Università degli studi di Padova. Teoria di gauge U(1), aspetti fisici e matematici

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1 Università degli studi di Padova Dipartimento di Fisia e Astronomia Galileo Galilei Corso di Laurea Triennale in Fisia Teoria di gauge U(1), aspetti fisii e matematii Relatore: Prof. Maro Matone Laureando: Andrea Cristofoli Anno Aademio 2013/2014

2 Indie 1 Introduzione Le equazioni fondamentali dell elettrodinamia Elementi matematii in teoria di gauge Gruppo di Lie Algebra di Lie Fibrato prinipale Connessioni su fibrati prinipali forma di onnessione forme di urvatura Teoria di gauge U(1) Quadripotenziale Tensore di ampo elettromagnetio Invarianza di Gauge Identità di Bianhi Equazione di Maxwell e Lorentz Teorie di Yang-Mills Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio Sistema lassio Trasformazione di gauge in meania lassia Sistema quantistio Trasformazioni di gauge in meania quantistia Legame tra trasformazioni di gauge in meania lassia e quantistia 18 5 Dinamia di una partiella aria in un ampo magnetio ostante Sistema lassio Sistema quantistio: i livelli di Landau Prinipi di indeterminazione nel aso quantistio

3 Capitolo 1 Introduzione L universo in ui viviamo è desritto da quattro forze fondamentali: l interazione elettromagnetia, la forza di gravità, la forza nuleare debole e forte. Sopo ultimo della fisia teoria è quello di mostrare un unità alla base di quest ultime, osì da poter avere una sola teoria in grado di desrivere ogni fenomeno naturale. A tal proposito le teorie di gauge hanno ottenuto un enorme suesso permettendo l unifiazione dell interazione elettromagnetia on la forza nuleare, sia debole he forte, dando luogo ad un unio riferimento teorio denominato modello standard. La prima parte della tesi mira a desrivere la struttura geometria di queste teorie fondamentali. L idea alla base, he verrà suessivamente esposta on maggior rigore, è di assoiare ad ogni punto dell universo un gruppo di Lie dalla ui algebra far disendere diversi elementi di interesse fisio per la desrizione delle forze fondamentali. Si mostrerà ome l elettromagnetismo sia una teoria di gauge on gruppo di Lie U(1) e ome il quadripotenziale e il tensore di ampo elettromagnetio siano elementi della sua algebra, in partiolare si desriverà l origine geometria dell invarianza di gauge aennando alla possibilità di ottenere il modello standard tramite gruppi di dimensione maggiore. Nella parte suessiva del lavoro di tesi studieremo il omportamento di uno stato fisio sotto trasformazioni di gauge. Nel aso di una partiella aria in un ampo elettromagnetio mostreremo ome sia lo stato hamiltoniano lassio he il orrispondente quantistio non siano invarianti per trasformazioni di gauge, un fatto non banale he porta ad interrogarsi sull invarianza delle equazioni di Hamilton e di Shroedinger sotto trasformazioni di gauge. Queste questioni sono state affrontate erando di verifiare se l introduzione del quadripotenziale sia ompatibile on i postulati della meania quantistia non relativistia, in partiolare tramite l approssimazione semi-lassia si è erata una orrispondenza tra le trasformazioni di uno stato lassio e quantistio per ambi di gauge. Volendo esemplifiare gli argomenti esposti, studieremo infine il omportamento di una partiella aria in un ampo magnetio ostante. Il sistema verrà studiato sia a livello lassio he quantistio, mostrando fenomeni he non hanno un orrispettivo lassio ome i livelli di Landau e i prinipi di indeterminazione sulla veloità della partiella e sul suo entro di rotazione. 2

4 Capitolo 1. Introduzione 1.1 Le equazioni fondamentali dell elettrodinamia Sia dato un sistema di n partielle di aria q i e massa m i on quadridensità di orrente totale j µ e un tensore di ampo elettromagnetio F µν. Sia y µ i (s i) la linea di universo della partiella i-esima parametrizzata on il orrispondente tempo proprio s i, e siano u µ i e p µ i la quadriveloità e il quadrimpulso assoiato. La dinamia del ampo elettromagnetio e delle n partielle arihe sarà regolata dalle seguenti equazioni [2] ε µνϱσ ν F ϱσ = 0 µ F µν = j ν dp µ i ds i (s i ) = q i F µν u ν (s i ) Queste sono le equazioni fondamentali dell elettrodinamia sritte in forma ovariante a vista per azione del gruppo di Lorentz proprio. La prima vinola la forma assunta dal ampo elettromagnetio e porta il nome di identità di Bianhi. In geometria differenziale è verifiata da 2-forme di urvatura su fibrati prinipali onnessi, questo deriva dal fatto he l elettromagnetismo è una teoria di gauge abeliana ambientata su un fibrato prinipale P (M, U(1)) on M varietà C di dimensione 4 e gruppo di struttura U(1). [1] La seonda equazione è di arattere dinamio e lega il ampo elettromagnetio alle sue sorgenti, la terza è la forma ovariante della forza di Lorentz per una partiella aria. Entrambe possono essere riavate da un prinipio variazionale grazie all esistenza del quadripotenziale A µ.

5 Capitolo 2 Elementi matematii in teoria di gauge Verranno introdotte le nozioni fondamentali in una teoria di gauge : gruppo e algebra di Lie, fibrato prinipale, 1-forme di onnessione e 2-forme di urvatura. 2.1 Gruppo di Lie Si definise gruppo di Lie [4] un gruppo (G, ) dotato di una struttura di varietà differenziabile tale per ui l appliazione interna G G G è differenziabile assieme alla orrispondenza inversa g g 1 on g G. Aluni esempi di gruppi di Lie, di grande utilizzo in fisia, sono U(n) = {M GL(n, C) : MM = id} SL(n, C) = {M GL(n, C) : detm = 1} SU(n, C) = U(n) SL(n, C) O(1, 3) = {M M 4 (R) : MηM t = η on η = d(1, 1, 1, 1)} I gruppi di Lie U(1), SU(2), SU(3), O(1, 3) sono alla base della formulazione geometria dell elettromagnetismo, dell interazione elettrodebole, del modello standard, e della relatività speiale. 4

6 Capitolo 2. Elementi matematii in teoria di gauge 2.2 Algebra di Lie Sia G un gruppo di Lie, si definise azione a sinistra 1 su G il diffeomorfismo L a : G G L a (g) = ag on a elemento di G. Una sezione X del fibrato tangente 2 si definise invariante a sinistra, e denoteremo l insieme di tali ampi on ζ(g), se dl a (X g ) = X ag ove dl a denota la mappa ottenuta dal differenziale d di L a 3 dl a : T g G T ag G Si dimostra ome l insieme ζ(g) sia isomorfo allo spazio tangente a G sull elemento identità, in partiolare ζ(g) dotato del braket di Lie 4 [, ] : ζ(g) ζ(g) ζ(g) ha una naturale struttura di gruppo. Si definise algebra di Lie [4] di G l insieme ζ(g) dotato del braket. A livello esemplifiativo, l algebra di Lie è una linearizzazione loale di G ompatibile on una struttura di gruppo. 2.3 Fibrato prinipale Si definise fibrato [1] la serie di elementi (E, π, M, F, G) in ui E è una varietà differenziabile detta spazio totale. M è un varietà differenziabile detta spazio base F è una varietà differenziabile detta fibra. π : E M è una suriezione detta proiezione ove l immagine inversa π 1 (p) = F p è hiamata fibra su p. G è un gruppo di Lie he agise sulla varietà F da sinistra. 1 Alternativamente si definise azione a destra il diffeomorfismo R a : G G R a (g) = ga In teoria dei gruppi la selta dell azione sinistra a dispetto di quella destra porta a risultati del tutto equivalenti. 2 Una sezione del fibrato tangente, anhe detta ampo vettoriale, è una appliazione C da M T M, he assoia ad un punto p M un vettore dello spazio tangente T p M. 3 Sia U i una arta per M tale da indurre una base naturale per lo spazio tangente a p M. In oordinate, dl a è lo jaobiano di L a, appliazione lineare sugli spazi tangenti. 4 Sia p M, lo spazio tangente T p M è isomorfo all insieme degli operatori lineari dalle funzioni f : M R in se stesse. Dati due ampi vettoriali X e Y si definise braket di Lie l operatore [X, Y ] = XY Y X

7 Capitolo 2. Elementi matematii in teoria di gauge Sia {U i } un rioprimento per M, allora U i φ : U i F π 1 (U i ) detta trivializzazione loale he verifia πφ i (p, f) = p, p M. Sia U i U j e φ i (p, f) = φ i,p (f) un diffeomorfismo φ i,p : F p F p. Si definise funzione di transizione t ij il diffeomorfismo t ij = φ 1 i,p φ j,p : U i U j U i U j t ij G In una teoria di gauge si utilizzano i fibrati prinipali, fibrati in ui il gruppo di struttura G e la fibra F oinidono. Nel seguito verrano denotati on P (M, G) ove P è lo spazio totale. 2.4 Connessioni su fibrati prinipali Sia u P, si definise sottospazio vertiale V u P il sottospazio di T u P tangente a G π 1 (u) e sottospazio orizzontale H u P il omplemento T u P \ V u P. Una onnessione [1] è una deomposizione unia di T u P nei sottospazi vertiale e orizzontale per ui T u P = V u P H u P Dato X T P! X H H u P X V V u P : X = X H + X V u P e g G vale H ug P = dr g (H u P ) La ostruzione di V u P avviene nel seguente modo: sia A ζ(g) e u P, usando la mappa esponenziale 5 si definise la urva a valori in P R exp(ta) (u) = u exp (ta) : t R la ui immagine tramite π è il punto fisso p = π 1 (u) M, osì he la urva sia ontenuta sulla stessa fibra. Definiamo ora A l operatore A f(u) = df dt (exp (ta)u) t=0 per un arbitraria f C (P ). Il vettore A sarà tangente a G p in u quindi A V u P, in partiolare la mappa A A sarà un isomorfismo tra g e V u P. Questo permette di definire V u P a partire dall algebra di Lie. 5 In teoria dei gruppi la mappa esponenziale exp : g G è un isomorfismo loale tra gli elementi dell algebra e del gruppo di Lie he assoia ad ogni ampo vettoriale invariante a sinistra il orrispondente flusso ad un istante fissato, e vieversa. Questo permette di riostruire, almeno loalmente, un gruppo a partire dalla orrispondente algebra.

8 Capitolo 2. Elementi matematii in teoria di gauge forma di onnessione Si definise 1-forma di onnessione [1] una appliazione ω g T P he verifia: 6 ω(a ) = A : A g Rg(ω) = Ad g 1(ω) : X T (M), Rg(ω)(X) = g 1 ω u (X)g. Per ostruzione una 1-forma di onnessione su P (M, G) indue una onnessione sul fibrato, e vieversa: questo mostra ome le due definizioni siano equivalenti, in partiolare fornise un interpretazione geometria per le 1-forme a valori su un algebra di Lie. Il arattere loale di una 1-forma di onnessione dipenderà dalla arta U i di P e potrà esprimersi ome A i = σ i ω ɛ g Ω 1 (U i ), σ : P U i Con U i U j, avremo due 1-forme loali rappresentati la medesima a livello globale: per l uniità di ω questo si tradurrà in una vinolo di ompatibilità oinvolgente le funzioni di transizione t ij del fibrato prinipale e le 1-forme di onnessione loali: 7 A j = t 1 ij A it ij + t 1 ij dt ij forme di urvatura Sia ω una 1-forma di onnessione su un fibrato prinipale P (M, G), si definise 2-forma di urvatura [1] F la seguente appliazione 8 F = d P ω + ω ω : F Ω 2 (P ) ζ(g) Assegnata una arta U i di P la 2-forma di urvatura è loalmente definita ome F i = σ F F Ω 2 (U i ) ζ(g) Sia A i = A µ dx µ una 1-forma di onnessione loale on A µ g e dx µ Ω 1 (U i ), si è interessati agli elementi F µν g tali per ui F i = 1 2 F µν dx µ dx ν 6 Rg è il pullbak del diffeomorfismo R g, mentre Ad è il differenziale d del diffeomorfismo ad a : g aga 1 on ad a : G G 7 si noti ome questa legge di trasformazione sia la medesima per le 1-forme di onnessione su fibrati tensoriali: alla base di questa identità risiede il onetto generale di onnessione di Ehresmann, appliabile sia a fibrati prinipali he vettoriali. [4] 8 Si definise derivata esterna l appliazione d P he agise loalmente sulle n-forme di M, d M : Ω r (M) Ω r+1 (M), d(ω µ1,µ 2,..,µ r dx µ1 dx µ2... dx µr ) = ν ω µ1,µ 2,..,µ r dx ν dx µ1 dx µ2... dx µr Si definise prodotto esterno l appliazione he agise loalmente sulle n-forme di M assoiando trivialmente ad una n-forma ed m-forma la n + m-forma data dal prodotto.

9 Capitolo 2. Elementi matematii in teoria di gauge Un alolo espliito mostra la seguente uguaglianza F µν = µ A ν ν A µ + [A µ, A ν ] Nel aso siano assegnate su M due arte U i e U j non disgiunte, avremo he le orrispondenti 2-forme loali verifiheranno un vinolo di ompatibilità ome per le 1-forme di onnessione F i = t 1 ij F jt ij

10 Capitolo 3 Teoria di gauge U(1) In una teoria di gauge l universo viene onsiderato ome una varietà C di dimensione 4, ove una arta U i onsiste nella selta di un sistema di riferimento. La varietà universo viene poi dotata di un fibrato prinipale P (M, G) e di una 1-forma di onnessione. Nel aso dell elettromagnetismo si seglie su P (M, G) il gruppo di struttura U(1). 3.1 Quadripotenziale In questo ontesto una 1-forma di onnessione loale è il noto quadripotenziale A µ. Le funzioni di transizione del fibrato saranno le seguenti t ij : U i U j U(1) : t ij (p) = e iχ(p) : χ(p) R e faranno si he il vinolo di ompatibilità oinida on una trasformazione di gauge loale A j = t 1 ij A it ij + t 1 ij dt ij A µ j = Aµ i + µ χ 3.2 Tensore di ampo elettromagnetio Il gruppo U(1) è un gruppo abeliano, pertanto le ostanti di struttura della sua algebra di Lie sono nulle on [A µ, A ν ] = 0. Questo fa sì he una 2-forma di urvatura loale sia il tensore di ampo elettromagnetio F µν = µ A ν ν A µ 3.3 Invarianza di Gauge L invarianza di gauge emerge in maniera naturale osservando la forma dei vinoli di ompatibilità per le 2-forme di urvatura e 1-forme di onnessione F i = F j, A µ i = A µ j + µ χ Il fatto he una 2-forma di urvatura non dipenda dalla arta selta, equivale a dire he la forma del tensore di ampo elettromagnetio non dipende dal sistema di riferimento selto per desrivere l universo. [1] 9

11 Capitolo 3. Teoria di gauge U(1) 3.4 Identità di Bianhi La selta di U(1) ome gruppo di struttura per il fibrato prinipale di M omporta he una 2-forma di urvatura sia priva del termine A A on F = da Utilizzando il lemma di Poinaré [2] 1, avremo he la quale è l identità di Bianhi. In oordinate loali df = d da = 0 ε µνϱσ ν F ϱσ = 0 B = 0 e B = E t Questo risultato, oltre a mostrare l origine geometria di una delle tre equazioni fondamentali dell elettrodinamia, mostra ome alla base della teoria vi sia un ipotesi topologia sul arattere loale dello spazio-tempo, senza di essa infatti non sarebbe stata valido il lemma di Poinarè e non avremmo ottenuto l identità di Bianhi. 3.5 Equazione di Maxwell e Lorentz Per definire le restanti equazioni fondamentali dell elettrodinamia si utilizza il alolo variazionale. Sia F µν un tensore di ampo elettromagnetio in funzione dei potenziali A µ, e onsideriamo un sistema di n partielle arihe interagenti on il ampo: si tratta di individuare un funzionale dei potenziali A µ (x) e delle linee di universo y µ (λ) delle partielle dalla ui minimizzazione riavare le ultime due equazioni dinamihe. L azione è la seguente [2] I[A, y] = 1 F µν F µν d 4 x A µ j µ d 4 x Σ r m r ds r 4 R 4 R 4 R La giustifiazione di questo funzionale risiede nel fatto he i ampi A µ (x) e le linee di universo y µ (λ) minimizzano tale funzionale se e solo se verifiano le equazioni di Maxwell e di Lorentz rispettivamente. Questo importante risultato, la ui dimostrazione è qui omessa, permette l introduzione di una densità di lagrangiana per il ampo elettromagnetio e di una lagrangiana per la dinamia delle partielle arihe. Grazie al teorema di Noether si potranno riavare le prinipali leggi di onservazione dell elettrodinamia. Dall invarianza delle lagrangiane per traslazioni spazio-temporali si ottiene la onservazione del quadri-impulso totale mentre dall invarianza per ambi di gauge si riava la onservazione della aria elettria. 1 Il lemma di Poinaré afferma he ogni forma differenziale hiusa è loalmente esatta. Nel nostro aso, la loalità si tradue nella selta di una arta U i R 4 di M. Essendo R 4 topologiamente banale, il lemma sarà verifiato per ogni arta U i.

12 Capitolo 3. Teoria di gauge U(1) 3.6 Teorie di Yang-Mills Inidentalmente, faiamo notare he se al posto di U(1) avessimo dotato P (M, G) del gruppo di struttura U(1) SU(2) SU(3) avremmo ottenuto ome 1-forma di onnessione loale il potenziale di Yang-Mills e ome 2-forma di urvatura il tensore di Yang-Mills, elementi basilari nel modello standard. In oordinate il tensore di Yang-Mills assume la forma [1] F α µν = µ A α ν ν A α µ + f α βγa β µa γ ν ove il termine f α βγ denota le ostanti di struttura del algebra di Lie del gruppo U(1) SU(2) SU(3). L elettromagnetismo in partiolare emerge ome aso partiolare essendo le ostanti di struttura nulle per U(1), in quanto gruppo abeliano, e α = 1 per la dimensione del gruppo.

13 Capitolo 4 Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio In questa sezione, grazie ai risultati preedenti, si studierà la dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio esterno e si analizzerà il omportamento di uno stato lassio e quantistio sotto una trasformazione di gauge. 4.1 Sistema lassio La forza subita da una partiella aria in un ampo elettromagnetio è desritta in notazione vettoriale dall equazione di Lorentz F = ee + 1 v B ove e è la aria elettria, E e B sono i ampi elettrio e magnetio esterni e v la veloità della partiella. Sia la dinamia del ampo elettromagnetio he di una partiella aria in esso disendono da un prinipio variazionale. Questo garantise l esistenza di una lagrangiana e permette di studiare il sistema in ambito hamiltoniano, ondizione neessaria per la suessiva quantizzazione. Sia A µ = (φ, A), la lagrangiana sarà d dt ( L v ) L q L = mv2 2 + eva eφ(q, v) = 0 F = ee + v B Il passaggio all ambito hamiltoniano avviene tramite il seguente diffeomorfismo [8] T : (q, v) (q, p), p = L v (q, v) : det( 2 L v v ) 0 in ui p si definise impulso generalizzato. Questo diffeomorfismo loale fa si he le equazione di Eulero-Lagrange, ambientate sullo spazio degli atti di moto (q, v), siano equivalenti alle equazioni di Hamilton, ambientate sullo spazio delle fasi (q, p). 12

14 Capitolo 4. Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio Definendo hamiltoniana la funzione H(q, p) = pv(q, p) L(q, v(q, p)), le equazioni di Hamilton saranno dq H(q, p) (t) = dt p dp p) (t) = H(q, dt q Nel nostro aso L = mv2 2 + eva ( ) 2 L eφ(q, v) : det = m 0 v v Questo implia l esistenza di un diffeomorfismo loale L hamiltoniana del sistema sarà. T : (q, v) (q, p) : p = mv + H = 1 2m ( p ea(q, t) ) 2 ea(q, t) + eφ(q, t) 4.2 Trasformazione di gauge in meania lassia A questo punto è interessante studiare il omportamento di uno stato hamiltoniano (q, p) sotto una trasformazione di gauge A µ A µ + µ χ Le oordinate q per trasformazioni di gauge non ambiano, iò he ambia invee è l impulso generalizzato p q = q, p = p 1 e χ Lo stato hamiltoniano di una partiella aria non è invariante per trasformazioni di gauge, e questo ha diverse onseguenze. Sia infatti F una funzione dello stato hamiltoniano (q, p) a t 0. Se per trasformazioni di gauge trasforma anhe F si dovrà onludere he questa funzione non è misurabile, questo poihè una grandezza fisia non può dipendere dalla gauge selta per desriverlo. Pertanto F è misurabile se e solo se sotto trasformazioni di gauge è invariante in forma [3]. Le oordinate q e l impulso anonio mv sono invarianti per trasformazioni di gauge, e dunque misurabili, questo in quanto le grandezze inematihe di una partiella aria soddisfano l equazione di Lorentz, la quale è manifestamente gauge-invariante. Analogamente è misurabile il momento angolare L = q mv, mentre un disorso a parte è da svolgersi per l hamiltoniana. Sia H la hamiltoniana di una partiella

15 Capitolo 4. Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio aria in un generio ampo elettromagnetio ed eseguiamo una trasformazione di gauge. H(q, p, t) = 1 ( p 2m ea(q, t) q = q, p = p 1 e χ ) 2 + eφ(q, t) H (q, p, t) = H(q, p, t) + 1 χ (q, t) t L hamiltoniana di una partiella aria non è invariante sotto trasformazioni di gauge, un fatto he porta al seguente interrogativo: Le equazioni di Hamilton sono invarianti in forma sotto trasformazioni di gauge? La risposta è positiva. Si osservi il omportamento dell azione di una partiella aria sotto trasformazioni di gauge. A µ A µ + µ χ R L(q(t), v(t), t)dt L(q(t), v(t), t)dt e R R dχ (q(t), t)dt dt Assumendo χ nullo all infinito [2] si riava l invarianza del funzionale azione sotto trasformazioni di gauge. Questo implia he le equazioni di Eulero-Lagrange, minimo del funzionale, saranno anh esse invarianti. Essendo quest ultime equivalenti alle equazioni di Hamilton si dimostra la loro invarianza in forma sotto trasformazioni di gauge. 4.3 Sistema quantistio Per poter studiare il preedente sistema a livello quantistio risulta neessario utilizzare le regole di quantizzazione anonihe: quest ultime, a seonda delle ategorie Cat(M) 1 adottate per desrivere la meania lassia e quantistia, possono essere viste ome l azione di un funtore F : Cat(M.Classia) Cat(M.Quantistia) he assoia ad ogni varietà simplettia della meania hamiltoniana uno spazio di Hilbert desrivente l insieme dei possibili stati di un sistema quantistio. Data una arta loale U i su una varietà simplettia, osì da lavorare su uno spazio delle fasi in oordinate (q, p), si proede assoiando alle variabili q l operatore posizione Q, e 1 Una ategoria onsiste in un insieme di elementi M, detti oggetti, e in un insieme di mappe f : M M detti morfismi. Un funtore è una mappa tra due ategorie F : Cat(A) Cat(B) he ad ogni oggetto e morfismo di Cat(A) ne assoia uno in Cat(B).

16 Capitolo 4. Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio all impulso generalizzato p l operatore impulso P. Dovendo essere ogni grandezza fisia funzione delle q e delle p, si avrà la quantizzazione anonia di tutte le grandezze, nel senso he ad ogni grandezza lassia sarà assoiato un operatore autoaggiunto e osservabile su uno spazio di Hilbert. Questa sostituzione tuttavia è molto deliata e ad alune grandezze lassihe non è possibile assoiare un operatore autoaggiunto. 2 Per una partiella aria in un ampo elettromagnetio la funzione hamiltoniana è H = 1 ( p 2m ) 2 ea(q, t) + eφ(q, t) Si applihino le regole di quantizzazione anonihe q Q : H H p P : H H L operatore hamiltoniano assoiato sarà autoaggiunto e osservabile, ovvero H = 1 ( P 2m ) 2 ea(q, t) + eφ(q, t) In base ai postulati della meania quantistia tale operatore definise la dinamia di uno stato vettore Ψ > del sistema, in partiolare la orrispondente equazione agli autovalori fornise lo spettro di tutte le possibili energie fisiamente misurabili. Osservazione Una peuliarità di questo sistema risiede nel fatto he p = L (q, v) mv q Le regole di quantizzazione anonihe si appliano all impulso generalizzato p = L(q, v) e non a quello anonio mv. L operatore P ottenuto sarà autoaggiunto ed q osservabile per definizione, tuttavia il suo spettro sarà formato dagli impulsi generalizzati p = mv + Ae, non misurabili in quanto non invarianti sotto trasformazioni di gauge. Si è nel aso in ui un operatore P è autoaggiunto ma il suo spettro non è misurabile. Per renderlo tale è neessario fissare una gauge, solo osì potrà stabilirsi il signifiato fisio o meno dello spettro. A tal proposito verrà affrontato lo studio dei livelli di Landau, in grado di mettere in evidenzia le onseguenze della differenza tra l impulso generalizzato e anonio. 2 Nell ambito della teoria delle ategorie è stato dimostrato un teorema no-go per polinomi nelle q e nelle p di ordine superiore al terzo. Ad essi non è possibile assoiare un operatore autoaggiunto e osservabile.

17 Capitolo 4. Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio 4.4 Trasformazioni di gauge in meania quantistia L Hamiltoniano di una partiella aria in un ampo elettromagnetio, dipende espliitamente dal quadripotenziale A µ H = 1 ( P e ) 2 2m A(Q, t) + eφ(q, t) Poniamoi per sempliità in assenza di ampo elettrio, ovvero φ(q, t) = 0 da (q, t) = 0 dt una selta he non andrà ad influenzare il ragionamento suessivo. Eseguendo una trasformazione di gauge sull operatore H si ottiene H = 1 ( P e 2m A(Q, t) e ) 2 χ(q, t), H H Un omportamento analogo si risontra nell operatore Π = P ea il ui spettro è mv, grandezza lassiamente misurabile. Eseguendo una trasformazione di gauge si ottiene Π = Π e χ, Π Π Questi ed altri esempi portano alla seguente onlusione : In meania quantistia gli operatori assoiati a grandezze lassihe misurabili non sono invarianti sotto trasformazioni di gauge, vieversa gli operatori assoiati a grandezze non misurabili sono invarianti sotto trasformazioni di gauge. [3] A prima vista questo sembra minare la onsistenza interna della meania quantistia in quanto dipendendo l operatore dalla gauge, sembra he lo sia anhe il suo spettro. Tuttavia lo spettro è determinato a partire da una equazione agli autovalori su H, oinvolgente oltre he un operatore, anhe gli stati vettore Ψ >. Rimane pertanto da individuare la trasformazione di uno stato quantistio Ψ > sotto ambi di gauge, il fatto stesso poi he debba modifiarsi lo stato del sistema è strettamente legato alla trasformazione del orrispondente stato lassio, ome si mostrerà piu avanti. Trasformazione unitaria dello stato vettore sotto ambio di gauge In ambito lassio siano p = mv + e A, p = p e χ

18 Capitolo 4. Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio l impulso generalizzato ed il orrispondente sotto una trasformazione di gauge. Applihiamo ad entrambe queste grandezze lassihe le regole di quantizzazione anonihe ottenendo rispettivamente gli operatori P e P = P e χ. Si rihiede he un ambio di gauge sugli operatori P e P mandi l uno nell altro osì da rendere ommutativa la quantizzazine anonia on le trasformazioni di gauge. Questo è equivalente alle seguenti ondizioni sugli operatori e sui loro domini: < Ψ Q Ψ >=< Ψ Q Ψ > < Ψ P Ψ >=< Ψ P e χ Ψ > < Ψ Ψ >=< Ψ Ψ > Si nota subito he affinhè queste equazioni siano verifiate è neessario he lo stato 3 vettore Ψ > trasformi mediante l azione di un operatore unitario T χ (t) su H. La rihiesta su T χ (t) risiede nel fatto he un operatore unitario preserva la norme su H, in questo aso T χ (t) manterrà valida l interpretazione probabilista assoiata alle funzioni d onda. L attenzione ora si sposta sulla determinazione dell operatore unitario. Dalla prima e della seonda equazione, mediante Ψ >= T χ (t) Ψ >, si riavano i seguenti vinoli per T χ (t): T χ(t)qt χ (t) = Q T χ(t)p T χ (t) = P e χ Sfruttando il fatto he la trasformazione he stiamo erando è unitaria dalla prima riaviamo [T χ (t), Q] = 0. Questo implia if (Q,t) T χ (t) = e ove F (Q, t) è un operatore autoaggiunto. Sfruttando le relazioni di T χ (t) on P si riava la seguente relazione [P, T χ (t)] = F (Q, t)t χ (t) Analoga ad una equazione differenziale per F (Q, t): F (Q, t) = e χ La soluzione è F (Q, t) = F 0 (t) e χ(q, t). Ponendo a zero il primo termine, in quanto ostante moltipliativa per Ψ >, giungiamo alla seguente onlusione: Nella rappresentazione delle posizioni Q >, le funzioni d onda Ψ e Ψ sono ollegate da Ψ = e ie χ Ψ pertanto sotto un ambio di gauge è neessario rihiedere una trasformazione per lo stato vettore Ψ onsistente nell aggiunta di una fase variabile punto per punto nello spazio, il ampo salare χ. 3 Per definizione un operatore unitario U è un operatore il ui inverso oinide on l aggiunto.

19 Capitolo 4. Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio Invarianza dell equazione di Shroedinger per ambi di gauge In questa sezione si verifia l invarianza in forma dell equazione di Shroedinger sotto trasformazioni di gauge, fatto he se non fosse verifiato mostrerebbe una inonsistenza interna tra i postulati della meania quantistia. Per verifiare l invarianza siano Ψ >= T χ (t) Ψ > H = T χ (t)ht χ(t) e dχ dt lo stato e l operatore hamiltoniano trasformato sotto ambio di gauge. L equazione di Shroedinger si dirà invariante in forma se sono verifiate le seguenti ondizioni i d Ψ > dt = H Ψ > i d Ψ > dt = H Ψ > Per dimostrarlo assumiamo he Ψ > soddisfi l equazione di Shroedinger per H. Allora i d Ψ > = i dt χ(t) Ψ > +i T χ (t) d Ψ > dt dt dt Sfruttando la forma nota di T χ (t) e l ipotesi iniziale avremo i d Ψ > dt = ( e dχ dt + H ) Ψ > Ove si è posto H = T χ (t)ht χ (t) In tal modo i d Ψ >= H Ψ > H = H e dχ dt dt ma quest ultimo è proprio l operatore H trasformato per ambio di gauge. Si dimostra pertanto he l equazione di Shroedinger può essere sritta in una gauge arbitraria e he essa è invariante in forma per ambi di quest ultima. Tale risultato, non ovvio a priori, dimostra ome l invarianza di gauge per le equazioni di Maxwell sia onsistente on i postulati della meania quantistia lassia, faendo si he l evoluzione temporale di uno stato vettore non dipenda dalla gauge selta. 4.5 Legame tra trasformazioni di gauge in meania lassia e quantistia In ambito quantistio, ad una partiella viene assoiata una funzione d onda he rispetta un equazione differenziale lineare, l equazione di Shroedinger, in ambito lassio invee una partiella viene interpretata ome un punto materiale he si muove lungo preise traiettorie in base alle leggi di Newton. E evidente ome il legame tra meania lassia e quantistia sia molto simile a quello he interorre tra ottia ondulatoria e geometria, nella prima la lue viene studiata a partire da un ampo vettoriale he soddisfa delle equazioni lineari, le equazioni di Maxwell, nella seonda invee la lue si muove lungo perorsi definiti in base al prinipio di Fermat. Essendo l ottia geometria un aso limite dell ottia ondulatoria, si

20 Capitolo 4. Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio potrà sfruttare l analogia qui introdotta per definire il passaggio dalla meania quantistia alla meania lassia. Sia dunque E = a(q, t)e iφ(q,t) la omponente di un onda elettromagnetia on a ampiezza e φ fase dell onda. Il passaggio all ottia geometria avviene assumendo he la lunghezza d onda λ vari molto su piole distanze e he il perorso del raggio sia tale da minimizzare la differenza di fase tra gli estremi del perorso, prinipio di Fermat. Sia ora Ψ = a(q, t)e iφ(q,t) la funzione d onda di una partiella di modulo a e fase φ. Sulla base dell analogia preedente, si rihiede he il passaggio alla dinamia lassia avvenga assumendo he la lunghezza d onda di de Broglie vari molto su piole distanze, e he il perorso della partiella sia tale da minimizzare l azione S, prinipio di Hamilton. Questo è verifiato ponendo S(q) = φ(q), 0 La proporzionalità tra azione e fase permette di mettere in orrelazione il prinipio di Hamilton on quello di Fermat, osì he l uno implihi l altro. [6] Il limite per 0 invee agise sulla lunghezza d onda di de Broglie ome rihiesto. Questa proedura, he agise sulle funzioni d onda on l intento di riprodurre i risultati della meania lassia, porta il nome di approssimazione WKB, anhe detta approssimazione semilassia. A questo punto è interessante studiare l equazione agli autovalori per un hamiltoniano H in ambito semi-lassio. Sia dato un autostato Ψ(q) = a(q)e i S(q), 0 { 2 2m 2 + V (q)}ψ = EΨ Il laplaiano agise sia sul modulo he sul termine esponenziale dando luogo ad una equazione omplessa, dividendola in parte reale e immaginaria si ottiene 2 S(q)a(q) + 2 a(q) S(q) = a(q) + S(q) 2 2m a(q) 2m + V (q) = E Il limite per 0 da luogo all equazione di Hamilton-Jaobi ridotta Si ottiene pertanto il seguente risultato: S(q) 2 2m + V (q) = E Sia Ψ la funzione d onda di uno stato quantistio. In approssimazione semilassia, la fase S(q) è soluzione dell equazione di Hamilton-Jaobi del orrispondente sistema lassio.

21 Capitolo 4. Dinamia di una partiella aria in un ampo elettromagnetio Questo risultato permette di stabilire un legame tra le trasformazioni di guage degli stati lassii e i orrispondenti quantistii. In meania analitia infatti l equazione di Hamilton-Jaobi è ottenuta dalla sostituzione H(q, p) = E H(q, S(q)) = E In partiolare esiste un legame tra la fase della funzione d onda e l impulso generalizzato del orrispondente sistema hamiltoniano S(q) = p Riordando il omportamento di uno stato fisio sotto trasformazioni di gauge, si riava he una trasformazione su uno stato lassio ne indue una sul orrispondente quantistio, e vieversa p = p+ α : p = S p+ α = S S+ α = (S ) S = S+α Si ritrova in partiolar modo il risultato sugli stati vettori sotto trasformazioni di gauge preedentemente riavato Ψ = ae i S Ψ = ae i(s+α) Ψ = Ψe iα

22 Capitolo 5 Dinamia di una partiella aria in un ampo magnetio ostante Si studierà sia a livello lassio he quantistio la dinamia di una partiella aria in un ampo magnetio ostante ed elettrio nullo. Il sistema in questione è lassiamente risolvibile e la dinamia altrettanto semplie, a livello quantistio invee le regole di quantizzazione anonihe metteranno in risalto fenomeni he non hanno un orrispettivo lassio. 5.1 Sistema lassio Sia K un sistema di riferimento inerziale, sia esso il nostro laboratorio, e poniamo il ampo magnetio ostante B lungo la direzione vertiale z. A livello lassio la dinamia è elementare. Una partiella aria di aria q,è sottoposta alla forza F (q, v, t) = q v(t) B(q, t) pertanto la sua dinamia soddisfa le seguenti equazioni x(t) = v x 0 ω os ωt + x 0 y(t) = v y 0 ω sin ωt + y 0 z(t) = z 0 + v z0 t ove x 0, y 0, z 0, v x0, v y0, v z0 denotano le ondizioni iniziali. Lungo l asse z il moto è di partiella libera,nel piano x, y vi è invee un moto irolare uniforme di frequenza ω = eb e entro di oordinate (x m 0, y 0 ). 5.2 Sistema quantistio: i livelli di Landau L operatore hamiltoniano di una partiella aria in un ampo elettromagnetio è H = 1 ( P q ) 2 2m A(Q, t) + qφ(q, t) 21

23 Capitolo 5. Dinamia di una partiella aria in un ampo magnetio ostante Nel aso di un ampo magnetio ostante ed elettrio nullo, possiamo utilizzare l invarianza di gauge per porre φ(q, t) = 0 A(Q, t) t = 0 A questo punto l operatore H potrà esprimersi per esteso ome H = P 2 2m q (A(Q, t)p + P A(Q, t)) + q2 2m 2m 2 A2 (Q, t) Si noti ome l algebra operatoriale sia non abeliana, per questo si è espresso il termine AP + P A. In ogni aso possiamo porlo a 2AP grazie al fatto he [P, A] = i A In gauge di Coulomb A = 0 l hamiltoniano diviene H = P 2 2m e (A(Q, t)p ) + e2 m 2m 2 A2 (Q, t) e il potenziale vettore A potrà essere selto ompatibilmente on Si fissi la gauge on B = A A = B Q 2 A x = By A y = 0 A z = 0 Questa selta per il potenziale vettore fa sì he l hamiltoniano abbia la forma H = 1 ( P x + eby ) 2 + P y 2 2m 2m + P z 2 2m il ui pregio è quello di formare assieme a P x e P z un set ompatibile di osservabili he ommutano. Questo permette di risolvere simultaneamente le equazioni agli autovalori per H, P x, P z. In rappresentazione delle posizioni, l autostato Ψ soddisfa [6] i Ψ x = p xψ { 1 2m ( i x + eby i Ψ z = p zψ ) m 2 y + 2 }Ψ = EΨ 2m 2 z Le prime due equazioni indiano he la funzione d onda Ψ è di partiella libera e potrà esprimersi ome Ψ = e ipxx+ipzz Φ(y), ove Φ(y) è da determinarsi tramite l equazione per H. Sostituendo Ψ nella equazione per H si ottiene: Φ (y) + 2m (E p2 z 2m mω2 (y y 0 ) 2 )Φ(y) = 0 2

24 Capitolo 5. Dinamia di una partiella aria in un ampo magnetio ostante ove si è posto ω = eb e y m 0 = px. Questa equazione è formalmente identia all equazione di Shroedinger per l osillatore armonio unidimensionale on frequenza eb ω e punto attorno alla quale avvengono le osillazioni dato da y 0. [5] Sfruttando l analogia avremo he le possibili energie del sistema in esame saranno quantizzate, a differenza del orrispettivo lassio, e avranno la forma L autostato assoiato è E = (n )ehb m + p2 z 2m Ψ = e (ipxx+ipzz) e ( eb(y y 0 )2 2h ) H n eb(y y0 ) h in ui H n india i polinomi di Hermite al variare del numero quantio n. La divisione dei livelli energetii in stati disreti porta il nome di Livelli di Landau. Correzione ai livelli di Landau ed equazione di Dira Qualsiasi partiella può essere lassifiata ome fermione o ome bosone, avendo pertanto spin semi-intero o intero. La presenza dello spin, nei livelli di Landau, si ottiene sommando all hamiltoniano il termine operatoriale βs B in ui S è l operatore di spin e β una ostante aratteristia della partiella. Il nuovo hamiltoniano diviene H = 1 ( P x + eby ) 2 + P y 2 2m 2m + P z 2 2m βs zb Lo spazio degli stati per una partiella è ora formato dal prodotto tensoriale dello spazio degli stati ordinario on lo spazio degli stati di spin di partiella singola. L operatore S ommuta on H agendo su spazi diversi, pertanto lo spin della partiella è una ostante del moto in senso quantistio, sia essa s z. La orrezione ai livelli di Landau diviene E = (n )ehb m + p2 z 2m βs zb La modifia dell hamiltoniano può apparire poo naturale in quanto non nase dai postulati della meania quantistia ma da un evidenza sperimentale 1 Un modo piu elegante per derivare il termine di spin onsiste nel sostituire l equazione di Shroedinger on l equazione di Dira. In rappresentazione delle posizioni, denotando le matrii di Dira on γ µ si ha i ψ t = H(ψ) (iγµ µ + m)ψ = 0 L equazione di Dira, a differenza dell equazione di Shroedinger, desrive la dinamia in forma ovariante a vista per trasformazioni di Lorentz, tuttavia questo 1 si pensi all esperimento di Stern-Gerlah.

25 Capitolo 5. Dinamia di una partiella aria in un ampo magnetio ostante risultato rihiede he la funzione d onda non sia piu un ampo salare, ma un ampo a quattro usite, denominato ampo spinoriale. La onseguenza piu importante è he ad ogni fermione saranno assoiate quattro funzioni d onda. Due di queste indiano lo spin {, }della partiella, le rimanenti lo spin {, } dell antipartiella. Risolvendo ora l equazione di Dira in un ampo magnetio ostante, si otterrà la orrezione ai livelli di Landau per effetto dello spin, questa volta in maniera naturale. [7] Vinolo sui ambi di gauge nei livelli di Landau Sia H l operatore hamiltoniano in gauge di Coulomb desritto all inizio di questa sezione H = P 2 2m e A(Q, t)p + e2 m 2m 2 A2 (Q, t) Si aloli il ommutatore tra H e P i senza aver fissato una gauge speifia, ma rimanendo soltanto all interno di quella di Coulomb. Si riava [H, P i ] = i e2 A j (Q, t) A j (Q, t) m 2 x i La selta della gauge A x = By A y = 0 A z = 0 per affrontare lo studio dei livelli di Landau non è asuale. Con tali potenziali si ottiene [H, P i ] = 0 i = 1, 3 Questo ha permesso di risolvere l equazione agli autovalori per H,P x e P z e di assoiare allo spettro di P x una omponente del entro di rotazione della partiella e a P z l impulso anonio lungo z. In queste ondizioni una trasformazione di gauge non è banale in quanto agise sia sugli autostati he sul ommutatore tra H e P i. Non basta pertanto far agire l operatore unitario T χ (t) sull autostato ψ, ma bisogna aertarsi he il ommutatore [H, P i ] sia anora nullo per i = 1, Prinipi di indeterminazione nel aso quantistio Indeterminazione intrinsea sulle veloità Definiamo l operatore assoiato all impulso anonio mv Π = P ea Si aloli il ommutatore tra la omponente i-esima di Π e la j-esima. [Π i, Π j ] = [P i A i, P j A j ] = [P i, P j ] [P i, A j ] + [P j, A i ] + [A i, A j ]

26 Capitolo 5. Dinamia di una partiella aria in un ampo magnetio ostante In base alle regole di quantizzazione anonihe [P i, P j ] = 0. In partiolare la selta della gauge A x = By, A y = 0, A z = 0 omporta [Π x, Π y ] = i Be [Π x, Π z ] = 0 [Π y, Π z ] = 0 A partire da questi ommutatori si dedue un prinipio di indeterminazione per le omponenti x ed y della veloità della partiella. Siano infatti A e B due operatori osservabili generii. Gli errori 2 sulle grandezze assoiate soddisfano la disuguaglianza < [A, B] > σ a σ b > 2 Ponendo A = Π x m B = Π y m osì he gli errori possano essere assoiati alle omponenti della veloità della partiella, otteniamo il seguente prinipio di indeterminazione, da non onfondersi on il prinipio di indeterminazione di Heisenberg σ vx σ vy > hbe 2m 2 Questo signifia he non è possibile onosere on arbitrarietà assoluta il modulo della veloità della partiella lungo il piano x, y [6]. Nessun prinipio di indeterminazione invee per quanto riguarda la omponente v z. Indeterminazione intrinsea sul entro di rotazione della partiella L indeterminazione sulle omponenti della veloità nel piano x, y non è l unia indeterminazione aggiuntiva rispetto a quella di Heisenberg. Le oordinate del entro di rotazione nel piano x, y, derivanti dalla dinamia lassia del sistema sono x 0 = p y eb + x, y 0 = p x eb Tramite le regole di quantizzazione anonihe a queste grandezze assoiamo gli operatori autoaggiunti e osservabili X 0 e Y 0. Il loro ommutatore è riavando la seguente disuguaglianza [X 0, Y 0 ] = ihm eb σ X0 σ Y0 > m 2eB 2 Per errore di una grandezza fisia si intende la radie quadrata della varianza statistia.

27 Capitolo 5. Dinamia di una partiella aria in un ampo magnetio ostante Il signifiato è semplie. Non è possibile onosere simultaneamente, e on preisione assoluta, le oordinate del entro di rotazione della partiella aria durante il suo moto. [6] Come si è potuto vedere, le regole di quantizzazione anonihe, tutt altro he banali, portano a fenomeni he non hanno un orrispettivo in meania lassia.

28 Bibliografia [1] Mikio Nakahara, Geometry,topology and physis, Graduate student series in physis, IOP Publishing Ltd 1990 [2] Kurt Lehner, Elettrodinamia lassia, UNITEXT Collana di Fisia e astronomia, Springer Verlag Italia 2004 [3] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloë, Quantum Mehanis Volume 1, Hermann 1991 [4] Maro Abate e Franeso Tovena, Geometria differenziale, UNITEXT Collana di matematia, Springer Verlag Italia 2007 [5] Steven Weinberg, Letures on Quantum Mehanis, Cambridge University Press 2013 [6] L. Landau e E.M.Lifshitz, Quantum mehanis, non relativisti theory, Pergamon Press 1958 [7] J.J.Sakurai, Advaned quantum mehanis, Addison-Wesley 1967 [8] G. Benettin, Meania analitia, dispense didattihe per il orso di meania analitia 27