Ottavio Serra Introduzione alla fisica quantistica Cap 1 Le difficoltà della fisica classica.

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1 Ottavio Serra Introduzione alla fisia quantistia Cap 1 Le diffioltà della fisia lassia. La fisia lassia, essenzialmente dovuta a Galileo e Newton per la meania, a Faraday e Maxwell per l'elettromagnetismo, negli ultimi deenni dell'800 veniva onsiderata una ostruzione pratiamente definitiva. Riorda Plank he, avendo hiesto il parere del suo maestro Kirkoff sull'idea di srivere la tesi di laurea sui prinipi della dinamia, si sentì rispondere he nel ampo della meania non 'era più nulla di nuovo da dire, he si rivolgesse piuttosto alla termodinamia, la quale, per merito di Boltzman onoseva una nuova fioritura. In realtà non era tutto paifio. L'elettromagnetismo pareva rihiedere un riferimento assoluto, ma gli esperimenti di Mihelson e Morley davano risultato negativo per il moto della Terra rispetto a tale riferimento (dell'etere osmio). Del resto iò faeva a pugni ol prinipio di relatività di Galilei. Come è noto, il problema del moto fu risolto da Einstein in modo inaspettato introduendo un nuovo paradigma per la relazione tra spazio e tempo. Le distanze e le durate erano relative allo stato di moto del riferimento (da ui il nome di teoria della relatività), ma lo spazio e il tempo erano fusi in un nuovo assoluto a livello più profondo (e iò non si sottolinea mai abbastanza). La meania lassia è però un'approssimazione tanto più preisa della meania relativistia quanto più sono piole le veloità dei orpi rispetto alla veloità della lue. Intanto nuove diffioltà stavano spuntando nella fisia lassia. Ne elenherò alune. 1) I orpi solidi inandesenti emettono lue (in generale radiazione elettromagnetia) in funzione della lunghezza d'onda e della temperatura in modo assolutamente diverso dalle previsioni fondate sull'elettromagnetismo lassio e sulla termodinamia statistia di Boltzman. La soluzione di questo problema per opera di Plank nel 190 aprì le porte alla prima teoria dei quanti. ) I alori speifii dei solidi (monoatomii) obbedisono per la maggior parte delle sostanze alla semplie legge di Dulong e Petit he si riava in modo elementare dal prinipio di equipartizione dell'energia di Boltzman. Se A è il peso atomio, il alore speifio, A=R, essendo R la ostante dei gas perfetti: A= 6al/(mole K). Tuttavia sostanze di piolo peso atomio ome arbonio berillio, litio, hanno alori atomii nettamente minori (solo ad alte temperature si avviinano a 6), e osa anora più grave, tutti i alori atomii tendono a 0, man mano he la temperatura sende verso lo zero assoluto. Il problema fu avviato a soluzione da Einstein usando la legge dell'irraggiamento termio di Plank e risolto dal fisio olandese Debye tenendo onto del retiolo ristallino he limita le frequenze di vibrazione possibili. Di un'altra diffioltà, ome mai gli elettroni dell'atomo non ontribuisono on i loro gradi di libertà all'energia inetia media e quindi al alore speifio, non parlerò; bisognò aspettare Fermi (196) per apirlo. ) L'effetto fotoelettrio è in un erto senso il proesso inverso dell'emissione di raggi X. Se un metallo è olpito da un fasio di lue, emette elettroni; però suedono ose strane. La lue deve avere una frequenza maggiore di una frequenza minima detta frequenza di soglia, altrimenti non viene emesso nessun elettrone. A parità di frequenza, aumentando l'intensità luminosa aumenta il numero degli elettroni emessi, ma non la loro veloità. Per aumentare la loro veloità oorre aumentare la frequenza. L'emissione degli elettroni è pratiamente istantanea rispetto all'arrivo sul metallo del fasio luminoso, anhe se l'intensità è osì piola he, seondo l'ottia lassia, dovrebbero passare alune ore perhé su un elettrone si aumuli l'energia neessaria a ompiere il lavoro di estrazione. Il mistero dell'effetto fotoelettrio fu hiarito da Einstein nella prima delle tre famose memorie pubbliate a Berlino nella primavera del Riordo he in questo lavoro Einstein afferma in modo netto he i quanti di energia di Plank hanno una effettiva realtà fisia: sono i quanti di lue in seguito detti fotoni. (Per iniso, è per questo lavoro he Einstein ebbe il premio Nobel nel 19). 1

2 4) Gli atomi sono stabili, mentre seondo la meania lassia e l'elettromagnetismo di Maxwell dovrebbero avere una vita estremamente breve. Si sa he se un satellite artifiiale perde energia per una ausa qualsiasi, per esempio per attrito on gli alti strati atmosferii, esso diventa sempre più veloe, la sua orbita si restringe e, inontrando strati d'aria sempre più densi, il proesso si aelera e il satellite in poo tempo preipita sulla Terra o bruia nei densi strati atmosferii inferiori. Il alolo non è diffiile. Vi propongo per eserizio di alolare ome, al diminuire dell'energia, diminuisa il raggio dell'orbita satellitare e aumenta la veloità del satellite. Qualosa del genere dovrebbe aadere a un atomo, per esempio all'atomo di idrogeno. Seondo il modello planetario di Rutherford, l'elettrone gira intorno al protone, nuleo dell'atomo di idrogeno, seondo un'orbita ellittia o irolare. In ogni aso il moto è aelerato, è l aelerazione entripeta, e periò l'elettrone dovrebbe irradiare onde elettromagnetihe. E' un fenomeno analogo a quello he aade in un'antenna radio: l'energia irradiata dall'antenna sotto forma di onde elettromagnetihe per il moto periodio degli elettroni nell'antenna stessa deve essere infatti ompensata da quella fornita ontinuamente da un generatore, altrimenti l'antenna non funzionerebbe. Qualosa di analogo dovrebbe aadere all'elettrone dell'atomo di idrogeno: non essendoi un apporto di energia dall'esterno, l'elettrone dovrebbe preipitare sul nuleo spiraleggiando on frequenza sempre più alta e si dovrebbero avere due onseguenze: 1 ) l'atomo di idrogeno dovrebbe svanire nel giro di una dieina di nanoseondi ; ) dovrebbe emettere uno spettro ontinuo di radiazione elettromagnetia tronato brusamente verso le alte frequenze on la morte dell'atomo. Sorte analoga dovrebbero avere tutti gli altri atomi, on la onseguenza hiaramente falsa he gli atomi (e noi stessi) non esistono. Invee gli atomi esistono, sono stabili e quando sono eitati, per esempio da una saria elettria, emettono uno spettro di righe, stabile e aratteristio della speie atomia ome un'impronta digitale o il DNA di un essere vivente. Il problema dello spettro di righe fu avviato a soluzione da Bohr nel 191; la stabilità degli atomi e la teoria generale degli spettri dovrà aspettare la nasita della meania quantistia. 1 1 Samuel Tolansky, "Introduzione alla fisia atomia", Einaudi, Torino 1950

3 Cap. Potere emissivo del orpo nero Ogni orpo, he non sia allo zero assoluto, emette energia sotto forma di radiazione elettromagnetia. Se la temperatura supera i 500 C, la radiazione ominia a essere visibile dall'ohio umano, sotto forma di lue rossa, he diventa poi gialla, biana, azzurra man mano he la temperatura rese. Esaminati allo spettrosopio, mentre i gas rarefatti emettono lue sotto forma di uno spettro disreto (spettro a righe) aratteristio per ogni speie atomia, i orpi ondensati, liquidi o solidi, emettono uno spettro ontinuo, dall'infrarosso al visibile (rosso - violetto), all'ultravioletto. Non bisogna redere he un orpo emetta lue solo per agitazione termia. Un metallo bombardato on e- lettroni veloi emette uno spettro ontinuo (di raggi X) he ha un profilo di intensità spettrale diverso dalla radiazione termia; in partiolare, lo spettro ha un taglio netto in orrispondenza di una lunghezza d'onda minima orrispondente alla massima energia degli elettroni proiettili. (Vedi il primo disegno sottostante). Il seondo disegno dà l'andamento sperimentale dell'emissione termia di un orpo nero a due temperature diverse seondo i fisii tedeshi Lummer e Pringsheim, verso la fine dell'800. I fisii di fine '800 affrontarono il problema di trovare la legge matematia di tale radiazione, utilizzando la fisia lassia: meania, elettromagnetismo e termodinamia, ma senza suesso. Seondo la meania statistia di Maxwell e Boltzman, il numero dei gradi di libertà (osillatori lineari) ontenuti nell'unità di volume nella banda di frequenza [d ] è Periò la densità dell'energia di radiazione in equilibrio termio dentro una avità è du u(, T) dn / d d 8 dn 8 d. essendo l'energia media di un osillatore lineare. I fisii inglesi Rayleigh e Jeans usarono per questa energia media il risultato lassio kt, essendo k la ostante di Boltzman, k=r/n, periò si ottiene 8 u T kt J m Hz (, ) [ /. ].

4 Periò la densità integrale (su tutte le frequenze) è infinita! Ciò he si determina più failmente è il potere emissivo di un orpo, ioè l'energia emessa in un seondo dall'unità di superfiie in tutte le direzioni, nella banda di frequenza di 1 Hz: dw e( orpo,, T) [ J / s. m. Hz] dt. ds. d. Aanto al potere emissivo va onsiderato il potere assorbente di un orpo, he è la perentuale di energia assorbita su quella inidente. Anhe il potere assorbente dipende dal orpo, oltre he dalla frequenza e dalla temperatura, ma il rapporto, ome dimostrò Kirkoff per via termodinamia, è indipendente dal orpo, E(, T ) e( orpo,, T ) a( orpo,, T ) ed è detto potere emissivo del orpo nero, perhé si ridue ad e per a=1 (orpo nero). Il legame tra potere emissivo del orpo nero e densità dell'energia in equilibrio termio è il seguente: E(,T)=/4.u(,T), pertanto [1] E T kt (, ). Ma questa legge è disastrosamente errata, perhé, integrando su tutte le frequenze, si avrebbe potere emissivo infinito o, se volete, densità di energia infinita, il hé è assurdo. (Vedi figura sottostane). Finalmente nel 190 Max Plank risolse il mistero, immaginando l'emissione di radiazione non ome un proesso ontinuo, ma disreto; il orpo emetterebbe l'energia raggiante in pahetti non divisibili, detti appunto quanti (quantità disrete). Plank, servendosi anhe di un famoso risultato di Wien, ottenuto per via termodinamia, ioè he E T f T (, ) ( / ), dove però f è una funzione he la fisia lassia non è in grado di determinare, fee l'ipotesi he l'energia fosse emessa per pahetti non frazionabili, detti quanti, Con iò ottenne he l'energia media di un osillatore lineare non è kt, bensì 0 0 e kt 1 essendo l'energia del quanto. Segue he il potere emissivo è 4

5 0 E(, T) 0 kt e 1 Dovendo però la formula rispettare il risultato di Wien, deve essere =h e infine h E(, T) [] h e kt 1 dove h è una nuova ostante universale, avente la dimensione di un'azione (energia x tempo), ora detta ostante di Plank. La [], mediante due misure di E a due assegnate frequenze, nota la temperatura, onsente di determinare le due ostanti ( è nota:.10 8 m/s) h e k : 4 h 6, J. s, k J / K Siome per la radiazione dall'infrarosso ali raggi X è più agevole misurare lunghezze d'onda he non frequenze, la [] si srive, riordando he e he di onseguenza d d, E(, T ) h [] h 5 k T e 1 Derivando la [] rispetto a si ottiene la legge dello spostamento dio Wien: il prodotto tra la temperatura della sorgente e la lunghezza d'onda di massimo potere emissivo è una ostante he vale ira 0,9 m. K: x, h kt x dove x, soluzione dell'equazione 5 5e x 0, vale 4,96 periò T=h/k.4,96 = 0,9 m. K. Per esempio, lo spettro della fotosfera solare ha il massimo a 4800 A, periò risulta T=6000 K. Si noti he 4800 A ade nel giallo verde in ui l'ohio umano ha il massimo di sensibilità. E' un aso? Si sarebbe potuto derivare la [] rispetto a. Si trova he il rapporto tra la frequenza di massimo poter emissivo e la temperatura è k 10,8 5,89.10 e il massimo potere emissivo, nel aso T h del Sole, ade a una frequenza orrispondente alla riga di 8500 A, ioè nell'infrarosso. Ciò dipende dal fatto he la [], ome la [] è una funzione densità (he dà la densità di probabilità di emissione dei fotoni di data energia, se la si divide per il fattore di normalizzazione E(T), ioè per il potere e- missivo integrale su tutte le frequenze ). Ma la banda di frequenza di 1 Hz, non ha niente a he vedere on la banda unitaria in lunghezza d'onda (1m, 1 metro, 1 A?). Però il fatto fisio he la temperatura del Sole è 6000 K è riavabile ugualmente dall'una o dall'altra formula. Se poi integriamo la [] su tutte le frequenze o la [] su tutte le lunghezze d'onda, otteniamo la legge di Stefan Boltzman : il potere emissivo integrale risulta proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta: E( T) T 4, dove 5, watt m K Il valore di era stato trovato sperimentalmente da Stefan e dall'italiano Bartoli; Boltzman aveva giustifiato termodinamiamente la proporzionalità di E alla quarta potenza di T, ma la legge di Plank onsente di riavare dalla onosenza delle ostanti universali h e k. Eserizio.. 5

6 Determinare il potere emissivo integrale e l'energia totale irradiata dal Sole in un seondo, onosendo: a) la ostante solare di alorie /(minuto.m ) ioè l'energia he ade in un minuto su un entimetro quadrato della superfiie terrestre, orretta dell'assorbimento atmosferio; b) la distanza Terra _ Sole di 150 milioni di Km; ) il raggio del Sole di 670 mila Km. Dal potere emissivo integrale e dalla legge di Stefan Boltzman dedurre la temperatura della superfiie del Sole; dalla potenza totale irradiata, dedurre la massa perduta ogni seondo dal Sole. Se, on gli astronomi, ammettiamo he il Sole abbia anora una vita di 5 miliardi di anni, quanta massa avrà perduto il Sole da oggi a quella data? 0.10 Kg, quale perentuale di questa massa avrà per- Siome la massa odierna del Sole è di duto tra 5 miliardi di anni? Quesito. Le urve seguenti riguardano l'emissione di orpo nero. In iasuno dei tre disegni 'è un errore: individuarlo. 6