Guido Corbò Note di relatività

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Guido Corbò Note di relatività"

Transcript

1 Guido Corbò Note di relatività Generalità Il principio di relatività di Einstein consiste nell'aermare che le leggi della sica sono le stesse in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Ciò implica l'impossibilità di privilegiare un particolare sistema di riferimento inerziale rispetto ad un altro. Le leggi della meccanica classica, contenute nell'equazione f = ma sono eettivamente invarianti nel passaggio da un sistema inerziale ad un altro, se si assumono le trasformazioni di Galileo. Invece, le equazioni di Maxwell non sono invarianti sotto trasformazioni di Galileo. Infatti, da tali trasformazioni si ricava la legge classica di composizione delle velocità. Per esempio v x = v x V (1) se V è (l'unica) componente della velocità con la quale trasla, lungo l'asse x, il riferimento O (gura 1). y V y' z O x z' O' x' Figura 1: Il sistema O trasla rispetto ad O con una certa velocità V. 1

2 D'altra parte, nel vuoto, la soluzione generale delle equazioni di Maxwell per una propagazione lungo l'asse x è Φ = f(x ct) + g(x + ct) (2) cioè una propagazione con velocità isotropa; ovvero con la stessa velocità tanto nel verso delle x crescenti quanto in quello delle x decrescenti. Secondo le trasformazioni di Galileo, in un nuovo riferimento O avremmo due velocità diverse per la propagazione in un senso e nell'altro; ma ciò signicherebbe che l'equazione d'onda dovrebbe avere una struttura diversa nel nuovo riferimento, in contraddizione con il principio di relatività. Non rimane che ammettere che la velocità della luce sia un invariante rispetto alle trasformazioni da un sistema inerziale ad un altro. La richiesta che la velocità della luce sia un'invariante impone la condizione che si abbia, per il fronte di un'onda luminosa: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (3) x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (4) Per semplicità, possiamo denire x 0 = ct x 0 = ct (5) x 0 ha dunque le stesse dimensioni siche delle altre variabili x, y e z (quelle di una lunghezza) e possiamo quindi scrivere le (3) e (4) come x 2 + y 2 + z 2 = x 0 2 (6) x 2 + y 2 + z 2 = x 0 2 La relazione più semplice possibile, tra vecchie e nuove coordinate, è una relazione lineare; dunque possiamo ipotizzare che, per un moto traslatorio lungo l'asse x, le coordinate y e z restino immutate e che si abbia dunque: y = y (7) z = z x = αx + βx 0 x 0 = γx + δx 0 2

3 Sostituendo nella seconda delle (6) si ottiene: Sviluppando: (αx + βx 0 ) 2 + y 2 + z 2 = (γx + δx 0 ) 2 (8) α 2 x 2 + β 2 x αβxx 0 + y 2 + z 2 = (γ 2 x 2 + δ 2 x γδxx 0 ) (9) D'altra parte, deve essere x 2 +y 2 +z 2 = x 0 2 ; e dunque si deve avere identicamente α 2 γ 2 = 1 (10) δ 2 β 2 = 1 αβ γδ = 0 Possiamo allora utilizzare la seguente parametrizzazione: α = cosh ξ γ = sinh ξ (11) δ = cosh ϕ β = sinh ϕ La terza delle (10) mostra che ξ = ϕ; dunque abbiamo: x = x cosh ϕ + x 0 sinh ϕ (12) x 0 = x sinh ϕ + x 0 cosh ϕ Possiamo ricavare il signicato sico della quantità ϕ. Infatti, se l'origine O del sistema di assi (cioè x = 0) trasla di moto rettilineo uniforme con una velocità che ha soltanto componente lungo l'asse x pari a V deve essere, per ogni t 0 = V t cosh ϕ + ct sinh ϕ (13) ovvero tanh ϕ = sinh ϕ cosh ϕ = V c Da questa si ricava (osserviamo che cosh ϕ è sempre positivo): (14) cosh ϕ = 1 1 V 2 /c 2 sinh ϕ = 3 V/c 1 V 2 /c 2 (15)

4 In denitiva, possiamo scrivere così le relazioni tra i due sistemi di coordinate, che vengono chiamate trasformazioni di Lorentz: x = x V t 1 V 2 /c 2 (16) y = y z = z t = t (V/c2 )x 1 V 2 /c 2 È molto utile introdurre una nuova notazione per le coordinate spaziali. Precisamente, ponendo un indice in alto: scriviamo così le trasformazioni di Lorentz: dove abbiamo posto x x 1 y x 2 z x 3 (17) x 1 = x1 βx 0 1 β 2 (18) x 2 = x 2 x 3 = x 3 È utile anche porre questa denizione: x 0 = x0 βx 1 1 β 2 γ = β = V c e scrivere le trasformazioni di Lorentz in questo modo: (19) 1 1 β 2 (20) x 1 = (x 1 βx 0 )γ (21) x 2 = x 2 x 3 = x 3 x 0 = (x 0 βx 1 )γ 4

5 Contrazione di Lorentz Le trasformazioni di Lorentz implicano l'esistenza di fenomeni che non sono previsti dalla meccanica galileiana. Uno di tali fenomeni è conosciuto come contrazione di Lorentz o contrazione delle lunghezze. Vediamo di cosa si tratta. In meccanica galileiana, la lunghezza di un segmento, per esempio la lunghezza di una sbarra rigida, è una quantità assoluta; nel senso che qualsiasi osservatore, che intenda misurarla, trova sempre lo stesso valore l 0. È ovvio che cosa si intenda per misura di una sbarra che è a riposo rispetto ad un osservatore: questi sovrappone alla sbarra una riga graduata che consente la valutazione della misura (gura 2). y V y' z O x z' O' x' A l 0 x' B x' Figura 2: Una sbarra è ferma nel riferimento O. Per un osservatore solidale ad O, rispetto al quale la sbarra è dunque in movimento, l'operazione da eseguire è, in linea di principio, la seguente: egli deve marcare nello stesso istante la posizione dei due estremi della sbarra che gli scorre davanti; e successivamente misurare la distanza tra tali posizioni. Ci aspettiamo che il risultato sia ancora l 0. Le cose vanno eettivamente così in meccanica galileiana ma vanno diversamente dal punto di vista relativistico. Supponiamo infatti che, come è illustrato nella gura precedente, la sbarra sia posta lungo l'asse delle ascisse e trasli lungo tale asse con velocità V rispetto ad un osservatore solidale ad O. La relazione tra le coordinate di O e quelle di O, 5

6 che segue la sbarra, è data dalle trasformazioni di Lorentz; in particolare x = x V t 1 V 2 /c 2 (22) Per le posizioni degli estremi A e B della sbarra devono valere evidentemente x A = x A V t A 1 V 2 /c 2 x B = x B V t B 1 V 2 /c 2 (23) dove t A e t B sono gli istanti nei quali viene rilevata da O la posizione dei due estremi, rispettivamente. Sottraendo membro a membro si ha x B x A = x B x A V (t B t A ) 1 V 2 /c 2 (24) Il primo membro è la lunghezza l 0 della sbarra a riposo in O ; d'altra parte, x B x A, che gura al secondo membro, può essere interpretata come lunghezza l della sbarra misurata in O se in tale riferimento la misura è eseguita, come abbiamo già notato, nello stesso istante per i due estremi; cioè t B = t A. Da ciò risulta l l 0 = ovvero l = l 0 1 V 1 2 /c 2 (25) V 2 /c 2 In altre parole, vista da O, la sbarra risulta contratta della quantità 1 V 2 /c 2. Arriviamo allo stesso risultato anche se deniamo la lunghezza l della sbarra in movimento in altro modo. Precisamente, possiamo pensare di misurare il tempo che trascorre tra il passaggio dei due estremi della sbarra per uno stesso punto del riferimento O; e poi moltiplicare tale intervallo di tempo per la velocità V con la quale scorre la sbarra. Riferendoci ancora alla (24), poniamo x B = x A e otteniamo l 0 = x B x A = V (t B t A ) (26) 1 V 2 /c 2 dalla quale otteniamo t B t A = l 0 V 1 V 2 /c 2 (27) (notiamo che se per esempio V > 0, come nelle gure precedenti, t B t A risulta negativo: giustamente, l'estremo A passa davanti all'osservatore dopo l'estremo B). Dalla (27) otteniamo dunque V (t B t A ) = l 0 1 V 2 /c 2 (28) 6

7 che coincide con la (25). Dilatazione dei tempi In meccanica galileiana, ci aspettiamo che la durata di un certo fenomeno sia una quantità assoluta, indipendente dal sistema di riferimento. Ma, anche in questo caso, la relatività porta ad un nuovo risultato. Precisamente, immaginiamo che il fenomeno in questione sia l'accensione di una lampadina ad un certo istante t A e il successivo spegnimento ad un istante t B, con la lampadina ferma nel sistema di riferimento O. Per quanto tempo rimane accesa la lampadina, per un osservatore O che trasla con velocità V? Lo vediamo, come sempre, dalle trasformazioni di Lorentz. In particolare, da t = t (V/c2 ) x 1 V 2 /c 2 (29) Per l'istante di accensione e quello dello spegnimento valgono evidentemente Sottraendo membro a membro: t A = t A (V/c 2 ) x A t B = t B (V/c 2 ) x B 1 (30) 1 V 2 /c 2 V 2 /c 2 t B t A = t B t A (V/c 2 ) (x B x A ) 1 V 2 /c 2 (31) Al primo membro compare la durata T del fenomeno misurata da O ; al secondo membro compare la durata T = t B t A per il sistema nel quale, d'altra parte, la lampadina è ferma in una certa posizione: x B = x A. Dunque T = T 1 V 2 /c 2 (32) ovvero, per l'osservatore in movimento rispetto alla lampadina, l'intervallo di tempo risulta dilatato della quantità 1 1 V 2 /c 2 (33) 7

8 L'intervallo di tempo (innitesimo) misurato tra due eventi che avvengono nello stesso punto dello spazio (tridimensionale) viene chiamato intervallo di tempo proprio tra tali eventi e viene indicato con il simbolo dτ. In un generico sistema di riferimento risulta quindi: dt = γdτ (34) Due gemelli non sono coetanei! Supponiamo che un ipotetico astronauta compia un lungo viaggio spaziale e poi torni sulla Terra, dove lo ha aspettato suo fratello gemello. Al momento della partenza, i due hanno evidentemente la stessa età. Che età avranno quando si incontrano di nuovo sulla Terra? Per l'astronauta è passato un tempo τ2 T a = dτ = τ 2 τ 1 (35) τ 1 Per il gemello sulla Terra è passato il tempo T T = t2 t 1 dt = τ2 τ 1 γ dτ > poiché γ > 1. Ciò signica che T a < T T meno del fratello. τ2 dτ = T a (36) τ 1 ovvero che l'astronauta è invecchiato Composizione delle velocità Dalle trasformazioni di Lorentz si ricava facilmente la legge di composizione relativistica delle velocità. Per semplicità riferiamoci alla sola componente x. Per incrementi innitesimi delle coordinate spazio-temporali, si ha: dx = dx V dt 1 V 2 /c 2 (37) dt = dt (V/c2 ) dx 1 V 2 /c 2 (38) 8

9 Dividendo membro a membro per dt : v x = dx dt = dx V dt dt (V/c 2 ) dx E dividendo per dt numeratore e denominatore: v x = dx dt = (39) v x V 1 (V/c 2 ) v x (40) Si vede che, nel limite di traslazioni a piccola velocità rispetto a quella della luce, la legge di composizione relativistica diventa quella galileiana. Come semplice esercizio, possiamo vericare che la relazione precedente conferma l'invarianza della velocità della luce. Ponendo infatti v x = c si ha: c c V = 1 (V/c 2 )c = c (41) È inoltre semplice vedere che la composizione di due velocità inferiori a quella della luce fornisce una velocità anch'essa inferiore a quella della luce. Basta per questo dimostrare che si ha comunque v x v x V = < c (42) 1 (V/c 2 ) v x per qualsiasi valore di v x e V (purché entrambe minori di c). La disuguaglianza precedente si può scrivere infatti v x V < c V c v x (43) ovvero v x (1 + V/c) < c (1 + V/c) (44) che è sicuramente vera dal momento che v x < c. Quadrivettori Possiamo pensare alle x, y, z e ct come alle componenti x µ del raggio vettore in uno spazio a quattro dimensioni che viene chiamato spazio di Minkowski. 9

10 Chiameremo dunque quadrivettore un vettore appartenente a tale spazio. In generale, un quadrivettore è una grandezza che, sotto una trasformazione di Lorentz ovvero una trasformazione da un sistema inerziale ad un altro, si trasforma come x, y, z e ct. Una qualsiasi grandezza sica vettoriale sarà dunque di fatto una grandezza quadrivettoriale. Le quattro componenti vengono chiamate componenti controvarianti e sono scritte con un indice in alto. Ricordiamo che e scriveremo così un generico quadrivettore: x 0 = ct x 1 = x x 2 = y x 3 = z (45) a µ = (a 1, a 2, a 3, a 0 ) (46) Chiameremo componenti spaziali le prime tre componenti del quadrivettore; e componente temporale la quarta componente. Potremo indicare anche così: a µ = (a, a 0 ) (47) dove il carattere grassetto indica, come al solito, un vettore nello spazio tridimensionale. È molto semplice vericare che per due quadrivettori a µ e b µ la quantità a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 (48) risulta invariante sotto trasformazioni di coordinate, cioè sotto trasformazioni di Lorentz; dunque essa può denire il prodotto scalare tra i due quadrivettori: a b a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 (49) Possiamo anche scrivere così, sottintendendo la somma su indici ripetuti: dove a b = g µν a µ b ν (50) g µν = 0 se µ ν g 00 = 1; g 11 = 1; g 22 = 1; g 33 = 1 (51) g µν viene chiamato tensore metrico o semplicemente metrica dello spazio quadridimensionale. Con l'ausilio di g µν possiamo denire le componenti covarianti di un quadrivettore, che sono scritte con un indice in basso: a µ = g µν a ν (52) 10

11 e possiamo dunque scrivere il prodotto scalare anche così: In particolare possiamo calcolare il prodotto scalare a b = a µ b µ = a µ b µ (53) a a = (a 0 ) 2 (a 1 ) 2 (a 2 ) 2 (a 3 ) 2 (54) che è naturale denire norma del quadrivettore a. Poiché le quantità a µ sono arbitrarie, vediamo che la norma di un quadrivettore può essere positiva, negativa o nulla. Corrispondentemente, diciamo che il quadrivettore è di tipo tempo (timelike), spazio (spacelike) o luce (lightlike). Inversione temporale e causalità Consideriamo un evento P 1 : per esempio il lampo di un ash fotograco che avviene ad un certo istante t 1 nel punto dello spazio di coordinate (x 1, y 1, z 1 ); ed un altro evento P 2 che immaginiamo sia un altro lampo all'istante t 2 in un altro punto di coordinate (x 2, y 2, z 2 ). Ai due eventi corrispondono dunque i raggi vettori x µ 1 = (x 1, y 1, z 1, ct 1 ) x µ 2 = (x 2, y 2, z 2, ct 2 ) (55) Si denisce distanza tra i due eventi il vettore s µ = x µ 2 x µ 1 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1, c(t 2 t 1 )) (56) Osserviamo ora che se la distanza tra i due eventi P 1 e P 2 è di tipo spacelike, la successione temporale di essi può risultare invertita, a patto di osservare tali eventi da un opportuno sistema di riferimento. Supponiamo per semplicità che i due lampi avvengano sull'asse x (dunque con coordinate y e z uguali a zero) e che sia c 2 (t 2 t 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 < 0 (57) ed inoltre che, in un dato sistema di riferimento, sia t 2 > t 1 (58) x 2 > x 1 (59) 11

12 Possiamo scrivere dunque che per tali eventi: c (t 2 t 1 ) < x 2 x 1 (60) ovvero c (t 2 t 1 ) < 1 (61) x 2 x 1 Osserviamo ora i due eventi precedenti da un altro sistema di riferimento. Con una trasformazione di Lorentz abbiamo cioè t 1 = t 1 (V/c 2 ) x 1 (62) 1 V 2 /c 2 t 2 = t 2 (V/c 2 ) x 2 (63) 1 V 2 /c 2 t 2 t 1 = t 2 t 1 (V/c 2 )(x 2 x 1 ) 1 V 2 /c 2 (64) Vericare se è possibile che nel nuovo sistema di riferimento t 2 t 1 sia negativo, equivale a vericare se è possibile che si possa ottenere t 2 t 1 V c 2 (x 2 x 1 ) < 0 (65) ovvero V > (t 2 t 1 ) c c (66) x 2 x 1 D'altra parte, ricordando la (61), ciò signica che V deve essere maggiore di una certa velocità comunque minore di c: cosa che è sempre possibile avere. Da ciò segue che l'evento P 1 può essere la causa dell'evento P 2 solo se la distanza tra tali eventi è di tipo timelike o lightlike; diversamente esisterebbero sistemi di riferimento rispetto ai quali osserveremmo un eetto che precede temporalmente la sua causa: in contraddizione con il principio di causalità. Trasformazioni di Lorentz generiche Scriviamo così una generica trasformazione di Lorentz: x µ = Λ µ νx ν (67) 12

13 della quale la (21) è il caso particolare che riguarda un moto traslatorio di O lungo l'asse x (con assi paralleli). Per un generico quadrivettore, del quale x µ è il prototipo, vale altrettanto la seguente legge di trasformazione, che è dunque la legge di trasformazione per le componenti controvarianti: Tale relazione può essere invertita, scrivendo dunque dove Θ µ ν è la matrice inversa di Λ µ ν: a µ = Λ µ νa ν (68) a µ = Θ µ νa ν (69) Θ ν µ Λ µ σ = δ ν σ (70) Ricordiamo che il prodotto scalare a b è un invariante. Scriviamo allora, cambiando opportunamente nome agli indici muti: a b = a µ b µ = a ρ b ρ = Λ ρ σa σ b ρ = a σ b σ (71) Poiché tale uguaglianza deve essere valida per qualsiasi valore di a σ segue b σ = Λ ρ σb ρ (72) che è simile alla (68) a parte lo scambio delle quantità relative ad O e O. Invertendo tale relazione scriviamo b µ = Θ ν µ b ν (73) Le equazioni di Maxwell non omogenee Ci accorgiamo che nello spazio quadridimensionale di Minkowski è molto semplice scrivere le equazioni di Maxwell in forma compatta. A questo scopo, inventiamoci la seguente matrice antisimmetrica F µν (ponendo dunque gli indici in alto). È proprio il caso di dire inventiamoci perché, per il momento, questa 13

14 tabella non ha alcun particolare signicato; è soltanto un utile metodo di scrittura e gli indici µ e ν sono semplicemente indici di riga e di colonna: F µν = 0 B z B y E x /c B z 0 B x E y /c B y B x 0 E z /c E x /c E y /c E z /c 0 E inventiamoci anche questa matrice colonna: j µ = Nelle espressioni precedenti, l'indice zero deve essere pensato come indice quattro, riferendosi cioè alla quarta riga o alla quarta colonna, a seconda dei casi. Ebbene, le equazioni di Maxwell non omogenee sono contenute in questa relazione: µ F µν = µ 0 j ν (76) dove abbiamo denito µ (77) x µ Infatti, poniamo per esempio ν = 1. Otteniamo: ovvero cioè: j x j y j z cρ (74) (75) 1 F F F F 01 = µ 0 j 1 (78) B z y B y z 1 E x c 2 t = µ 0 j 1 (79) E x (rotb) x = µ 0 j x + µ 0 ε 0 (80) t Ponendo ν = 2, 3 si ottengono equazioni simili per le altre componenti. Ponendo ν = 0 otteniamo invece: ovvero 1 F F F F 00 = µ 0 j 0 (81) 1 E x c x + 1 E y c y + 1 E z c z = µ 0cρ (82) 14

15 cioè dive = µ 0 c 2 ρ = ρ/ε 0 (83) È inoltre molto semplice scrivere l'equazione di continuità. Infatti si ha ovviamente: µ ν F µν = 0 (84) poiché sulla quantità antisimmetrica F µν agisce l'operazione µ ν che è evidentemente simmetrica negli indici µ e ν. D'altra parte, per la (76), si ha µ ν F µν = µ 0 µ j µ (85) dalle (84) e (85) si ha dunque: µ j µ = 0 (86) che è proprio l'equazione di continuità. Scrivendo esplicitamente, infatti: ovvero 1 j j j j 0 = 0 (87) div j + 1 c t j4 = div j + ρ t = 0 (88) Campi tensoriali nello spazio di Minkowski In un dato sistema di riferimento, un campo scalare è denito da una funzione ordinaria delle coordinate spaziali e del tempo (di solito, nelle applicazioni, tale funzione è continua e derivabile un numero arbitrario di volte). Un classico esempio è fornito dalla temperatura in una certa zona della Terra: la temperatura è infatti funzione della latitudine, longitudine e quota del punto che ci interessa; e cambia al trascorrere del tempo. Scriviamo dunque T = T (x, y, z, ct) T (x) (89) intendendo brevemente con x l'insieme delle quattro coordinate spazio-temporali. Se cambiamo sistema di riferimento, lo stesso campo delle temperature sarà descritto da una nuova funzione T (x ) per la quale deve dunque valere: T (x ) = T (x) (90) 15

16 con x ν = Λ ν µ x µ (91) Altrettanto, si può parlare di campo vettoriale v µ (x) se in due diversi sistemi di riferimento si ha comunque: v µ (x)e µ = v ν (x )e ν (92) dove con e µ e e ν sono indicati i versori degli assi coordinati nei rispettivi sistemi di riferimento. D'altra parte, per i versori, vale la legge di trasformazione e µ = Λ ν µe ν (93) Da ciò segue: v µ (x) Λ ν µ e ν = v ν (x )e ν (94) ovvero: v ν (x ρ = Λ ρ σ x σ ) = Λ ν µ v µ (x) (95) Per le componenti covarianti di un campo vettoriale vale evidentemente v ν(x ) = Θ ρ ν v ρ (x) (96) In generale, abbiamo campi tensoriali per i quali si verica, ad esempio: T µν (x ρ = Λ ρ σ x σ ) = Λ µ α Λ ν β T αβ (x) (97) Vogliamo ora mostrare che il gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale con indice covariante o, come si dice brevemente, è un vettore covariante. Dato un campo ϕ(x) dobbiamo calcolare le derivate rispetto alle coordinate che, come sappiamo, sono le componenti controvarianti del raggio vettore. In altri termini, dobbiamo calcolare ϕ(x) (98) x µ In un altro sistema di riferimento scriviamo, altrettanto: x µ ϕ (x ) (99) D'altra parte, possiamo scrivere facilmente questa serie di uguaglianze: x µ ϕ (x ) = xν ϕ(x) = x µ x µ 16 x ϕ(x) = ν Θν µ x ν ϕ(x) (100)

17 La prima uguaglianza segue dal fatto che ϕ è un campo scalare; la seconda dalla regola di derivazione delle funzioni composte; e la terza dalla proprietà (91). La (100) rappresenta dunque proprio quanto volevamo dimostrare. Si può scrivere anche così: x µ ϕ(x) = µϕ(x) (101) facendo apparire in modo più esplicito la natura covariante dell'indice µ. Possiamo allora ricavare dalla (86) una conseguenza molto importante. Poiché l'operatore µ produce un indice covariante e µ j µ è una quantità scalare (in rispetto del principio di relatività deve essere nulla in qualsiasi sistema di riferimento, ovvero la conservazione della carica elettrica deve comunque valere), segue che j µ è necessariamente un vettore controvariante. Stabilito questo, dalla (76) segue che F µν è necessariamente un tensore controvariante che è chiamato tensore elettromagnetico. Con queste conclusioni, le semplici tabelle (74) e (75) acquistano un valore del tutto rilevante: esse mostrano il contenuto di un campo tensoriale e vettoriale rispettivamente. In altri termini, gli indici µ e ν di riga e di colonna sono eettivamente indici di Lorentz, caratteristici di vettori (o tensori) nello spazio di Minkowski. Si dice allora che le equazioni di Maxwell, scritte nella (76) sono espresse in forma covariante nel senso che sono appunto relazioni tra enti vettoriali o tensoriali nello spazio di Minkowski. In generale, per rispettare il principio di relatività, tutte le equazioni della sica dovranno dunque risultare covarianti. Meccanica relativistica Passando allo studio della dinamica del punto materiale, ci accorgiamo subito che l'equazione newtoniana, così come è scritta, F = d dt p (102) è sicuramente non covariante, poiché è una relazione tra vettori dello spazio ordinario tridimensionale e non tra vettori o tensori quadridimensionali. Dobbiamo quindi rimpiazzare la (102) con un'equazione covariante che, d'altra 17

18 parte, riproduca la (102) stessa nel limite di velocità piccole rispetto a quella della luce. Cominciamo con il denire le quantità cinematiche rilevanti. Supponiamo di individuare un punto materiale in movimento in un certo riferimento inerziale R che, ad un dato istante t, ha coordinate spaziali x, y e z. Ciò equivale a conoscere il raggio vettore x µ = (x, y, z, ct) (103) Supponiamo che in tale istante il punto abbia una velocità (tridimensionale) v. Dopo un intervallo di tempo innitesimo dt, il punto si è spostato di una quantità innitesima e l'incremento del raggio vettore risulta La sua norma è dx µ = (dx, dy, dz, cdt) = (v x dt, v y dt, v z dt, cdt) (104) (dx µ ) 2 = (c 2 v 2 x v 2 y v 2 z) dt 2 = (c 2 v 2 ) dt 2 (105) dove con v 2 denotiamo il quadrato del modulo tridimensionale della velocità. Osserviamo ora il punto materiale da un altro sistema di riferimento R che si muove di moto traslatorio rispetto a R proprio con velocità v. La norma rimane la stessa; d'altra parte, rispetto ad R il punto materiale è fermo. Per conseguenza, vale la seguente uguaglianza: (dx µ ) 2 = c 2 dt 2 = (c 2 v 2 ) dt 2 = (dx µ ) 2 (106) dalla quale si vede che l'intervallo di tempo dt, misurato nel sistema di riferimento che in quell'istante segue il punto materiale nel suo movimento, è un invariante relativistico (poiché lo sono (dx µ ) 2 e c 2 ). Tale intervallo di tempo viene di solito indicato con il simbolo dτ e, come abbiamo già avuto occasione di dire, viene chiamato intervallo di tempo proprio. Si ha dunque: dt = dt 1 v 2 /c 2 dτ (107) Riconsideriamo l'elemento spazio-temporale (che è un quadrivettore innitesimo) dx µ = (dx, cdt) (108) 18

19 Dividendo per dτ (che è una quantità scalare) otteniamo dunque un altro quadrivettore: u µ dxµ dτ = v 1 v 2 /c, c 2 1 v 2 /c 2 = (γv, γc) (109) che è naturale denire come quadrivelocità, giacché la sua parte spaziale coincide proprio con l'ordinario vettore velocità, nel limite non relativistico. Notiamo che la quadrivelocità ha norma costante (positiva) uguale a c 2 : ( ) (u µ ) 2 = γ 2 c 2 γ 2 v 2 = γ 2 c 2 1 v2 c 2 = c 2 (110) Moltiplicando per la massa m del punto materiale deniamo altrettanto il quadrimpulso: mv p µ m u µ = 1 v 2 /c, mc 2 1 v 2 /c 2 = (γmv, γmc) (111) che evidentemente ha norma costante uguale a m 2 c 2. Per quanto riguarda la dinamica, ci riferiamo alla forza di Lorentz che, d'altra parte, è una forza fondamentale della Natura; per la quale non sono necessari modelli fenomenologici, come invece accade per le forze elastiche o le forze di attrito ecc. In termini di vettori tridimensionali sappiamo che: Per la componente x, per esempio: In termini del tensore elettromagnetico: D'altra parte, per denizione di u µ : f = q (E + v B) (112) f x = q (E x + v y B z v z B y ) (113) f x = q (cf 10 + v y F 21 v z F 13 ) (114) f x = q ( ) cf 10 + u2 γ F 21 u3 γ F (115)

20 Ora studiamo con cura il seguente passaggio, nel quale abbassiamo gli indici della quadrivelocità. Ricordiamoci che, per la struttura di g µν, si ha u 0 = u 0, u i = u i (questa è una regola generale da tenere sempre presente: la quarta componente di un quadrivettore rimane immutata abbassando (o innalzando) il suo indice; le componenti spaziali cambiano segno). Ricordiamoci anche dell'antisimmetria del tensore elettromagnetico. Con queste indicazioni è facile rendersi conto che si ha: f 1 = f x = q ( u0 γ F 10 + u 2 γ F 12 + u 3 γ F 13 + u 1 γ F 11 ) = q γ u νf 1ν (116) (l'ultimo addendo è identicamente nullo e lo abbiamo aggiunto nell'espressione (115); in questo modo però ci siamo avvantaggiati ottenendo una scrittura nella quale compaiono tutti gli indici sommati). Espressioni analoghe si ottengono per le altre componenti spaziali di f e in denitiva possiamo vericare che: γf i = qf iν u ν (117) dove con l'indice i abbiamo denotato la componente che può essere x, y o z. A questo punto è naturale introdurre un'analoga espressione f 0, denita da γf 0 = qf 0ν u ν (118) e scrivere γf µ = qf µν u ν (119) Al secondo membro abbiamo un quadrivettore e allora lo è altrettanto il primo membro che denisce così la quadriforza F µ : F µ γf µ = qf µν u ν (120) A parte il fattore γ, la parte spaziale coincide con l'espressione tridimensionale della forza di Lorentz f ; e la parte temporale risulta F 0 = γ q c E v (121) In denitiva, scrivendo esplicitamente la parte spaziale e quella temporale, abbiamo il quadrivettore ( F µ = γf, γ q E c v ) ( = γf, γ 1 f c v ) (122) 20

21 L'ultimo passaggio è giusticato dal fatto che la parte magnetica della forza di Lorentz non contribuisce (si ha un prodotto misto nullo). Dobbiamo ora uguagliare la quadriforza ad un'espressione che contenga la variazione di impulso, come è suggerito dall'equazione newtoniana. Per rispettare la covarianza, non possiamo avere altro che: La parte spaziale risulta: F dp = dτ = d dτ ovvero mv F µ = dpµ dτ 1 v 2 /c = 1 d 2 1 v 2 /c 2 dt f = d dt (123) mv 1 v 2 /c 2 (124) mv (125) 1 v 2 /c 2 che, per piccole velocità, si riduce all'equazione di Newton f = m dv/dt. Una conseguenza molto importante viene dalla quarta componente della (123) per la quale risulta: mc 2 f v dt = d (mc 2 γ) = d (126) 1 v 2 /c 2 Al primo membro compare il lavoro compiuto dalla forza di Lorentz nel tempo dt; dunque al secondo membro deve comparire la variazione di energia cinetica de. Questo ci suggerisce la seguente espressione per E: E = mc 2 1 v 2 /c 2 (127) In particolare, per piccole velocità, sviluppando in serie rispetto a v 2, si ha: ( E mc v 2 ) 2 c 2 = mc mv2 (128) che, a parte il valore costante mc 2, coincide con l'espressione classica. D'altra parte, se l'espressione corretta per l'energia cinetica è la (127), non possiamo omettere il termine mc 2 che risulta dunque presente anche per velocità nulle. Questo termine è chiamato energia di riposo che compete ad un punto materiale di massa m. Il solo fatto che un corpo abbia massa m implica pertanto 21

22 che esso possieda comunque un'energia pari a mc 2 : massa ed energia sono dunque strettamente correlate. Discuteremo più avanti l'eettiva validità della (127). Un'altra relazione importante lega l'energia all'impulso di una particella. Ricordiamo infatti che Moltiplicando per c: p µ = p, mc 1 v 2 /c 2 cp µ = cp, mc 2 = (cp, E) 1 v 2 /c 2 da questa si ricava c 2 p 2 = E 2 c 2 p 2 (129) nella quale p è la parte spaziale del quadrimpulso: mv (130) 1 v 2 /c 2 p = Ricordiamo inoltre che p 2 = p µ 1 p µ = 1 v 2 /c 2 (mc2 mv 2 ) = m 2 c 2 (131) e dunque, dalla (129): E 2 = c 2 p 2 + m 2 c 4 (132) A questo punto, è molto importante studiare il caso limite nel quale si considerano particelle di massa nulla. In meccanica classica, ad una particella di massa nulla competono impulso ed energia nulli. In pratica ciò signica che, in meccanica classica, non esistono particelle di massa nulla. O, per meglio dire, la eventuale presenza di particelle a massa nulla non è osservabile: non possiamo accorgerci se esse intervengono in un qualsiasi processo, dal momento che esse non apportano alcuna variazione di impulso o di energia (e anche di momento angolare). La situazione è completamente diversa in relatività: la presenza di particelle di massa nulla è assolutamente ammissibile ed osservabile. Ce ne accorgiamo dalla (131): nel limite di m che tende a zero osserviamo che il quadrimpulso è di tipo luce: p 2 = p µ p µ = 0 (133) 22

23 ma ciò non signica che la parte spaziale e quella temporale di p µ siano separatamente nulle. Per di più, dalla (132), possiamo anche osservare che una particella di massa nulla possiede un'energia cinetica: E = c p (134) D'altra parte, è semplice ricavare la relazione che lega E al modulo spaziale dell'impulso p e alla velocità v di una particella di massa m. Dalla (130) si ha infatti, prendendo i moduli e moltiplicando per c 2 : E = c2 p v (135) Confrontando con la (134) si vede che per una particella di massa nulla si ha necessariamente v = c; ovvero una particella di massa nulla si muove necessariamente alla velocità della luce. Questi risultati non sono in contraddizione con le espressioni (127) e (130) che sembrerebbero fornire impulso ed energia comunque nulli, quando m tende a zero. Infatti, tali limiti sono eettivamente zero se v è diversa da c: in questo caso la particella è inosservabile, come in meccanica classica; ma se si ammette che il passaggio al limite m 0 sia accompagnato da v che tende a c, i limiti in questione possono benissimo essere diversi da zero. Notiamo che la relazione (134) è quella che lega energia e impulso di un'onda piana monocromatica. Ciò ci permette di interpretare la propagazione del campo elettromagnetico come propagazione di particelle di massa nulla: i fotoni. Rimane la questione della validità della (127), dalla quale derivano le circostanze che abbiamo appena esposto. l'energia di risposo per la quale deve valere In particolare, vogliamo valutare E = mc 2 (136) Si deve proprio ad Einstein un argomento a riprova di ciò. Immaginiamo un vagone di massa M e di lunghezza L all'estremo sinistro del quale sia posto il ash di una macchina fotograca. All'altro estremo sia posto uno schermo S che assorbe la luce che gli viene inviata orizzontalmente, lungo l'asse x verso destra. Se p x è l'impulso del campo elettromagnetico associato alla luce del ash, non c'è dubbio che, dopo il lampo, il vagone subirà un rinculo 23

Relatività Ristretta

Relatività Ristretta Relatività Ristretta Manlio De Domenico 1 Univeristà degli studi di Catania Dipartimento di Fisica e Astronomia 2 Indice 1 Relatività ristretta 7 1.1 Introduzione............................ 7 1.2 Le trasformazioni

Dettagli

Derivazione elementare dell espressione della quantità di moto e dell energia in relativività ristretta

Derivazione elementare dell espressione della quantità di moto e dell energia in relativività ristretta Derivazione elementare dell espressione della quantità di moto e dell energia in relativività ristretta L. P. 22 Aprile 2015 Sommario L espressione della quantità di moto e dell energia in relatività ristretta

Dettagli

INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA RELATIVITÀ 1. INTRODUZIONE

INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA RELATIVITÀ 1. INTRODUZIONE INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA RELATIVITÀ ISIDORO FERRANTE 1. INTRODUZIONE Questi appunti sono stati scritti come linea guida per il corso di relatività da me tenuto presso la SSIS Toscana nel 2006. 2.

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

M P = PA^V. Il risultante e denito semplicemente come la somma dei vettori di a

M P = PA^V. Il risultante e denito semplicemente come la somma dei vettori di a VETTORI APPLICATI Sistema di vettori applicati L'ente matematico costituito da un punto P e da un vettore (libero) V, si dice vettore applicato in P e si denota con (P;V). E comodo rappresentare il vettore

Dettagli

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA Classe VA scientifico MATEMATICA MODULO 1 ESPONENZIALI E LOGARITMI 1. Potenze con esponente reale; 2. La funzione esponenziale: proprietà e grafico; 3. Definizione di logaritmo;

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Note di fisica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, luglio 2012. 1 Quantità di moto.

Note di fisica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, luglio 2012. 1 Quantità di moto. Note di fisica. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, luglio 2012. Indice 1 Quantità di moto. 1 1.1 Quantità di moto di una particella.............................. 1 1.2 Quantità

Dettagli

ANNO SCOLASTICO 2014/2015 I.I.S. ITCG L. EINAUDI SEZ.ASSOCIATA LICEO SCIENTIFICO G. BRUNO PROGRAMMA DI FISICA. CLASSE: V A Corso Ordinario

ANNO SCOLASTICO 2014/2015 I.I.S. ITCG L. EINAUDI SEZ.ASSOCIATA LICEO SCIENTIFICO G. BRUNO PROGRAMMA DI FISICA. CLASSE: V A Corso Ordinario ANNO SCOLASTICO 2014/2015 I.I.S. ITCG L. EINAUDI SEZ.ASSOCIATA LICEO SCIENTIFICO G. BRUNO PROGRAMMA DI FISICA CLASSE: V A Corso Ordinario DOCENTE: STEFANO GARIAZZO ( Paola Frau dal 6/02/2015) La corrente

Dettagli

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]

Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =

Dettagli

Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una

Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una NUMERI INTERI E NUMERI DECIMALI Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una cassetta sono contenuti 45 penne e che una lamiera misura 1,35 m. dl lunghezza,

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

F S V F? Soluzione. Durante la spinta, F S =ma (I legge di Newton) con m=40 Kg.

F S V F? Soluzione. Durante la spinta, F S =ma (I legge di Newton) con m=40 Kg. Spingete per 4 secondi una slitta dove si trova seduta la vostra sorellina. Il peso di slitta+sorella è di 40 kg. La spinta che applicate F S è in modulo pari a 60 Newton. La slitta inizialmente è ferma,

Dettagli

Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson

Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson Soluzioni classiche dell'equazione di Laplace e di Poisson Antonio Paradies Dipartimento di Matematica e Applicazioni Renato Caccioppoli Università degli studi di Napoli Federico II Napoli, 25 Febbraio

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

LAVORO, ENERGIA E POTENZA

LAVORO, ENERGIA E POTENZA LAVORO, ENERGIA E POTENZA Nel linguaggio comune, la parola lavoro è applicata a qualsiasi forma di attività, fisica o mentale, che sia in grado di produrre un risultato. In fisica la parola lavoro ha un

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 2011/2012 - Docente: Prof. Carlo Isetti

Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 2011/2012 - Docente: Prof. Carlo Isetti Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 0/0 - Docente: Prof. Carlo Isetti LAVORO D NRGIA 5. GNRALITÀ In questo capitolo si farà riferimento a concetto quali lavoro ed energia termini che hanno nella

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Problema 1 Due carrelli A e B, di massa m A = 104 kg e m B = 128 kg, collegati da una molla di costante elastica k = 3100

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca Trascrizione del testo e redazione delle soluzioni di Paolo Cavallo. La prova Il candidato svolga una relazione

Dettagli

9. Urti e conservazione della quantità di moto.

9. Urti e conservazione della quantità di moto. 9. Urti e conservazione della quantità di moto. 1 Conservazione dell impulso m1 v1 v2 m2 Prima Consideriamo due punti materiali di massa m 1 e m 2 che si muovono in una dimensione. Supponiamo che i due

Dettagli

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

Calcolo tensoriale: introduzione elementare ed applicazione alla relatività speciale

Calcolo tensoriale: introduzione elementare ed applicazione alla relatività speciale Capitolo 6 Calcolo tensoriale: introduzione elementare ed applicazione alla relatività speciale Il calcolo tensoriale costituisce un capitolo della geometria differenziale, e potrebbe essere discusso in

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO Capitolo 14 EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO Nel Cap.11 abbiamo trattato metodi di risoluzione dell equazione di Schrödinger in presenza di perturbazioni indipendenti dal tempo; in questo capitolo trattiamo

Dettagli

QUAL È LA DISTANZA TRA ROMA E NEW YORK? UN PO' DI GEOMETRIA ANALITICA SULLA SFERA

QUAL È LA DISTANZA TRA ROMA E NEW YORK? UN PO' DI GEOMETRIA ANALITICA SULLA SFERA QUAL È LA DISTANZA TRA ROMA E NEW YORK? UN PO' DI GEOMETRIA ANALITICA SULLA SFERA Michele Impedovo Bollettino dei Docenti di Matematica del Canton Ticino (CH) n 36, maggio 98. Il problema Il lavoro che

Dettagli

La dinamica delle collisioni

La dinamica delle collisioni La dinamica delle collisioni Un video: clic Un altro video: clic Analisi di un crash test (I) I filmati delle prove d impatto distruttive degli autoveicoli, dato l elevato numero dei fotogrammi al secondo,

Dettagli

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i NA. Operatore nabla Consideriamo una funzione scalare: f : A R, A R 3 differenziabile, di classe C (2) almeno. Il valore di questa funzione dipende dalle tre variabili: Il suo differenziale si scrive allora:

Dettagli

La Termodinamica ed I principi della Termodinamica

La Termodinamica ed I principi della Termodinamica La Termodinamica ed I principi della Termodinamica La termodinamica è quella branca della fisica che descrive le trasformazioni subite da un sistema (sia esso naturale o costruito dall uomo), in seguito

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione METODO DELLE FORZE CORSO DI PROGETTZIONE STRUTTURLE a.a. 010/011 Prof. G. Salerno ppunti elaborati da rch. C. Provenzano 1. METODO DELLE FORZE PER L SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTTICHE 1.1 Introduzione

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Logaritmi ed esponenziali

Logaritmi ed esponenziali Logaritmi ed esponenziali definizioni, proprietà ITIS Feltrinelli anno scolastico 2007-2008 A cosa servono i logaritmi I logaritmi rendono possibile trasformare prodotti in somme, quozienti in differenze,

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

A i è un aperto in E. i=1

A i è un aperto in E. i=1 Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque

Dettagli

FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO. Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo = +

FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO. Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo = + FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo = + dove m e q sono numeri reali fissati. Il grafico di tale funzione è una retta, di cui

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento.

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. 1 IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. Quando un corpo è in movimento? Osservando la figura precedente appare chiaro che ELISA è ferma rispetto a DAVIDE, che è insieme a lei sul treno; mentre

Dettagli

Fisica quantistica. Introduzione alla polarizzazione e altri sistemi a due livelli. Christian Ferrari. Liceo di Locarno

Fisica quantistica. Introduzione alla polarizzazione e altri sistemi a due livelli. Christian Ferrari. Liceo di Locarno Fisica quantistica Introduzione alla polarizzazione e altri sistemi a due livelli Christian Ferrari Liceo di Locarno Sommario La polarizzazione della luce e del fotone Altri sistemi a due livelli L evoluzione

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto

Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto Relatore Prof. Andrea

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA Un conduttore ideale all equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo al suo interno. Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da zero al suo

Dettagli

MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO ELETTRICO UNIFORME

MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO ELETTRICO UNIFORME 6. IL CONDNSATOR FNOMNI DI LTTROSTATICA MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO LTTRICO UNIFORM Il moto di una particella carica in un campo elettrico è in generale molto complesso; il problema risulta più semplice

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t;

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t; CAPITOLO CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Definizioni Dato un conduttore filiforme ed una sua sezione normale S si definisce: Corrente elettrica i Q = (1) t dove Q è la carica che attraversa la sezione S

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

Il fotone. Emanuele Pugliese, Lorenzo Santi URDF Udine

Il fotone. Emanuele Pugliese, Lorenzo Santi URDF Udine Il fotone Emanuele Pugliese, Lorenzo Santi URDF Udine Interpretazione di Einstein dell effetto fotoelettrico Esistono «particelle»* di luce: i fotoni! La luce è composta da quantità indivisibili di energia

Dettagli

Elementi di analisi delle reti elettriche. Sommario

Elementi di analisi delle reti elettriche. Sommario I.T.I.S. "Antonio Meucci" di Roma Elementi di analisi delle reti elettriche a cura del Prof. Mauro Perotti Anno Scolastico 2009-2010 Sommario 1. Note sulla simbologia...4 2. Il generatore (e l utilizzatore)

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

F U N Z I O N I. E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC "DERIVE")

F U N Z I O N I. E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC DERIVE) F U N Z I O N I E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di Carmine De Fusco 1 (ANCHE CON IL PROGRAMMA PER PC "DERIVE") I N D I C E Funzioni...pag. 2 Funzioni del tipo = Kx... 4 Funzioni crescenti e decrescenti...10

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

APPUNTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI. Giulio Alfano

APPUNTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI. Giulio Alfano PPUNTI DI SCIENZ DEE COSTRUZIONI Giulio lfano nno ccademico 004-005 ii Indice 1 TRVTURE PINE 1 1.1 Geometria, equilibrio e vincoli...................... 1 1.1.1 Piani di simmetria........................

Dettagli

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza

Dettagli

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Figura 1: Foto dell apparato sperimentale. 1 Premessa 1.1 Velocità delle onde trasversali in una corda E esperienza comune che quando

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

percorso fatto sul tratto orizzontale). Determinare il lavoro (minimo) e la potenza minima del motore per percorrere un tratto.

percorso fatto sul tratto orizzontale). Determinare il lavoro (minimo) e la potenza minima del motore per percorrere un tratto. Esercizio 1 Una pietra viene lanciata con una velocità iniziale di 20.0 m/s contro una pigna all'altezza di 5.0 m rispetto al punto di lancio. Trascurando ogni resistenza, calcolare la velocità della pietra

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

I numeri. Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri?

I numeri. Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri? I numeri Premessa: Che cosa sono e a che servono i numeri? Come ti sarai reso conto, i numeri occupano un ruolo importante nella tua vita: dai numeri che esprimono il prezzo degli oggetti venduti in un

Dettagli

Particelle identiche : schema (per uno studio più dettagliato vedi lezione 2) φ 1

Particelle identiche : schema (per uno studio più dettagliato vedi lezione 2) φ 1 Particelle identiche : schema (per uno studio più dettagliato vedi lezione ) Funzioni d onda di un sistema composto Sistema costituito da due particelle (eventualmente identiche) H φ q H φ H ψ φ φ stato

Dettagli

L=F x s lavoro motore massimo

L=F x s lavoro motore massimo 1 IL LAVORO Nel linguaggio scientifico la parola lavoro indica una grandezza fisica ben determinata. Un uomo che sposta un libro da uno scaffale basso ad uno più alto è un fenomeno in cui c è una forza

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

Dinamica e Misura delle Vibrazioni

Dinamica e Misura delle Vibrazioni Dinamica e Misura delle Vibrazioni Prof. Giovanni Moschioni Politecnico di Milano, Dipartimento di Meccanica Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali giovanni.moschioni@polimi.it VibrazionI 2 Il termine

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

63- Nel Sistema Internazionale SI, l unità di misura del calore latente di fusione è A) J / kg B) kcal / m 2 C) kcal / ( C) D) kcal * ( C) E) kj

63- Nel Sistema Internazionale SI, l unità di misura del calore latente di fusione è A) J / kg B) kcal / m 2 C) kcal / ( C) D) kcal * ( C) E) kj 61- Quand è che volumi uguali di gas perfetti diversi possono contenere lo stesso numero di molecole? A) Quando hanno uguale pressione e temperatura diversa B) Quando hanno uguale temperatura e pressione

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli