Fisica Generale II con Laboratorio. Lezione 0

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1 Fisica Generale II con Laboratorio Lezione 0

2 Gravitazione e leggi di Kepler Leggi di Kepler: Fenomenologiche, dedotte dalle osservazioni e misure accurate di Brahe e Kepler stesso raccolte in molti anni i)le orbite dei pianeti sono ellissi, di cui il Sole occupa uno dei fuochi ii)il raggio vettore che misura la posizione di un pianeta rispetto al Sole spazza aree uguali in tempi uguali iii)il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta e proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbita Ben verificate dai dati osservativi E.Menichetti - 010

3 Problema dei due corpi Moto di un pianeta intorno al Sole: determinato dalla legge fondamentale della dinamica, e dalla legge di gravitazione universale Realta : Problema a molti corpi (influenza anche degli altri pianeti, satelliti, ) Separazione del moto del centro di massa del Sistema Solare (con ottima approssimazione: moto uniforme, visto che il S.S. e pressoche isolato) e del moto relativo di ogni parte rispetto al centro di massa Effetto del Sole dominante su quello degli altri pianeti Approssimazioni: Il centro di massa coincide con il Sole L effetto degli altri pianeti viene trascurato 3 E.Menichetti - 010

4 Orbite ellittiche - I Eq. fondamentale della dinamica: dv F= ma= m dt d r mm m = G r mm dt r F = G u r Equazioni del moto Due leggi di conservazione all opera (sistema isolato): Momento angolare: L= r p= costante, r posizione, p quantita' di moto del pianeta Energia totale: 1 mm = costante= r mv G E 4 E.Menichetti - 010

5 Orbite ellittiche - II L= costante Moto in un piano Infatti: L= r p L r, p Piano individuato da r,p ad ogni istante: sempre la stessa normale Orbita piana L= r p= r mv= mr v + ϕ = mr v vr r dϕ L= = = = dt mrvϕ mr costante L ϕ Moto analizzato in coordinate polari meglio che in coordinate cartesiane 5 E.Menichetti - 010

6 Orbite ellittiche - III r= ru, u versore radiale Componenti polari della velocita': dr d dr du = ( ru ) = u + r dt dt dt dt dr dr dϕ = u + r t dt dt dt u = cosϕi + sinϕj ( cosϕ) ( sinϕ) ( cosϕ) ( sinϕ) du d d d dϕ d dϕ = i+ j= i+ j dt dt dt dϕ dt dϕ dt du dϕ sin dϕ = ϕ i+ cosϕ ( dϕ ) dϕ j= sinϕi+ cosϕj = t dt dt dt dt dt t u dr dr dϕ v= = r + r t dt dt dt 6 E.Menichetti t ^ t u^ φ v r

7 Orbite ellittiche - IV Componenti polari dell' accelerazione: dr dr dϕ v= = r + r t dt dt dt a= = r+ + t+ t+ dv d r dr dr dr dϕ dϕ dϕ dt r r dt dt dt dt dt dt dt dt dt d r dr dϕ dϕ dϕ dt r r dt dt dt dt dt dt a= r+ t+ t+ dt t= sinϕi+ cosϕj = cos i sin j dt ( ϕ ϕ) ϕ ϕ ϕ a= r+ t+ t r d r dr d d d r r dt dt dt dt dt d r dϕ dr dϕ dϕ a= r r r t dt + + dt dt dt dt a r a ϕ dϕ dt = r dϕ dt 7 E.Menichetti - 010

8 Orbite ellittiche - V d r dϕ ar r = Accelerazione radiale dt dt dr dϕ dϕ d dϕ aϕ r r r = + = Accelerazione tangenziale dt dt dt dt dt Forza gravitazionale: solo radiale Accelerazione tangenziale = 0 Equazioni del moto in coordinate polari: d r dϕ mm ar r = G = dt dt r d dϕ d dϕ dϕ L aϕ r r 0 r = = = 0 r = costante= dt dt dt dt dt m 8 E.Menichetti - 010

9 Orbite ellittiche - VI Eq. radiale: r = G dt dt r d r dϕ mm r d r L mm = G 3 dt m r r Cambiamento di variabile: dϕ L dϕ L dϕ L dϕ L = = = r = dt m dt mr dt m r dt m r dr dr du 1 du du du dϕ L du u= = = = r = r = r dt du dt u dt dt dϕ dt m dϕ dr L du = dt m dϕ 9 E.Menichetti - 010

10 Orbite ellittiche - VII Cerchiamo l'eq. differenziale dell' orbita: d r L d u dϕ L d u L L d u = = = dt m dϕ dt m dϕ mr m dϕ u L d u L mm L d u L = = m dϕ m r r m dϕ m 3 u G u u GmMu 3 L d u L u GmM + = m dϕ m 3 d u Gm M + u= dϕ L Eq. diff. linea re, del II ordine, non omogenea per la funzione incognita u( ϕ) Soluzione generale: Int. generale omogenea + Int. particolare non-omogenea 10 E.Menichetti - 010

11 Orbite ellittiche - VIII Int. generale eq. omogenea associata: dipende da costanti arbitrarie: d u dϕ ( ϕ) + u= 0 ( ϕ) 'cos ϕ 'sinϕ cos( ϕ ϕ) u = A + B = A 3 Gm M u = L du d u Infatti: = 0, = 0 dϕ dϕ Equazione "del moto armonico" NB Contesto diverso, matematicamente uguale: Stessa equazione Stessa soluzione Int. particolare non omogenea: 0 11 E.Menichetti - 010

12 Orbite ellittiche - IX Int. generale eq. non omogenea: 3 Gm M ( ϕ) = + Acos( ϕ ϕ) u 0 L 1 1 r( ϕ) = = 3 u( ϕ) Gm M + Acos L Conica generica: ( ϕ ϕ) 0 Eq. di una conica in coord. polari Ellisse: 0< e < 1 1 E.Menichetti - 010

13 Legge delle aree Nell intervallo dt: spostamento da P a Q θ Area spazzata nell intervallo dt: triangolo SPQ 1 1 da = base altezza = vdt r da 1 = v r dt ( ) L = r p = m r v = mrvsinθ = mvr = da 1 L costante = v r = = dt m costante 13 E.Menichetti - 010

14 Terza legge Restringendo per semplicita l analisi al caso di orbite circolari (quasi sempre buona approssimazione..): v mm GM = = R R R m G v T π R π R π R = = = v GM GM R = T 4π R GM 3 3 Notare: la costante di proporzionalita dipende solo dalla massa del Sole 14 E.Menichetti - 010

15 Parametri dei pianeti Mean Distance from Sun Sidereal Orbital Period Mass Sidereal Rotation Period Density Surface Gravity Escape Velocity AU P e M e days ρ e g e V e Mercury Venus Earth Mars Jupiter Saturn Uranus Neptune E.Menichetti - 010

16 Parametri dei pianeti (con Plutone) 16 E.Menichetti - 010

17 Satelliti di Giove (alcuni) Quelli scoperti da Galileo: Pianeti Medicei Insieme a Giove, costituiscono un piccolo sistema solare.. Soddisfano la III legge? 17 E.Menichetti - 010

18 Pianeti interni 18 E.Menichetti - 010

19 Pianeti esterni 19 E.Menichetti - 010