AIMETA. Studio di lastre forate mediante il Metodo delle Celle

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1 AIMEA XII Convegno Italiano di Meania Computazionale Bresia, -5 novembre 000 Studio di lastre forate mediante il Metodo delle Celle Franesa COSMI Dipartimento di Energetia, Università di rieste, via A. Valerio 0, 7 rieste, Italia osmi@univ.trieste.it SOMMARIO. uesto lavoro desrive uno studio numerio, ondotto utilizzando il Metodo delle Celle, riferito all analisi dello stato tensionale elastio in lastre forate in diverse ondizioni di ario. Vengono investigate diverse geometrie e viene disusso il omportamento al diminuire dei rapporti aratteristii h/d e w/d. Introduzione. In questo lavoro viene risolto numeriamente il problema elastio piano ostituito da una lastra forata ariata ome in Fig.7. uesto tipo di geometria astratta può essere impiegato per rappresentare una grande varietà di onnessioni meanihe, quali ad esempio gli attahi dei motori alla struttura nell industria aeronautia, i ollegamenti tra forella, spinotto e biella nei motori a soppio, e. Viene impiegato il Metodo delle Celle on approssimazione quadratia del ampo degli spostamenti. Modellazione numeria. Il Metodo delle Celle [], di reente sviluppo, risulta partiolarmente adatto ad approssimare il ampo degli spostamenti interni alla ella in prossimità di punti he presentano forti variazioni del gradiente (ioè delle deformazioni) quando vengono adottate per l interpolazione funzioni parabolihe []. Come previsto dal metodo, vengono utilizzate due mesh sfalsate tra loro ui assoiare le diverse lassi di variabili he desrivono il problema in esame. In partiolare vengono adottate (Fig.): - una mesh primale, di Delanuay, ui assoiare le variabili di tipo onfigurazione; - una mesh duale, ottenuta utilizzando i due punti di Gauss dei lati ed il barientro di iasun triangolo della mesh primale. Nel metodo delle elle la ella duale può essere vista ome regione di influenza del nodo al suo interno, regione per la quale è possibile srivere le equazioni di equilibrio direttamente in forma disreta. Le elle primali hanno iasuna nodi ome illustrato in Fig..

2 mesh primale mesh duale Fig. Come set di oordinate interne alla ella vengono utilizzate le oordinate areali β, β, β. 5 Fig. La soluzione approssimata viene ottenuta determinando i valori u k, v k delle omponenti degli spostamenti nodali, mentre in un punto P(β, β, β ) interno alla ella lo spostamento viene ottenuto interpolando gli u k, v k on delle funzioni parabolihe k : u v ( β, β, β ) = ( β, β, β ) k ( β, β, β ) = (,, ). β β β v k k u k () Le funzioni interpolanti k sono ombinazioni lineari tra le oordinate areali ed i loro quadrati e devono assumere il valore nel nodo k-esimo e 0 negli altri 5 nodi della ella: = β = ββ 5 = β = β β = β = ββ. () Riordando he la matrie delle deformazioni è data dalla parte simmetria del gradiente degli spostamenti, è possibile sviluppare le espressioni delle deformazioni in un punto interno alla ella he, in forma matriiale, risultano espresse da

3 { ε } = [ G]{ u } () A in ui: A è l area della ella onsiderata, {ε } è il vettore a tre elementi he raoglie le omponenti della deformazione nel punto, {u } è un vettore a elementi he raoglie le omponenti degli spostamenti nodali, [G] una matrie x i ui elementi sono funzione sia delle oordinate areali del punto interno alla ella sia delle oordinate assolute dei vertii della ella. Nell approssimazione adottata, le deformazioni hanno andamento lineare entro la ella primale. t Fig. Per poter srivere le equazioni di equilibrio, oorre esprimere la relazione di Cauhy per i lati della ella duale, ioè trovare le omponenti della forza he agise su iasuna faia del poligono duale he ironda il nodo (Fig.): x Ax = y 0 A A y y σ 0 σ A x τ x y xy = [ A]{ σ} () in ui A x, A y hanno il signifiato illustrato in Fig.. y A Ay Ax x Fig. Introduendo la matrie [D] x, he esprime la legge di Hooke per il materiale omogeneo he ostituise la ella (in questo studio per stati di tensione piana), ed utilizzando l espressione () delle deformazioni, si ottiene

4 x = y At [ A][ D][ G]{ u} (5) Consideriamo ora il nodo della generia ella (Fig.5). Le forze agenti sui lati a e b del poligono duale del nodo sono a e b. Analogamente è possibile esprimere per iasuno dei sei nodi della ella primale le forze di superfiie sambiate tra i poligoni di influenza della ella (Fig.5): 5 = a = = e = b = d = f b d f g h i h i g e a () e a a b f f i g b e i g h h 5 d d Fig.5 E possibile quindi esprimere l equazione di equilibrio di iasuna regione di influenza. Infatti, detti (Fig.): - U h il poligono di influenza del nodo h, - h il vettore forza totale, agente sulla superfiie di U h, somma dei ontributi di tutte le elle primali he irondano il nodo h, - F h il vettore risultante delle forze di volume agenti su U h, somma dei ontributi di tutte le elle primali he irondano il nodo h, - B h il vettore risultante delle forze esterne agenti su U h attraverso il ontorno del orpo, Bh h Fig. l equazione di equilibrio della ella duale U h risulta:

5 F B = 0 (7) h h h Se n è il numero dei nodi, il sistema sritto risulta un sistema lineare di n equazioni nelle n inognite u h, v h, omponenti dello spostamento nodale, he può essere risolto on i metodi usuali. E da notare he la matrie fondamentale osì ottenuta non oinide on quella del FEM per elementi triangolari a nodi. Risultati e disussione Il problema delle lastre forate ariate sul ontorno del foro è stato affrontato in passato per determinate geometrie e ondizioni di ario [], [], [5], [], tuttavia, anhe a ausa delle disordanze sui risultati in letteratura, si ritiene he lo stato tensionale non sia sempre suffiientemente noto, in partiolare al resere delle dimensioni del foro rispetto alla larghezza della lastra. Le ondizioni di ario esaminate sono desritte in Fig.7. P p (a) (b) Fig.7 La ondizione di ario in Fig.7(a) ostituise un approssimazione aettabile quando il ario è piolo e vi è ampio gioo tra perno ed ohio. La ondizione di ario in Fig.7(b) è adatta a simulare il ollegamento tra forella e spinotto, essendo stato mostrato [7] he gli sforzi ironferenziali nel punto A di Fig.8 possono essere auratamente valutati assumendo ome ario una pressione uniforme agente su metà del foro, senza dover risolvere direttamente il problema di ontatto seo tra perno e foro nella lastra. La geometria del problema, la notazione utilizzata e le ondizioni al ontorno sono riportate in Fig.8. Il materiale modellato è un aiaio i ui parametri sono riportati in abella. Modulo di Young MPa Coeffiiente di Poisson 0. abella. Materiale La risultante del ario appliato è sempre P=0 N, la pressione da appliare sulla semiironferenza per il ariamento di Fig.7(a) è alolata ome p=p/(d*t). Lo spessore t della lastra è.8 mm, le altre dimensioni sono riportate in abella. 5

6 w/ w h d A d Fig.8 Diametro d.7 mm H=h/d W=w/d,.5,.,. abella. Dimensioni. In Fig.9 è diagrammato il valore della solleitazione ironferenziale lungo il bordo del foro nella situazione di ario di Fig.7(a), mentre quello per la situazione di ario 7(b) è riportato in Fig.0. Cario onentrato s q angolo H=,W= H=,W=.5 H=,W=. H=,W=. Fig.9

7 Cario distribuito s q angolo H=,W= H=,W=.5 H=,W=. H=,W=. Fig.0 Al variare delle ondizioni di ario, a parità di geometria si vede ome le tensioni, in partiolare nella zona più solleitata, risultano molto più elevate per ario onentrato rispetto al aso di ario distribuito. Per W= la distribuzione delle tensioni è quella riportata in Fig. (a) per ario onentrato e Fig.(b) per ario distribuito. (a) (b) Fig. Al diminuire del rapporto W le distribuzioni delle tensioni ironferenziali in prossimità della zona più solleitata sono diverse nei due asi ome si può failmente notare rispettivamente in Fig.(a) e Fig.(b) he si riferisono al aso W=.. 7

8 (a) (b) Fig. Il diverso andamento delle tensioni nella zona più solleitata per i due modelli di ario è messo anora più in evidenza osservando l andamento del fattore di onentrazione degli sforzi SCF, alolato ome rapporto tra la massima tensione tangenziale e la tensione nominale della sezione indebolita, SCF= σ θmax/σ nom, avendo assunto σ nom=p/[(w-d)*t]. In Fig. è riportato SCF in funzione del rapporto aratteristio W. SCF,5,5,5,5 0,5 0,,,,,5,,7,8,9 w H= ario distribuito H= ario onentrato Fig. Si vede ome per ario distribuito il fattore di onentrazione degli sforzi tende al valore uno al diminuire di W (e quindi all aumentare delle dimensioni del foro rispetto alla larghezza della lastra), mentre quando si onsidera il aso di un ario onentrato, il fattore di onentrazione degli sforzi tende ad assumere il valore due. 8

9 Alle due ondizioni di ario orrispondono quindi due diverse distribuzioni di tensione nella sezione indebolita dal foro, ome messo in evidenza anhe dalle deformate (amplifiate) riportate rispettivamente in Fig. (a) per ario onentrato e Fig.(b) per ario distribuito. σ θ σ θ (a) Fig. (b) In aso di ario onentrato la tensione ironferenziale al bordo del foro vale σ θ =σ nom, e derese on andamento lineare verso l esterno fino ad annullarsi (Fig.(a)). uesto andamento è aratteristio di una solleitazione tenso-flessionale, in ui una distribuzione a farfalla legata alla oppia flettente si sovrappone ad una solleitazione uniforme, neessaria ad equilibrare il ario. In aso di ario distribuito la solleitazione (Fig. (b)) nella sezione indebolita è invee di trazione pura e la tensione risulta distribuita uniformemente on σ θ =σ nom. Conlusioni Si è appliato il metodo delle elle on interpolazione parabolia degli spostamenti al problema della determinazione dello stato tensionale elastio in lastra forate soggette a due aratteristihe ondizioni di ario. Si è presentato il modello numerio utilizzato e si sono analizzati i risultati ottenuti al variare di un parametro aratteristio della geometria del problema. Sono previsti ulteriori sviluppi, he amplieranno l indagine all influenza di altri parametri del sistema onsiderato. Ringraziamenti Si ringrazia il prof. Enzo onti per i preziosi onsigli durante lo sviluppo di questo lavoro. Bibliografia [] onti E. Formulazione finita delle equazioni di ampo:il Metodo delle Celle. In pubbliazione sugli Atti del XIII Convegno Italiano di Meania Computazionale, 000, Bresia, Italia, novembre 000. [] Cosmi F. Appliazione del Metodo delle Celle on approssimazione quadratia. Atti del XXIX Convegno Nazionale AIAS, Lua, Italia, settembre 000 [] Grant R.J., Smart J., Stanley P. A parametri study of the elasti stress distribution in pinloaded lugs. J. Strain Analysis, 99, 9(),

10 [] Wang G.S. Stress analysis for a lug under various onditions. J. Strain Analysis, 99, 9(), 7-. [5] Lin S., Hills D.A., Nowell D. Stresses in a flat plate due to a loose pin pressing against a raked hole. J. Strain Analysis, 997, (), 5-5. [] Strozzi A. Costruzione di Mahine. 998 (Pitagora Editrie), -0. [7] De Bona F., Strozzi A., Vaari P. On the pressure distribution at the ontat between small end of a onrod and gudgeon pin. Proeedings of AMS 99, 999, Udine, Italy, 999,