Gravitazione Corsi di Laurea in: Fisica Anno Accademico 2010_11

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1 Gravitazione Corsi di Laurea in: Fisica Anno Accademico 010_11 1

2 1. Forze centrali Sono forze molto importanti in fisica Sono sempre dirette verso un centro di forza Origine delle coordinate coincidente con il centro della forza Sono conservative Il momento angolare si conserva y P Repulsiva!! o ˆ r P x l = C.(ostante) prima del 600 nella gravitazione (Universo) non c era niente da spiegare. corpi terreni corpi celesti

3 Newton non se lo è inventato. Si basa sulle osservazioni di Tycho Brahe (fine del 1500) ed i calcoli del MATEMATICO Keplero che aveva enunciato 3 leggi fenomenologiche ( ). Dimostrazione della II legge: v dt p se consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo dt: S da dt = L m = 1 r ϕ Finqui 13 Gennaio 011 3

4 Sole 1. diametro: Km ( 109R T ) 3. gravità: 8g. densità 0.5ρ Terra 4. massa Kg 5. distanza Sole-Terra: Km pianeta Massa (Kg) <Dist> dal Sole (m) Dist. al perielio (Km) Distanza all afelio (Km) Periodo (s) anni T /r 3 (s /m 3 ) Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano Nettuno Plutone Luna: 1. dist. dalla Terrra Km. diametro: 3476 Km 3. volume 10 9 Km 3 1/49 V Terra 4. massa: 1/80 M Terra 5. densità: 0.61 ρ Terra 3.34ρ acqua 6. gravità: 1/6 g 4

5 luna Massa (Kg) <dist.> da Giove (Km) Dist. al periastro di Giove Distanza all apoastro di Giove Periodo (giorni) Io Europa Ganimede Callisto satelliti M (Kg) <dist.> T(Km) Dist. al periastro. (*10 3 Km) Dist. apoa. (*10 3 Km) Periodo (minuti) Sputnik I Sputnik II Explorer I Vanguard I ExplorerIII Sputnik III

6 Con la stessa approssimazione ( ma vale anche nel caso generale di orbite ellittiche) delle orbite circolari: La forza è centripeta, e per il sistema Terra-Sole vale: ( F S,T = F c = M T ω r = 4π M T r) dalla III legge di Keplero: T ( F S,T = 4π M T r) K T r 3 M T r dalla III legge della dinamica...è una forza proporzionale alla massa della Terra e inversamente proporzonale al quadrato della distanza. 6

7 Definendo la nuova costante: modulo della forza Cosa fece realmente Newton? confrontò le accelerazioni della luna e di un grave ( vedremo come ) considerò le masse puntiformi E fece l ipotesi. 7

8 Infatti se nella legge ricavata prima indichiamo con G una costante di proporzionalità: In realtà G è una costante che non dipende nè da M né da r Dimensioni: Valore: 8

9 Dimostrazione della III legge Usiamo il sistema Terra-Luna nell aprossimazione dell orbita circolare e masse puntiformi ( ma è sempre vera!!!): ω m C centro di massa ω c M G Mm ( R + r) = mω r ( R + r ) = r 1+ R r T r 3 = 4π GM = cost. orbite circolari T ( ) = cost. orbite ellittiche a 3 = 4π G M + m a = semiasse maggiore 9

10 F T,L = G M m T L ; F = G M m T d L r T si conoscevano (d L era inizialmente errato): d L m; r T m nell ipotesi di lavorare in un sistema di riferimento inerziale: g = F m = G M T r ; F T,L = G M T M L T d L = M L ω L d L GM T = ω L d L 3 a L = F T,L M L = G M T d L g = F m = G M T r T G, M T non erano noti! G M T si determina misurando ω e d L l accordo con la misura di g era ottimo 10

11 Se e giusta l potesi dell inverso del quadrato della distanza per m e M L : d L 60r T g = GM T r T a L GM T d = r T L d L a L = v L d L ( ) = ms ( ) = 4π d L = 4π m T d L s se g=9.81 ms -1 : misurato!!! In ottimo accordo con i dati sperimentali!!! inoltre: Cavendish a questo punto per misurare la massa della Terra bisogna aspettare Cavendish nel 1798 dato che si conosceva solo il prodotto GM T Nota G si possono misurare le masse di tutti I pianeti 11

12 G Cav. = Nm Kg G att. = Nm Kg L errore sulla misura di g fu solo di circa 1% del valore attuale: 1

13 Utilizzando la formula del binomio di Newton: ( ) ( 1+ x) n =1+ nx + n n 1 ( )( n ) x + n n 1 3 ( )( n ) ( n 3) x 3 + n n x E limitandoci al termine del primo ordine se x e piccolo: ( r T + h ) r 1+ h T r T = r T 1 h +... r T altrimenti: dg dr = d ( dr GM T ) r = GM T r 3 = g r dg g = dr r T = h r T 13

14 da esperimenti di dinamica MASSA da esperimenti gravitazionali ma sono uguali le quantità che si misurano? siano dati tre corpi: # M in M gr distanza A M A,in M A,gr d AC =r C M C,in M C,gr B M B,in M B,gr d CB =r ma in un esperimento inerziale: 14

15 F gr. = G M T M gr r T a = F gr. = G M T m in. r T M gr m in. Se la gravita fosse una proprieta della materia il rapporto potrebbe essere diverso da uno e le acelerazioni di corpi in caduta libera potrebbero essere diverse Da Newton: solo se: m in. =m gr. Bessel: misure accurate con pendoli: 1. Eötvos (1909): m in. =m gr. con Dicke (1964) : m in. =m gr. con Baessler(1999): m in =m gr con Ministep exp.( 010) m in =m gr con

16 Essendo centrale (radiale), in coordinate polari si ha che: verifichiamo che è conservativo: f x = GMmx(x + y + z ) 3 f y = GMmy(x + y + z ) 3 f z = GMmz(x + y + z ) 3 z A B x O y 16

17 W AB = GMm 1 1 r B r A dalla definizione di potenziale: dalla definizione di energia potenziale: E p ( r) = U(r) = V ( r) = G Mm r + C <0 per r finito =0 per R= F g è attrattiva W>0 se m viene da U(r) vale per qualunque cammino Energia potenziale negativa? 1. È nulla all infinito( ragionevole!! ). Avvicinandosi alla sorgente del campo: 1. Le forze del campo compiono lavoro positivo. L energia cinetica aumenta ma. 3. L energia mecc. totale si conserva e quindi 4. Diminuisce l energia potenziale ma 5. Era nulla all inizio.. 3. Può solo diventare negativa!!! 17

18 1. regione di spazio sede di forze gravitazionali. è una grandezza vettoriale n F tot = G m im 0 n 3 r r i0 = G m i r i0 r ˆ m 0 i0 g = i=1 3. il campo di una massa non è perturbato dalle altre masse 4. caratterizzato da un vettore tipico: n F tot = G m i m 0 r i0 i=1 Per una distribuzione continua di massa: g = G dm r ˆ r ˆ r i0 i=1 campo: funzione vettoriale della posizione ( e del tempo?) campo: è un intermediario m 0 m i m 3 m 1 m ( ) = E ( r) p V r m = G M r + C W = ΔE p = mδv = m V B V A g = V ( ) F gr. = E p,gr 18

19 y m m o a a r x p r g 1 g P x il segno meno indica che per x>0 il campo è verso sx come va il campo per x>>a? g 1 = g = Gm r g y = g 1y + g y = 0 g x = g 1x + g x = g 1 cosθ = G m x p r r g x = Gm x p ( x + a ) 3 g x = g 1 cosθ = G m x p r r g x = Gm x p ( x p + a ) 3 L y x dx + L r d g P x = x p x dg x = Gdm r λ = m s dm = λdx L r = x p x dg x = Gdm = G λdx r x p x ( ) g x = dg x g = g xˆ i = Gm s x p x p L ˆ i = Gλ + L L dx ( x p x) 19

20 U U U U = mgz z Forza peso r Forza elastica U U = Kx x U = br r U = H r Forza gravitazionale N.B. Forza centrifuga 1. la forza di Newton è intesa per una distribuzione di massa sferica o puntiforme altrimenti vale per gli elementi dm. per i sistemi legati gravitazionalmente si ha: 0

21 E T (orb. ell.) r + E T = 1 mv G Mm = 1 G Mm r a In un sistema di riferimento non inerziale ( ruota con ω=dφ/dt) centrato sul Sole e con un asse che punta verso il pianeta, il pianeta risente di una forza apparente centrifuga per cui: F r = G Mm r F r = G Mm r K K + m dϕ dt + l mr 3 r U eff ω=dφ/dt non e costante ma lo e L per cui: Che integrata: = G Mm + l r mr l Gmr U eff r = ( r ) = 0 K r 0 = r = l Gmr U eff ( r ) = min. U( 1 r) = E p,gr. K > E p,gr. E 0 > 0 K = E p,gr. E 0 = 0 K < E p,gr. E 0 < 0 orbita ellisse cerchio parabola iperbole Eccent. 0<e<1 e=0 e=1 e>1 En.totale <0 <0 =0 >0 1

22 consideriamo infatti un corpo di massa m (satellite) orbitante attorno ad un corpo di massa M(pianeta). Sia M fisso nell origine di un sistema di riferimento inerziale e facciamo l approssimazione che orbita di m sia circolare. G Mm r = mω r

23 U(J) Κ c si può dimostrare che per un orbita qualunque : E una parte dell energia cinetica r + E = J M + m ε d Mm ( ε 1) = G mm ( εd ε 1) r 0 r c r 1 r J = cost. : momento ang. orbitale U( 1 r) orbita ellisse cerchio parabola iperbole Eccent. 0<e<1 e=0 e=1 e>1 En.totale <0 <0 =0 >0 3

24 Per come avevamo definito il potenziale: Che per l energia potenziale del P.M. in b: Nei casi generali: 4

25 F( r) = G M T m r du( r) = dl = F ( r) dr = F r dr du r ( ) = G M m T r R ( ) = GM T m dr U r r dr = G M m T dr = G M T m R r 5

26 Velocità di fuga L energia potenziale di un corpo di massa m sulla superficie terrestre vale il lavoro, cambiato di segno, che le forze del campo compiono per trasportare il corpo di massa m dall infinito (ove F g =0; U g =0) fin sulla superficie terrestre: Se parte con una velocita iniziale v 0, la sua energia totale vale: All infinito la sua energia potenzale si annulla e rimane solo energia cinetica U( r T ) = 1 mv 0 G M T m r T 1 mv 0 1 mv 0 G M T m r T 0 1 mv 0 = G M T m r T 6

27 ) Periodo massimo di un pendolo??? T ( )s 7

28 Per un punto che dista r dal centro: 8

29 y r o x R T M T Dove: 9

30 m : r 1 : G m 1m m r 3 : r 13 : G m 1m 3 1 r 13 m : r 3 : G m m 3 r 3 E l energia potenziale del sistema è la somma: Mentre per separare i corpi: 30

31 Energia potenziale (di legame)del sistema Terra-Sole: Avendo considerato: 31

32 1. Il vettore del campo ha la direzione della tangente alla linea di forza in ogni punto. iniziano e finiscono sulle sorgenti del campo 3. la loro densità è proporzionale all intensità del campo 4. la loro distribuzione nello spazio in genere rispecchia le simmetrie delle sorgenti 3

33 Linee di forza che indicano il campo gravitazionale vicino ad una massa puntiporme. La direzione delle L.d.F. indica la direzione del campo in ogni punto; la densità delle linee è proporzionale all intensità del campo 33

34 Campo di una distribuzione a simmetria sferica nel caso di uno strato sferico cosa succede fuori e dentro la distribuzionedi massa? g r = G M r e se la distribuzione è piena? r > R 34

35 Ad una distanza r dal centro: 35