Capitolo 2 Misure di Resistenza

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1 Misure di esistenza Generalità Ogni volta he si deve eseguire una misurazione, è neessario definire un modello di riferimento per il misurando in esame. Nel aso delle misure di resistenza, oggetto del presente apitolo, il modello a ui si fa riferimento disende dalla definizione stessa di resistenza di un onduttore metallio in funzione delle sue aratteristihe geometrihe e fisihe: l (1) S La (1) definise il valore di resistenza di un resistore realizzato on un onduttore metallio di lunghezza l, di sezione S e di resistività ρ. Si può osservare he questo modello ipotizza he, almeno impliitamente, sono state fatte alune ipotesi riguardanti il materiale e la geometria del resistore in esame. Nella (1) è stato infatti ipotizzato he: - la resistività ρ del materiale è ostante all interno del resistore; - il resistore è un ilindro geometrio e quindi la sua geometria è definita dai parametri S ed l. n realtà, volendo essere rigorosi, non esiste un proesso di lavorazione (trafilatura) he riese a garantire la ostanza matematia della sezione di un onduttore per tutta la sua lunghezza. noltre, l operazione di taglio del onduttore determina una deformazione dello stesso on la onseguenza di non onsentire l esatta definizione del parametro lunghezza. nfine, anhe il parametro resistività risulterà variabile per la non perfetta omogeneità del materiale utilizzato, per la presenza di impurità e per inevitabili variazioni loali di temperatura. Queste onsiderazioni si manifestano in una inertezza intrinsea del misurando. Tale inertezza è neessaria perhé, se si volesse tener onto di tutti i problemi su esposti si dovrebbe ipotizzare un modello del misurando tanto omplesso da non risultare di pratia utilità nell eseuzione della misura. nserimento degli strumenti ed effetti di ario Proprio per la sua definizione, una resistenza non è misurabile direttamente, poihé è un effetto perepibile solo quando il resistore è attraversato da una orrente. l metodo più immediato per misurare una resistenza è quello di utilizzare la legge di Ohm, misurando la tensione ai api del resistore, la orrente he lo attraversa e valutandone il rapporto (metodo voltamperometrio). Considerando tensione e orrente ontinue, uno shema di misura potrebbe essere quello mostrato in Figura 1. Gli strumenti di misura impiegati, on la loro presenza, alterano le grandezze he vengono misurate e, quindi, la misura di resistenza. Si pensi, ad esempio, ad un amperometro analogio, dove la orrente è indiata on un indie; lo spostamento dell indie rihiede una erta energia he, quindi, viene sottratta al iruito alterando la misura. L alterazione delle grandezze del iruito dovuta A m E Figura 1 1

2 all inserzione della strumentazione è nota ome effetto di ario dello strumento. L effetto di ario sarebbe assente solo se gli strumenti impiegati fossero ideali, ovvero l amperometro presentasse una resistenza nulla ed il voltmetro una resistenza infinita. l risultato degli effetti di ario è he la tensione e la orrente misurate dal voltmetro e dall amperometro non sono uguali a e, tensione e orrente sul resistore. Nel aso del iruito in Figura 2, dove l amperometro è stato inserito a monte del voltmetro, una parte della orrente misurata dall amperometro irola nel voltmetro; tale aliquota è pari a: A E m A Figura 2 (2) Dove è la resistenza interna del voltmetro. Quindi la resistenza misurata è: m m m (3) mentre la resistenza effettiva è:. (4) La misura di resistenza è una misura per difetto, ioè la resistenza misurata è più piola di quella vera, proprio perhé la orrente misurata dall amperometro è la somma di e. È presente un inertezza di misura, he è tanto più piola quanto più piola è la rispetto alla, ovvero quanto è più grande la resistenza del voltmetro rispetto alla resistenza. Se si ripete N volte la misura e viene valutata l inertezza di tipo A, l inertezza dovuta al ario strumentale non ompare perhé non è un inertezza aleatoria ma sistematia; questo omporta anhe la possibilità di effettuare una orrezione delle misure in quanto è possibile prevedere l effetto di ario strumentale, onosendo le aratteristihe del voltmetro (la sua resistenza interna). Per erare di risolvere tale problema si può pensare di inserire gli strumenti di misura in un altro modo, on l amperometro a valle del voltmetro, ome mostrato in Figura 2. n questo aso il voltmetro misura una tensione he è la somma della tensione su e la aduta di tensione sull amperometro data da: A A (5) on A la resistenza interna dell amperometro. La resistenza misurata è data quindi da: m A m (6) m L inertezza dovuta agli strumenti è tanto più trasurabile quanto minore è la aduta sull amperometro, ovvero quanto più è bassa la resistenza interna dell amperometro rispetto alla resistenza. Anhe in questo aso, è possibile orreggere il valore di resistenza misurato onosendo le aratteristihe dell amperometro impiegato. 2

3 Sembrerebbe he, poihé è possibile prevedere e orreggere gli effetti sistematii, le due topologie di iruito si equivalgono. n realtà non è proprio osì e per apire quale selta è la migliore bisogna analizzare il termine orrettivo: la soluzione he prevede il termine orrettivo più basso è quella migliore. nfatti, sul termine orrettivo è presente omunque una erta inertezza he influise meno sulla misura quanto è più piolo il termine orrettivo. Per tale motivo si tenderà sempre a segliere la topologia dove il termine orrettivo è minore. m Nella pratia, dalla prima misura è possibile stimare il valore di senza orrezione, in m modo da onosere almeno l ordine di grandezza della resistenza e poi viene onfrontato tale valore on A e, resistenze interne dell amperometro e del voltmetro: se è piola (più viina a A ), si seglie la onfigurazione on il voltmetro a valle, di modo he è trasurabile nel parallelo; se è grande (più viina a ) si seglie la onfigurazione on l amperometro a valle, di modo he A è trasurabile nella serie. Classifiazione delle resistenze Oltre all inertezza di ario strumentale esistono altri tipi di inertezze he intervengono in misure di resistenze. Si supponga, ad esempio, di effettuare una misura di resistenza on un iruito del tipo di Figura 2. Se però la resistenza da misurare è molto piola, affinhé su di essa si abbia una aduta di potenziale apprezzabile bisogna garantire he iroli una orrente maggiore. Poihé i fili onduttori non possono essere ideali e quindi a resistenza nulla, un elevato valore di orrente auserà delle adute he influenzeranno la misura di tensione. noltre, nel iruito deve essere iniettata una orrente e iò omporta senza dubbio la reazione di ontatti i quali portano in onto essi stessi una resistenza, he dipende dalla modalità on ui sono stati reati e dalla rugosità del materiale. Tutte queste questioni fanno riflettere sul fatto he il modello fin qui presentato di resistenza non è ompleto e he si deve introdurre qualhe altro elemento. nnanzitutto nel modello i saranno altre due resistenze, he rappresentano i ontatti tramite i quali il resistore viene onnesso al iruito, he saranno in serie alla resistenza (Figura 3). Ovviamente tali resistenze di ontatto reano problemi solo se il loro valore non è trasurabile rispetto al valore di e quindi sono tanto più influenti sulla misura quanto minore è il valore della resistenza da misurare. Figura 3 Periò è utile fare una lassifiazione delle resistenze he si vanno a misurare in base al loro ordine di grandezza. n genere se 1 le resistenze di ontatto si possono trasurare; per tale motivo, si definisono resistenze di basso valore quelle per ui 1. n realtà, il onsiderare o meno l influenza delle resistenze di ontatto dipende dall inertezza he si vuole nella misura. Se si onsidera un resistore di valore nominale di 1 e, ad esempio, le resistenze di ontatto presunte sono dell ordine di qualhe millesimo di Ohm e l inertezza desiderata è di un entesimo di Ohm allora è leito trasurare l effetto delle resistenze di ontatto. n una maniera più generale, allora, si può dire he le resistenze di basso valore sono quelle per le quali non sono trasurabili le resistenze di ontatto. Man mano he il valore di resistenza sale, l effetto delle resistenze di ontatto influise sempre meno, ma si dovrà aumentare la tensione ai api della resistenza per veder irolare in essa una piola orrente. n presenza di una forte d.d.p. ai api della resistenza, si potrebbero generare delle orrenti di dispersione in aria; tali orrenti, pur non attraversando la resistenza, verrebbero ertamente misurate dall amperometro e andrebbero a falsare le misure di resistenza. Quindi nel 3

4 modello della resistenza dobbiamo aggiungere altri omponenti he rappresentano i perorsi alternativi seguiti dalla orrente (Figura 4). Come si può notare nel modello è stata inserita una resistenza di dispersione, per tenere in onto del fenomeno appena desritto; inoltre, tra il filo di onduttore destro e quello sinistro si genera una forte d.d.p. e i due rami si omportano ome armature di un ondensatore, anh esso rappresentato nel modello. Solitamente, il problema delle orrenti di dispersione influenza molto la misura quando il valore di supera il M ; in tal aso, infatti, per misurare una orrente apprezzabile, la tensione da appliare è dell ordine di grandezza dei k. Dunque si onsiderano resistenze di elevato valore le resistenze per le quali >1M. Come detto in preedenza, il prendere in onsiderazione o meno l influenza delle orrenti di dispersione dipende dal grado di auratezza desiderato nella misura di resistenza; quindi, si può affermare he le resistenze di elevato valore sono quelle per le quali non è possibile trasurare le orrenti di dispersione. Le resistenze di valore ompreso tra 1mW ed 1MW sono lassifiate ome resistenze di valore medio; in tal aso, non vengono presi aorgimenti partiolari nell eseuzione della misura. esistori non alibrati A questa ategoria appartengono i reostati. Questi sono dei resistori ostituiti da un onduttore avvolto su di un supporto ilindrio di materiale isolante. Due morsetti A e B sono ollegati alle estremità del onduttore (Figura 5) ed un morsetto C è ollegato ad un ontatto strisiante he spostandosi lungo il onduttore avvolto, di fatto modifia la porzione di onduttore ompresa tra A e C, modifiando, di onseguenza, il valore di resistenza tra questi due morsetti. A Ovviamente, on un reostato non è possibile ottenere valori aurati di resistenza perhé il ontatto strisiante ha una erta dimensione; poihé il onduttore è avvolto formando delle spire adiaenti tra loro, quando il ursore viene spostato, non è noto il numero di spire abbraiato tra A e C on preisione. noltre bisogna onsiderare l effetto dell usura del ontatto strisiante e del onduttore sulla linearità del reostato. Questi resistori, quindi, vengono utilizzati il più delle volte per regolare l alimentazione. engono distinte due diverse modalità di utilizzo: C Figura 5 B Figura 4 Alimentazione reostatia: viene utilizzata per imporre una determinata orrente nel iruito (ad esempio il reostato nel metodo della aduta di potenziale). l reostato viene ollegato in serie al generatore di tensione. Detta eq la resistenza equivalente del iruito di misura vista dal 4

5 generatore ed r la resistenza del reostato, se è soddisfatta la relazione: eq <<r, si può ritenere fissata la orrente erogata. Ovvero, la orrente dipende solo dal valore del reostato r e non risulta influenzata da eventuali variazioni di eq. Alimentazione potenziometria: viene utilizzata per imporre una tensione sfruttando una onfigurazione a partitore di tensione, ome visualizzato in Figura 6. La tensione appliata al iruito è data dalla relazione: r r E (7) dove è la resistenza dell intero avvolgimento del reostato ed r la resistenza della porzione selezionata on il ursore. n questa situazione, se << eq viene fissata la tensione appliata al iruito di misura. La tensione, ioè dipende solo dal valore di r e non è influenzata dal ario a valle. E Figura 6 esistori alibrati Sono dei resistori he nelle misure gioano un ruolo sostanziale, poihé fanno da riferimento on ui onfrontare il misurando. due tipi fondamentali di resistori alibrati sono il resistore a spine e il resistore a deadi. esistore a spine Una assetta di resistori a spine è formata da una serie di resistori di valore diverso, ome illustrato in Figura 7; utilizzando delle spine è possibile ortoiruitare uno o più resistori, ottenendo i valori di resistenza desiderata tra i morsetti A e B. Le spine sono a forma di trono di ono in modo da rendere minima la resistenza di ontatto quando vengono inserite per ortoiruitare i resistori. n genere si fa in modo di poter ottenere tutti i valori di una determinata deade; ad esempio, il resistore può essere ostituito da quattro resistori di valore 1Ω 2Ω 2Ω e 5Ω; variando opportunamente la posizione degli spinotti, è possibile ottenere tutti i valori di resistenza da 1Ω a 10 Ω on passo 1Ω. Per minimizzare le resistenze di ontatto, a parità di valore ohmio, si preferise sempre segliere la onfigurazione he determina il minor numero di spinotti. Figura 7 Figura 8 Questo tipo di resistore presenta il vantaggio di un auratezza molto spinta, di qualhe parte per dieimila, perhé il fissaggio delle spine rea una resistenza residua molto bassa; lo svantaggio è he non si può variare gradualmente la resistenza, e quindi sono onsiderati resistori semi-fissi. esistore a deadi Una assetta a deadi è formata da quattro o inque blohi (deadi) ognuno rappresentante un ordine di grandezza; ad esempio un resistore può presentare le deadi 10k /step, 1k /step, 5

6 100 /step, 10 /step, 1 /step. La singola deade è ostituita da una raggiera di resistori tutti on lo stesso valore. Tramite una manopola è possibile muovere un ontatto strisiante (Figura 10) e, quindi, selezionare un numero diverso di resistenze. Tra un resistore ed un altro è presente un ontatto su ui è possibile prelevare il valore di resistenza grazie ad un ursore strisiante. l ursore di una deade è posto in serie alla deade suessiva, in modo da realizzare tra A e B il valore di resistenza dato dalla serie di tutte le deadi. Figura 9 l fatto di poter segliere la resistenza on un ontatto strisiante offre un grande vantaggio, ovvero la possibilità di variare il valore di resistenza, in maniera più o meno ontinua, sempliemente spostando un ursore. Purtroppo lo svantaggio di un ontatto strisiante del genere è la resistenza residua più elevata, fattore he omporta un aumento dell inertezza. Sui resistori a deadi si trova un valore di inertezza per ogni deade. n partiolare, il ostruttore fornise l inertezza della singola resistenza della deade. Una volta fissato il valore di resistenza desiderato, allora, l inertezza sarà ottenuta sommando i ontributi di ogni deade; il ontributo della singola deade è ottenuto moltipliando l inertezza della singola resistenza per il numero di resistenze selezionate on il ursore. Da notare he se si pongono tutte le deadi a zero, verrà misurata una resistenza residua prossima ad 1m. Per tale motivo, quella di 1m step è la deade più bassa presente su questi resistori. noltre le deadi non sono numerose in quanto l inertezza sulle deadi a valore più grande mashera le deadi inferiori. Figura 10 Misura di resistenze di basso valore Metodo voltamperometrio 6

7 Un lassio esempio di misurazione di resistenza di basso valore è la misura della resistenza di un provi no di materiale onduttore (in genere rame) per determinarne la onduibilità (o in maniera equivalente la resistività) he fornise un indiazione del grado di purezza del materiale. n partiolare, si misura la resistenza del provino e poi, utilizzando la (1), si riava il valore della resistività del materiale dopo averne misurato lunghezza e sezione. l metodo voltamperometrio onsiste nel misurare la resistenza iniettando una orrente nota nel resistore, misurando la aduta di potenziale prodotta e appliando la legge di Ohm. Come già detto in preedenza, il problema prinipale per questo tipo di misura è rappresentato dalle resistenze di ontatto, he, in presenza di una forte orrente (ad esempio se il provino ha valore nominale di resistenza 1m, un valore di orrente può essere =10A), provoano una non trasurabile aduta di potenziale. Per minimizzare l effetto delle resistenze parassite legate ai ontatti, i resistori di basso valore si realizzano on quattro morsetti: due voltmetrii più pioli, due amperometrii molto più grandi. due morsetti amperometrii, essendo molto grandi, presentano una superfiie di ontatto molto elevata, riduendo la resistenza di ontatto he ne deriva. Come onseguenza, però, la dimensione dei morsetti amperometrii rende diffioltosa la definizione della lunghezza del resistore (ome si evine dalla (1) l inertezza sulla lunghezza inide sull inertezza della resistività). Per tale motivo, i due morsetti voltmetrii, sono realizzati di dimensioni molto ridotte, in modo da individuare in maniera molto preisa la lunghezza l del provino. Un resistore ampione di piolo valore già presenta i quattro morsetti. Per quanto riguarda il provino di rame, invee, i quattro morsetti devono essere predisposti all atto della misura. n partiolare, il provino viene disposto in un alloggio (portabarre) shematizzato in Figura 11 e di ui, in Figura 12 ne è riportata una foto. A Figura 11 L Figura 12 l modello iruitale di un resistore a quattro morsetti è illustrato in Figura 13. Ora il voltmetro non misura più la aduta sulle resistenze di ontatto amperometrihe; però sono state introdotte le resistenze di ontatto dei morsetti voltmetrii v. l voltmetro, infatti, misura la tensione tra i punti 1 e 2 quindi la aduta sulla serie di e delle due v. Le adute sulle v, però, sono trasurabili perhé tale è la orrente he attraversa le v. nfatti, a ausa della resistenza interna elevata del voltmetro, la orrente he lo attraverserà sarà molto bassa. Per valutare l effetto delle resistenze di ontatto voltmetrihe sull inertezza omplessiva, si può fare un esempio numerio. Si onsideri una orrente di 10 A he irola tra i ontatti amperometrii; si supponga la resistenza da misurare dell ordine del m on resistenza omplessiva di ontatto voltmetria pari a 1, ovvero v=0,5ω. n serie alle resistenze voltmetrihe vi è la resistenza interna del voltmetro v, pari ira a 1 MΩ. n queste ondizioni la 8 orrente derivata dal voltmetro è molto piola ( 10 A). La aduta di tensione he si dovrebbe 7

8 Figura 14 3 rilevare su per una misura orretta è * = 10 *10=10m. La aduta di tensione invee he il voltmetro rileva è alterata dall ulteriore aduta di tensione sulle due resistenze voltmetrihe v : 8 v = 10 8 *1= 10 n questo aso quindi l errore sistematio è trasurabile se si aetta un inertezza superiore a una parte su 100 milioni (tipiamente nelle misure non si va oltre una parte per milione). Dunque, poihé la resistenza del voltmetro rispetto a quella inognita è molto elevata, si può trasurare la resistenza di ontatto dei morsetto volumetrii. Metodo della aduta di potenziale l metodo della aduta di potenziale è un altro metodo della misura di resistenze di basso valore he onsente di ottenere la misura on un inertezza inferiore rispetto al metodo voltamperometrio. Si onsideri il iruito di Figura 14, dove il resistore di resistenza inognita x è stato posto in serie ad un resistore ampione. Un resistore ampione è un resistore he ha un valore nominale noto e un inertezza nota, quando attraversato da una orrente minore della orrente massima di targa. Figura 13 L alimentazione è a orrente impressa, tramite un alimentazione reostatia; l amperometro in serie al generatore serve solo per avere un indiazione dell ordine di grandezza della orrente, per essere siuri he non si superi la orrente massima del resistore ampione. Ovviamente essendo le resistenze di basso valore, bisogna iniettare una orrente suffiientemente elevata da poter apprezzare on una erta failità la aduta di tensione ai loro api. Tale metodo, in prima battuta, prevede due misurazioni di tensione eseguite on lo stesso voltmetro: misura della aduta x ponendo il voltmetro sui morsetti voltmetrii della x e misura della ponendo in seguito lo stesso voltmetro su della. 8

9 Considerando he i due resistori sono attraversati dalla stessa orrente perhé in serie e faendo l ipotesi he tra una misura e l altra la orrente non sia variata, rapportando le due tensioni si ha: X X X C C C (8) da ui si ottiene il valore della resistenza inognita: X X C (9) C A partire dal valore noto di e tramite la misura delle due adute di tensione è possibile ottenere il valore di x. Sostanzialmente il metodo della aduta di potenziale si basa sulla tenia esposta; nel seguito vengono esaminati gli aorgimenti he si intraprendono per ridurre ulteriormente l inertezza assoiata alla misurazione. nnanzitutto sebbene x sia la resistenza inognita, in genere se ne onose omunque l ordine di grandezza (perhé si onose il materiale di ui è fatto quindi la resistività nominale e le dimensioni) e la misura serve a onoserne il valore on maggiore auratezza. Noto l ordine di grandezza di x, se si prende il ampione dello stesso ordine di grandezza, allora le adute x e saranno prossime tra loro (la orrente è la stessa). Al limite, se si avesse x=, gli effetti sistematii introdotti dal voltmetro (he è lo stesso per le due misure) sarebbero gli stessi nelle due misure; pertanto, nel rapporto x/ tali effetti sistematii si semplifiherebbero. n realtà la ondizione di uguaglianza non si può realizzare, ma il ontributo di inertezza dovuto agli effetti sistematii del voltmetro è tanto più basso quanto più il valore di è viino a quello di x. ediamo ome migliorare ulteriormente la misura. L impiego dello stesso voltmetro per entrambe le misure però determina il fatto di non poterle fare ontemporaneamente. Ciò vuol dire he bisogna assiurarsi he la orrente he irola nel iruito resti ostante durante tutto il tempo della misurazione, e he le resistenze x ed non varino a ausa di una variazione di temperatura. n realtà il problema riguarda la x, poihé riguardo al resistore ampione, si ha la garanzia he questo non ambi il valore della propria resistenza se la orrente non supera il suo valore massimo. Per tale motivo viene impiegata un alimentazione reostatia, utilizzando un potenziometro di ui è nota la stabilità. noltre per essere siuri he tra la misurazione di x e quella di nulla sia ambiato, la misura su x viene ripetuta e onfrontata on il valore preedente. Al momento, quindi, è neessario eseguire 3 misure: 1)misurare di x 2)misura di 3)misura di x. Nel aso in ui la prima misura e l ultima sono ompatibili (ovvero la differenza è ontenuta nell ambito dell inertezza desiderata) la misura è valida, altrimenti vuol dire he la orrente non è rimasta stabile, e devono essere presi i seguenti aorgimenti: - diminuire la orrente (temperatura più stabile ma SN più basso) - attendere il regime termio del sistema - eseguire più veloemente le misure. Altro effetto da tener onto è il fatto he nell inserire la resistenza x nel il iruito si rea un ontatto tra due metalli di materiale differente e per l effetto Seebek nase una forza elettromotrie di ontatto. L effetto olta stabilise he, dal ontatto di due metalli differenti (ad esempio rame (Cu) e zino (Zn)), nase una forza elettromotrie, detta appunto di ontatto, he dipende dalla natura dei metalli. Se si hiude una maglia omposta da un erto numero di metalli, la risultante delle forze elettromotrii di ontatto è nulla e, quindi, nella maglia non si risontra aluna irolazione di orrente. Aanto all effetto olta esiste l effetto Seebek, he lo partiolarizza affermando he l effetto olta è vero solo se tutte le giunzioni tra i metalli sono poste alla stessa temperatura, perhé la forza elettromotrie di ontatto oltre a dipendere dalla natura dei metalli posti a ontatto, dipende anhe dalla temperatura a ui sono realizzate le giunzioni. 9

10 Pertanto, se nel hiudere una maglia di onduttori metallii di natura diversa, i punti delle varie giunzioni sono portati a temperature differenti, si rea una irolazione di orrente (iò è anora oerente on il prinipio di onservazione dell energia in quanto in tal aso, risaldando le varie giunzioni, viene fornita al sistema energia termia he per effetto Seebek si trasforma in energia elettria produendo una irolazione di orrente). Da quanto detto, quando viene eseguita una misura di tensione ollegando i puntali di un voltmetro ai morsetti del resistore ai api del quale si vuole misurare la aduta di potenziale, la tensione misurata sarà influenzata anhe dalle forze elettromotrii di ontatto he si vengono a generare, le quali possono essere shematizzate on un generatore di f.e.m. nella maglia del voltmetro ome illustrato in Figura 15. Quindi, se tutte le giunzioni realizzate (quelle dove sono posti i puntali, quelle he sono ollegate al voltmetro, e quelle interne al voltmetro) fossero alla stessa temperatura si potrebbe ritenere he la lettura del voltmetro non è influenzata dalle forze elettromotrii di ontatto perhé la somma omponente è nulla per effetto olta. Ma se questa ondizione non è Figura 15 garantita, il voltmetro produrrà una indiazione influenzata dalla presenza delle forze elettromotrii di ontatto. Nel metodo della aduta di potenziale, questo problema diventa non trasurabile in quanto le orrenti di lavoro sono abbastanza elevate (per poter garantire adute di potenziale apprezzabili). Tale orrente produe un risaldamento dei onduttori per effetto Joule e quindi una erta distribuzione di temperatura lungo il iruito di misura he non onsente di garantire he, a regime, tutte le giunzioni si portano alla stessa temperatura. Ne onsegue he possono nasere forze elettromotrii di ontatto di natura termoelettria on risultante diversa da zero. Non essendo possibile eliminare tali forze elettromotrii, si era di evitare he esse influenzino il risultato di misura. Sfruttando il prinipio seondo ui le f.e.m. di ontatto dipendono solo dalla distribuzione di temperatura, ioè dall effetto Joule e, quindi, sono indipendenti dal verso della orrente, viene realizzato il iruito di Figura 16. È stato inserito nel iruito un invertitore he onsente di invertire i ontatti in modo da ambiare il verso della orrente he irola nei resistori. Operando in questo modo, sia su X he su C si ha una misura a orrente diretta ed una a orrente inversa; ambiando il verso della orrente, ambia il segno delle adute di tensione, ma le forze elettromotrii di ontatto influenzano la misura sempre on lo stesso segno. Figura 16 Detta d la orrente diretta e i quella inversa ed indiando on e la sommatoria delle f.e.m. di ontatto nella maglia quando il voltmetro è posto ai api di x: xd x d e xd x d e (10) xi x i e xi x d e da ui, faendo la differenza membro a membro si ottiene: 10

11 xd xi xd xi 2 x x xm (11) 2 Dove on xm si è indiata la media tra la misura di x a orrente diretta e quella a orrente inversa. Operando gli stessi aloli per : apportando la (10) e la (11): Cd Ci Cd Ci 2 C C Cm (11) 2 Xm X C (12) Cm Da ui si ottiene il valore di x ompensando l effetto dovuto alle f.e.m. di ontatto. Conludendo, nella pratia si eseguono le seguenti operazioni nell ordine: 1. si misura x; 2. si misura ; 3. si inverte la orrente; 4. si misura ; 5. si misura x; 6. si inverte nuovamente la orrente; 7. si misura nuovamente x Si noti he viene rimisurata x in modo da assiurarsi he x misurata al punto 1 e x misurata al punto 7 siano ompatibili. alutazione dell inertezza della resistenza x Misurata la x ol metodo presentato, bisogna effettuare la valutazione dell inertezza. Poihé viene utilizzato lo stesso voltmetro per effettuare le misure su x ed, ome detto in preedenza, non i sono effetti sistematii introdotti dal voltmetro; bisogna valutare, quindi, gli effetti aleatori. La misura è indiretta e la relazione he lega x alle grandezze misurate direttamente è: x x (12) Dunque, l inertezza relativa di x dipenderà dalla propagazione delle inertezze su, e x. L inertezza di è di ategoria B, ovvero è fornita dal ostruttore. Mentre le inertezze di x e vengono stimate dalle speifihe del voltmetro (ategoria B) e attraverso misure ripetute di x e (ategoria A). isto he x ed sono di valore prossimo tra loro ed il voltmetro impiegato è lo stesso, è suffiiente eseguire le misure ripetute solo su una delle resistenze poihé le inertezze di x e saranno uguali. Naturalmente, visto he è un resistore ampione, se misurando ripetutamente si rileva una erta variabilità, questa è siuramente da imputare al voltmetro; ontrariamente, se si effettuano misure su x una eventuale variabilità non si riusirebbe a stabilire se è dovuta al voltmetro o al resistore, perhé x è inognito. Quindi siuramente è più opportuno effettuare misure ripetute di e stimare l inertezza tipo di ; l inertezza di x sarà uguale a quella di. Si noti, infine, he l inertezza di x e ottenuta è un inertezza tipo, mentre l inertezza di tipiamente è data ome una tolleranza (ovvero on pdf uniforme). Per omporre queste inertezze è neessario onvertire la tolleranza di in inertezza tipo. 11

12 Misura di resistenza di valore medio Metodi di zero Le resistenze di valore medio sono resistenze per le quali sono trasurabili sia le resistenze di ontatto he gli effetti dovuti alle orrenti di dispersione, quindi siuramente le misurazioni di resistenze di valore medio possono essere svolte ol metodo voltamperometrio. Tuttavia vi è un effetto di ario he si vuole eliminare pertanto si preferise utilizzare un metodo di zero, ovvero un metodo he onsiste nell effettuare la misura nel momento in ui si realizza l azzeramento di una grandezza. Si onsideri il iruito di Figura 17. Figura 17 Dove è un resistore variabile ampione, ovvero è un resistore a deadi su ui è possibile impostare il valore di resistenza desiderato e per ogni valore di resistenza è nota l inertezza ad essa assoiata. a ed b sono due resistori ampione di valore fisso, mentre x è il resistore di valore inognito da misurare. nfine tra i punti A e B è disposto un rivelatore di zero ovvero uno strumento di misura, di piola portata, in grado di eseguire misurazioni di tensione o orrente on un elevata sensibilità. Se a=b, il punto B è a tensione E/2; se x= il punto A è anhe esso a tensione E/2. Dire he i punti A e B sono allo stesso potenziale vuol dire he attraverso il rivelatore passa orrente nulla. Quindi, un riterio per misurare la x, potrebbe essere quello di variare la finhé il rivelatore non india l azzeramento della orrente tra A e B. n tal aso signifia he il valore impostato su è uguale al valore di x e, dunque, il valore di x si ottiene osservando il valore di impostato. Ovviamente a ed b non devono essere obbligatoriamente uguali; nel aso generale in ui a ed b siano di valore qualunque, la orrente tra A e B sarà nulla quando verrà soddisfatta la ondizione: b ax (13) Quindi montato il iruito, si varia e, quando il rivelatore india orrente nulla, la x si può ottenere appliando la formula: b x (14) a Ovviamente è neessario he il rivelatore di zero sia uno strumento a zero entrale in modo da poter apprezzare per variazioni di, variazioni dell indie a destra e a sinistra dello zero, per apire il verso nel quale variare. l vantaggio di tale metodo è he non i sono effetti di ario strumentale perhé la misura viene effettuata quando la orrente he attraversa lo strumento è nulla. 12

13 l rivelatore, omunque, ha una erta sensibilità finita, ovvero orrenti minori della sensibilità del rivelatore non vengono da questo apprezzate; iò signifia he l equazione (14) è appliata on una erta inertezza dovuta al fatto he la orrente tra i punti A e B, in realtà, non è nulla. Quindi i metodi di zero presentano tutti un ontributo di inertezza aggiuntivo, detto inertezza di sensibilità, he verrà approfondito nel metodo del ponte di Wheatstone. l Ponte di Wheatstone l ponte di Wheatstone è un metodo di zero, generalmente impiegato per la misura di resistenza di valore medio. l iruito di misura è mostrato in Figura 18. Nel ramo CD, detto diagonale di alimentazione, viene disposta un alimentazione potenziometria; sul ramo AB, detto diagonale di rilevazione, viene ollegato un galvanometro, on una sensibilità di ira 1nA. resistori a ed b sono dei resistori semifissi a spina, solitamente di valore uguale, mentre il resistore è un resistore variabile a deadi; x è la resistenza inognita. Figura 18 l prinipio di misura è quello di variare, dalla deade più alta a quella più bassa, finhé il galvanometro non segnala l annullamento della orrente nel ramo AB. n questa ondizione il ponte è in equilibrio e i potenziali dei punti A e B sono uguali. Quindi, essendo ab=0, la tensione su b è uguale alla tensione su x e la tensione su a è uguale alla tensione su. Ovvero: b b b b b x x (15) x x x a a a a a (16) apportando la (15) e la (16) e riordando he se la orrente nel ramo AB è nulla b ed a sono in serie, ome lo sono ed x si ha: 13

14 Da ui si ottiene il valore di x b b x x b x (17) a a a b x (18) a Dal punto di vista operativo si opera sul resistore a deadi fino a quando non si raggiunge l equilibrio. A quel punto leggendo il valore di si riava x. Si noti he, segliendo a=b, l inertezza sulla misura è pari all inertezza sul resistore ampione. A prima vista la tensione di alimentazione d sembra non inidere affatto sul risultato della misura. n realtà d è fondamentale per la minimizzazione dell inertezza, perhé la suddetta tensione inide sulla orrente he irola nel ramo del galvanometro. Quando il galvanometro segna una orrente nulla, la relazione (18) è vero on una erta inertezza, detta appunto inertezza di sensibilità. Essa india appunto l inertezza on ui si afferma he ab=0 e quindi a=b. Tale inertezza dipende siuramente dalla sensibilità del galvanometro, he non riese ad apprezzare orrenti inferiori ad un determinato valore, ma non solo. nfatti, in una ondizione di squilibrio, a parità di valore delle quattro resistenze, il valore della orrente ab è tanto più elevato (e quindi apprezzabile più failmente) quanto maggiore è la tensione di alimentazione d. Bisognerebbe, quindi, utilizzare una d grande, ma se tale tensione è elevata in una ondizione di forte squilibrio (ad esempio all inizio della misura) la orrente ab può essere tanto elevata da danneggiare il galvanometro. Per tale motivo si opera per approssimazioni suessive: 1. si inizia ad aumentare la d fino a quando non si apprezza una orrente nel galvanometro; 2. si varia fino al raggiungimento dell equilibrio; 3. si ripete dal punto 1, aumentando d e quindi la sensibilità. La tensione d viene aumentata gradualmente fino al limite superiore rappresentato dalla orrente massima he può irolare all interno delle deadi del resistore. Alla massima sensibilità, si arriverà ad un punto he dando una variazione minima ad si osillerà intorno allo zero del galvanometro, senza raggiungerlo mai. Ciò è dovuto alla risoluzione finita di he è un resistore a deadi, on la minima deade pari a 0.1 /step e non può essere variato on una risoluzione più bassa. n questo aso, ipotizzando un omportamento lineare dello strumento nell intorno dello zero, si effettua una interpolazione lineare. Sia 1 il numero di deviazioni a sinistra dello zero per un valore di resistenza 1 (he dista X dal valore desiderato per avere il nullo di orrente) e sia 2 il numero di deviazioni a destra dello zero per il valore di resistenza 2 = 1 +STEP (he dista STEP-X dal valore desiderato). Dalla similitudine dei due triangoli di Figura 19 si ha X: (STEP X) = δ 1 : δ 2 Quindi: x 2 2 Figura 19 STEP 14

15 1 X STEP (19) 1 2 iavato il valore X, questo va aggiunto al valore 1 di partenza. Sebbene nella (19) i si è riferiti ad una variazione qualunque di, è preferibile he lo STEP sia la minima variazione he è possibile dare ad, poihé l ipotesi di linearità del galvanometro è tanto più verifiata quanto più è piola la variazione di orrente nell intorno dello zero. Per stimare l inertezza sulla misura si può utilizzare un approio di tipo deterministio, faendo riferimento al aso peggiore e utilizzando le tolleranze. Per quanto riguarda i resistori a ed b, essendo dei resistori fissi, l inertezza viene fornita dal ostruttore. Per quanto riguarda invee, essendo un resistore a deadi (quindi variabile) l inertezza dipenderà dall inserimento o meno dei vari resistori. Alle inertezze di a, b, deve essere sommata l inertezza di sensibilità. Bisogna, in partiolare, tramutare l inertezza di sensibilità in una inertezza sulla x, ovvero apire quanto il fatto he è stato valutato in modo errato il raggiungimento dell equilibrio del ponte influise sull inertezza di x. Per valutare tale inertezza, si supponga, per un momento, di poter variare la resistenza x (in realtà x non è variabile). Se si potesse variare x di una quantità x, si osserverebbe uno spostamento dell indie del galvanometro dalla posizione di zero di un erto numero di deviazioni L inertezza di sensibilità è, per definizione, la variazione virtuale dx da imprimere ad x in modo da osservare sull indie del galvanometro la minima deviazione apprezzabile d (in genere assunta uguale a mezza divisione). Supponendo la linearità dello strumento nell intorno dello zero si può srivere: X X : dx : d dx d (20) Come detto, x è la resistenza inognita, di valore fisso. Però, dalla (18) si osserva he una variazione infinitesima di x può essere espressa ome: b b dx d d (21) a a Poihé a ed b sono ostanti. Però è a deadi e varia on una risoluzione finita, per ui non si ha la ertezza he variando C si ottiene una deviazione di mezza divisione del galvanometro. Allora si sfrutta la linearità del rivelatore: si da una variazione a C in modo da avere un erto numero di deviazioni apprezzabili. Ad una variazione è assoiata una deviazione, mentre alla variazione d C orrisponde uno spostamento pari a d, he rappresenta la mezza divisione sulla sala dello strumento. Se lo strumento ha omportamento lineare nell intorno dello zero, allora sussiste la proporzione: dc C (22) d in ui l unia inognita è d C. Ottenuta d, dalla (21) si ottiene dx; il rapporto tra dx ed il valore di x fornise l inertezza relativa di sensibilità: dx (23) X Anhe questa inertezza va propagata on le preedenti, ottenendo, ome inertezza relativa di x: x a b (24) x a b 15

16 Una tenia usata per migliorare ulteriormente l inertezza della misura è la tenia della doppia pesata; essa onsente di eliminare il ontributo dovuto alle inertezze di a ed b. l ponte viene montato e viene eseguita una prima misura; suessivamente viene invertita la posizione di a ed b nel ponte, si raggiunge nuovamente la ondizione di equilibrio e viene rieseguita la misura di x. Se i valori di a ed b fossero privi di inertezza, il valore di per l ottenimento della ondizione di equilibrio, nella seonda onfigurazione dovrebbe essere noto e pari al reiproo del valore della prima onfigurazione. n realtà, si potrebbe avere una variazione perhé A e B in realtà hanno un inertezza; in tal aso, l equilibrio viene raggiunto on un nuovo valore. A ' X C (25) B Moltipliando membro a membro la (18) e la (25) si ha: 2 ' ' (26) x x Con questo metodo è stato eliminato il ontributo delle inertezze di a e b. Nel aso in ui a = b : ' x ' (27) 2 Cioè se i valori di a ed b nominalmente sono uguali, i valori di ed sono prossimi tra loro e la media geometria può essere approssimata da quella aritmetia. Misura di resistenza di elevato valore Per resistenze di alto valore si intendono resistenze di valore ohmio superiore ad 1M. Ad esempio, i problemi di misura di resistenze di alto valore si pongono in modo partiolarmente rilevante nel aso in ui si voglia misurare la resistenza di isolamento della guaina isolante di un avo, ovvero la resistenza offerta dalla guaina alle orrenti he, dall anima del avo, vanno verso la superfiie esterna (Figura 20). Si nota he l isolante può essere shematizzato on tante resistenze in parallelo lungo il avo; quindi, la resistenza omplessiva offerta al passaggio di orrente varia on la lunghezza del avo. Per tale motivo, la resistenza di isolamento viene espressa per unità di lunghezza in /km. Naturalmente, in laboratorio, si esegue la misura su un tratto di avo di una data lunghezza e poi si riporta tale valore alla lunghezza di 1km; generalmente il provino in laboratorio è della lunghezza di 50m. Anima solante Figura 20 Se il avo è provvisto di uno shermo metallio esterno, allora viene misurata la orrente he irola tra l anima del avo e lo shermo esterno. n aso ontrario, invee, per realizzare un onduttore esterno al avo, si dispone quest ultimo in una vasa di aqua salata; all interno della vasa si dispone, ome in Figura 21, un reoforo he viene ollegato al iruito di misura per appliare la tensione al avo e misurare la orrente irolante tra l anima e l aqua. 16

17 Figura 21 nfine, si noti he l estremità del avo sono rioperte di un ono di paraffina (materiale he presenta un elevata resistenza superfiiale) al fine di allungare il perorso delle orrenti di dispersione. l metodo impiegato per questo tipo di misure è il metodo voltamperometrio ed il iruito equivalente della misurazione è mostrato in Figura 22. Figura 22 Per poter apprezzare la orrente he irola nella resistenza inognita, la tensione di alimentazione deve essere pari ad un valore ompreso tra 500 e n queste ondizioni, le orrenti risultanti in genere sono dell ordine delle entinaia di na, per ui la orrente irolante è misurata tramite un nanoamperometro allo sopo di avere la sensibilità neessaria. noltre, per ridurre al minimo gli effetti di ario, si seglie una onfigurazione he prevede il voltmetro a monte del na is Figura 23 17

18 nanoamperometro, poihé la resistenza interna del voltmetro, in questa misura, è onfrontabile on la resistenza inognita da misurare. Come già antiipato, nella misura di resistenze di valore elevato, il problema prinipale è ostituito dalle orrenti di dispersione. n pratia, a ausa della tensione di alimentazione elevata, i punti del iruito si trovano a potenziale molto diverso tra loro. Differenze di potenziale elevate, inoltre, sussistono anhe tra determinati punti del iruito ed eventuali masse esterne in prossimità del iruito. Questi punti a potenziale diverso sono separati dall aria, ovvero sono separati da una resistenza he non è molto più elevata della resistenza inognita is (he può essere dell ordine del G ). Per tale motivo, una parte della orrente si può rihiudere nel iruito attraverso perorsi alternativi e non attraverso la resistenza is. Tali perorsi alternativi possono essere modellati ome delle onduttanze di dispersione he, in pratia, si trovano in parallelo ad is (Figura 23). l problema è rappresentato dalle orrenti he si rihiudono a valle del nanoamperometro perhé vengono misurate dallo strumento. Quindi, quando si esegue il rapporto tra la tensione misurata dal voltmetro e la orrente misurata dal nanoamperometro, si ommette un errore dovuto al fatto he l indiazione del nanoamperometro omprende anhe le orrenti di dispersione he, in realtà, non attraversano la resistenza is inognita. noltre, tali orrenti dipendono dalla topologia del iruito e, ome tali, non sono prevedibili. n questo tipo di misura il problema è partiolarmente sentito a ausa del basso valore della orrente misurata; perentualmente, quindi, le orrenti di dispersione inidono notevolmente sulla misura. Per ovviare al problema, si esegue una shermatura del iruito, on uno shermo sulla is, sul tratto di iruito a valle del nanoamperometro e sul nanoamperometro e ponendo il potenziale dello shermo allo stesso potenziale a monte del nanoamperometro (quindi al valore positivo dell alimentazione) ome mostrato in Figura 24. Si nota dalla figura he, in questo aso, he sussistono anora le orrenti di dispersione (indiate in blu) he, questa volta si hiudono tra lo shermo ed i punti del iruito a potenziale più basso (o na is Figura 24 masse esterne); ma la osa fondamentale è he tali orrenti non attraversano il nanoamperometro e, quindi, non vengono da questo misurate. A questo punto, però, è un problema di siurezza perhé punti del iruito on ui l operatore può venire in ontatto (ad esempio il nanoamperometro) si trovano al potenziale positivo dell alimentazione he, ome detto, ha valore ompreso tra 500 e Per ovviare a tale problema, si dispone un seondo shermo, questa volta a potenziale di massa, ome mostrato in Figura

19 na is Figura 25 Un'altra problematia da onsiderare riguarda il transitorio di alimentazione del iruito. olendo, infatti, onsiderare un modello dell isolante del avo più aderente alla realtà, bisogna onsiderare he tale isolante è un dielettrio posto tra due onduttori (l anima del avo e l aqua), ovvero è aratterizzato anhe da un omportamento apaitivo. l modello ompleto dell isolante è quindi, rappresentato in Figura 26. Poihé il iruito è alimentato on una tensione ontinua, a regime, gli effetti apaitivi non influenzano in alun modo il iruito. l problema è durante il transitorio di aensione. nfatti, il ondensatore è un bipolo di equazione aratteristia: dv ic C (28) dt Detta Eon la tensione di alimentazione, durante il transitorio di aensione ai api del ondensatore è appliato un gradino di tensione da 0 a Eon. Seondo la (28), la orrente irolante nel ondensatore e, quindi, nel iruito, dovrebbe essere la derivata di un gradino, ovvero un impulso. dealmente, allora, il omportamento apaitivo del avo produe un assorbimento di orrente impulsivo he tenderebbe a far irolare nel iruito una orrente infinita. n realtà la orrente assorbita durante questo transitorio non è infinita, ma è limitata dalla resistenza dei avi di ollegamento e, soprattutto, dalla resistenza interna del generatore di tensione (he non ha una potenza di orto iruito infinita). Ciò non toglie he la orrente al transitorio sia omunque elevata e di valore tale da danneggiare in maniera permanente il nanoamperometro di portata molto inferiore. Per tale motivo, ome indiato in Figura 27, si dispone un interruttore in parallelo al nanoamperometro. All aensione del iruito, l interruttore è mantenuto hiuso, in modo da T na C is Figura 26 19

20 ortoiruitare il nanoamperometro; dopo un tempo suffiiente a ritenere he il transitorio si sia estinto, l interruttore viene aperto per eseguire la misura di orrente. l tempo dopo il quale l interruttore viene aperto influise sulla misura perhé questa potrebbe essere eseguita durante il transitorio di saria del ondensatore he modella il omportamento apaitivo del avo; iò signifia he il valore finale di resistenza di isolamento ottenuto potrebbe dipendere dal partiolare istante in ui la misura viene effettuata. Per evitare questo inonveniente, e rendere la misura della resistenza di isolamento di un avo ripetibile, la norma stabilise il tempo preiso dopo il quale aprire l interruttore; tale tempo è di un minuto. l metodo per misurare resistenze di valore elevato è stato presentato faendo riferimento ad un esempio lassio, ome quello della misura della resistenza di isolamento di un avo. Le problematihe esaminate, naturalmente, non sono speifihe dell isolante dei avi, ma devono essere prese in onsiderazione, in generale, ogni volta he si esegue una misura di resistenza elevata. Per tale motivo, i resistori, di resistenza di valore elevato, si presentano, ostruttivamente sempre ome resistori a 3 morsetti. nfatti, due morsetti sono impiegati per addurre orrente e per misurare la aduta di tensione ai api della resistenza (dato il valore della resistenza, non i si pone il problema delle resistenze di ontatto), mentre il terzo morsetto è ollegato ad uno shermo he è già disposto intorno al resistore. 20