Lagrangiana del campo elettromagnetico. Il campo elettromagnetico nel vuoto è descritto dalle equazioni di Maxwell (in unità MKSA)

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1 Lagrangiana del ampo elettromagnetio Il ampo elettromagnetio nel vuoto è desritto dalle equazioni di Maxwell (in unità MKSA) B = 0 () E = B (2) E = ϱ (3) ɛ 0 B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E L equazione di ontinuità ϱ + j = 0 (5) segue dalle (3) e (4) ed esprime la onservazione della aria elettria. La forza di Lorentz he agise su di una aria he si muove on veloità v è data dalla F = q(e + v B). (6) (4) Si possono introdurre i potenziali salare (φ) e vettore (A) ponendo B = A (7) E = φ A. (8) Evidentemente le equazioni (), (2) sono osì automatiamente soddisfatte. Inoltre gli stessi ampi E e B possono essere ottenuti da potenziali he differisano dai preedenti per una trasformazione di gauge del tipo { A = A + χ φ = φ χ (9). Utilizzando questa libertà si possono imporre ondizioni speifihe ai potenziali, quali (ad esempio) φ = 0 si suppone he la presenza della aria q di prova non alteri apprezzabilmente i ampi esterni E e B

2 oppure gauge di Coulomb, ovvero A = 0 A + 2 φ = 0 gauge di Lorentz. Allo sopo di derivare le equazioni di Maxwell da un prinipio di Hamilton, la Lagrangiana avrà la forma L = L partielle + L interazione + L ampo dove la Lagrangiana delle partielle libere avrà la forma L NR partielle = i 2 m iṙ 2 i (0) nel aso non relativistio, e L Rel partielle = i m i 2 ṙ2 i 2 () nel aso relativistio. In un primo tempo i aontenteremo di voler desrivere la orretta equazione del moto (dovuta alla forza di Lorentz) delle partielle arihe in un ampo elettromagnetio assegnato ed esterno 2. La Lagrangiana di interazione L interazione = (q i A(r i ) ṙ i q i φ(r i )) (2) i è in grado di riprodurla. Infatti l equazione di Lagrange d L dt ẋ L x = 0 2 Si suppone quindi he la presenza delle arihe non alteri apprezzabilmente il ampo elettromagnetio esterno. Per la disussione di tali ipotesi rimandiamo alla letteratura, noi i limiteremo a supporle soddisfatte. 2

3 orrispondente alla oordinata x dell i-ma partiella (l indie è omesso per brevità di notazione) appliata alla Lagrangiana L = L NR partielle + L interazione, diviene d dt (mẋ + qa x(r)) (qa(r) ṙ qφ(r)) (3) x e riordando he df = f + ṙ f, si ottiene: dt [ mẍ = q A x φ ] [ ( Ay + q ẏ x x A ) ( x Ax ż y z A )] z, (4) x he è proprio la prima omponente dell equazione m r = q(e + v B), he segue dalla (6). Un equazione analoga può essere riavata assumendo per le partielle libere una Lagrangiana relativistia del tipo (), in questo aso la variazione della quantità di moto assume la forma relativistia d dt (γmẋ) = dp x dt he risulta legata alla forza di Lorentz tramite: d dp (γmṙ) = dt dt (5) = q(e + v B). (6) Se invee di arihe puntiformi si onsidera una distribuzione ontinua di arihe e di orrenti, la Lagrangiana di interazione (2) prende la forma di un integrale L interazione = [j A ϱφ] d 3 r. (7) Notiamo he la funzione integranda è uno salare di Lorentz, infatti j A ϱφ = j µ A µ ). Non i resta he indovinare la Lagrangiana del ampo libero (L ampo ). Riordando he l energia del ampo è data da 2 [ ɛ 0 E 2 + µ0 B 2 ] d 3 r = 2 µ 0 [ E 2 ] + 2 B2 d 3 r (8) e he una diversa ombinazione delle stesse quantità (ovvero E 2 / 2 B 2 ) si ridue ad uno salare di Lorentz, proporzionale a F µν F µν = 2(B 2 E 2 / 2 ), potremmo assumere L ampo = [ ɛ 0 E 2 ] B 2 d 3 r. (9) 2 µ0 3

4 La giustifiazione di questa selta risiede nel fatto he da essa derivano le equazioni di Maxwell (3) e (4) (le altre due sono automatiamente soddisfatte ome onseguenza delle (7),(8). Consideriamo il prinipio di Hamilton δs = δ = δ t2 dt [L ampo + L interazione ] = d ( ɛ 0 E 2 ) B 2 + j A ϱφ d 3 r = 0. (20) 2 µ0 t2 Le viariazione di A e φ devono soddisfare le ondizioni δa( ) = δa(t 2 ) = δφ( ) = δφ(t 2 ) = 0 (2) ed i ampi δa e δφ dovranno annullarsi abbastanza rapidamente all infinito. Dalle (7),(8) ed usando le identità: si ha (poihé ɛ 0 = 2 µ o ) 2µ o 2 δe2 = (fv) = f V + V f (V U) = V U + U V µ 0 E δe = 2 µ 0 E 2 δa µ o E δφ = 2 = E (E δa) + µ 0 2 µ 0 2 δa + (E δφ) + E δφ ; (22) µ 0 2 µ 0 2 inoltre: 2µ o δb 2 = µ 0 B δb = µ 0 B δa = = + µ o (B δa) µ 0 δa B ; (23) Sostituendo queste variazioni nella (20) si ottiene: 4

5 t2 δs = dt {[ ] d 3 E r µ o 2 B + µ 0 j + [ E ] ϱ δφ + 2 ɛ 0 δa + [ (E δφ) 2 (B δa) + 2 ]} + (E δa) = 0 (24) Il termine t 2 dt d 3 r µ o [E δφ 2 B δa] si può trasformare in un 2 integrale di superfiie he si annulla quando la superfiie tende all infinito, mentre il termine t 2 dt d 3 r µ o (E δa) si annulla in virtù delle ondizioni (2). In onlusione la ondizione di stazionarietà dell azione e quindi 2 l arbitrarietà di δφ e δa implia E 2 B + µ 0 j = 0 E ɛ 0 ϱ = 0 (25) he orrispondono alle equazioni di Maxwell (3), (4), non omogenee nei ampi (le altre due seguono dalle definizioni (7), (8)). Si è dunque ottenuta la Lagrangiana ompleta per desrivere le partielle arihe ed i ampi. Ci si può domandare ome la Lagrangiana vari a ausa di una trasformazione di gauge (9). Solo la Lagrangiana di interazione verrà modifiata per l aggiunta di un termine del tipo d 3 r [ j χ + ϱ χ ] = d 3 r (j χ) + + d d 3 r ϱ χ + dt [ d 3 r j + ϱ ]. (26) Il primo termine del seondo membro può essere trasformato in un integrale di superfiie he si annulla quando la superfiie tende all infinito, il seondo 5

6 termine si annulla perhé è una derivata totale rispetto al tempo ed è inessenziale quando inserito nel prinipio di minima azione, l ultimo termine si annulla per il prinipio di onservazione (5). Dunque l invarianza della teoria per trasformazioni di gauge è strettamente onnessa alla onservazione della aria elettria. Vorremmo ora rifare il persorso fatto utilizzando il formalismo quadridimensionale per renderi onto he il linguaggio naturale è proprio quello tensoriale nello spaziotempo. Iniziamo ol onsiderare la Lagrangiana di una partiella aria in un ampo elettromagnetio esterno (fr. eqs. (),(2)) e quindi l azione S = = t2 dt m 0 2 v2 e (φ A v) 2 [ m 0 ds ea µ dx µ ] (27) dove si è fatto uso delle relazioni ds = d v2 ed A 2 µ dx µ = ( φ dt A r). La (27) è manifestamente invariante per trasformazioni di Lorentz. Appliando ora il prinipio variazionale alla preedente azione vogliamo riavare le equazioni del moto in forma ovariante. Supporremo (vedi note,2) he i ampi siano dati e he possiamo variare solo le traiettorie on la ondizione di stazionarietà ai tempi, t 2. Si ha δs = δ [ m 0 ds ea µ dx µ ] = = = = [ m 0 2 dx µ dδx µ ] δa µ dx µ ea µ dδx µ = 2 ds [ m 0 u µ dδx µ e ( ν A µ ) δx ν dx µ e A µ dδx µ ] = [ m 0 u µ dδx µ e ( ν A µ ) δx ν dx µ e A µ dδx µ ]. (28) = Aµ Si sono usate le relazioni ds = dx µ dx µ, δa µ δx ν = ( x ν ν A µ ) δx ν, u µ = dxµ. Il primo termine può essere integrato per parti: ds [ m 0 u µ dδx µ ] = [ m 0 u µ δx µ ] t 2 + du µ m 0 δx µ = zero + du µ m 0 δx µ, 6

7 a ausa delle ondizioni δx µ ( ) = δx µ (t 2 ) = 0. Anhe il termine di interazione ontiene ontributi he possono essere integrati per parti per arrivare anhe qui ad una forma del tipo [...] δx µ. Infatti si ha: e [( ν A µ ) δx ν dx µ + A µ dδx µ ] = { } = e [( ν A µ ) δx ν dx µ da µ δx µ ] + [A µ δx µ ] t 2. (29) Anhe in questo aso il termine integrato è nullo mentre l espressione restante può essere risritta utilizzando la definizione da µ = Aµ dx ν = ( x ν ν A µ ) dx ν e sambiando gli indii muti ν µ e [( ν A µ ) δx ν dx µ ( ν A µ ) dx ν δx µ ] = = e [ µ A ν ν A µ ] dx ν δx µ = = e F µν dx ν δx µ. (30) In onlusione, mettendo insieme i vari ontributi alla variazione dell azione si ottiene δs = [du µ m 0 δx µ e F µν dx ν δx µ ] = [ du µ = m 0 ds e F dx ν ] µν δx µ ds = 0. (3) ds La preedente equazione(3) sarà soddisfatta per un arbitaria variazione delle oordinate δx µ se du µ m 0 ds = e F dx ν µν ds he generalizza l espressione della forza di Lorentz ottenuta nella (6). Infatti la parte spaziale dell equazione (µ =, 2, 3) è failmente verifiata essere proprio γ d dt (γm 0ṙ) = γ dp = γq(e + v B), (32) dt ovvero la itata equazione di Lorentz (6). La parte temporale (µ = 0) ontiene informazioni sulla onservazione dell energia ed è riduibile alla forma d ( γm0 2) = e E v. (33) dt 7

8 Ovvero la variazione di energia totale (he oinide on la variazione dell energia inetia) della partiella è uguale al lavoro per unità di tempo he il ampo elettrio esterno ompie sulla partiella aria (il ampo magnetio non ompie infatti lavoro). Ultimo passo è ora riavare le equazioni di Maxwell in forma ovariante dal prinipio variazionale per la Lagrangiana del ampo elettromagnetio (20) δs = δ = δ = δ t2 dt [L ampo + L interazione ] = t2 d ( ɛ 0 E 2 ) B 2 + j A ϱφ d 3 r = 2 µ0 { [ j µ A µ + ] } F µν F µν dω = 0 (34) 4µ o dove si è fatto uso delle osservazioni già formulate disutendo le equazioni (7) e (8) e si è sritto l elemento di volume in quattro dimensione dω = dt d 3 r = dx 0 dx dx 2 dx 3 Le variazioni si ottengono dalle δ (F µν F µν ) = 2 F µν δf µν = 2 F µν [ µ (δa ν ) ν (δa µ )] = = 2 [F µν µ (δa ν ) F µν ν (δa µ )] = = 4 F µν ν (δa µ ), (35) dove si è usata la proprietà di antisimmetria del tensore elettromagnetio sambiando gli indii muti ν µ, ovvero F µν µ (δa ν ) = F νµ ν (δa µ ) = F µν ν (δa µ ). La variazione della parte di interazione è legata alla semplie variazione del potenziale essendo le sorgenti fissate, quindi la variazione totale (34) si ridue a δs = [ δ dω j µ A µ + ] F µν F µν = 4µ 0 = [ dω j µ δa µ ] 4 F µν ν (δa µ ) = 4µ 0 = [ dω j µ δa µ ] [ ν (F µν δa µ ) ν (F µν ) δa µ ] (36) µ 0 dove si è fatto uso dell integrazione per parti ottenuta da ν (F µν δa µ ) = ν (F µν ) δa µ + F µν ν (δa µ ). Ora il teorema di Gauss può essere appliato 8

9 all integrale di volume della quadridivergenza ν (F µν δa µ ) riduendosi ad un integrale di superfiie attraverso l uguaglianza dω ν (F µν δa µ ) = ds ν (F µν δa µ ) = 0. (37) L annullarsi dell integrale di superfiie è dovuto al fatto he le variazioni del potenziale si annullano agli estremi nella variabile tempo, mentre alla superfiie tri-dimensionale all infinito si annullano a ausa del loro andamento asintotio sulle oordinate spaziali. In onlusione la variazione si ridue δs = dω [ j µ + µ 0 ν (F µν ) ] δa µ = 0. (38) Le variazioni δa µ sono arbitrarie in osservanza del prinipio di minima azione e quindi i oeffiienti di δa µ devono essere nulli, ovvero: ν F µν = µ 0 j µ, (39) he rappresentano la forma ovariante delle equazioni di Maxwell non omogenee ome si può failmenete dimostrare. Infine possiamo failmente dimostrare (in forma ovariante) he l azione del ampo elettromagnetio S = dω [ j µ A µ + ] F µν F µν 4µ o (40) è invariante per tasformazioni di gauge (9), he in forma quadrimensionale si possono srivere A µ = A µ µ χ. (4) La trasformazione (4) lasia il tensore F µν ampi he ne sono le omponenti), infatti invariato (ome aade per i F µν = µ A ν ν A µ = F µν µ ν χ + ν µ χ = F µν. Le trasformazioni (4) produono nel termine di interazione la trasformazione da S ad S, S int = dω j µ A µ = { dω j µ A µ } dω j µ µ χ = 9

10 = { } dω j µ A µ dω [ µ (j µ χ) ( µ j µ ) χ] = = { } dω j µ A µ ds µ (j µ χ) dω ( µ j µ ) χ = = dω j µ A µ = S int, (42) dove l ultima uguaglianza (he dimostra l invarianza dell azione per trasformazioni di gauge), segue dall annullarsi dell integrale di superfiie ds µ (j µ χ) = 0 ottenuto dall appliazione del teorema della divergenza e per l annullarsi dei ampi sulla superfiie, e dalla onservazione della aria µ j µ = 0. Ne segue he l azione è invariante per trasformazioni di gauge grazie alla onservazione della aria (e vieversa). 0