GRAVITAZIONE INTRODUZIONE ALLA FISICA 2. Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

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1 GRAVITAZIONE INTRODUZIONE ALLA FISICA 2 Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

2 Corso di Fisica 2 Testi consigliati: MAZZOLDI NIGRO VOCI Elementi di FISICA Elettromagnetismo TIPLER MOSCA Corso di fisica 2 HALLIDAY RESNICK KRANE Fisica 2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

3 Corso di Fisica 2 Le trasparenze mostrate a lezione saranno di volta in volta disponibili sul mio sito all indirizzo: Ricevimento studenti Dipartimento di Fisica, pian terreno, corridoio destro (in fondo), stanza R78a Ogni giovedì, dalle 11 alle 13 Per il ricevimento virtuale, potete contattarmi al seguente indirizzo elisabetta.bissaldi@poliba.it Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

4 Forze centrali PROPRIETÀ di una forza centrale: Per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza, la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto CENTRO DELLA FORZA Il modulo della forza è FUNZIONE SOLTANTO DELLA DISTANZA del punto materiale P dal centro stesso F = F r u r F r > 0 forza repulsiva F r < 0 forza attrattiva Esempi: 1. Forza elastica 2. Forza gravitazionale 3. Forza elettrica Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

5 Forze centrali CAMPO DI FORZA Regione di spazio dove agisce una forza che dipende dalla posizione e che modifica lo spazio stesso; Esso agisce su qualunque particella che si trovi in un certo punto di tale spazio. PROPRIETÀ 1. In un campo di forze centrali, il MOMENTO DI UNA FORZA CENTRALE rispetto al centro è OVUNQUE NULLO dl dt = 0 L = costante 2. Le forze centrali sono CONSERVATIVE B W = න F r u r ds A Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

6 Forze centrali Il MOMENTO DI UNA FORZA CENTRALE valutato rispetto al centro della forza è nullo (M = 0) La forza ed il vettore posizione sono PARALLELI o ANTI PARALLELI Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante (L = costante) Direzione: Il moto è un moto piano, r e v stanno sempre sullo stesso piano Verso: La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso Modulo: La velocità areale è costante (= il segmento che connette il centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali) In modulo: L = r mv = r mv θ L = mr 2 dθ 2 ω = mr dt Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

7 Forze centrali da r dθ Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

8 Forze centrali VELOCITÀ AREALE da dt = 1 2 r2 dθ dt = L 2m Esprime la rapidità con cui viene spazzata l area da dal vettore r r da Se L = costante, allora: da dt = A T = costante A: area totale racchiusa dalla traiettoria dθ T: Periodo (tempo totale impiegato per percorrere la traiettoria) Se la traiettoria è CHIUSA T = 2m L A Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

9 Le leggi di Keplero 1. «L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi» Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

10 Le leggi di Keplero 1. «L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi» 2. «Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali» La velocità areale è costante, il momento angolare si conserva Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

11 Le leggi di Keplero 1. «L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi» 2. «Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali» La velocità areale è costante, il momento angolare si conserva 3. «I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali al cubo delle loro distanze medie dal sole» T 2 = ka 3 (a = semiasse maggiore dell orbita) Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

12 La forza gravitazionale CENNI DI TEORIA DELLA GRAVITAZIONE UNIVERSALE (NEWTON, 1687) Approssimando ad orbite circolari, si ottiene che Il moto è uniforme (la velocità areale deve essere costante) Il pianeta è soggetto ad un accelerazione centripeta La forza di gravitazione universale si comporta da forza centripeta (dove T è il periodo di rivoluzione) F = mω 2 r = m 2π T 2 r = 4π2 k m r 2 La forza esercitata dal Sole sui pianeti è INVERSAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA LORO DISTANZA DAL SOLE F 1/r 2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

13 La forza gravitazionale CENNI DI TEORIA DELLA GRAVITAZIONE UNIVERSALE (NEWTON, 1687) Per il modulo della forza Sole Terra si ottiene F = γ m Sm T r 2 Avendo definito la costante γ come: γ = 4π2 m S k T = 4π2 m T k S La direzione della forza è quella della retta congiungente il Sole alla Terra Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

14 LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE La forza gravitazionale F 1,2 = γ m 1 m 2 r 2 u 1,2 Masse m 1, m 2 sono di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza mutua Forza ATTRATTIVA, diretta lungo la congiungente le due masse γ = costante universale NON dipende dalla masse né dalla geometria del sistema, ma è caratteristica dell interazione gravitazionale Prima misura di Cavendish nel 1798 Valore: γ = m 3 kg 1 s 2 La forza gravitazionale: È una forza CENTRALE Si manifesta A DISTANZA senza che le masse vengano in contatto (interazione FONDAMENTALE) Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

15 L energia potenziale gravitazionale Poiché la forza gravitazionale è una forza conservativa, il lavoro non dipende dalla traiettoria, ma solo dalle posizioni iniziale e finale: W = E P,A E P,B ENERGIA POTENZIALE: E P = γ m 1 m 2 r Il segno meno indica che la forza gravitazionale è ATTRATTIVA Per due masse molto distanti (r ), allora F = 0 e E P = 0 L energia potenziale si assume nulla all infinito Quando m 2 si avvicina dall infinito a m 1, la forza gravitazionale compie un lavoro positivo, m 2 acquista energia cinetica: per la conservazione dell energia meccanica: E k > 0 E P < 0 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

16 Moto di un corpo nel campo gravitazionale Il moto in un campo di forze centrali è sempre piano. Si può inoltre dimostrare che il moto di un corpo sottoposto all accelerazione gravitazionale è descritto da una conica (ellisse, iperbole, parabola) a seconda dell energia totale della particella. Si consideri una massa m sotto l azione gravitazionale di una massa M. L energia totale di m è data da E = E k + E P Per orbite aperte (iperbole, parabola): E > 0 m non è gravitazionalmente legata Per orbite chiuse (ellissi) E < 0 m risulta gravitazionalmente legata Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

17 Energia e momento per orbite ellittiche Nel caso di pianeti o satelliti che compiono orbite CHIUSE, si possono definire Eccentricità dell orbita a semiasse maggiore ε = 1 b 2 /a 2 b semiasse minore dell ellisse descritta. ε < 1 (ε = 0 nel caso della circonferenza) Si può dimostrare che: 1. L energia dipende da a: E = γ mm 2a 2. Il momento angolare dipende da a e da ε L 2 = γ m2 M 2 m + M a 1 ε2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

18 Esercizio 0.1 Si determini il valore dell accelerazione di gravità partendo dalla legge di gravitazione universale, sapendo che la massa e il raggio della Terra valgono rispettivamente m T = kg e r T = 6370 km. Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

19 Esercizio 0.2 Si calcoli la velocità di fuga di un corpo dal pianeta Giove, sapendo che la massa e il raggio di Giove valgono rispettivamente m G = kg e r G = m. Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

20 Esercizio 0.3 Un satellite di massa m descrive un orbita circolare intorno un pianeta di massa M; il raggio dell orbita è r ed il periodo T. Si calcolino: 1. L espressione della massa del pianeta; 2. L espressione dell energia del satellite; 3. Ricordando che m T = kg e r T = 6370 km, e assumendo che la massa del satellite valga m s = 1000 kg, si calcoli il periodo in funzione del raggio (variabile tra r = 100 km e r = 300 km. Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A