La teoria della Relatività Generale

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1 Liceo Classico Seneca La teoria della Relatività Generale Prof. E. Modica

2 La massa

3 Dipendenza della massa dalla velocità Se un corpo di massa m è soggetto ad una forza costante F nella direzione della sua velocità v, l accelerazione che il corpo subisce è data da: a = F/m Moltiplicando ambo i membri per Δt, otteniamo: Δv = (F/m) Δt Questa formula ci suggerisce che se aspettiamo un tempo sufficientemente lungo, la velocità supererà quella della luce! La seconda legge di Newton viene quindi riscritta come: F Δt=Δ(m v)

4 La massa è variabile! Se si suppone che m 0 sia la massa a riposo di un corpo, misurata da un osservatore rispetto al quale il corpo è fermo, la massa dello stesso corpo, per un osservatore che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al primo con velocità v, è data dalla formula: m m 1 0 v c 2 2 m 0 m 0 prende il nome di massa a riposo o massa invariante.

5 La relazione tra la massa e l energia Dopo alcune considerazioni sull energia cinetica e sull energia totale di un corpo, Einstein pervenne alla famosissima relazione: E mc 2 m Essendo le due grandezze E ed m proporzionali, possono essere considerate equivalenti (si ricordi che c è una costante!) 0 c 2

6 La relatività generale

7 Esigenza di una relatività generale Secondo Einstein: i sistemi di riferimento inerziali non possono avere un ruolo privilegiato; le leggi della fisica devono essere uguali per tutti gli osservatori, qualunque sia il loro moto relativo.

8 Massa inerziale e gravitazionale Definizione 1: Si dice massa inerziale la resistenza che oppone un corpo alla variazione del suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Definizione 2: Si dice massa gravitazionale la misura della forza di interazione di un corpo con la forza gravitazionale. Essa è proporzionale al peso di un corpo. Osservazione: Le due masse hanno una definizione differente, ma si dimostra essere equivalenti.

9 L idea di Ernst Mach ( ) Il fisico austriaco Mach aveva supposto che l inerzia di un corpo nasce dall interazione con la materia dell universo. Di conseguenza la massa di un corpo è strettamente legata ad una forza, così come la massa gravitazionale è associata alla forza di gravità.

10 Considerazioni di Einsten Partendo dall ipotesi di Mach, Einstein capì che l assumere uguali le due masse equivale ad assimilare un sistema uniformemente accelerato a un campo gravitazionale! Se una persona cade liberamente, non ha più la sensazione del proprio peso. (Einstein, 1907)

11 Gedankenexperiment dell ascensore Ascensore a sinistra: se l ascensore è fermo rispetto alla terra, i corpi sono soggetti all accelerazione di gravità g. Ascensore a destra: se l ascensore è in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre, i corpi galleggiano nell aria come se fossero privi di peso.

12 Gedankenexperiment dell ascensore Astronave a sinistra: se l astronave si trova in una zona dello spazio a gravità trascurabile, i corpi al suo interno rimangono sospesi. Astronave a destra: se l astronave presenta un accelerazione a = - g, orientata verso il soffitto, i corpi cadono sul pavimento. Non vi sono esperimenti che permettono di distinguere questa situazione dall essere fermi in presenza di un campo gravitazionale.

13 Deduzione Un sistema di riferimento non inerziale è equivalente ad un campo gravitazionale.

14 Principi della relatività generale Einstein, nel 1916, pubblicò negli Annalen der Physik l articolo I fondamenti della teoria della relatività generale. Principio di equivalenza Principio di relatività generale Tutti i sistemi di riferimento inerziali in un campo gravitazionale uniforme sono equivalenti ai sistemi di riferimento uniformemente accelerati in un campo gravitazionale nullo Le leggi della fisica assumono la stessa forma in relazione ad ogni sistema di riferimento.

15 Conseguenze del principio di equivalenza

16 Altre possibili geometrie Dalla geometria euclidea è noto che la linea più breve che congiunge due punti dello spazio è un segmento. Inoltre per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela a quella data (V postulato di Euclide). Se si modifica il V postulato di Euclide, è possibile ottenere delle geometrie diverse con proprietà interessanti.

17 La geometria della sfera Consideriamo come spazio la superficie di una sfera. A differenza di quanto accade nel caso del piano, la linea più breve che unisce due punti della superficie sferica è un arco di circonferenza massima che passa per i due punti e avente centro coincidente con quello della sfera. Tali circonferenze massime si comportano come le rette nel piano. È semplice immaginare che, data una circonferenza massima e un punto esterno ad essa, non esiste alcuna circonferenza massima passante per il punto che non intersechi la prima circonferenza, quindi non ci sono rette parallele. La linea più breve che unisce due punti di uno spazio prende il nome di geodetica.

18 Le masse incurvano lo spazio-tempo Nella fisica lo spazio e il tempo erano assoluti e non erano legati ai sistemi di riferimento. Nella teoria della relatività spazio e tempo sono legati ai sistemi di riferimento. Mentre la relatività ristretta prevede uno spazio-tempo piatto, la relatività generale considera lo spazio-tempo come incurvato dalle masse presenti nell universo. Einstein immaginava quindi lo spazio-tempo incurvato dalla presenza delle masse, le quali si muovono come particelle che non sono soggette ad alcuna forza per andare da un punto all altro. Questo spostamento avviene seguendo le geodetiche. La materia dice allo spazio come incurvarsi e lo spazio dice alla materia come muoversi (John A. Wheeler)

19 Curvatura dello spazio-tempo

20 Modello bidimensionale dello spaziotempo incurvato da una massa Se si lascia cadere una biglia pesante lungo un foglio di gomma reticolato, essa provocherà la curvatura del foglio. Una seconda biglia, lasciata sul foglio, inizierà a rotolare verso quella più pesante come se ne fosse attratta. Se si lancia la seconda biglia con una velocità iniziale v, essa descrive una traiettoria come quella di un pianeta intorno al Sole.

21 Descrizione relativistica del sistema solare Nella teoria della relatività il sistema solare viene descritto come segue: la massa solare incurva lo spazio-tempo; i pianeti si muovono secondo quanto imposto da tale curvatura.

22 Il sole deflette la luce