Trasformazioni di Lorentz

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1 Trasformazioni di Lorentz Regole di trasformazione fra un sistema inerziale S (descritto da x, y, z, t) ed uno S (descritto da x, y, z, t ) che viaggia a velocità V lungo x rispetto a S: x = γ(x V t) y = y z = z t = γ(t V x) c 2 Si assume che le origini coincidano a t = 0. Se γ = 1, V/c << 1, ritroviamo le trasformazioni di Galileo. La trasformazione inversa (da S a S) si ottiene rovesciando il segno di V.

2 Regole di composizione di velocità Supponiamo che una particella percorra in S una distanza dx in un tempo dt: v x = dx/dt. In S percorre una distanza dx = γ(dx V dt) in un tempo dt = γ ( dt (V/c 2 )dx ). Da qui: v x = dx dt = γ(dx V dt) γ (dt (V/c 2 )dx) = v x V 1 v x V/c 2 Questa è la regola di addizione delle velocità di Einstein. Nel caso V/c << 1, si riduce alla regola solita: v x = v x V. Se v x = c, anche v x = c. In nessun caso si può superare la velocità della luce c. Il secondo Principio di Relatività di Einstein può in effetti essere così riformulato: Per tutti i sistemi di riferimento inerziali, esiste una velocità limite finita c per gli oggetti fisici

3 Il concetto di Spazio-Tempo Definiamo evento un punto nello spazio (x, y, z) al tempo t (in un certo sistema di riferimento inerziale) Rappresentiamo un evento come un vettore in uno spazio a quattro dimensioni: un quadrivettore. E conveniente usare come coordinate (ct, x, y, z), per uniformità dimensionale Una particella che si muove descrive una linea nello spazio-tempo, detta linea di universo I raggi luminosi che passano per l origine al tempo t = 0 definiscono una superficie detta cono di luce.

4 Cono di luce In figura, un esempio tipico di cono di luce, rappresentato per due coordinate spaziali e con l asse del tempo verticale (diagramma di MInkowski) La linea di universo di un oggetto fisico rimane sempre all interno del cono; all istante t = 0 passa dal cono del passato (quello sotto) al cono del futuro (quello sopra); la tangente alla curva in ogni punto (la velocità v < c) è sempre all interno del cono (vettore di tipo tempo)

5 Trasformazioni di Lorentz nello spazio-tempo Le trasformazioni di Lorentz sono delle specie di rotazioni generalizzate nello spaziotempo, che modificano l orientamento degli assi, li dilatano o contraggono Contrariamente alle rotazioni usuali, non lasciano invariato il modulo quadro dei vettori definito come al solito: x 2 + y 2 + z 2 + (ct) 2, ma la seguente quantità: I = x 2 + y 2 + z 2 (ct) 2 Il luogo dei punti con I dato forma un iperbole (o un iperboloide di rotazione se lo spazio è bidimensionale): le trasformazioni di Lorentz muovono i punti su tale figura.

6 Eventi nello spazio-tempo Consideriamo due eventi nello spazio-tempo: x 1 = (ct 1, x 1, y 1, z 1 ), x 2 = (ct 2, x 2, y 2, z 2 ) e il quadrivettore differenza (o intervallo): x = x 1 x 2. A seconda del valore di I = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 (c t) 2, distinguiamo l intervallo in Tipo spazio: I > 0. I due eventi possono essere simultanei in un qualche sistema di riferimento Tipo luce: I = 0. I due eventi sono collegati da un raggio di luce Tipo tempo: I < 0. I due eventi non possono essere simultanei in nessun sistema di riferimento

7 Formalismo quadrivettoriale Introduciamo la notazioni: x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z (x 0 ) = γ(x 0 βx 1 ) (x 1 ) = γ(x 1 βx 0 ) (x 2 ) = x 2 (x 3 ) = x 3 Abbiamo usato β = V/c. In forma matriciale: (x 0 ) (x 1 ) (x 2 ) (x 3 ) = γ γβ 0 0 γβ γ x 0 x 1 x 2 x 3

8 Formalismo quadrivettoriale 2 Possiamo scrivere le trasformazioni di Lorentz sotto forma matriciale: (x i ) = 3 j=0 Λ i jx j, i = 0 3 dove Λ i j è la matrice sopra definita (il motivo degli indici alti e bassi sarà chiarito fra poco) E immediato verificare che tale trasformazione conserva il modulo I dei quadrivettori: I = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 (x 0 ) 2 e in generale, l analogo quadridimensionale del prodotto scalare: x y x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x 0 y 0

9 Indici covarianti e controvarianti E comodo introdurre componenti covarianti: x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z in aggiunta a quelle (dette controvarianti) già introdotte. La sola differenza è nel segno della componente temporale. Modulo dei quadrivettori e prodotti scalari diventano: I = 3 x i x i, x y = 3 x i y i = 3 x i y i i=0 i=0 i=0 Si usa la convenzione di Einstein: indici ripetuti si intendono sommati. In tutte le quantità fisiche, si sommano indici covarianti con indici controvarianti. Questo garantisce sia la corretta forma che le corrette proprietà di invarianza rispetto al sistema di riferimento.