Enrico Borghi PARADOSSO DEI GEMELLI

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1 Enrio Borghi PARADOSSO DEI GEMELLI Premessa. In questo studio le definizioni di: - punto-evento; - linea di universo; - tempo proprio; - metria pseudoeulidea oltre he la legge relativistia di omposizione delle veloità si assumono note e in aordo on quelle he si trovano in tutti i più diffusi trattati riguardanti la Teoria della Relatività Speiale. * * * Due gemelli sono fermi in un punto della Terra. Uno deide di mettersi in viaggio su una veloe astronave verso un punto dello spazio in ui si trova un pianeta he hiamiamo Alfa. Una volta raggiunto Alfa, il gemello viaggiatore riparte per tornare sulla Terra dove lo attende il gemello rimasto fermo. Questi avvenimenti possono essere desritti nello spaziotempo relativistio in termini di linee di universo traiate in uno spazio bidimensionale x, t (x asse delle asisse passante per la Terra e per Alfa, t asse delle ordinate ruotato a 9 gradi in senso antiorario rispetto all asse x) faendo perorrere a iasun gemello un tratto di linea he è dotata in ogni suo punto di pendenza dt/dx maggiore di 1/ e lungo la quale il tempo deve essere sempre resente. Il gemello fermo sulla Terra perorre un tratto rettilineo di linea di universo, mentre il gemello viaggiatore perorre un tratto di linea di universo urvilinea (se si tiene onto delle aelerazioni alle partenze e delle frenate agli arrivi sia sulla Terra he su Alfa) on estremi oinidenti on quelli del tratto rettilineo. Notiamo he le aelerazioni e le frenate possono essere ospitate nell ambito delle trasformazioni di Lorentz senza diffioltà servendosi del onetto di sistema di oordinate dotato di moto istantaneamente inerziale. Moto istantaneamente inerziale signifia moto rettilineo e uniforme in una suessione di intorni suffiientemente pioli in ui la veloità relativa può essere onsiderata ostante. Dunque una linea di universo variamente urva può essere approssimata da una spezzata lungo iasun tratto della quale la veloità relativa è ostante.

2 I gemelli, riinontrandosi, onstatano he il gemello he ha perorso un tratto urvilineo, o adeguatamente spezzato, di linea di universo ompreso fra il punto-evento iniziale (nel quale i gemelli si lasiano) e il punto-evento finale (nel quale i gemelli si ritrovano) è più giovane del gemello he ha perorso un tratto rettilineo di linea di universo ompreso fra i medesimi punti-evento, e lo è tanto più quanto maggiore è stata la veloità on ui ha viaggiato. A questa onlusione onduono il Prinipio di Relatività einsteiniano, le trasformazioni di oordinate di Lorentz fra il sistema di oordinate S assoiato al gemello rimasto fermo sulla Terra e S assoiato al gemello viaggiatore e la metria pseudoeulidea dello spaziotempo. La teoria fornise i medesimi risultati per qualunque dispositivo misuratore di tempo, sia esso un organismo vivente (anhe un albero), il ui stato di invehiamento (nell albero: il numero di anelli nel trono) dà una misura, anhe se poo preisa, del tempo he passa, o un orologio, e ioè: il dispositivo he ha perorso un tratto di linea di universo spezzata o urvilinea ompresa fra due punti-evento rimane indietro nel tempo rispetto al dispositivo he ha perorso un tratto rettilineo ompreso fra i medesimi punti. Nel aso dell albero, al suo ritorno sulla Terra dopo un viaggio pluriennale ad alta veloità l albero viaggiatore avrà meno anelli di quello he è rimasto fermo sulla Terra. La grandezza he oorre prendere in onsiderazione è il tempo proprio. Il tempo proprio s OT assoiato al gemello (ovvero all orologio) he è rimasto fermo sulla Terra (nella figura 1 è quello impiegato a perorrere la linea d universo OB, orologio O T ) è maggiore del tempo proprio s OV assoiato al gemello (ovvero all orologio) viaggiatore he perorre la spezzata (nella figura 1 è quello impiegato a perorrere la linea d universo OAB, orologio O V ) rappresentativa del viaggio interplanetario di andata al pianeta Alfa e suessivo ritorno sulla Terra lungo un tragitto spaziale he assumiamo oinidente (andata e ritorno) on l asse x osihé la linea di universo di iasun orologio viene traiata sul piano x, t nel quale sono state evidenziate anhe le diagonali del primo e seondo quadrante desrittive della linea di universo di un fotone nel vuoto. Risulta s OT > s OV qualunque sia il sistema di riferimento inerziale rispetto al quale questi tempi propri sono alolati. Per renderene onto onsideriamo due asi. I aso: poniamoi nel sistema di riferimento S solidale on l orologio terrestre O T olloato nell origine O di S. fig.1 In questo sistema definiamo (v = veloità di O V rispetto a S, positiva se dotata di verso uguale a quello delle x resenti ; β = v/):

3 x α,t α = oordinate di posizione e di tempo di arrivo di O V sul pianeta Alfa: x α = vt ; t α = t x f,t f = oordinate di posizione e di tempo finali di entrambi gli orologi: x f = ; t f = t Notiamo he la veloità di O V rispetto a S è stata onsiderata ostante, ma non può esserlo perhé O V aelera alla partenza da O e frena all arrivo su Alfa; bisognerebbe quindi alolare x α ome somma di pioli tratti perorsi rispettivamente a veloità (pressohé) ostanti v,v,v,... dapprima in suessione resente fino a v e poi desresente fino a zero. I pioli tratti sono, nel piano x, t, quelli di una spezzata he approssima la linea di universo urva perorsa da O V, linea he parte da O essendo in questo punto tangente all asse t. E, analogamente, una spezzata approssima la linea di universo urva anhe in prossimità del punto-evento arrivo di O V su Alfa. In questo punto-evento la linea è tangente all asse t, dopo di he O V riparte aelerando,... e. Invee, onsiderare una veloità ostante, ome si è fatto, equivale ad assumere he i tratti del viaggio di O V perorsi a veloità variabile siano molto pioli rispetto alla durata totale del viaggio, osihé diviene possibile trasurarli. I tempi propri di O T e O V in x f,t f si determinano in aordo on t f s = tf 1 U (t) dt dove U = per O T e U = ±v per O V e dt è l intervallo infinitesimo di tempo oordinato misurato da S e quindi t f t ( dt= t s OT = tempo proprio di O T = ds OT = 1 ) s OV = tempo proprio di O V = Si vede osì he s OT > s OV. t ( v ) dt+ t ds OV = 1 1 t dt = t ( v ) dt = t Conviene ribadire he la relazione fra i tempi s OT e s OV rimane invariata anhe se la veloità dell orologio viaggiante non si onsidera ostante e uguale a v, ma si onsidera variabile in onseguenza delle aelerazioni e frenate in orrispondenza delle partenze e arrivi dell orologio sia sulla Terra he su Alfa. In tal aso infatti basterà tenere onto del onetto di moto istantaneamente inerziale: rifaendo i aloli si troverà anora s OT > s OV. II aso: poniamoi nel sistema di riferimento S solidale inizialmente on l orologio viaggiante O V he si trova olloato nell origine O di S (v. fig. ). 3

4 fig. O V, fermo nell origine O di S, vede avviinarsi il pianeta Alfa e vede allontanarsi O T a veloità v negativa perhé dotata di verso ontrario a quello delle x resenti. In t α il pianeta Alfa raggiunge O V he si è mantenuto fermo nell origine O di S. In questo sistema, servendoi delle trasformazioni di Lorentz da S a S, definiamo x α,t α = oordinate di posizione e di tempo di O V all arrivo del pianeta Alfa riferite al sistema S ed espresse in funzione delle oordinate x α e t α del sistema S: x α = x α vt α = vt vt = ; t α = t α v x α = t v vt = t Notiamo he nelle trasformazioni di oordinate di Lorentz la veloità v di S rispetto a S è stata onsiderata ostante, ma non può esserlo perhé S aelera allontanandosi da S ; bisognerebbe quindi alolare x α e t α ome risultato della appliazione di una suessione di trasformazioni di Lorentz iasuna definita da un proprio valore di veloità da ritenersi ostante, e resente da trasformazione a trasformazione fino a raggiungere v. Considerare una unia veloità ostante signifia assumere he il viaggio di O T sia molto più lungo he il tratto iniziale perorso a veloità variabile, he osì viene ritenuto trasurabile. A partire dall istante t α = t l orologio O V si mette in movimento rispetto a S allontanandosi da O e dirigendosi verso O T on veloità U α; O V raggiunge O T in x f all istante t f. x f,t f = oordinate di posizione e di tempo finali di entrambi gli orologi: x f = x f vt f = vt ; t f = t f v x f = t Dunque i dati ai quali si farà riferimento in questo aso sono: v = veloità di O T rispetto a S = veloità di S rispetto a S U = veloità di O V rispetto a S; è uguale a v (v. I aso) U α = veloità di O V rispetto a S a partire dall istante t α; si ottiene omponendo la veloità U di O V rispetto a S on la veloità v di S rispetto a S 4

5 Ora oorre tener presente la legge di omposizione relativistia delle veloità he lega fra loro tre veloità, quella fra i sistemi S e S, la veloità U α di O V rispetto a S e la veloità U di O V rispetto a S. La legge, ome è noto, è espressa da U = U α v U α dove notiamo he, per rimanere in aordo on la notazione usata nel I aso, gli aenti ompaiono a membro destro, invee he a sinistra, ome di solito suede. La sua inversa è ottenibile, ome è noto, ambiando il segno di v e sambiando fra loro U e U α, e quindi è espressa da U α = U ( v) e poihé U = v, U α = 1 ( β) U v 1 + β Questa è l espressione della veloità U α di O V rispetto a S (a partire dall istante t α) di ui i serviremo fra poo. I tempi propri di O T e O V in x f,t f s = si determinano in aordo on t f 1 U dt dove dt è l intervallo infinitesimo di tempo oordinato misurato da S e U è la veloità di O V in S e quindi t f s O T = tempo proprio di O T = ds O T = t 1 β dt = t = s OT s O V = tempo proprio di O V = = = t f t α ds O V ( 1 t 1 β dt + ) dt + t f t 1 β t 1 β t α 1 U α dt 1 U α dt ( ) t = t + t 1 U α 5

6 Ora introduiamo l espressione di U α: s O V = t + t t + t β 1 4β (1 + β ) = t + t (1 + β ) 1 + β4 + β 4β 1 + β = t + t ( ) = t + t = t = s OV Si vede osì he i tempi propri sono rimasti invariati (ome è ovvio he debba suedere, dato he i tempi propri, ome è noto, sono invarianti relativistii), e si ha nuovamente s O T > s O V Conlusione: l orologio O V (ovvero il gemello viaggiatore) rimane indietro (ovvero invehia meno) rispetto all orologio O T (ovvero al gemello terrestre) fisso sulla Terra quale he sia il sistema di riferimento inerziale da ui questi orologi (ovvero gemelli) sono osservati. In generale, il tempo proprio di un orologio O A he perorre un segmento di retta di universo ompreso fra due punti-evento R (1) e R () è maggiore del tempo proprio di un orologio O B he partendo da R (1) si muove seguendo una linea di universo qualsivoglia (ma diversa dal segmento di retta perorso da O A e, in ogni aso, dotata in ogni suo punto di derivata dt/dx maggiore di 1/ e lungo la quale il tempo deve essere sempre resente ) e termina il suo movimento in R (). I tempi propri di due orologi he partono entrambi da R (1) e arrivano entrambi in R () perorrendo iasuno una linea di universo arbitraria (ma soggetta ai vinoli sulle derivate e sul tempo di ui si è detto) si trovano in una relazione reiproa di tempo proprio he dipende dalla linea di universo perorsa da iasun orologio. Dunque l asimmetria dell invehiamento dei gemelli viene orrettamente desritta dalla Relatività Speiale, he può essere appliata anhe in presenza di aelerazioni o frenate, e dipende dalla diversità delle linee di universo sulle quali viene alolato il tempo proprio. Notiamo he questo fatto appare avere natura non dinamia, ma puramente inematia, ioè appare essere onseguenza non di una qualhe ausa agente sugli orologi in movimento, ma della relazione fra un intervallo di linea di universo e un intervallo di un altra linea di universo. Ad esempio, nel primo dei due asi onsiderati, un intervallo di linea di universo puramente temporale viene messo a onfronto on un intervallo spaziotemporale di un altra linea di universo: questo è tutto iò he la Relatività Speiale i die su questo fenomeno he essa desrive orrettamente (perhé le sue previsioni sono sperimentalmente verifiabili on suesso) invoando due Prinipi, quello dell invarianza in forma delle leggi fisihe e 6

7 quello della ostanza della veloità della lue per qualunque sistema di riferimento in moto rettilineo e uniforme, senza però fornire di esso una qualhe spiegazione fisio/dinamia. Dunque non sappiamo perhé suede quello he in effetti suede e he riusiamo a desrivere servendoi di Prinipi. Volendo indagare, si potrebbe avanzare l idea, a titolo di ipotesi di lavoro, he gli intervalli spaziotemporali e le linee di universo siano ostrutti formali he riesono a ogliere solo quantitativamente un qualhe aspetto di una sottostante e a noi attualmente sonosiuta realtà fisia senza permetteri di indagarla più a fondo. In altre parole, si potrebbe pensare he gli arhetipi spazio e tempo siano artifii mentali, he l evoluzione ha fatto sviluppare in noi per dotari del vantaggio di poter organizzare la nostra esperienza sensibile (e, per di più, modellizzabili matematiamente), he nasondono una realtà fisia sottostante (e, ovviamente, desrivibile non nello sfondo dello spazio e del tempo ma in un ambiente attualmente sonosiuto) in grado di rendere ragione delle relazioni reiprohe di tempo proprio osservabili negli orologi in movimento, un po ome la desrizione maxwelliana dei fenomeni elettromagnetii basata sui onetti di aria/ampo è un artifiio he nasonde, ignorandola, la modellizzazione maxwelliana lassia (prequantistia) del sottostante sistema fisio fotoni/vuoto elettromagnetio he l elettrodinamia quantistia, in epoa postmaxwelliana, ha potuto mettere in evidenza. Einstein ha trovato il modo di desrivere le onseguenze osservabili (oltre al ritardo degli orologi in moto anhe, ad esempio, la ostanza della veloità della lue) di quelle he potrebbero essere proprietà e/o aratteristihe fisihe di questa ipotetia realtà sonosiuta, e il modo si basa su una speiale modellizzazione dell unia realtà in ui i sembra possibile olloare i fenomeni fisii, quella dello spazio e del tempo. Einstein l ha modellizzata introduendo uno spaziotempo 4-dimensionale t, x, y, z dotato di metria pseudoeulidea. Sarà neessario liberarsi degli arhetipi spazio e tempo, e quindi anhe del modo in ui attualmente si studia il moto dei orpi, per passare da una desrizione del rallentamento degli orologi in movimento, quella he è fornita dalla Relatività Speiale, a una spiegazione? Di questa desrizione si parla in: E. Borghi Reinterpretare l Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meania quantistia. 7