PROBLEMA. L EFFETTO GEMELLI Adattamento da P.A. Tipler Invito alla Fisica 3 E.F.Taylor-J.A.Wheeler Fisica dello Spazio-Tempo Zanichelli

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1 PROBLEMA. L EFFETTO GEMELLI Adattamento da P.A. Tipler Invito alla Fisica 3 E.F.Taylor-J.A.Wheeler Fisica dello Spazio-Tempo Zanichelli Obiettivi Presentare una soluzione semplificata del Paradosso dei Gemelli Utilizzare in modo consapevole le trasformazioni di Lorentz e i diagrammi spazio-temporali Riconoscere il carattere relativo della simultaneità Utilizzare il concetto di tempo proprio, distanza propria, intervallo Spazio-temporale I due gemelli Oreste e Omero hanno accettato di partecipare ad un esperimento per verificare l EFFETTO GEMELLI: <<Se O fa un lungo viaggio di andata e ritorno, a velocità confrontabile con quella della luce, mentre il suo gemello O resta a terra, al suo ritorno trova il gemello molto più invecchiato rispetto a lui.>> Oreste rimane a terra ( riferimento Ω) mentre Omero intraprende un viaggio con un astronave che si muove con velocità, raggiunge una stella lontana dalla terra 8 anni luce (8c) e torna subito indietro ripercorrendo la stessa distanza con la stessa velocità. L orologio di Oreste è sincronizzato con quelli della terra. I due gemelli sincronizzano i loro orologi in modo che segnino il valore 0 nell istante in cui Omero inizia il suo viaggio (Evento A ) a) Dal punto di vista di Oreste e secondo le leggi della Relatività speciale, dopo quanti anni Omero tornerà sulla terra? di quanto sarà invecchiato? b) Una serie di stazioni di guardia affianca l astronave di Omero e costituisce un riferimento spaziale,ad essa solidale, che indicheremo con Ω 1. I due riferimenti hanno l origine in comune, nel punto in cui Omero è partito. Le stazioni sono munite di orologi tra loro sincronizzati. Indicheremo Oreste,Omero e la stella con O, O, S rispettivamente. Quando è affiancato a S, O confronta il tempo del suo orologio con quello di S. Una delle stazioni spaziali, S, registra il passaggio della Terra e confronta il tempo del suo orologio con quello dell orologio di O.

2 Soluzione Di quanto si è spostato O, rispetto ad O, e in quanto tempo, secondo il riferimento Ω 1? Verifica che la distanza spazio-temporale tra i due eventi A{O O} e B{ O S} è la stessa in entrambi i riferimenti Secondo il riferimento Ω 1 gli orologi di S e di O non sono sincronizzati. Quale orologio anticipa e quale ritarda? Qual è la differenza fra i tempi segnati dai due orologi? c) In relazione agli eventi A e B disegna, in un riferimento xot, o la linea universo e la linea di simultaneità di O o la linea universo e la linea di simultaneità di O o la linea universo e la linea di simultaneità di S In relazione all evento B calcola le coordinate del punto S o in cui la linea di simultaneità di S incontra la linea universo di O le coordinate del punto S 1 in cui la linea di simultaneità di O incontra la linea universo di O Commenta i risultati alla luce della relatività della simultaneità d) Appena raggiunge S, O inverte il suo moto istantaneamente. Un altra serie di stazioni spaziali affianca l astronave di O e costituisce un riferimento spaziale ad essa solidale che indicheremo con Ω 2. Disegna nel piano xot, In relazione all evento B la nuova linea-universo e la nuova linea di simultaneità di O e determina i punti R e S 2 in cui ciascuna di esse incontra la linea universo di O. Cosa rappresentano le coordinate di ciascuno di questi punti? e) Dal punto di vista di Omero, di quanto è invecchiato Oreste quando si ricongiungono? a) Oreste e Omero sincronizzano i loro orologi in modo che segnano il valore 0 nell istante in cui sono affiancati e Omero inizia il suo viaggio Essi fanno anche da origine ciascuno al proprio riferimento spaziale e saranno indicati con O e O rispettivamente. L asse e l asse sono coincidenti con la retta che congiunge O con S. Su ciascuno dei riferimenti spaziali sono posti sistemi di orologi tra loro sincronizzati. Orologi sincronizzati in un riferimento non lo sono nell altro se ciascun riferimento si muove rispetto all altro

3 Viaggio di andata Dati: Distanza OS a riposo = 8c Velocità relativa tra i due riferimenti (β = 4/5 γ= 5/3) Misura della distanza temporale: tra i due eventi O è in quiete rispetto alla retta OS, quindi può calcolare tranquillamente la distanza temporale dividendo = 10 anni ma può anche leggere sul suo orologio l istante di partenza e far leggere ad un suo collaboratore, sull orologio di S, l orario di arrivo. L orologio di S segnerà 10 anni. O può usare solo il suo orologio, leggendo il valore del tempo all istante in cui sta affiancato con O e il valore del tempo nell istante in cui è affiancato con S. Il suo orologio segna 6 anni = Poichè il tempo di ritorno è uguale quello di andata, Omero tornerà sulla terra dopo 20 anni, misurati da Oreste, e sarà invecchiato di 12 anni. I risultati sono in accordo con le leggi della Relatività speciale e con le trasformazioni di Lorentz Legge di dilatazione del tempo il tempo proprio è quello misurato con un solo orologio, quindi da O, il quale assiste ai due eventi sempre nello stesso luogo Il tempo improprio è quello misurato da O, con due orologi, in quanto i due eventi avvengono, per lui, ad una distanza di 8c. Contrazione delle lunghezze Il segmento OS è in moto rispetto a O per il quale la distanza di 8c risulta contratta lunghezza impropria = 8c *3/5 =4,8 c Ovvero la misura del tempo proprio permette a O di misurare la lunghezza del segmento OS nel suo riferimento = Trasformazioni di Lorentz Coordinate dei due eventi in ciascun riferimento Evento A Evento B O (0;0) (8c; 10) O (0;0) (0;6) Invarianza dell intervallo spazio temporale 36 b) Punto di vista di O

4 Quando O giunge in S, gli orologi del riferimento di O segnano tutti 10 anni. L orologio di S rileva che invece l orologio di O segna 6 anni. O conclude che L orologio di O ritarda rispetto ai suoi O è invecchiato solo di 6 anni, mentre sulla terra sono passati 10 anni è verificata la legge di dilatazione del tempo Punto di vista di O Nell istante in cui l orologio di O segna 6 anni, O è affiancato ad S il cui orologio segna 10 anni. Se vuol sapere dov è O e di quanto è invecchiato ha bisogno di un altro orologio. Le stazioni di guardia che si muovono parallelamente alla direzione del moto di O sono munite di orologi. Possiamo pensare, quindi, che nel riferimento di O possono esserci infiniti orologi tra loro sincronizzati e che segnano 6 anni. Tra questi ce ne sarà uno, S, che si trova affiancato ad O. S si trova a distanza -4,8 c da O e rileva che l orologio di O segna 3,6 anni Questi risultati sono in accordo con le leggi della Relatività speciale e con le trasformazioni di Lorentz Legge di dilatazione del tempo il tempo proprio è quello misurato con un solo orologio, quindi da O, il quale assiste ai due eventi sempre nello stesso luogo Il tempo improprio è quello misurato da O, con due orologi, in quanto i due eventi avvengono, per lui, ad una distanza di 4,8c. anni Contrazione delle lunghezze Il segmento O S è in moto rispetto a O per il quale la distanza di 8c risulta contratta lunghezza impropria = = 4,8c *3/5 =2,88 c Ovvero la misura del tempo proprio permette a O di misurare la lunghezza del segmento O S nel suo riferimento Trasformazioni di Lorentz Coordinate dei due eventi in ciascun riferimento Evento O S Evento B O (0; 3,6) (8c; 10) O (-4,8c ; 6) (0,6) Invarianza dell intervallo spazio temporale O, rispetto ad O, secondo il riferimento Ω 1 si è spostato di una distanza pari a 4,8c ( in verso contrario al moto di O rispetto a O) in un tempo pari a 6 anni O conclude che L orologio di O ritarda rispetto ai suoi O è invecchiato solo di 3,6 anni, mentre per lui sono passati 6 anni

5 Secondo il riferimento Ω 1 gli orologi di S e di O non sono sincronizzati in quanto quello di O segna 3,6 mentre quello di S segna 10 S è in anticipo, rispetto a O, di 6,4 anni Essendo si ottiene S, l orologio inseguitore, il quale, secondo O, durante l operazione di sincronizzazione riceve prima il segnale, anticipa di una quantità proporzionale alla distanza da O. c) Nel riferimento xot, avendo posto c=1, solidale con O

6 La linea universo di O è la retta x=0 La linea universo di S è la retta x=8 Le rette di simultaneità di O sono rette parallele all asse x (t=costante) la linea universo di O è la retta La linea universo di un raggio di luce che parte da O è la retta t=x (linea-luce) Le rette di simultaneità di O sono rette simmetriche rispetto alle corrispondenti linee-luce, cioè aventi coefficiente angolare uguale a v costante Evento B Le coordinate del punto S o in cui la linea di simultaneità di S incontra la linea universo di O sono S o le coordinate del punto S 1 in cui la linea di simultaneità di O incontra la linea universo di O sono S 1 S o S 1 rappresenta l evento {l orologio di O segna 10 anni} rappresenta l evento {l orologio di O segna 3,6 anni} L evento B è simultaneo di S o nel riferimento di O, mentre è simultaneo di S 1 nel riferimento di O d) Se il moto relativo, di O rispetto ad O e viceversa, continua in modo rettilineo e uniforme, i due riferimenti sono equivalenti per il Principio di relatività Se però O fa una virata e torna indietro, cambia la sua linea universo, ma anche la sua linea di simultaneità! Linea universo Linea di simultaneità Non appena inizia la virata, O si trasferisce in un altro riferimento, quello della seconda serie di stazioni di guardia. La nuova linea universo di O incontra la linea universo di O nel punto R di ordinata 20 che rappresenta l evento {Omero ritorna da Oreste) La nuova linea di simultaneità di O incontra la linea universo di O nel punto di ordinata 16,4 che rappresenta l evento {l orologio di O segna 16,4 anni}

7 Nel periodo di tempo, per O trascurabile, dell inversione di marcia, sulla terra sono passati 16,4-3,6 = 12,8 anni che, aggiunti ai 7,2 anni ( 3,6 anni per l andata e 3,6 anni per il ritorno), danno come risultato 20. Nel nuovo riferimento gli orologi della terra sono in anticipo di 6,4 anni rispetto a quelli della stella! Tutti gli eventi appartenenti al segmento, prima della virata erano al di sopra della retta di simultaneità di O, cioè nel futuro di O. Dopo la virata passano al di sotto della retta di simultaneità, cioè nel passato. Questo fatto è sorprendente ma non paradossale. I suddetti eventi dovevano ancora essere registrati dagli orologi del primo riferimento di O ( quello del viaggio di andata) mentre erano stati già registrati dagli orologi del riferimento in cui Omero si trasferisce nel viaggio di ritorno. e)quando si ricongiungono i due gemelli concordano sul fatto che: Oreste è invecchiato di 20 anni e Omero è invecchiato di 12 anni.