere relazioni di ausa ed effetto on l'origine. E' faile dimostrare he non esiste la possibilità di invertire ronologiamente la ausa e l'effetto, ioè di invertire la freia del tempo; e iò rende materialmente impossibile realizzare una mahina del tempo ome quella sognata da Herbert George Wells. Siamo pertanto indotti a onludere he la posizione e la veloità sono fisiamente onepibili solo in quanto relazione tra differenti oggetti. Una posizione assoluta ed un assoluta veloità sono astrazioni ompiute dalla nostra mente, senza nessun signifiato onreto. Un osservatore inerziale è un osservatore he non sta aelerando. Le sue oordinate sono oordinate inerziali. La premessa basilare della relatività, quella per ui la natura non fornise alun sistema di oordinate fisihe, porta a onludere he l universo sia uguale in tutte le sue parti per ogni osservatore inerziale; tutto questo è riassunto dal Prinipio di relatività di Einstein: Le leggi della fisia sono le stesse in ogni sistema di oordinate inerziale. Anno solastio 007/008 Pag. 19 Prof. Giulio Stringelli

21 Equivalenza massa energia. Un'altra onseguenza fondamentale della Relatività Ristretta riguarda il onetto stesso di massa ed energia. Se a un orpo he si muove a veloità prossima a quella della lue si fornise energia, la sua veloità aumenterà molto poo, mentre a subire un effettivo inremento sarà la sua massa. Quando si modifia la Dinamia di Newton, he è invariante per le trasformazioni di Galileo, per renderla invariante per le trasformazioni di Lorentz, si ottiene ome onseguenza he la quantità di moto di una partiella la ui massa è m, non è più data sempliemente dal prodotto m v. Infatti la massa della partiella aumenta on il progressivo aumentare della sua veloità, seondo la legge: E' proprio questo aumento relativistio dell'inerzia ad impedire alle partielle di venire aelerate fino alla veloità della lue, he risulta osì assolutamente insuperabile. Tale effetto è stato osservato innumerevoli volte negli aeleratori di partielle ad alta energia. Einstein ha inoltre mostrato he iò he in un sistema di riferimento inerziale appare ome energia si può manifestare ome massa in un altro sistema di riferimento; quindi entrambe sono manifestazioni della stessa entità e sono ollegate fra loro dalla famosa equazione, elebre quanto Einstein stesso e nota on il nome di equazione relativistia per l'energia: 1 dove m rappresenta la massa di un orpo, la veloità della lue ed E l energia di riposo, relativa al aso in ui il orpo è fermo. La formula esprime un onetto "filosofio" ompletamente nuovo e rio di onseguenze inaspettate (rispetto alla meania lassia): esso afferma la totale equivalenza di massa ed energia (a meno della ostante moltipliativa ²). Afferma ioè he massa ed energia sono due aspetti apparentemente diversi di una medesima realtà. Di onseguenza una piola massa equivale ad una grandissima energia (dato he la massa m va moltipliata due volte per la veloità della lue he è una quantità molto grande). Vieversa una grande variazione d energia orrisponde ad una piola variazione di massa. Nel mondo subatomio tuttavia le variazioni di energia sono talmente grandi da provoare ospiue variazioni nella massa. La massa è dunque una speie di energia "ongelata" he in determinate ondizioni si può trasformare in altri tipi di energia, ome nel aso dell energia nuleare he deriva, almeno in parte, dalla differente massa posseduta da un grande nuleo e dai frammenti più pioli nei quali si è diviso. Alla onservazione della massa ed alla onservazione dell'energia va periò sostituita la onservazione della massa energia. Questo spiega perhé, nelle reazioni nuleari, una piola frazione di massa sparise, dando luogo ad un'enorme liberazione di energia, purtroppo adoperata in modo nefasto nelle armi termonuleari, ontro l'uso delle quali Einstein si batté a spada tratta fino alla morte, sentendosi responsabile della loro invenzione. Ma spiega anhe ome mai una oppia partiella antipartiella può essere generata apparentemente "dal nulla", quando l'energia si materializza seondo la E m². Oggi i prinipi della relatività speiale sono inorporati e verifiati nel funzionamento degli aeleratori di partielle. Anno solastio 007/008 Pag. 0 Prof. Giulio Stringelli

22 Simili energie si ottengono nelle reazioni atomihe di fissione (in ui nulei pesanti tipo l'uranio si rompono generando parti più leggere ed energia dal difetto di massa (reattori nuleari, bombe atomihe)) e di fusione (in ui nulei leggeri ome per esempio il deuterio si fondono formando elio on trasformazione del difetto di massa in energia (stelle, bombe H)). Energia e quantità di moto relativistihe Anhe un orpo a riposo in un erto sistema di riferimento (energia inetia 0) e sul quale non agise alun ampo di forze (energia potenziale 0) è dotato di un'energia, hiamata energia a riposo. L'energia totale posseduta dal orpo in moto è allora pari alla somma dell'energia a riposo e dell'energia inetia, seondo la formula: m d m0 + Attraverso omplessi aloli he rihiedono l'uso del alolo infinitesimale, si possono risrivere le espressioni della quantità di modo e dell'energia totale di un orpo seondo la dinamia einsteiniana: 1 m 0 v p m v 0 1 β E tot m 0 1 β Sostituendo la prima delle due dentro l'altra si trova il legame tra di esse: E tot p + m 0 mentre la orrispondente formula nella dinamia newtoniana era E p / m Se nella preedente si pone nulla la massa a riposo si trova E tot p, il he signifia he possono esistere delle partielle prive di massa. Sono tali i fotoni, i quanti di lue (ioè i "pahetti" di energia trasportati dalla radiazione luminosa), he sono dotati di energia e di quantità di moto pur essendo privi di massa a riposo. Anno solastio 007/008 Pag. 1 Prof. Giulio Stringelli

23 Conlusione Con la teoria della relatività Einstein stabilise la ompleta equivalenza, per quanto riguarda la desrizione dei fenomeni fisii, di tutti i sistemi di riferimento inerziali; osì faendo egli estende il prinipio di Galileo, valido per i soli fenomeni meanii, a tutta la fisia. La teoria rimane però limitata ai soli sistemi di riferimento inerziali, da ui il nome di relatività ristretta. Il desiderio di generalità vorrebbe un prinipio di relatività valido anhe per tutti i sistemi di riferimento, anhe non inerziali. È anora Einstein a risolvere il problema formulando la teoria della relatività generale egli dimostra l equivalenza tra un sistema di riferimento inerziale e uno non inerziale in ui è presente un ampo gravitazionale; si può ioè passare da un sistema di riferimento inerziale a uno non inerziale introduendo un opportuno ampo gravitazionale. Anno solastio 007/008 Pag. Prof. Giulio Stringelli