Misure di grandezze elettriche fondamentali

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1 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - Misure di grandezze elettrihe fondamentali - ensione e orrente Il iruito elettrio La tensione e la orrente sono le grandezze elettrihe più importanti; a queste va aggiunta la resistenza. Nella Fig..A è rappresentato un iruito elettrio elementare formato da un generatore di tensione hiuso su una resistenza di ario R e nel quale si stabilise la orrente I. Il iruito elettrio è simile a un iruito idraulio, rappresentato nella stessa Fig..B, dove una pompa, attraverso una tubazione, spinge il fluido in un utilizzatore R. Fig.. - Ciruito elettrio elementare ed analogia idraulia. Nell analogia fra i due shemi si ha la seguente orrispondenza: ensione del generatore elettrio Prevalenza H della pompa Corrente elettria I Portata Q del fluido La orrente elettria è ostituita da un flusso di arihe in un materiale in grado di portarle, tipiamente un onduttore. La orrente si può stabilire solo in un iruito hiuso. La tensione, in generale, può essere vista sotto un duplie punto di vista: ) ome la forza attiva in grado di imprimere la irolazione di orrente in un iruito (punto di vista del generatore); ) ome la onseguenza della irolazione della orrente in una resistenza (punto di vista del ario), ossia forza he resiste e he deve essere vinta. Quanto detto è sintetiamente espresso dalla legge di Ohm: RI (.) Il generatore in Fig.. ha uno dei due terminali ontrassegnato da un segno "+". Questo fatto india he la orrente naturale I ese da quel morsetto e rientra dall altro. Il generatore ha il morsetto ontrassegnato dal segno "+" ad un potenziale maggiore dell altro. In modo oerente diremo, per il ario R, he il morsetto dal quale entra la orrente I ha un potenziale maggiore dell altro. 00 Misure Elettronihe

2 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - Elementi essenziali dei iruiti I iruiti elettrii possono essere ben più omplessi di quello elementare di Fig.., e ontenere molti generatori e molte resistenze: si veda per esempio la Fig.., dove è rappresentato un iruito on una maglia, quattro nodi e quattro rami. n nodo è un punto in ui onfluisono più rami (sono nodi i punti A, B, C e D). n ramo è un perorso ompreso fra due nodi (sono rami i tratti AB, BC, CD e DA). na maglia è un perorso hiuso ontenente più rami (ABCD). Fig.. - Rete elettria generia on nodi e rami. I nodi (A, B, C e D) rappresentati in Fig.. aolgono (per maggiore generalità) anhe altri rami he ompaiono nella figura solo on le loro terminazioni onvergenti nel nodo. Per esempio sul nodo A onvergono i rami e della maglia, he portano rispettivamente le orrenti I ed I, ma vi giungono anhe altri rami esterni, non appartenenti alla maglia: quelli interessati dalle orrenti I 5 e I 6. I rami (AB, BC, CD e DA) ontengono in generale generatori e resistenze. Per esempio, il ramo AB ontiene il generatore, la resistenza R ed è attraversato dalla orrente I. Sriveremo la tensione V AB per indiare la differenza di potenziale fra i punti A e B, ritenendo he il punto A sia a potenziale maggiore dell altro estremo B. Questo fatto viene grafiamente rappresentato on una freia he ha la punta in A e la oda in B: V AB V V (.) A B RI Infatti il generatore ha una polarità he onorda on la onvenzione he V AB >0, mentre la aduta di tensione R I sulla resistenza R è opposta alla onvenzione he V AB >0. Ciò rende onto dei segni nell espressione di V AB. Leggi di Kirhoff Per l analisi di un iruito elettrio, in generale, si impiegano le leggi di Kirhoff. Esaminiamo un semplie aso, on riferimento allo shema di Fig.., dove ompaiono nodi, rami e maglie. a legge di Kirhoff - Analisi dei nodi. Per l analisi di un nodo, si assumano (per esempio) positive le orrenti entranti nel nodo e negative le orrenti usenti. Per iasun nodo deve risultare nulla la somma delle orrenti entranti e usenti. Quindi al nodo A di Fig.. si ha: 00 Misure Elettronihe

3 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - 3 I + I I I 0 (.3) 5 6 Per il generio nodo n deve risultare: I k, n 0 (.4) k, n dove I k,n è la generia orrente del ramo k he entra o ese da quel nodo n. a legge di Kirhoff - Analisi delle maglie. Si onsideri ora la maglia (ABCD) di Fig.. e si selga arbitrariamente un verso di perorrenza, per esempio il verso orario. Si assumono positive le differenze di potenziale V jk he risultano oerenti on il verso positivo assunto nel perorrere la maglia. La somma delle tensioni he si inontrano, perorrendo la maglia hiusa, deve risultare nulla: V V + V + V V V V 0 (.5) AB + BC CD DA AA A A Per le ondizioni effettive rappresentate in Fig.., si ha: [ R I ] + [ + R I ] + [ ] + [ R I ] 0 (.6) Per una maglia generia risulta: V jk 0 (.7) jk Le equazioni he abbiamo dedotto, appliate sistematiamente, ostituisono la base per la soluzione dei iruiti elettrii a regime. Ciruiti equivalenti na rete elettria omunque omplessa, di tipo lineare, può essere riondotta a opportuni iruiti equivalenti. Il più noto e diffusamente impiegato è forse il iruito equivalente di hevenin (Fig..3). Fig..3 - Ciruito equivalente di hevenin. Il iruito equivalente di hevenin rappresenta una rete elettria qualsiasi, vista da due suoi morsetti A e B, per mezzo di un bipolo formato da un generatore equivalente di tensione 0 on una resistenza in serie R 0. La tensione 0 è quella he si misurerebbe fra i punti A e B a vuoto on uno strumento ideale. La resistenza R 0 è quella he si vedrebbe fra i punti A e B della rete, dopo aver reso nulla la tensione di tutti i generatori he si trovano entro la rete stessa. 00 Misure Elettronihe

4 Misure di grandezze elettrihe fondamentali Effetto dell inserzione di uno strumento Inserzione del voltmetro La misura della tensione presente fra due punti A e B di una rete elettria si effettua tramite un voltmetro, appliando i suoi puntali su A e su B (vedi Fig..). Per rendersi onto di iò he aade all inserzione di un voltmetro, si onsideri il bipolo equivalente di hevenin della rete elettria sotto misura. Indihiamo on 0 il valore della tensione he vorremmo misurare, mentre R 0 è la resistenza propria del generatore equivalente. Quando il voltmetro viene ollegato, si forma un iruito dove può irolare la orrente I v. La orrente I v 0 /(R 0 +R v ), assorbita on l inserzione di un voltmetro, ostituise un azione di disturbo per il iruito sotto misura (effetto di ario strumentale). Fig.. - Inserzione di un voltmetro. Affinhé la orrente I v rihiesta dallo strumento risulti trasurabile, la resistenza interna R v del voltmetro deve essere molto maggiore di R 0. Infatti, per effetto dell inserzione, la tensione effettivamente misurata dal voltmetro risulta: I v R v Rv 0 R + R (.) 0 v L errore relativo ε rispetto al valore 0 a vuoto è quindi: ε Δ Rv R + R 0 v (.) Si onsideri, per esempio, un generatore equivalente on tensione a vuoto 0 50 V e resistenza interna R 0 80 kω e si voglia misurare tale tensione on un voltmetro di resistenza interna R v di 3 MΩ. Il valore di tensione realmente misurato è 50(3000/3080) 46,04 V. L errore assoluto Δ dovuto all inserzione è (- 0 ) (46,04-50) -3,896 V. L errore relativo ε risulta: -3,896/50 -,60 %. Inserzione dell amperometro La misura della orrente presente in un ramo di una rete elettria si effettua tramite un amperometro, onnettendolo in serie sul iruito (vedi Fig..). Per analizzare l inserzione, si onsideri il ario R di Fig.. attraversato dalla orrente ostante I e quindi alimentato dalla tensione R I. 00 Misure Elettronihe

5 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - 5 Fig.. - Inserzione di un amperometro. L inserzione dell amperometro on la sua resistenza interna R a ausa una modifiazione del iruito, provoando la aduta di tensione Δ e determinando la irolazione di una orrente I diversa da quella preedente I. La nuova orrente risulta: R I I (.3) R + R R + R a a L errore relativo ε I rispetto al valore I preesistente è quindi: ε I ΔI I I I I R R + R a (.4) he risulta formalmente simile alla relazione trovata per un voltmetro. Affinhé lo strumento non disturbi apprezzabilmente il iruito deve risultare R a molto minore di R. Si supponga, per esempio, un valore della resistenza di ario R Ω e un valore della orrente I 0 A. Il generatore di alimentazione ha pertanto il valore 0x 0 V. Si impieghi per la misura di tale orrente un amperometro on resistenza interna R a 0, Ω. Il valore della orrente realmente misurata dallo strumento risulta I 0/, 9,54 A. L errore assoluto ΔI dovuto all inserzione è (I-I ) (9,54-0) -0,476 A. L errore relativo ε I risulta: -0,476/0-0,0476-4,76 %. Nota Gli errori osì determinati, per l inserzione di un voltmetro e di un amperometro, non sono imputabili a arenze degli strumenti ma dipendono dalle oggettive ondizioni di misura e dalla perturbazione introdotta dagli strumenti nel iruito sotto esame. Questi errori, he sono di tipo sistematio in quanto si manifestano sempre on lo stesso valore e lo stesso segno, possono essere orretti se sono noti i parametri iruitali. La onosenza esatta di tali parametri risulta però diffiile, quando non impossibile. In ogni aso, a ausa della tolleranza on ui i valori delle resistenze potrebbero essere noti, l eventuale ompensazione non potrebbe mai essere perfetta e laserebbe sempre un margine d errore, di tipo aleatorio, sul risultato della misura. In pratia, i si mette normalmente nelle ondizioni in ui tali errori risultino trasurabili rispetto alle altre ause di inertezza. Gli esempi trattati (on i risultati piuttosto soraggianti) sono dei asi limite he risulta abbastanza agevole evitare nella pratia. 00 Misure Elettronihe

6 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - 6 Più realistiamente, per l esempio on il voltmetro, si potrebbero assumere i seguenti valori: Generatore equivalente on tensione a vuoto 0 50 V e resistenza interna R 0 0 Ω. Voltmetro on resistenza interna R v di 00 MΩ. Il valore di tensione realmente misurato sarebbe stato: 0 [R v /(R v + R 0 )] 50( / ) 49, V. L errore assoluto è: Δ - 0 (49, ) -,5 0-5 V 5 μv. L errore relativo è: ε Δ/ 0 -,5 0-5 / , he orrisponde a -0, ppm! Analogamente per l esempio dell amperometro, supponiamo he le ondizioni prima dell inserzione siano le seguenti: Corrente I 0 A e resistenza del iruito R Ω (generatore 0 0 V). Amperometro on resistenza interna R a 0, Ω. Il valore della orrente realmente misurato sarebbe stato: I /(R + R a ) 0/, 9,955 A. L'errore assoluto è: ΔI I - I (9,955-0) -0,045 A. L'errore relativo è: ε I ΔI/I -0,045/0-4,5 0-3, he orrisponde a -0,45 % (-4500 ppm). 3 - Potenza e valore effiae Regimi nel tempo Le grandezze tensioni e orrenti he interessano i iruiti elettrii possono essere ostanti nel tempo (ome nel aso dei iruiti illustrati nei paragrafi preedenti), ma più tipiamente sono variabili, spesso in modo alternativo sinusoidale. Nel primo aso si parla di regime DC (Diret Curren, nel seondo aso si parla di regime AC (Alternating Curren. In Fig.3. sono rappresentati, gli andamenti delle tensioni e delle orrenti nei due asi di regime ontinuo (DC) e di regime sinusoidale (AC), nell ipotesi in ui il ario sia in entrambe le situazioni ostituito da una semplie resistenza R. Fig.3. - Regimi temporali: ontinuo e sinusoidale. La tensione e la orrente sul ario resistivo R sono quindi legate dalla relazione: u( Ri(. In regime sinusoidale, la tensione e la orrente sul ario resistivo R hanno le seguenti espressioni: 00 Misure Elettronihe

7 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - 7 u( ˆ u( ˆ sin ωt e i( sin ωt Iˆ sin ωt (3.) R R dove ˆ ed I ˆ ˆ / R sono i valori di resta delle due forme d onda. Le onde di tensione e orrente sono periodihe, ioè si ripetono nel tempo assumendo sempre la stessa forma, on periodo di ripetizione pari a (in seondi). L inverso del periodo di ripetizione è la frequenza f / (in hertz). Dalla frequenza f si valuta la pulsazione ω πf (in radianti/seondo) he viene normalmente utilizzata on le funzioni trigonometrihe. La potenza La potenza elettria istantanea è definita ome il prodotto della tensione per la orrente: p( u( i( (3.) Per il regime ontinuo, la potenza sulla resistenza R è ostante nel tempo: P I RI (3.3) R Per un regime periodio on andamento qualsiasi, il valore medio P della potenza si alola, per definizione, in un periodo ed è pari a: P p t dt u t i t dt ( ) ( ) ( ) (3.4) Per il regime sinusoidale, la potenza istantanea sulla resistenza R risulta: p t ˆ ( ) sin ωt Iˆsin ωt I ˆˆsin ωt I ˆˆ os ωt (3.5) Come risulta da tale espressione e ome si vede in Fig.3., la potenza istantanea p( è ostituita da un valore medio P più una omponente osillante on pulsazione ω. Nella maggior parte dei asi pratii, più he le fluttuazioni temporali della potenza p(, presenta interesse stabilire quale potenza il ario R assorba in media nel tempo. Nel aso trattato, infatti, è la potenza media P he produe effetti termii sulla resistenza R. Fig.3. - Andamento della potenza in regime sinusoidale su una resistenza. 00 Misure Elettronihe

8 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - 8 Il valore medio P della potenza dissipata sulla resistenza R, in regime sinusoidale, è pari a: P p t dt I ˆˆ os t dt I ˆˆ ( ) ω (3.6) Si noti he il termine osinusoidale presenta valor medio nullo nel periodo. Il valore effiae La potenza media dissipata in una resistenza si presta ad una interessante interpretazione. Risriviamo infatti la potenza media P nelle forme seguenti: u ( dt ( ) ( ) P u t i t dt R R (3.7) Ri ( dt RI si osserva he la potenza media P assorbita dalla resistenza R, in regime periodio qualsiasi, oinide on quella he la stessa resistenza R assorbirebbe se fosse: alimentata dalla tensione ontinua: u ( dt (3.8) attraversata dalla orrente ontinua: I i ( dt (3.9) Le grandezze elettrihe ed I, appena definite, ostituisono i valori effiai (RMS Root Mean Square) della tensione e della orrente periodihe u( e i(. Nel aso partiolare di regime sinusoidale le espressioni (3.7) diventano: P u( i( dt u ( ˆ ˆ ˆ dt sin ωt dt (3.0) R R R R R ˆ ( ) ˆ sin ω ˆ I Ri t dt R I t dt R I R RI Si ottengono quindi le ben note espressioni del valore effiae di tensione e orrente, valide solo nel aso di grandezze sinusoidali: Û Î e I (3.) Il valore effiae di un segnale elettrio qualsiasi, sia di tensione he di orrente, rappresenta il parametro he meglio lo aratterizza e lo riassume dal punto di vista energetio. Quando diiamo, per esempio, he la tensione della rete di distribuzione pubblia è di 0 V stiamo taitamente intendendo he questo sia il suo valore effiae. Potenza in regime sinusoidale on ario non puramente resistivo Si onsideri un ario lineare monofase, alimentato da una tensione sinusoidale u(: u( ˆ sin ωt sin ωt (3.) 00 Misure Elettronihe

9 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - 9 Dove ˆ è il valore di resta; è il valore effiae; ω è la pulsazione. Se il ario non è puramente resistivo ma omprende anhe elementi reattivi (apaità o induttanze) la orrente assorbita i( è anora sinusoidale, on la stessa pulsazione ω, ma risulta sfasata rispetto alla tensione di alimentazione u( di un angolo he indihiamo on ϕ: i ( Iˆsin( ωt ϕ) I sin( ωt ϕ) (3.3) Nella (3.3) sono stati indiati anora on Î ed I rispettivamente i valori di resta ed effiae della orrente i(. Il valore della potenza media può essere espresso in funzione dello sfasamento ϕ: P u( i( dt ˆˆ I 4 - Misure di potenza [ ˆ sin ωt Iˆsin( ωt ϕ) ] dt { os [ ωt ( ωt ϕ) ] os [ ωt + ( ωt ϕ) ]} dt I osϕ (3.4) Wattmetri Per la misura della potenza attiva in transito su una linea a due fili si impiegano i wattmetri. Da un punto di vista ostruttivo esistono tipologie di wattmetri molto diverse tra loro. In generale, se i valori della tensione u( o della orrente i( sono troppo elevati per l appliazione diretta allo strumento, si impiegano opportuni trasduttori di interfaia he riduono la tensione e la orrente: C Current ransduer e V Voltage transduer. Le usite di questi sono appliate agli ingressi del wattmetro. In passato venivano impiegati gli strumenti di tipo elettrodinamio. Gli strumenti impiegati oggi sono essenzialmente di tipo elettronio. ra questi, i wattmetri elettronii analogii si basano in sostanza su iruiti moltipliatori he fanno il prodotto della tensione u( e della orrente i( e ne effettuano una opportuna media, tramite un filtro passa-basso (LPF, low pass filter), implementando la definizione di potenza attiva (vedi Fig.4.). Fig.4. - Shema per un wattmetro analogio. I wattmetri elettronii digitali si basano invee sulla elaborazione di segnali ampionati, tramite iruiti di digital signal proessing dediati, oppure tramite sistemi di aquisizione dati gestiti da PC (vedi Fig.4.). Questi strumenti implementano in forma disreta l algoritmo della potenza sui ampioni di tensione u h e di orrente i h. Detto N p il numero di ampioni di iasun segnale nel periodo, la potenza risulta: 00 Misure Elettronihe

10 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - 0 P N N p u h p h i h (5.) Fig.4. - Shema per un wattmetro digitale. L inserzione dei wattmetri A presindere dal prinipio di funzionamento utilizzato, il ollegamento di un wattmetro su una linea monofase può essere realizzato seondo gli shemi riportati nella Fig.4.3. Nella stessa Fig.4.3 sono disegnati anhe i diagrammi fasoriali per un funzionamento in regime sinusoidale (le onsiderazione he verranno nel seguito fatte per i regimi sinusoidali valgono onettualmente per regimi omunque variabili nel tempo; in questi asi, però, la trattazione non potrebbe essere affrontata mediante l impiego dei diagrammi fasoriali, risultando pertanto di omprensione meno immediata). Negli shemi si nota he il wattmetro W presenta due oppie di morsetti: (v e v ) faenti apo al iruito voltmetrio, derivato fra i onduttori di linea, (i e i ) faenti apo al iruito amperometrio, attraversato dalla orrente di linea. Siano ed I i fasori rappresentativi della tensione e della orrente effettive sul ario. Con riferimento alla onnessione A): il iruito voltmetrio (v e v ), he ha una resistenza propria R v di valore elevato, è sottoposto alla tensione effettiva sul ario e deriva dalla linea la piola orrente I v /R v. Pertanto si introdue un approssimazione nel misurare la potenza attiva P onsegnata al ario, dovuta al fatto he la orrente effettiva I sul ario non oinide esattamente on la orrente I a sentita dal iruito amperometrio dello strumento. Fig Possibili onnessioni per un wattmetro. 00 Misure Elettronihe

11 Misure di grandezze elettrihe fondamentali - Si potrebbe rimediare a questo fatto, spostando la onnessione voltmetria a monte, ome nello shema di Fig.4.3B. In tal aso la orrente he attraversa il iruito amperometrio oinide on la orrente I he fluise sul ario, ma la tensione a misurata dallo strumento differise da quella sul ario della aduta di tensione Δ ai api del iruito amperometrio. Questo iruito ha solitamente una resistenza propria R a bassa e pertanto la aduta Δ R a I risulta normalmente piola. In entrambi i asi esaminati, si ommettono delle approssimazioni nella misura della potenza attiva P. La prima onnessione è tuttavia preferibile quando si hanno arihi on bassa tensione ed elevata orrente (la orrente I v risulta trasurabile rispetto alla orrente I). La seonda onnessione risulta invee preferibile quando si hanno arihi on bassa orrente ed elevata tensione (la tensione Δ risulta trasurabile rispetto alla tensione ). I termini "alto" e "basso" hanno solo un signifiato qualitativo: l obbiettivo deve essere quello di minimizzare (in senso relativo) l inevitabile perturbazione introdotta dello strumento sul iruito sotto misura. Nella pratia i wattmetri elettronii rendono partiolarmente pioli tali effetti di ario strumentale. L errore di fase La misura di potenza può presentare errori sensibili, on bassi valori del fattore di potenza sul ario. Infatti, se indihiamo on ϕ l angolo di fase sul ario e on ε l errore on ui tale angolo viene perepito dallo strumento, la potenza misurata non sarà PIosϕ e l errore assoluto ommesso nella sua determinazione risulterà: δp I os( ϕ ε) I osϕ I I [ osϕ osε + sin ϕ sin ε osϕ] [ osϕ (osε ) + sin ϕ sin ε] I εsin ϕ (se ε << ) L errore relativo risulta invee: δp I sin ϕ ε ε tgϕ P I os ϕ π (4.) (4.) Si osserva he, anhe per pioli errori ε sulla fase ϕ, l errore relativo sulla potenza P può risultare onsistente, quando il fattore di potenza del ario risulta troppo basso. 00 Misure Elettronihe