RELAZIONE COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI: FOTOELASTICITÀ

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARI DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA RELAZIONE COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI: FOTOELASTICITÀ Relazione a cura di: Mattia Lai Andrea Aresu Roberto Martis Domenico Bradascio Carlo Dubois Pietro Luigi Pala Giovanni Tuscano

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3 Sommario 1 Introduzione Fotoelasticità Effetto fotoelastico Polariscopio piano ad assi incrociati Polariscopio circolare Costruzione retta di taratura Calcolo delle sollecitazioni dalle prove sperimentali Conclusioni

4 1 Introduzione La relazione si basa sulla determinazione sperimentale dello stato tensionale di un provino intagliato sottoposto a trazione. Questo è possibile attraverso l utilizzo di tecniche fotoelastiche, ricavando la costante di frangia del modello (F) e del materiale (f) sottoponendo il provino ad un carico noto. Attraverso le costanti di frangia del materiale si procederà con lo studio delle sollecitazioni principali, utilizzando le equazioni che saranno descritte nei paragrafi successivi. 2 Fotoelasticità La fotoelasticità è uno dei metodi della meccanica sperimentale che consente l analisi dello stato di deformazione e di tensione nei componenti e nelle strutture; si basa sul fenomeno di birifrangenza accidentale meccanica. Vi sono tre tecniche principali basate sulla fotoelasticità: Fotoelasticità piana o bidimensionale; Fotoelasticità tridimensionale; Tecnica dei rivestimenti birifrangenti. In questa esperienza è stata utilizzata la tecnica piana, la quale studia le lastre piane soggette a stato piano di tensione. Le ipotesi di stato piano di tensione in una lastra piana sono: Spessore costante e piccolo rispetto alle altre dimensioni; Forze esterne uniformemente distribuite sullo spessore. Lo stato tensionale nell intorno di un punto è definito da σ x σ y τ xy, con riferimento ai piani principali esso è definito dalle tensioni principali σ 1 σ 2 e dall angolo θ che individua l orientamento delle tensioni principali rispetto ad un asse di riferimento. La fotoelasticità è un metodo ottico a campo intero, che consente di determinare come risultato diretto dell esperienza le isocline (luogo dei punti nei quali è costante l orientamento θ delle tensioni principali), le isocromatiche (luogo dei punti nel quale è costante la differenza delle tensioni principali, σ 1 -σ 2 in trazione pura) e le isostatiche (traiettorie delle tensioni principali). 2.1 Effetto fotoelastico I provini utilizzati sono realizzati con materiali che manifestano il fenomeno della birifrangenza accidentale meccanica, in particolare in questa esperienza è stato utilizzato un provino prismatico in policarbonato con le seguenti caratteristiche: Larghezza 50 mm; Spessore 3 mm; Lunghezza 280 mm; Modulo di Young E 2.5 GPa; L effetto fotoelastico del modello sotto carico si rileva osservando il modello al polariscopio. In questo caso è stato utilizzato in configurazione ad assi incrociati e circolare. Il campo luminoso incidente in un punto qualsiasi del provino si scinde in due campi polarizzati linearmente secondo le due direzioni ortogonali che coincidono con le direzioni delle tensioni principali. 4

5 Le velocità di propagazione di questi due campi sono funzione degli indici di rifrazione che dipendono a loro volta dalle tensioni principali. Per le differenti velocità di propagazione i due campi luminosi risultano sfasati nello spazio; tale sfasamento si traduce in un ritardo spaziale derivante dalla relazione fondamentale della fotoelasticità: ( ) In cui: C: costante fotoelastica del materiale [mm 2 /N]; d: spessore [mm]; λ: lunghezza d onda della luce [nm]. 2.2 Polariscopio piano ad assi incrociati La prima configurazione utilizzata nelle prove è stata quella piana ad assi incrociati. Il polariscopio piano ad assi incrociati è costituito da una lampada (sorgente di luce) e da due polarizzatori lineari; generalmente il primo polarizzatore, posto vicino all osservatore, viene denominato analizzatore. Il provino fotoelastico viene inserito tra i due polarizzatori. Una sorgente di luce generica emette un treno di onde aventi piani di vibrazione in tutte le direzioni. Introducendo nel cammino di propagazione un filtro polarizzante, solo la componente parallela all asse del filtro si propaga. Alcuni materiali plastici, come il policarbonato, hanno un comportamento ottico isotropo quando non sono soggetti a sforzi, che diventa anisotropo se sottoposti a sforzi. Quando una luce polarizzata, a, si propaga attraverso una lastra di materiale avente le caratteristiche sopra citate ed avente un certo spessore t, se X e Y sono le direzioni degli sforzi principali, il vettore di luce polarizzata si suddivide in due componenti nelle direzioni degli assi principali di sforzo, le quali si propagano con una velocità differente. Una volta attraversato l elemento plastico le due componenti non saranno più in fase. L analizzatore quindi trasmetterà solo le componenti parallele alla direzione di polarizzazione A e solo in seguito le due componenti si combineranno. L intensità di luce risultante dalle due componenti è in funzione di: ritardo δ angolo tra l analizzatore e la direzione delle deformazioni principali (β-) In questo caso l intensità della luce risultante vale: ( ) La relazione mostra che l intensità luminosa non è costante come quando si osserva direttamente il modello in luce non polarizzata. Tale intensità dipende da e dalla differenza (β-α) ed in particolare si nota che tale intensità risulta nulla quando: 1. ( con n numero intero : 0, 1, 2 ) 2. Le frange corrispondenti alla prima delle due condizioni di estinzione appena citate, sono il luogo dei punti nei quali il ritardo è costante ed uguale all intero n. Tali frange isocromatiche rappresentano anche il luogo dei punti nei quali è costante la differenza delle tensioni principali. 5

6 Le frange invece corrispondenti alla seconda delle due condizioni, sono i punti nei quali l orientamento delle tensioni principali (β) è costante ed uguale all inclinazione dell analizzatore rispetto all asse di riferimento, tali frange corrispondono alle isocline di parametro β=α Se il polariscopio è quindi ad assi incrociati osserviamo contemporaneamente tutte le isocromatiche e le isocline di parametro β=α. Figura Immagine provino sottoposto a carico visualizzato con polariscopio piano figura Configurazione polariscopio circolare 6

7 2.3 Polariscopio circolare In generale nella configurazione di polariscopio piano la presenza delle isocline disturba il rilievo delle isocromatiche, a tal fine è possibile rimuovere le isocline utilizzando la luce polarizzata circolarmente. Sul piano puramente teorico questa particolare configurazione viene realizzata introducendo nel polarizzatore piano due lamine a quarto d onda con gli assi inclinati rispettivamente di + 45 e -45 rispetto all asse del polarizzatore; queste due lamine trasformano il raggio di luce polarizzata in luce a polarizzazione circolare. In questo modello se non vi è nessun carico applicato, il campo emergente dall analizzatore è nullo, da ciò la denominazione di polariscopio a campo scuro, essendo nullo il ritardo totale dei due ritardatori dato che il campo all uscita dal secondo ritardatore è ancora polarizzato verticalmente. Se si applica un carico, il campo emergente dall analizzatore risulta utilizzando il campo matriciale di Jones: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] L intensità luminosa del campo emergente sull analizzatore è pari a: In questo caso, l intensità della luce è dipendente dal solo ritardo, la condizione di estinzione si verifica per : (n=0, 1, 2 ) Si rilevano quindi sotto tale condizione le isocromatiche di ordine intero, senza il disturbo delle isocline. Se partendo da un polariscopio circolare a campo scuro, si ruota di 90 l analizzatore in modo da disporlo parallelo al polarizzatore, si ottiene il polariscopio circolare a campo chiaro. A modello carico il campo emergente dell analizzatore risulta utilizzando il campo matriciale di Jones: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] Procedendo in maniera del tutto analoga a quanto fatto per il campo scuro si ottiene che l intensità è espressa dalla relazione seguente: In questo caso l intensità luminosa dipende solo dal ritardo per : la condizione di estinzione si verifica Con n al solito intero, la configurazione mostra le isocromatiche di ordine intermedio (0,5 1,5 2,5 ) dette anche a campo chiaro. 7

8 Figura 2.3 configurazione polariscopio circolare 8

9 3 Costruzione retta di taratura In questa esercitazione è stata effettuata una taratura a trazione, considerando la parte del provino non influenzata dall intaglio, di sezione rettangolare costante (A) soggetto a sforzo normale (P) e il polariscopio circolare. Durante la prova di trazione, al fine di legare le sollecitazioni principali al colore assunto dalle frange, sono stati rilevati i colori assunti dal provino in punti indisturbati lontani dall intaglio. Ad ogni colore assunto dalla frangia corrisponde un diverso ritardo relativo δ il quale è legato allo stato piano di tensione dalla formula: Con ipotesi N=δ Per il calcolo della costante di frangia del modello (F) è stato calcolato lo sforzo che produce un certo ordine di frangia (N); In pratica si effettua una serie di prove al variare del carico e si determina il rapporto σ 1 /N, con ipotesi di sollecitazione monoassiale (σ 2 =0). Poiché il provino è stato caricato utilizzando un sistema a cremagliera che non disponeva di un dinamometro, le sollecitazioni sono state calcolate, a partire dalla deformazione impressa, attraverso la formula di Hooke in campo elastico: Con dove l rappresenta la lunghezza iniziale 280 mm. Nella tabella 3.1 sono riportati i risultati: Δl [mm]* ε [µm/m] σ 1 [MPa] σ 2 [MPa] δ=n Colore Ordine di frangia 0 0,000 0, nero 2 0,007 17,86 0 0,7 giallo I 2,5 0,009 22,32 0 0,8 arancione I 3 0,011 26,79 0 1,1 blu I 4 0,014 35,71 0 1,2 verde I 4,5 0,016 40,18 0 1,4 giallo II Tabella 3.1 Misure sperimentali Tracciando un grafico sollecitazioni principali-ordine di frangia e interpolando i dati, si ottiene una retta il cui coefficiente angolare coincide con la costante di frangia F del modello, valida esclusivamente per le prove effettuate con la stessa tipologia di luce utilizzata durante la taratura, in questo caso luce bianca. 9

10 σ1-σ2 Retta di taratura 45,00 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 y = 28,475x - 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 N Grafico 3.1 Retta di taratura Per cui si ottiene F=28.5 [N/mm 2 ] La costante di frangia del materiale è pari al prodotto della costante di frangia del modello per lo spessore del materiale: [ ] 10

11 4 Calcolo delle sollecitazioni dalle prove sperimentali Attraverso l utilizzo di una luce bianca, conoscendo la costante di frangia del modello, è possibile risalire dai colori assunti dalle frange alla differenza σ 1 -σ 2 tramite la relazione già vista: Nella figura 4.1 sono riportati i punti in cui sono state effettuate le misure: Figura 4.1 Immagine polariscopio circolare. A titolo di esempio sono stati scelti quattro punti, nei quali sono stati constatati i colori assunti dalle frange. Facendo riferimento alla bibliografia è stato estrapolato il valore del ritardo relativo δ. Attraverso δ e F sono state calcolate le sollecitazioni principali come illustrato nella tabella 4.1. Punti N=δ σ 1 -σ 2 [MPa] Colore Ordine di frangia 1 1,2 34,17 verde I ,47 blu I ,95 violetto II 4 1,4 39,86 giallo II 5 2,4 68,34 verde II 6 1,5 42,71 arancione II Tabella

12 Il punto 5 e il punto 6 sono simmetrici rispetto all asse longitudinale del pezzo, ma presentano uno stato tensionale differente, come si evince dal differente colore assunto dalle frange in quei punti. Come descritto nella tabella 4.1 nel punto 5 è presente una sollecitazione di MPa mentre nel punto 6 di MPa, la differenza tra queste sollecitazioni è dovuta alla presenza di un momento flettente generato dalla non perfetta simmetria del carico. Figura 4.2 Schema vettoriale trazione-componente flessionale 12

13 5 Conclusioni Da quest esperienza si osserva come con questo metodo sia possibile visualizzare in maniera chiara l andamento delle sollecitazioni in un provino. Si vede come le tensioni si concentrino in vicinanza dell intaglio a causa della presenza di un fattore di intensificazioni degli sforzi. E possibile ottenere il valore delle singole sollecitazioni principali, mediante metodi numerici di separazione delle tensioni. In genere la taratura viene effettuata con luce monocromatica, in quanto risulta di più semplice trattazione; dopo avere applicato il carico la taratura prosegue con la numerazione delle isocromatiche riscontrate, per cui una volta noto l ordine di frangia e la differenza delle tensioni principali, si procede al calcolo della costante di frangia del modello, tramite la relazione analizzata nel paragrafo 3. In questa esperienza è stata effettuata una taratura con luce bianca, tenendo conto solo del colore assunto dalla frangia partendo dal presupposto che il materiale si comporterà allo stesso modo, e presenterà quindi lo stesso colore, se sottoposto allo stesso carico. La taratura a trazione eseguita in questa esercitazione è risultata poco accurata, a causa della presenza di sollecitazioni spurie di flessione, tensioni residue, e sia perché è stato difficoltoso stimare il passaggio dell isocromatica (massimo scuro). Durante la taratura, inoltre, è stato trascurato l effetto dovuto alla presenza dei due intagli; tutti questi effetti hanno fatto si che nei risultati ottenuti siano presenti delle approssimazioni. 13