Lezione La corrente elettrica e la legge di Ohm

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1 Lezione La orrente elettria e la legge di Ohm 1 orrente elettria La orrente elettria desrive a livello marosopio il moto delle arihe elettrihe (per esempio, ma non neessariamente, all interno di un materiale onduttore), ed è anora una volta definita in analogia alla portata (di volume o di massa) di un fluido: data una superfiie fissata, si hiama orrente elettria la quantità di aria he attraversa la superfiie (in un verso pre-determinato) nell unità di tempo.! v v Figura 1: orrente he attraversa la sezione di un ilindro retto in ui sono presenti arihe puntiformi he si muovono tutte on veloità v parallela all asse del ilindro Se per sempliità onsideriamo il aso di un ilindro di sezione, in ui si muovono partielle puntiformi (in numero molto grande) tutte dotate di aria q e veloità vettoriale v diretta parallelamente all asse del ilindro. Se definiamo positivo il verso di attraversamento della sezione da sinistra verso destra in figura??, il numero di partielle he attraversa la superfiie nel tempo infinitesimo sarà quello ontenuto del ilindro di base e altezza v, ioè dn = n v, dove v è il modulo della veloità e n la densità media di partielle per unità di volume. La quantità di aria he attraversa la superfiie sarà dunque dq = n v, e la orrente I dq = qnv = J dove la quantità J = nqv rappresenta una densità di orrente per unità di superfiie. 1

2 La orrente è una grandezza salare, e la sua unità di misura nel Sistema Internazionale è l ampère: 1 = 1s 1 aloliamo ora la orrente he attraversa la superfiie nel aso in ui le partielle arihe non abbiano tutte la stessa veloità v. Per semplifiare il ragionamento, onsideriamo il aso in ui le veloità possibili siano un insieme disreto v 1, v 2,... v k, e he per ogni valore possibile della veloità i sia una orrispondente densità di partielle (he supporremo sempre tutte di aria uguale q) per unità di volume n 1, n 2,..., n k. Prendiamo inoltre l asse x delle oordinate artesiane diretto da sinistra a destra e parallelo all asse del ilindro (ossia perpendiolare alla superfiie ).! v x v x Figura 2: se la veloità ha una direzione generia, importa solo la omponente lungo l asse del ilindro. Per ogni valore possibile di v possiamo a questo punto ripetere il ragionamento preedente, osservando he la distanza dalla parete a entro ui una partiella deve trovarsi per attraversarla nel tempo in generale non è v ma da v x, essendo determinata dalla distanza perorsa lungo l asse x. Dunque le partielle on veloità v 1 he attraverseranno la parete saranno dn 1 = n 1 v 1x, quelle on veloità v 2 saranno dn 2 = n 2 v 2x, e. Il numero totale di attraversamenti nel tempo è quindi dato da dn = qn 1 v 1x + qn 2 v 2x + + qn k v kx e la aria totale he attraversa la parete nello stesso intervallino di tempo vale dq = q(n 1 v 1x + n 2 v 2x + + n k v kx ) = qn v x dove n = n 1 + n n k è la densità totale di partielle arihe per unità di volume, e v x = n 1v 1x + n 2 v 2x + + n k v kx n (1) 2

3 è per definizione il valor medio (oinide on la media aritmetia!) della omponente x della veloità. 1 Osservando he v x = v ˆx, sostituendolo in ogni termine della somma in?? e raogliendo a fattor omune ˆx, otteniamo e quindi, per la orrente v x = v ˆx I = dq = qn v x = qn v ˆx J ˆn (2) dove ˆn rappresenta il versore normale alla superfiie (ˆx nel nostro aso) e non va onfuso on la densità di partielle arihe n. La orrente è ioè il prodotto tra la superfiie e la omponente della densità di orrente J = qn v perpendiolare all area stessa: in altre parole il flusso di J attraverso la superfiie. Naturalmente anhe qui i versori possibili sono due: segliere uno o l altro è una questione di onvenienza, e l unia differenza è ovviamente il segno della orrente. È hiaro a questo punto he, generalizzando a una superfiie qualunque, usiamo la definizione generale di flusso: I = J ˆnd (3) ˆn! J! J ˆn! J ˆn! J d ˆn! J ˆn Figura 3: La orrente he attraversa una superfiie data (aperta a sinistra, hiusa a destra è data dal flusso del vettore densità di orrente J, he in generale non è uniforme e dipende dal punto. 1 Un alolo molto simile è stato fatto per il alolo del numero di partielle he urtano ontro una parete determinando pressione nella teoria inetia dei gas. In quel aso, ome si riorderà, la media in questione riguarda il quadrato della veloità lungo x, e si deve introdurre un fattore 1/2 nel onteggio delle partielle per ter onto del fatto he solo quelle on veloità positiva urtano la parete. In questo aso invee anhe le arihe on v x < 0 ontribuisono alla orrente, definita ome la quantità netta di aria he attraversa la superfiie in un dato verso, e a questa ontribuisono sia le arihe he si muovono verso destra sia, on segno opposto, quelle he si muovono verso sinistra e si trovano quindi inizialmente a destra della superfiie onsiderata. 3

4 Per finire on le generalizzazioni, se le partielle presenti nello spazio in questione non hanno tutte la stessa aria q ma hanno diversi valori possibili (per esempio nel aso di soluzioni elettrolitihe in ui sono presenti ioni di aria diversa), la?? si generalizza failmente sommando i ontributi delle varie speie di portatore di aria: I = q 1 n 1 v 1 ˆx + q 2 n 2 v 2 ˆx + = J 1 ˆn + J 2 ˆn + = J tot ˆn on J tot = J 1 + J 2 Notiamo per esempio he se i sono arihe positive e negative di ugual modulo (per esempio gli ioni Na + e i in una soluzione di loruro di sodio), le arihe positive he si muovono in una direzione e quelle negative he si muovono in direzione opposta daranno ontributi dello stesso segno alla orrente totale. 1.1 Legge di ontinuità Se estendiamo il flusso a una superfiie hiusa, bordo di un volume V, e orientiamo in ogni punto la normale ˆn nel verso usente dal volume rahiuso, la orrente I rappresenta la quantità di aria he ese dal volume V nell unità di tempo (fig.?? a destra). Ora, è un fatto sperimentale he la aria elettria si onserva, ossia non può essere reata o distrutta, e si onserva loalmente: questo signifia he non può somparire in un punto e riomparire in un altro punto disgiunto senza spostarsi dall uno all altro dando luogo a una orrente. Questo si esprime matematiamente on la osiddetta equazione di ontinuità, la quale non fa altro he espliitare in formule quanto detto sopra: nel aso del volume V delimitato dalla superfiie hiusa, dire he la aria si onserva loalmente equivale a dire he la aria dq u = J ˆn d usita attraverso la superfiie nel tempo è esattamente uguale al deremento della aria Q int ontenuta nel volume V, ossia dq u = dq int. In altri termini, per ogni superfiie hiusa, I = J ˆn d = dq dove per sempliità abbiamo eliminato gli indii da I u e Q int, e on I intendiamo la orrente usente dalla superfiie hiusa, on Q la aria da essa rahiusa. Se vogliamo, possiamo prendere questa ome la vera definizione, più rigorosa, di orrente elettria. Notiamo he nei asi di situazioni stazionarie, in ui nessuna grandezza dipende dal tempo, si ha dq/ = 0 e l equazione di ontinuità si ridue a J ˆn d = 0 La densità di orrente J è in asi stazionari un vettore he, ome il ampo elettrio in assenza di arihe o ome il ampo di veloità di un fluido inomprimibile, ha flusso sempre nullo su qualunque superfiie hiusa. Detto a parole, (4) 4

5 se non i sono aumuli di aria nel tempo, la somma delle orrenti entranti e usenti da una data superfiie hiusa è nulla (tanta aria entra quanta ne ese, in un dato ). Esempio: legge dei nodi di Kirhhoff I 1 I 2 I 3 Figura 4: Nel nodo rappresentato in figura la somma algebria delle orrenti entranti o usenti è nulla: nel tempo tanta aria entra nella superfiie hiusa rappresentata dal erhietto, quanta ne ese. Segliendo arbitrariamente i versi positivi delle orrenti ome indiato dalle free, nel aso rappresentato questo implia he I 1 = I 2 + I 3. Se in un iruito elettrio si ha un osiddetto nodo, ossia una diramazione dei fili onduttori perorsi da orrente, poihé in genere non si possono reare aumuli di aria in orrispondenza del nodo stesso (quel aso verrebbe shematizzato da un ondensatore), appliando la legge di ontinuità a una superfiie hiusa he rahiude il nodo si trova he la somma algebria delle orrenti entranti nel nodo è nulla. 2 La legge di Ohm La legge di Ohm riguarda aluni materiali onduttori (soprattutto metalli), detti appunto ohmii, per i quali si verifia sperimentalmente he, entro erti intervalli di validit dipendenti dal materiale stesso e dalle ondizioni esterne (per esempio temperatura), a orrente he sorre in un tratto filiforme (di lunghezza molto maggiore delle dimensioni trasversali) di onduttore è proporzionale alla differenza di potenziale elettrio tra i due api del filo stesso: I V Di solito la legge è espressa nella forma 5

6 V = IR (5) dove la quantità R, in prima approssimazione indipendente da I e da V, è detta resistenza e dipende solo dalle aratteristihe del onduttore onsiderato, dalla geometria del filo e da altri parametri ome la temperatura. 2.1 Legge di Ohm loale La legge di Ohm?? è essenzialmente sperimentale, ma può essere spiegata da un semplie modello meanio, he desriveremo sommariamente, enza entrare troppo nei dettagli matematii. In questo modello (detto modello di Drude) i portatori di aria sono partielle di massa m e aria q, libere di muoversi in un retiolo formato da altre partielle ferme, ontro ui possono urtare elastiamente. I portatori si muoveranno quindi di moto libero nel vuoto, nell intervallo di tempo tra un urto e il suessivo. Figura 5: Modello meanio per la legge di Ohm loale: i portatori di aria urtano elastiamente ontro gli ioni fermi del metallo, rimbalzando in direzioni asuali e azzerando quindi la veloità media indipendentemente dalle ondizioni iniziali. Se si suppone he nell urto on una delle partielle ferme del retiolo il portatore di aria rimbalzi in media in una direzione qualunque (questo è vero per esempio nel aso di urto elastio ontro una superfiie sferia) si ha he, indipendentemente dalle ondizioni iniziali, se i portatori di aria sono in numero molto grande, basta he tutti subisano almeno un urto ( v i v i ) per far sì he la veloità vettoriale media si annulli v 1 N N v i 1 N i=1 N v i 0 dato he i vettori v dopo l urto puntano in direzioni totalmente asuali (se si preferise è proprio questa la definizione di direzione totalmente asuale ). i=1 6

7 In assenza di forze esterne, dunque, il sistema di N portatori di aria, indipendentemente dalle ondizioni iniziali, raggiungeranno molto rapidamente (in tempi dell ordine dell tempo medio tra due ollisioni) una veloità media nulla. ome nel aso delle moleole di un gas all equilibrio, questo non signifia naturalmente he le singole moleole sono ferme ma he, preso un qualunque volumetto piolo dal punto di vista marosopio ma molto grande dal punto di vista mirosopio, la quantità di moto totale dei portatori di aria presenti nel volumetto, proporzionale alla veloità media, sarà in ottima approssimazione nulla. Se nel onduttore è presente un ampo elettrio esterno E (he supponiamo uniforme nel volume onsiderato) si ha he, tra un urto e il suessivo, ogni portatore di aria viene aelerato da F = m a = q E, e aquista dunque una veloità v = a t = q m E t Supponiamo per omodità he gli urti avvengano tutti allo stesso istante, e siano tutti separati dallo stesso t (tempo medio tra le ollisioni). bbiamo visto prima he a ogni urto la veloità media dei portatori di aria si annulla; tra un urto e il suessivo quindi, poihé tutti i portatori aquistano lo stesso v, questo oiniderà on la veloità media immediatamente prima dell urto suessivo; a questo punto la veloità media si annulla di nuovo, e nel suessivo t torna a essere uguale a q m E t. Si apise he in questo modo, essendo il tempo t piolo per l osservatore marosopio, l effetto misurato è quello di una veloità media proporzionale al ampo elettrio esterno E: e dunque v E (6) J E Nel paragrafo seguente il risultato è dedotto in maniera più rigorosa, per hi non ama le affermazioni non dimostrate. 2.2 pprofondimento: dimostrazione più rigorosa (modello di Drude) onsideriamo un intervallo infinitesimo di tale he la probabilità he un dato portatore urti una qualunque partiella del retiolo sia molto bassa e proporzionale a, e valga p = /τ, dove τ ha le dimensioni di un tempo, e p 1. Si tratta di un ipotesi ragionevole, he desrive una vasta gamma di fenomeni asuali in ui la probabilità del singolo evento non dipende dalla storia preedente, per esempio i deadimenti radioattivi (se un evento ha una bassissima probabilità di avverarsi in un dato intervallo di tempo, aspettando un tempo doppio i aspettiamo he la probabilità raddoppi). Per definizione di probabilità, 2 questo signifia he, se prendiamo un numero molto grande N di portatori di aria al tempo t, al tempo t+ un erto numero 2 Prendiamo ome definizione di probabilità la osiddetta definizione frequentista: la probabilità p he si verifihi un erto evento è data dal limite della frequenza f = N v/n di eventi verifiatisi N v faendo N prove, nel limite in ui il numero di prove N tende a infinito. 7

8 di essi dn avrà urtato uno ione fermo, on dn/n = p = /τ. Le partielle he non hanno urtato in quell intervallo infinitesimo sono ( N = N dn = N(1 p) = N 1 ) τ onsideriamo adesso la veloità media dei portatori di aria. tempo t è data per definizione da v (t) = 1 N N v i (t) i=1 Questa al Se è presente un ampo elettrio esterno E (he onsideriamo uniforme nel volume preso in esame), al tempo t + abbiamo he tutte le N partielle he non hanno urtato ontro uno ione fermo si sono mosse nel vuoto sotto l azione della forza ostante F = q E, e la veloità di iasuna è aumentata della stessa quantità v i (t + ) = v i (t) + q m E La veloità media al tempo t + è data da v (t + ) = 1 N N v i (t + ) = 1 N v i (t + ) + N i=1 i=1 dn j=1 v j (t + ) La seonda sommatoria tra parentesi quadre è la veloità totale delle partielle he hanno urtato uno ione fermo. Per l ipotesi di ompleta asualità della direzione usente, questa sommatoria è nulla: solo il primo termine nella parentesi ontribuise. Dunque abbiamo v (t + ) = 1 N v i (t + ) = 1 N [ v i (t) + q E N N m ] i=1 ioè, riordando he N i=1 v i(t) = N v i (t) (la media fatta su N oinide in prima approssimazione on quella fatta su N) v (t + ) = N N i=1 [ v i (t) + q E m ] ( = 1 ) [ v i (t) + q E τ m ] Sviluppando il prodotto a destra ed eliminando il termine in () 2 otteniamo [ v (t + ) v i (t) = 1 τ v i (t) + q ] E m ioè, dividendo per, d v i = 1 τ v i + q m E (7) 8

9 un equazione differenziale per la veloità media v i (t) he dovrebbe essere ormai notissima, identia a quella per la veloità di un grave in presenza di attrito visoso. La soluzione generale è data da v i (t) = e t/τ + qτ m E (8) (dove dipende dalle ondizioni iniziali) il ui andamento asintotio per t τ (la soluzione partiolare) è una veloità media limite e v i = qτ m E J = nq v i = nq2 τ m E σ E dove n è la densità dei portatori di aria (elettroni, nei metalli) e q la loro aria. Si noti he il risultato, ontenendo q 2, non dipende dal segno della aria. Si può dimostrare, usando la definizione di media statistia, he il tempo τ, oltre a rappresentare il tempo aratteristio di deadimento della parte esponenziale nella soluzione??, è esattamente uguale al tempo medio he interorre tra una ollisione e la suessiva. 2.3 Legge di Ohm loale e onduibilità Il risultato he i interessa è he per i materiali ohmii vale la relazione loale (ioè valida in un intorno di ogni punto, al solito preso piolo dal punto di vista marosopio ma di dimensioni molto grandi rispetto alle distanze interatomihe) di proporzionalità diretta tra il ampo elettrio presente all interno del materiale e la orrente he si rea (in tempi dell ordine del tempo medio di ollisione tra i portatori di aria e gli ioni fermi) J = σ E La ostante di proporzionalità σ dipende dalle aratteristihe del materiale, ma anhe dalla sua temperatura (attraverso il tempo medio di ollisione), ed è hiamata onduibilità elettria Legge di Ohm integrata e resistenza onsideriamo un onduttore in ui è presente un ampo elettrio E, non neessariamente uniforme, e prendiamo un piolo un volumetto ilindrio di lunghezza dl e area di base, on l asse orientato parallelamente a E e quindi anhe a J = σ E: La orrente he attraversa la base è data da I = J ˆn, dove ˆn è il versore normale alla base e usente dal ilindretto. Sostituendo la legge di Ohm loale, abbiamo I = J ˆn = σ E ˆn 3 ttenzione a non onfonderla on la densità superfiiale di aria, molto indiata on la stessa lettera grea σ. 9

10 ! J = σ! E d! l Figura 6: ilindretto di onduttore ohmio perorso da orrente ioè E ˆn = I σ la aduta di potenziale tra la base di sinistra e quella di destra del ilindro vale quindi dv = E dl = E ˆndl = I dl σ ioè dv = IR dove R = ρ dl è hiamato resistenza del tratto di onduttore lungo dl, e ρ 1 σ è detta resistività del materiale ohmio. In generale, integrando lungo un tratto finito di onduttore perorso da orrente I, la aduta di potenziale ai suoi api vale on V = Iρ 1 dl = IR 1 R = ρ dl Se la sezione del onduttore (ome aade per i avi) è ostante, la formula diventa sempliemente R = ρ dl La resistenza di un tratto di onduttore di resistività nota è proporzionale alla sua lunghezza e inversamente proporzionale alla sua sezione. Nel Sistema Internazionale l unità di misura della resistenza è l ohm: 1Ω = 1V/1 10

11 2.5 Effetto Joule La legge di Ohm è onseguenza di un meanismo on effetti molto simili all attrito visoso in meania. ome in quel aso, anhe qui la presenza di un attrito è ollegata a una dissipazione di energia meania, he viene onvertita in energia termia. onsideriamo un volume in ui sono presenti una densità di orrente J e un ampo elettrio E. Sappiamo he la veloità media dei portatori di aria è legata a J da v = J/nq Su una singola aria q il ampo elettrio ompie nel tempo un lavoro dw i = q E d r = q E v In un volumetto unitario i sono n portatori di aria, e dunque nel tempo il lavoro ompiuto dal ampo elettrio sulle arihe del volumetto vale dw = nq E v = J E (dove dw è un energia per unità di volume). Nel aso materiale ohmio si ha J = σ E, e per il ilindretto di figura??, di volume dl, il lavoro fatto nel tempo vale dw = (dl) dw = dl J E = dl JE = dl σe 2 = dl J 2 /σ dove abbiamo usato he J e E sono paralleli. Riordando he, sempre on questa geometria, J = I è la orrente he sorre nel ilindretto, e Edl = dv è la differenza di potenziale tra le due basi del ilindro, abbiamo dw = dlje = IdV = I 2 R dove abbiamo usato la forma della legge di Ohm dv = IR. Il lavoro dw ompiuto dal ampo elettrio nel tempo non si tradue in energia meania (marosopia) delle arihe, he mantengono la loro veloità media v. L energia viene onvertita in energia meania mirosopia (energia termia): dal punto di vista marosopio, si tratta di energia meania dissipata in alore (la resistenza si salda, ome sa hiunque abbia toato una lampadina a inandesenza o un ferro da stiro). Il fenomeno in questione è hiamato effetto Joule, ed è espresso dalla legge W = I 2 R 3 Generatori di tensione ideali Supponiamo di fornire una differenza di potenziale ostante V 0 ai api di un tratto di onduttore di resistenza nota R. Per far questo usiamo un generatore ideale di tensione (una batteria). Non i interessiamo in questa sede di ome funzioni un generatore di tensione (anor meno un generatore ideale): i basta sapere he sfrutta in genere reazioni elettrohimihe per separare arihe positive e negative ontro la forza elettrostatia he tenderebbe a riunirle, avendo ome 11

12 effetto quello di garantire una differenza di potenziale ostante e nota ai suoi api. Se olleghiamo i api di un generatore ideale di tensione V 0 a una resistenza nota R (dal punto di vista iruitale questo si shematizza rappresentando la resistenza tutta onentrata in un tratto del filo onduttore la ui resistenza è rappresentata onvenzionalmente da una linea a zig-zag), nella resistenza sorrerà in situazione stazionaria una orrente tale he V 0 = IR B V 0 I R D Figura 7: La resistenza R è ollegata a un generatore ideale di tensione V 0. Nel iruito sorre la orrente I = V 0 /R. Se moltiplihiamo entrambi i membri di questa equazione per I, otteniamo la sua interpretazione in termini di bilanio energetio: IV 0 = I 2 R Il termine a sinistra W = IV 0 rappresenta la potenza fornita dal generatore, il quale per garantire una differenza di potenziale ostante ai suoi api nonostante lo sorrimento di orrente separa arihe positive dalle negative al suo interno, spostando di fatto una aria dq = I da potenziale minore a potenziale maggiore, e ompiendo un lavoro W = dqv 0 = IV 0. ll termine a destra W = I 2 R rappresenta invee la potenza dissipata per effetto Joule dalla resistenza. L equazione dunque esprime sempliemente la onservazione dell energia: la potenza fornita dal generatore viene tutta dissipata (onvertita in energia termia) dalla resistenza. 4 Resistenze in serie e in parallelo Due resistenze (tratti di onduttore ohmio) R 1 e R 2 si diono ollegate in serie quando sono sullo stesso ramo di un iruito (nelle due sorre la stessa orrente), in parallelo quando sono su due rami diversi, e vengono sottoposte alla stessa differenza di potenziale. La trattazione è elementare una volta nota la legge di Ohm. 12

13 B B R 1 I=I 1 +I 2 V 0 V 0 I R 1 R 2 R 2 I 1 I 2 E D F E D I=I 1 +I 2 Figura 8: Resistenze ollegate in serie (a sinistra) e in parallelo (a destra). Resistenze in serie: Nelle due resistenze sorre la stessa orrente I (trattandosi dello stesso ramo di iruito o, se si preferise, a ausa dell equazione di ontinuità appliata a una superfiie hiusa he rahiude una delle resistenze, o entrambe) pertanto V B V = IR 1 V V D = IR 2 Poihé i tratti B e DE non hanno resistenza nella nostra shematizzazione, lungo quei tratti il potenziale rimane ostante e V = V B V D = V E Il generatore di tensione ideale garantise he, indipendentemente dal valore di I, V V E = V 0 Mettendo tutto insieme si ottiene on V 0 = IR 1 + IR 2 = IR eq R eq = R 1 + R 2 Due resistenze ollegate in serie sono equivalenti a un unia resistenza pari alla somma delle due. i api di iasuna resistenza si ha una aduta di potenziale proporzionale alla resistenza stessa: (partitore di tensione). V V D = R 2 R 1 + R 2 V 0 13

14 Resistenze in parallelo: Le orrenti he sorrono nelle due resistenze sono diverse: le relazioni sono in questo aso V B V E = I 1 R 1 V V D = V B V E = I 2 R 2 dove abbiamo usato he i tratti B e DE sono allo stesso potenziale non avendo resistenza apprezzabile nella nostra shematizzazione. Il generatore ideale garantise V V F = V 0, da ui V 0 = I 1 R 1 = I 2 R 2 La legge di Kirhhoff dei nodi i garantise he nel nodo B la somma algebria delle orrenti entranti è nulla, il he implia I = I 1 + I 2 dove I è la orrente he perorre il ramo B (e anhe il ramo EF : è lasiato al lettore ome eserizio dimostrare he le due orrenti sono uguali). Sostituendo I 1 e I 2 otteniamo I = V 0 /R 1 + V 0 /R 2 = V 0 ( 1 R R 2 ) = V 0 R eq on 1 R eq 1 R R 2 Due resistenze ollegate in parallelo sono equivalenti a una resistenza il ui inverso è la somma degli inversi delle resistenze date. Si noti he R eq < R 1, R eq < R 2. La orrente si suddivide tra i due rami in maniera inversamente proporzionale alle rispettive resistenze: I 1 I 2 = R 2 R Generatori di tensione reali Uno dei modi in ui si shematizza il omportamento di un generatore reale per differenziarlo da quello ideale è quello di attribuirgli una resistenza interna R int he viene onsiderata ollegata in serie a un generatore ideale di tensione. ollegandone i api a una resistenza esterna (resistenza di ario) R, si ha he la aduta di potenziale effettiva ai api di quest ultima sarà determinata dalla relazione trovata sopra per le resistenze in serie, in questo aso uguali a R int e R R V eff = V 0 < V 0 R + R int La aduta di potenziale effiae ai api del generatore reale tende alla tensione nominale V 0 nel limite R R int. 14

15 5 Saria del ondensatore Supponiamo di avere un ondensatore di apaità nota inizialmente ario on aria Q 0, he supponiamo per hiarire le idee positiva (in realtà il segno di Q 0 non ha nessuna importanza) Questo signifia he tra l armatura on aria Q 0 e quella on aria Q 0 sussiste una differenza di potenziale V = Q0. Supponiamo ora di stabilire al tempo t = 0 un ontatto elettrio tra le due piastre attraverso un filo di resistenza nota R, Il fatto he il ollegamento avvenga al tempo t = 0 viene realizzato on la hiusura di un interruttore (rappresentato aperto nel disegno di sinistra in figura), he onnette due tratti di iruito prima sonnessi, faendoli diventare di fatto lo stesso onduttore e permettendo il passaggio di aria B B Q 0 I = dq Q D D Figura 9: Saria di un ondensatore. sinistra, il ondensatore è inizialmente ario e l interruttore è aperto. destra, l interruttore è hiuso e nel iruito irola una orrente I = dq/. Prima della hiusura dell interruttore il sistema è all equilibrio elettrostatio ed è diviso in due onduttori distinti, he si trovano iasuno a un valore del potenziale: i punti, D, si trovano tutti a un potenziale he possiamo per onvenzione prendere uguale a zero. V = V = V D = 0 Il punto B si trova su un onduttore sonnesso dal resto e sta a un potenziale V B. Sappiamo dalla definizione di apaità he V B = V B V = Q 0 Quando hiudiamo l interruttore (t > 0) il iruito si hiude e il sistema diventa un unio onduttore, i ui punti non sono inizialmente tutti allo stesso 15

16 potenziale: non siamo in ondizioni di equilibrio, e all interno del onduttore i sarà uno spostamento di arihe (ioè un passaggio di orrente) per ristabilire l equilibrio. Sappiamo già quale sarà la situazione di equilibrio finale: il onduttore si troverà tutto allo stesso potenziale, dunque V B = V e la aria finale sul ondensatore sarà nulla. Dunque la aria Q si sposta dall armatura superiore a quella inferiore, dando luogo a una orrente positiva he irola in senso antiorario nel iruito (figura?? a destra). In realtà il verso della orrente è puramente onvenzionale, ome il segno della aria: l importante, selta una onvenzione, è aertarsi di usare i segni orretti nelle relazioni tra i vari ontributi nelle equazioni. vendo preso per onvenzione positiva la aria sull armatura superiore del ondensatore, e la orrente irolante in senso antiorario nel iruito hiuso DB, abbiamo he in ogni istante sono vere le seguenti relazioni: V B V = Q(t) V = V B V = V D V V D = I(t)R dove l ultima relazione è la legge di Ohm appliata al tratto D in ui supponiamo onentrata la resistenza del onduttore. Osserviamo he il segno è oerente on la nostra onvenzione di orrente positiva irolante in senso antiorario: se una orrente positiva sorre da verso D, l ampo elettrio all interno della resistenza va da a D, dunque V V D = IR > 0. Le quattro relazioni sono in realtà un esempio di appliazione (faile) della prima legge di Kirhhoff sui iruiti: la somma algebria delle differenze di potenziale lungo un perorso hiuso del iruito (maglia) è nulla. Mettendo insieme le quattro relazioni (di ui due in realtà totalmente banali) otteniamo I(t)R = Q(t) Rimane da stabilire la relazione tra I(t) e Q(t), he otteniamo dall equazione di ontinuità, onsiderando una superfiie hiusa attorno all armatura superiore del ondensatore: I(t) rappresenta la orrente usente dalla superfiie, seondo la nostra onvenzione, e Q(t) la aria interna. Dunque I(t) = dq Si noti il segno meno, he dipende dalla nostra selta di onvenzione (la orrente presa positiva quando irola in senso antiorario). Mettendo tutto insieme otteniamo un equazione differenziale per Q(t) dq = 1 R Q(t) 16 (9)

17 È la solita equazione differenziale del prim ordine, lineare e a oeffiienti ostanti, he ha ome soluzione Q(t) = Q 0 e t R La aria presente sul ondensatore derese esponenzialmente nel tempo, tendendo a zero on tempo aratteristio τ = R. La orrente I(t) ha un andamento esponenziale on lo stesso tempo aratteristio, e si ottiene derivando Q(t) o tramite l equazione??: 5.1 Bilanio energetio I(t) = Q(t) R = Q 0 R e t R Moltipliando la?? per I(t) a destra e a sinistra dell uguale, otteniamo I 2 R = I Q(t) ioè, riordando he nel nostro aso I(t) = dq, I 2 R = dq Q = d ( 1 2 Q 2 ) = du Di nuovo, possiamo interpretare l equazione in termini di bilanio energetio: l energia U = 1 Q 2 2 immagazzinata nel ondensatore diminuise nel tempo, e questa perdita è esattamente uguale all energia dissipata (in alore) dalla resistenza per effetto Joule. 6 aria del ondensatore onsideriamo ora il problema della aria di un ondensatore di apaità nota. Per ariarlo inseriamo nel iruito preedente un generatore ideale di tensione V 0. Prima della hiusura dell interruttore (figura?? a sinistra), se il ondensatore è sario le differenze di potenziale ai suoi api è nulla. Nel iruito non sorre orrente ed entrambe le armature si trovano allo stesso potenziale del polo negativo della pila. V B = V = V D Nel iruito non sorre orrente perhé, per ipotesi, si trova all equilibrio elettrostatio. I(t < 0) = 0 l tempo t = 0 si hiude l interruttore: il punto B viene portato istantaneamente a potenziale V 0, e osì il punto, visto he all inizio il ondensatore è sario e quindi non vi è differenza di potenziale tra le armature. Dunque inizialmente si ha he V V D = V 0 e dunque nella resistenza inizia a sorrere una orrente positiva I 0 = V 0 /R da verso D, ioè in senso orario nel iruito. l solito, nello srivere le equazioni il verso selto ome positivo per la orrente 17

18 B B Q V 0 V 0 I = dq D D Figura 10: aria di un ondensatore. sinistra, il ondensatore è inizialmente sario e l interruttore è aperto. destra, l interruttore è hiuso e nel iruito irola una orrente I = dq/. è ininfluente, a patto he la selta venga mantenuta oerentemente per tutte le relazioni oinvolte. Nel nostro aso, se prendiamo positiva la orrente he irola nel iruito in senso orario, abbiamo he le differenze di potenziale ai api dei vari elementi a un dato istante t sono: V V D = V 0 (non i sono resistenze tra e B) V = V B V B V = Q(t) V V D = I(t)R Mettendo tutto insieme otteniamo l equazione del iruito (prima legge di Kirhhoff): V 0 = Q + IR dove stavolta la relazione tra I e Q è data da I = dq 18

19 ome possiamo verifiare osservando he per ome abbiamo selto i segni onvenzionali, se I > 0 la aria Q sull armatura superiore del ondensatore aumenta. L equazione differenziale per Q(t) diventa quindi dq + Q R = V 0 R L equazione è di nuovo differenziale lineare del prim ordine, questa volta non omogenea, e ha ome soluzione la somma di una soluzione dell omogenea assoiata e di una soluzione partiolare. Q(t) = e t R + Q Una soluzione partiolare faile si trova imponendo la stazionarietà dq = 0, da ui ioè Q R = V 0 R Q = V 0 he oinide on il limite asintotio (nella situazione di nuovo equilibrio la differenza di potenziale ai api del ondensatore ario sarà uguale a quella del generatore, e nella resistenza non sorrerà più orrente). La ostante generia è determinata dalle ondizioni iniziali, nel nostro aso Q(t = 0) = 0. Imponendole otteniamo = V 0, ioè ( ) Q(t) = V 0 1 e t R La aria parte da zero e tende (on un esponenziale deresente rovesiato) al valore asintotio V 0. Derivando Q(t) otteniamo l andamento della orrente I(t) = V 0 R e t R La orrente vale inizialmente I(0) = V 0 /R, ome i aspettavamo dal ragionamento qualitativo, e tende a zero esponenzialmente on il tempo aratteristio τ = R (lo stesso he desrive la saria del ondensatore), he non dipende da V Bilanio energetio Moltipliando di nuovo l equazione del iruito per I otteniamo il aso più generale del bilanio energetio visto sopra (di ui quelli esaminati in preedenza sono asi partiolari) Q 2 V 0 I = d 2 + I2 R La potenza fornita dal generatore va in parte ad aumentare l energia U immagazzinata nel ondensatore, e in parte viene dissipata per effetto Joule nella resistenza. 19