Enrico Borghi L EQUAZIONE DI DIRAC NELLA APPROSSIMAZIONE DI PAULI

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1 Enrio Borghi L EQUAZIONE DI DIRAC NELLA APPROSSIMAZIONE DI PAULI

2 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli si inontrano rihiami ai seguenti studi a) Teoria di Pauli sullo spin dell elettrone; b) L equazione di Klein-Gordon; ) Rappresentazioni spinoriali del gruppo di Lorentz; d) L equazione di Dira; he fanno parte di fisiarivisitata e he devono essere ben noti a hi si aosta al problema della desrizione quantistio-relativistia della dinamia dell elettrone seguendo la presentazione he di essa viene data in questo studio. 1

3 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli Simboli usati in questo studio: m 0 = massa a riposo di una partiella; Meania pre-relativistia Premessa R = 3-vettore posizione newtoniana; U = 3-vettore veloità newtoniana; P = m 0 U = 3-vettore momento newtoniano; E = P 2 / = energia di una partiella libera; p = P + q A = momento generalizzato newtoniano di una partiella on momento P e aria q soggetta a potenziale magnetio A; W = 1 p q A)2 + qϕ = energia di una partiella on massa m 0, aria q, momento generalizzato p e soggetta ai potenziali e.m. ϕ,a; Meania relativistia R = 4-vettore posizione; R = parte spaziale di R; R = t ±R Il doppio segno di R india ontrovarianza +) e ovarianza ); U = 4-vettore veloità; U = parte spaziale di U; U = U0 ±U = 1 1 U2 2 ; U = ±U P = m 0 U = 4-vettore momento; P = parte spaziale di P; E = m P 2 = energia relativistia di una partiella libera; P = P0 = E/ P ; P = ±P ±P 1 U2 2 U 1 U2 2 p = P + q Φ = 4-momento generalizzato relativistio di una partiella on massa m 0, aria q, momento P e soggetta a 4-potenziale elettromagnetio Φ ϕ, ±A; P = parte spaziale di p; P 0 + q p = p0 = ϕ E ±P ± P + q A) = + q ϕ ± P + q A) W = qϕ + m P q A)2 = energia relativistia di una partiella dotata di aria q e soggetta a potenziale Φ ϕ, ±A * * * 2

4 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli - Cap Approssimazione di Pauli L equazione di Dira per un elettrone dotato di aria e, massa m 0 e soggetto ai potenziali ϕ e A è espressa dall eq. 148) dello studio d) he qui risriviamo omettendo gli indii bispinoriali { α P e ) A + e ϕ + βm 0 ΨR) = i h Ψ R) 1) t oppure, indiando on Ψ 1) R) e Ψ 2) R) gli spinori di ui è omposto il bispinore ΨR) { α P e ) A + e ϕ + βm 0 Ψ 1) R) Ψ 2) R) = i h t Ψ 1)R) Ψ 2) R) indii spinoriali omessi). Assumiamo una soluzione ad onda piana di questa equazione: Ψ 1)R) = a 1) e ī W h tp R) ; i h Ψ 1) Ψ 2) R) a 2) t Ψ 2) = W Ψ 1) Ψ 2) dove W è l energia relativistia dell elettrone v. Premessa). Tenendo onto delle 134) e 136) dello studio d) ioè di α = 0 σ ; β = 1 0 σ dove σ è un vettore matriiale le ui omponenti sono le matrii di Pauli, si ottiene: 0 σ { P e ) σ 0 A + e ϕ Ψ m 0 1) R) = W Ψ 1) 0 1 Ψ 2) R) Ψ 2) da ui { W eϕ { W eϕ m 0 + m 0 Ψ 1) = Ψ 2) = P e A ) Ψ 2) 2) P e A ) Ψ 1) 3) Dalla 3) riaviamo lo spinore Ψ 2) : { W eϕ Ψ 2) = + m 0 1 P e A ) Ψ 1) 4) he sostituiamo nella 2): { W eϕ m 0 Ψ 1) = P e ) A W eϕ + m 0 P e ) A Ψ 1) 5) Ora espliitiamo in W l energia di riposo dell elettrone v. eq. 18) dell Appendie B dello studio b)) W = m W + eϕ 6) 3

5 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli - Cap. 1 dove v. l eq. 17) dell Appendie B dello studio b)) W = 1 P e A ) 2 1 8m P e A ) 4 + 7) Sostituiamo la 6) nelle 4) e 5) { W 1 Ψ 2) = + P e ) A Ψ 1) W Ψ 1) = P e ) { A W 1 + P e ) A Risriviamo queste nel modo seguente: Ψ 2) = 1 1 {1 + W 2 P e ) A Ψ 1) W Ψ 1) = 1 P e A ) + W 2 Ψ 1) 1 P e A )Ψ 1) 8) Notiamo he finora non è stata eseguita nessuna operazione di approssimazione, osihé le 8) sono rigorosamente equivalenti alle 2) e 3). Ciò posto, ol termine approssimazione di Pauli delle equazioni di Dira si india un proedimento semplifiativo basato sull ipotesi he sia verifiata la ondizione v. Premessa) P e A ) 2 m 0 2 = 1 2 P e A m 0 ) 2 2 = 1 2 U 2 2 = 1 2 U U U ) osihé nella 7) diventano trasurabili i termini di ordine superiore al primo e rimane osì ) 2 P e A W 1 P e A ) 2 ; W m 0 2 = m ) Tale proedimento rende Ψ 2) piolo rispetto a Ψ 1), osihé delle quattro omponenti del bispinore Ψ solo due sono signifiative ed è possibile onfrontarle on la equazione d onda di Pauli per l elettrone. Eo in dettaglio il proedimento semplifiativo. Iniziamo dallo sviluppo in serie seguente {1 + W 2 1 ) = 1 W W e, tenendo presente la 10), fermiamoi al primo termine {1 + W W 2 11) 4

6 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli - Cap. 1 Sostituendo la 11) nelle 8) si ottiene Ψ 2) = 1 {1 W P e ) 2 A Ψ 1) W Ma v. Premessa) Ψ 1) = 1 P e ) { A 1 W 2 P e 12) ) A Ψ 1) P Ψ 2) = {1 W e ) A Ψ 2 1) = {1 W U 2 2 Ψ 1) da ui, essendo per la 10), segue 1 W 2 1 Ψ 2) U 2 Ψ 1) e risulta osì evidente he Ψ 2) è più piolo di Ψ 1) nel rapporto U/2, periò la prima delle 12) è l equazione he è leito trasurare. Inoltre, tenendo onto delle 9) e 10) si può porre: U U ; P = P + e A P + e A = p P e A ) 2 p e A ) 2 13) W = W eϕ osihé la seonda delle 12) diventa W eϕ)ψ 1) = 1 p e ) A 1 W eϕ ) p e ) 2 A Ψ 1) 14) 5

7 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli - Cap Confronto fra l equazione di Dira e l equazione di Pauli Risriviamo la 14) p e A ) p e A ) + 1 p e ) W eϕ A p e )Ψ 2 A 1) = W eϕ)ψ 1) 15) Il primo termine entro parentesi graffe, riordando la 57) dello studio ) he qui risriviamo a) b) = a b + i a b) 16) diventa p e ) A p e ) A = p e ) 2 A + i p e ) A p q ) A = p e ) 2 A + i {p p p e A e A p + e A e A Poihé le omponenti di p ommutano fra loro e le omponenti di A ommutano fra loro rimane p e ) A p q ) A = p e ) 2 A ie p A + A p) 17) Riordando l eq. 12) dell Appendie dello studio d) he qui risriviamo segue p e ) A p e ) A = Sostituendo nella 15) si ottiene p e ) 2 A p A + A p = i h A 18) p e A ) 2 + i 2 A = p e A ) 2 B 19) B 1 p e A ) W eϕ 2 p e A )Ψ 1) = = W eϕ)ψ 1) 20) Nella 20) sviluppiamo il terzo termine entro parentesi graffe. Premettiamo he fra gli operatori a e s a vettore e s salare) vale la relazione Infatti a)s a) = 1 2 { [[ a,s], a] + s a) 2 + a) 2 s 21) a)s a) = a)s a) s a) 2 + s a) 2 = a)s a) s a) a) + s a) 2 = { a)s s a) a) + s a) 2 = [ a),s] a) + s a) 2 = [ a),s] a) a)[ a),s] + a)[ a),s] + s a) 2 = [[ a),s], a)] + a)[ a),s] + s a) 2 = [[ a),s], a)] + a) a)s a)s a) + s a) 2 6

8 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli - Cap. 2 e quindi 2 a)s a) = [[ a),s], a)] + s a) 2 + a) 2 s da ui la 21). Ponendo in essa a = p e A e s = W eϕ il termine [ a,s] diviene: ] [ p e ) ] [ A, W eϕ = p e ) A = e[ p,ϕ] + e = e [p,ϕ], eϕ [ e A,ϕ ] Riordando la 7) dell Appendie dello studio d) he qui risriviamo [p k,fx)] = i h f x k 22) segue [ p e ) ] A, W eϕ = i ϕ = i E La 21) diviene quindi p e ) A W eϕ) p e ) A = 1 { [ i E, p e )] 2 A + + W eϕ) p e )) 2 A + p e )) 2 A W eϕ) 23) Ora osserviamo he il ommutatore a membro destro [ i E, p e )] A = i E p e )) A + può essere sritto osì v. eq. 16)) [ i E, p e )] { A = i E p e ) A + i p e )) A i E p e )) A + p e ) A E i { [ = i E p p E + i p e ) A p e ) ] A E = i E p p E ) + = 2 E + p e ) ) A E p e ) A p e ) ) A E p e ) A p e ) ) A E dove si è tenuto onto di E p p E = i h E) v. eq. 10) dell Appendie dello studio d)). La 23) diviene quindi p e ) A W eϕ) p e ) A = 1 { 2 E + p e ) 2 A + p e ) ) A E + W eϕ) p e )) 2 A + p e )) 2 A W eϕ) 7 24) 25)

9 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli - Cap. 2 Inserendo quest ultima nella 20) si ottiene p e ) 2 A B 2 8m 2 E 0 2 8m p e ) A + p e ) ) A E 1 8m 2 0 2Weϕ) p e )) 2 A 1 8m 2 p e )) A Weϕ)+ + eϕ Ψ 1) = WΨ 1) 26) Riordando la 19) si può srivere W eϕ) p e )) 2 A = W eϕ) p e ) ) 2 A B e anhe p e )) 2 A W eϕ) = p e ) ) 2 A B W eϕ) Inserendo nella 26) si ottiene p e A ) 2 p e ) A E B 2 8m 2 E 0 2 8m p e ) A + ) 1 8m 2 W eϕ) p e ) A + p e ) ) 2W A eϕ) + + 8m W eϕ) B + BW eϕ) ) + eϕ Ψ 1) = WΨ 1) Il penultimo termine entro parentesi graffe ontiene il fattore 1/ 3 e può essere trasurato osihé rimane p e ) 2 A 1 8m W eϕ) p e ) A 2 σ B 8m 2 E 2σ 02 8m 2 0 p e ) 2 A + p e ) ) 2W A eϕ) p e ) A ) E + + eϕ Ψ 1) = WΨ 1) 27) I termini ontenenti il fattore W eϕ possono essere risritti osservando he v. Premessa) In definitiva la 27) diviene p e ) 2 A 2 σ B 8m 2 E 02 Ora osserviamo he p e ) A p e ) A W eϕ = 1 p e A ) 2 8m 2 0 2σ p e ) A p e ) A ) E + 1 8m p e A ) 4 + eϕ Ψ 1) = WΨ 1) 28) E = p p E 2e A 8

10 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli - Cap. 2 dove si è tenuto onto del fatto he E e A ommutano. Riordando la 18), he qui poniamo nella forma p E = i h E p, si può srivere: p e ) A p e ) A e assumendo E = 0 segue p e ) A p e ) A periò infine la 28) diviene p e A ) 2 1 8m p e A ) 4 E = p + i h E + p 2e A E = 2 p 2e A = 2 p e A ) B 2 8m 2 0 4m p e ) A + eϕ E+ 2 Ψ 1) = WΨ 1) 29) L equazione 29) è il risultato della operazione di approssimazione di Pauli effettuata sulla equazione bispinoriale 1) e seguita da una rielaborazione he ha posto l equazione approssimata ioè la 15)) in una forma onfrontabile on l equazione spinoriale di Pauli per l elettrone espressa dall eq. 72) dello studio a) he qui risriviamo omettendo gli indii spinoriali P e A ) 2 B 4m P e ) A + V Ψ = i h Ψ t In questa poniamo P = P + e A P + e A = p e assumiamo una soluzione ad onda piana Ψ = ae ī h Wtp R) ; i h Ψ t = WΨ osihé la 72) dello studio a), evidenziando il fattore di Thomas, diviene p e A ) 2 B 1 2 2m p e ) A + V Ψ = WΨ 30) Notiamo he il primo termine entro parentesi graffe della 29) è uguale al primo termine di uguale posizione nella 30); il seondo è una rifinitura relativistia dell energia dell elettrone v. eq. 7)) he non ha orrispondente nella 30); il terzo termine è l energia di interazione spin-ampo, introdotta ad ho nell equazione di Pauli e he ora si presenta naturalmente nell equazione di Dira; il quarto termine, detto termine di Darwin, può essere attribuito a fluttuazioni mirosopihe della posizione dell elettrone e non ompare nell equazione di Pauli; il quinto termine è l energia di interazione spin-orbita orrettamente munito del fattore 1/4 he ompare naturalmente ome risultato della proedura di approssimazione di Pauli, ioè senza ulteriori elaborazioni ad ho, mentre invee nella 30) è stato neessario 9

11 E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli - Cap. 2 introdurre il fattore 1/2 fattore di Thomas, pag. 21 dello studio a)); il sesto è l energia oulombiana di legame dell elettrone he nell equazione di Pauli è stata indiata on V. Il onfronto fra la 29) e la 30) mostra dunque he l equazione di Dira non solo ontiene tutti i termini he ompaiono nell equazione di Pauli ma, essendo Lorentz-ovariante, possiede l impianto fisio-matematio al quale ogni teoria fisia deve attenersi. Per validare la sua importanza fisia oorrerà appliarla a desrivere sistemi nei quali sia in gioo la dinamia di un elettrone; per ora possiamo notare he la 29) mostra he lo spin deve essere onsiderato un effetto relativistio, ioè inematio, e non una aratteristia meanio-strutturale dell elettrone. 10