LA GRAVITAZIONE. Tycho Brahe ( ) Supernova Tycho (SN1572) ( )

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1 LA GRAVITAZIONE Tycho Brahe ( ) Supernova Tycho (SN1572) ( ) 1

2 LE LEGGI DI KEPLERO Sfruttando le osservazioni sul moto dei pianeti del sistema solare fatte dal suo maestro Tycho Brahe, Giovanni Keplero arrivò a formulare le sue 3 leggi empiriche Giovanni Keplero ( ) Supernova Keplero (SN1604) 2

3 Ia LEGGE DI KEPLERO I pianeti descrivono delle orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi ellisse Orbita ellittica 3

4 Quanto sono ellittiche le orbite? ECCENTRICITA': perielio dp da Per un' orbita circolare e=0 Per l'orbita terrestre e=0.017 Per Mercurio e=0.2 Per Plutone (pianeta nano) e=0.25 afelio 4

5 Distanza dei pianeti dal sole a: semiasse maggiore b a b: semiasse minore Distanza media Terra-Sole: 150 milioni di km = 1 Unità Astronomica (UA) UA: 0,4 0,7 1 1,6 5,2 9,5 19,2 30,1 39,4 5

6 IIa LEGGE DI KEPLERO Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali Velocità aereolare costante: A1/ t= A2/ t A1 s A2 A= r s 6

7 AFELIO E PERIELIO Velocità aereolare: da/dt = r*ds/dt=r*v Se r è minore (perielio) v è maggiore Se r è la metà, v è il doppio Quando siamo più vicini al sole? Perielio: tra il 2 al 5 Gennaio Quando siamo più lontani dal sole? Afelio: tra il 2 e il 7 Luglio circa 2 settimane dopo i rispettivi solstizi 7

8 IIIa LEGGE DI KEPLERO I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite T2 = costante*a3 A1 Per la terra T=1 anno ~ 365 giorni (terrestri) Per Mercurio T ~ 88 giorni Per Marte T~2 anni Per Giove T~12 anni Per Plutone T~250 anni!! 8

9 LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE La forza che mi ha fatto cadere questa mela sulla testa è la stessa che tiene legata la Luna alla Terra! Isaac Newton ( ) Per la prima volta si pensa che le leggi fisiche verificate sulla terra valgono in tutto l'universo! 9

10 LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE COSTANTE DI CAVENDISH: Se m1=65 Kg m2=50 Kg r12=0,5 m F=8, N r12 E' molto piccola! m1 m2 N.B.: Le m sono le masse gravitazionali: quelle di FPESO=mg 10

11 LA FORZA DI GRAVITA' E' UNIVERSALE ATTRAZIONE DI GRAVITA' SULLA MELA: ATTRAZIONE DI GRAVITA' SULLA LUNA: Supponendo un orbita circolare con L'accelerazione centripeta deve essere: 11

12 LA FORZA DI GRAVITA' SULLA ISS L' International Space Station (ISS) orbita a 400 Km sopra la superficie terrestre. Quanto vale l'accelerazione di gravità per gli astronauti a bordo? 12

13 MISURA DELLA COSTANTE DI CAVENDISH PENDOLO A TORSIONE: M=-k (simile a F=-kx della molla) All'equlibrio il momento delle forze esercitate sulle due sfere è compensato dal momento torcente provocato dalla torsione del filo F12: forza di gravità tra m1 e m2 l: lunghezza della barra k: costante di torsione del filo : posizione di equilibrio 0: posizione di equilibrio senza masse grandi Cavendish riuscì a misurare G con un errore dell'1% Usando un laser per misurare si arriva allo 0,01% 13

14 MASSA GRAVITAZIONALE E MASSA INERZIALE La forza peso sentita da un corpo sulla terra è proporzionale alla massa gravitazionale mg La forza peso è F=mgg F L'accelerazione subita da un corpo soggetto a una a forza F è inversamente proporzionale alla sua massa inerziale mi : F=mia Per quanto siamo riusciti a provare fino ad oggi mg=mi con una precisione di 10-14! Gli attuali esperimenti su satellite mirano a 10-18! L'uguaglianza tra massa gravitazionale e massa inerziale è richiesta dal principio di equivalenza debole della Relatività Generale di Einstein 14 Albert Einstein ( )

15 PRIME VERIFICHE SPERIMENTALI DI mg=mi Galileo Galilei dalla torre di Pisa: mg g = m i a Se mg=mi si semplifica e l'accelerazione è la stessa per tutti i corpi Galileo Galilei ( ) In realtà le verifiche più accurate Galileo le ottenne con il piano inclinato usando un ingegnoso orologio ad acqua per misurare i tempi Ancora Newton dimostrò che, trascurando l'attrito dell'aria, il periodo di oscillazione del pendolo non dipende dalla massa 15

16 VERIFICHE SPERIMENTALI MODERNE DI mg=mi La forza peso è Fg=mgg, la forza centrifuga dovuta alla rotazione terrestre è Fc= -mi 2 Lorand von Eotvos ( ) Un pendolo a torsione con due masse diverse e con il punto di sospensione posto in modo da compensare i momenti delle forze verticali (forza peso e componente verticale di Fc) ruoterebbe sul piano orizzontale se non fosse mi=mg Se la massa inerziale non fosse proporzionale a quella gravitazionale, l'attrazione del sole sulla luna e sulla terra produrrebbe una variazione periodica della distanza terraluna che non è stata osservata Specchio riflettente La distanza di ottiene istallato dalla missione misurando il tempo Apollo 11 nel 1969 impiegato da un raggio laser a tornare indietro 16

17 LA Ia LEGGE DI KEPLERO VISTA DA NEWTON I pianeti descrivono delle orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi Newton trovò che perché le orbite fossero ellittiche occorreva che la forza di gravità del sole sui pianeti doveva avere un andamento inversamente proporzionale al quadrato della distanza e=eccentricità Trovò anche altre traiettorie possibili: Cerchi (e=0) Ellissi (0<e<1) Parabole (e=1) Iperboli (e>1) Le ultime 2 corrispondono17 a traiettorie aperte

18 LA IIa LEGGE DI KEPLERO VISTA DA NEWTON Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali Newton trovò che questa era una diretta conseguenza della conservazione del momento angolare L dovuta al fatto che il momento di una forza centrale, diretta cioè lungo il raggio, è nullo 18

19 LA IIIa LEGGE DI KEPLERO VISTA DA NEWTON I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite Per dimostrare questa legge nel caso di orbite circolari, per il cui il semiasse maggiore è il raggio, basta uguagliare la forza di gravità alla forza centripeta necessaria a tenere il pianeta in orbita E quindi: Si può dimostrare anche per orbite non circolari N.B.: Se so T, r e G posso trovare la massa del Sole! 19

20 ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE Ricordiamo che il lavoro svolto da una forza conservativa si può scrivere come la variazione della sua energia potenziale cambiata di segno: Nel nostro caso essendo F diretta lungo il raggio ma con verso opposto si ha E quindi: Si prende solitamente la costante c=0, che equivale a U( )=0, per cui: ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE 20

21 ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE VICINO ALLA TERRA Se: con R=Raggio della Terra h R con M=Massa della Terra Se: allora: Definendo: Si trova: 21

22 VELOCITA' DI FUGA 22 Qual è la minima velocità che deve avere un razzo per riuscire a sfuggire al campo di gravità terrestre?

23 ENERGIA MECCANICA E VELOCITA' DI FUGA Per fuggire deve riuscire ad arrivare a distanza infinita (dove U=0) con un energia cinetica K 0 Per poter fuggire un corpo deve avere energia meccanica E 0 Se E<0 il corpo rimane confinato entro rmax Se E=0 riesce a fuggire lungo una parabola 23

24 VELOCITA' DI FUGA DALLA TERRA CONDIZIONE LIMITE PER LA FUGA VELOCITA' DI FUGA Per la terra vfuga=11,2 Km/s~40000km/h Per la luna vfuga=2,3 Km/s Non riesce a trattenere un'atmosfera 24

25 CAMPO GRAVITAZIONALE TERRESTRE m Possiamo immaginare che la massa della Terra (o del Sole) perturbi lo spazio intorno a sé, generando un campo di forza g tale che ogni massa senta una forza di gravità proporzionale alla sua massa CAMPO GRAVITAZIONALE TERRESTRE In realtà vicino alla superficie il campo terrestre non è così omogeneo ma risente delle variazioni di densità locali (quantità di rocce o di acqua) 25

26 CAMPO GRAVITAZIONALE DI DUE MASSE Il campo totale è la somma dei singoli campi (PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE) e mantiene le proprietà di simmetria del sistema di masse che lo genera Nel caso in figura è simmetrico sia rispetto all'asse x che rispetto all'asse y Nel caso di una distribuzione continua di masse la somma si sostituisce con l'integrale: Esempio sul libro: campo di una barra omogena 26

27 CAMPO GRAVITAZIONALE DI DUE MASSE Il campo totale è la somma dei singoli campi (PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE) e mantiene le proprietà di simmetria del sistema di masse che lo genera Nel caso in figura è simmetrico sia rispetto all'asse x che rispetto all'asse y 27

28 CAMPO GRAVITAZIONALE DI UN GUSCIO SFERICO Il campo all'interno è nullo perché per ogni elemento di superficie A1 la cui massa è proporzionale ad r12, ce n'è uno A2 di massa proporzionale ad r22 che da un contributo opposto al campo totale: m1/r12-m2/r22=0 Il campo all'esterno del guscio è dato da: Ed è quindi equivalente a quello di una singola massa posta al centro del guscio Questa proprietà (dimostrata sul libro alla fine del capitolo) vale per tutti i campi con andamento inversamente proporzionale al quadrato della distanza (come anche il campo elettrico) ed è servita a Newton per arrivare ad affermare che l'attrazione della terra sulla mela era la stessa di quella sulla luna 28

29 CAMPO GRAVITAZIONALE DI UNA SFERA PIENA Immaginando la sfera come una serie di gusci concentrici si ha che: - per r>r il campo è come quello di una massa posta al centro - per r<r solo i gusci interni contribuiscono, il loro campo è pari a quello di una massa Posta al centro e quindi: 29