Gravità e moti orbitali. Lezione 3

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Iolanda Deluca
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1 Gravità e moti orbitali Lezione 3

2 Sommario Brevi cenni storici. Le leggi di Keplero e le leggi di Newton. La forza di gravitazionale universale e le orbite dei pianeti. 2

L Universo Geocentrico La sfera celeste ruota verso Ovest Luna Terra Sole Gli antichi greci e cinesi avevano sviluppato un modello di universo geocentrico.

3 L Universo Geocentrico La sfera celeste ruota verso Ovest Luna Terra Sole Gli antichi greci e cinesi avevano sviluppato un modello di universo geocentrico. La Terra era stazionaria mentre la sfera celeste, la luna ed i pianeti ruotavano attorno ad essa. Stelle fisse sulla sfera celeste Perché questo era necessario? Il Sole, la luna ed i pianeti erano anche soggetti ad una rotazione in senso opposto più lenta. 3

4 Il mistero dei moti retrogradi Occasionalmente sembrava che i pianeti si muovessero in senso opposto rispetto alle stelle fisse. Moto Retrogrado: i pianeti si muovono da Est ad Ovest invece che da Ovest ad Est. Il sistema Tolemaico fu sviluppato proprio per spiegare questo moto planetario non uniforme. 4

Il Sistema Tolemaico Epicicli: introdotti per spiegare il moto retrogrado Deferenti: orbite attorno alla Terra Il sistema Tolemaico è il sistema geocentrico più avanzato sviluppato dai filosofi

5 Il Sistema Tolemaico Epicicli: introdotti per spiegare il moto retrogrado Deferenti: orbite attorno alla Terra Il sistema Tolemaico è il sistema geocentrico più avanzato sviluppato dai filosofi Greci. I moti retrogradi sono la conseguenza del fatto che i pianeti compiono orbite circolari (epicicli) attorno ad un centro che a sua volta compie un orbita circolare (deferente) attorno alla Terra. 5

La Rivoluzione Copernicana Niccolò Copernico (1473-1543) introdusse il concetto di universo Eliocentrico (correndo qualche rischio...). I pianeti (Terra compresa) compiono orbite circolari attorno al Sole.

6 La Rivoluzione Copernicana Niccolò Copernico ( ) introdusse il concetto di universo Eliocentrico (correndo qualche rischio...). I pianeti (Terra compresa) compiono orbite circolari attorno al Sole. I pianeti più interni si muovono più velocemente. Nessun bisogno di Epicicli 6

Galileo, l osservatore Galileo Galilei (1564-1642) compie le prime osservazioni sistematiche inventando ed usando un telescopio di sua costruzione.

7 Galileo, l osservatore Galileo Galilei ( ) compie le prime osservazioni sistematiche inventando ed usando un telescopio di sua costruzione. Scopre le macchie solari, i 4 più grandi satelliti di Giove (satelliti Medicei), le fasi di Venere (l osservazione della fase piena è una prova del sistema Copernicano). 7

8 Le Fasi di Venere Galileo col suo canocchiale scopre che Venere mostra delle fasi come la Luna (1610). Le fasi non sono spiegabili nel sistema Tolemaico... 8

9 Le Fasi di Venere... ma si possono spiegare facilmente nel sistema Copernicano. 9

10 Le leggi di Keplero Le Leggi di Keplero sui moti planetari 1. Un pianeta descrive un orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Johannes Kepler ( ) descrisse empiricamente i moti planetari con orbite ellittiche. Si basò sulle osservazioni accuratissime del maestro Tycho Brahe ( ). 2. Il raggio vettore che connette il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali. 3. Un orbita planetaria è caratterizzata da P 2 a 3 dove P è il periodo orbitale ed a è la distanza media del pianeta dal Sole. 10

11 La prima legge di Keplero Un pianeta descrive un orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi (il fuoco principale). b r' a e r Pianeta Perielio Un elllisse è un insieme di punti che soddisfa: r + r = 2a circonferenza se F coincide con F. Afelio F' a Sole nel fuoco principale Semiasse maggiore: a Semiasse minore: b Eccentricità: e (0 < e < 1; e=0 per una circonferenza) 11

12 La seconda legge di Keplero Il raggio vettore che connette il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali. B A Sole B Stessa area A Un pianeta si muove più rapidamente al Perielio che all Afelio. 12

13 La terza legge di Keplero Un orbita planetaria è caratterizzata da P 2 a 3 dove P è il periodo orbitale ed a è la distanza media del pianeta dal Sole. P 2 /a 3 = C; la costante C ha lo stesso valore per tutti i pianeti. La terza legge di Keplero è lineare con pendenza 2/3 con log a in funzione di log P: log a = 2/3 log P + log C 13

La meccanica di Newton I tre principi della Dinamica di Newton 1. Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non è soggetto ad alcuna forza.

14 La meccanica di Newton I tre principi della Dinamica di Newton 1. Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non è soggetto ad alcuna forza. Isaac Newton ( ) ha gettato i fondamenti della fisica moderna (in contrapposizione a quella Aristotelica). 2. La forza che agisce su un corpo è uguale al prodotto della sua massa ed accelerazione: F = ma. 3. Ad ogni azione corrisponde un azione uguale e contraria. 14

15 La legge di gravitazione universale Newton postulò che due masse M ed m si attraggono con una forza diretta secondo la congiungente le due masse ed il cui modulo è F = G M m r 2 G = N m 2 kg 2 F è inversamente proporzionale al quadrato della distanza; G è la costante di gravitazione universale. La legge di gravitazione universale combinata con i 3 principi della dinamica permette di spiegare TUTTE le caratteristiche delle orbite planetarie (ovvero le 3 leggi di Keplero). 15

16 La legge di gravitazione universale Consideriamo ad esempio la massa m e supponiamo che m<<m. In questo modo M si può considerare fissa nello spazio. Si applica il secondo principio della dinamica e la legge di gravitazione universale ottenendo un equazione vettoriale: F = m a = G M m u r r 2 versore direzione (vettore con modulo unitario) Si può dimostrare che: 1. le traiettorie della massa m sono sempre in un piano che contiene M e m; 2. le traiettorie di m sono delle curve coniche. M r u r m 16

17 La legge di gravitazione universale Le coniche sono le curve che originano dall intersezione di un cono e di un piano. Le coniche sono: ellisse (cerchio), parabola ed iperbole. L energia totale (Cinetica+Gravitazionale) determina il tipo di orbita. Le orbite legate sono ellissi o circonferenze (Prima Legge di Keplero). Iperbole Parabola Orbite slegate Ellisse Cerchio Cerchio Ellisse Parabola Iperbole Orbite legate ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 17

18 La legge di gravitazione universale F = m a = G M m r 2 u r m u r r La Seconda Legge di Keplero (aree uguali spazzate in tempi uguali) è una conseguenza della conservazione del momento angolare ( m r v ) del sistema M+m. Quando un sistema non è soggetto a forze esterne il suo momento angolare totale si conserva. 18

19 La legge di gravitazione universale Moto circolare uniforme r v a 1. Velocità ha direzione tangente alla circonferenza ed è costante in modulo. 2. Accelerazione centripeta, costante in modulo. a = v2 r T = 2π r v Assumiamo che l orbita di un pianeta sia circolare, F = ma = m v2 ma considerato il valore di T si ottiene: r F = G M m r 2 v 2 = G M r r 3 T 2 = G M 4π 2 Per i pianeti, M è la massa del Sole, per cui r 3 /T 2 =cost. ovvero la Terza Legge di Keplero! 19

20 Energia Gravitazionale L energia totale di un corpo di massa m in orbita attorno ad un corpo di massa M é: Energia cinetica E = 1 2 mv2 G M m r Energia potenziale gravitazionale (0 per r ) Se non ci sono forze esterne al sistema M+m l energia si conserva. E < 0 orbite ellittiche E = 0 orbite paraboliche E > 0 orbite iperboliche 20

21 Il centro di massa Fino ad ora abbiamo assunto che M >> m per cui la massa M poteva essere considerata fissa nello spazio (assunzione per cui sono valide le leggi di Keplero). Questo in generale non è sempre vero. m A v A r A C.d.M. r B v B m B In generale si può dimostrare che i due corpi ma, mb orbitano attorno al loro centro di massa e che valgono le relazioni: m A v A = m B v B m A r A = m B r B La terza legge di Keplero generalizzata diventa: T 2 = 4π 2 r 3 G (m A + m B ) dove r = ra+rb 21

22 Le masse dei pianeti Jupiter Io km La massa di un pianeta può essere determinate applicando la 3 a legge di Keplero all orbita di un suo satellite (ms << mp) T 2 = 4π 2 r 3 G(m P + m S ) 4π2 r 3 Esempio: massa di Giove dall orbita di Io (T = 177 d, r = 422,000 km): Gm P m P = kg = 318 M 22

23 Il centro di massa Terra-Luna Determiniamo il centro di massa dalla distanza della luna e dal periodo orbitale: T = d r = 384,405 km M = kg (massa della Terra) Terra M = m + m = 4π2 r 3 Gt 2 r orbita Luna km r O M = m m = m Ricordando che r = r + r m r = m r si ottiene: r = m M r = r = 4670 km circa 1700 km sotto la superficie della Terra! 23

24 Velocità orbitale attorno al C.d.M. La Terra e la Luna devono avere lo stesso periodo orbitale attorno al centro di massa. Terra r orbita km r O Luna P = 2πr v = 2πr v Ovvero utilizzando le relazioni precedenti per i raggi si ottiene: v = 32 km s 1 v = 12 m s 1 24

25 Conclusioni Il moto dei pianeti è descritto dalle leggi di Keplero. Le leggi di Keplero sono la diretta conseguenza dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale di Newton. Proprietà delle orbite Kepleriane : Le traiettorie sono sezioni coniche (ellissi, parabole, iperboli) Energia e momento angolare si conservano durante l orbita. Nel caso generale di due masse queste orbitano attorno al loro centro di massa. 25

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