6. DINAMICA RELATIVISTICA

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1 6. DINAMICA RELATIVISTICA 74. RI nello spazio tempo urvo 75. Invariante o no? 76. La simultaneità è relativa 77. Il terzo prinipio (PAR) non vale più! 78. Le due arihe in moto 79. Quantità di moto e veloità limite 80. La legge dell angolo retto 81. non vale in relatività 8. Il moto irolare uniforme relativistio 83. La quantità di moto relativistia 84. Dall urto elastio radente in D 85. all espressione relativistia di p 86. L impulso relativistio ed il seondo prinipio 87. Il paradosso del ondensatore 88. Le equazioni di Maxwell sono relativistihe! 89. L energia relativistia (E) 90. L energia inetia relativistia (T) 91. L inerzia dell energia (1 a parte) 9. L inerzia dell energia ( a parte) 93. La massa non si onserva negli urti anelatii. 94. La massa non è additiva: la somma delle masse non è la massa totale 95. Deadimento radioattivo 96. Urto totalmente anelastio 88

2 97. Pressione della lue 98. Diminuzione di massa del Sole 99. Massa del vapor aqueo 100. E=m? No, meglio E=m! Per onludere 7. ASTROFISICA E COSMOLOGIA 101. La sala delle distanze: la parallasse 10. La distanza riavata dalla luminosità 103. La massa delle galassie e la densità di materia 104. La legge di Hubble 105. Il prinipio osmologio (PC) 106. Il modello di Universo a urvatura ostante 107. Il redshift osmologio 108. La legge di Hubble ome approssimazione 109. La dinamia osmologia 110. Evoluzione della densità di materia 111. L orizzonte 11. Universo aperto o hiuso? Il futuro 89

3 6. DINAMICA RELATIVISTICA 90

4 74. RI NELLO SPAZIO-TEMPO CURVO Novità importante della RG rispetto alla meania newtoniana: il onetto di RI ha signifiato soltanto loale: non i si può aspettare he esista un RI esteso nello spazio e nel tempo. Consideriamo due RI, in pratia due laboratori in aduta libera: perorrono geodetihe dello spazio-tempo, he non neessariamente si interseano. Nel aso newtoniano, invee, dato he la definizione di RI NON era LOCALE, questo problema non si poneva. Ognuno dei due ubetti rappresenta la PICCOLA (LIMITATA) porzione (4D) di spazio-tempo entro ui il RIF è INERZIALE. Non è neessario he le due geodetihe (linee orarie) si intersehino, ma è possibile he questo avvenga. C è una parte di spazio-tempo in omune, nella quale entrambi sono inerziali. Se mi metto in questa porzione in omune limitata di spaziotempo, posso onsiderare le trasformazioni da un RI all altro, vedere quali grandezze sono invarianti e quali invee si trasformano, e on he legge. (Ad es. la omposizione delle veloità, he non potrà essere quella galileiana, a ausa del PR, ioè dell invarianza di ) Questa parte, la dinamia relativistia, è storiamente detta ristretta (RR), ma vedremo he è perfettamente integrata in quella generale (RG), vista finora. 91

5 75. INVARIANTE O NO? N.B. Costante del moto ed invariante hanno signifiati diversi! Due fisii eseguono esperimenti nei loro laboratori (RI) e annotano i risultati sui loro tauini. Sulla base del PR, quali delle seguenti grandezze (o leggi) devono neessariamente essere uguali quando vengono misurate (o soperte) nei due RI e quali no? 1) Valore numerio (unità SI) della veloità della lue nel vuoto; ) Veloità di una pallina da tennis; 3) Caria dell elettrone; 4) Massa dell elettrone; 5) Massa della pallina da tennis; 6) Veloità dell elettrone; 7) Intervallo di tempo tra due eventi A e B, esterni ai laboratori; 8) Legge d inerzia; 9) Seondo prinipio della dinamia; 10) Terzo prinipio della dinamia; 11) Quantità di moto; 1) Forza; 13) Energia inetia; 14) Campo elettrio; 15) Teorema di onservazione della quantità di moto; 16) Teorema di onservazione dell energia Vedremo he, on opportune ridefinizioni di alune grandezze, i prinipi restano gli stessi, pur di enuniarli adeguatamente. 9

6 76. LA SIMULTANEITÀ È RELATIVA Consideriamo un treno he perorra, a veloità ostante, un binario rettilineo. A metà del treno si trova una sorgente luminosa, he invia un impulso in entrambe le direzioni: verso la testa A e verso la oda B del treno. Consideriamo i diagrammi orari nel RI he aompagna il treno (T) e nel RI della stazione (S). Gli eventi rilevanti sono: P = partenza dei segnali Q A =arrivo del segnale in A Q B = arrivo del segnale in B Al solito, si selgono opportunamente le unità in modo he la veloità della lue sia unitaria. Nel RI T gli eventi Q A e Q B sono simultanei, dato he P è equidistante dalle due rette vertiali, he sono le linee orarie di A e B. Nel RI S il treno viaggia verso destra on veloità ostante, periò le linee orarie della testa e della oda sono rette inlinate (>45 ), tra loro parallele. L evento P ha anora luogo a metà strada tra A e B, la lue viaggia alla stessa veloità, e periò Q A e Q B non sono simultanei. 93

7 77. IL TERZO PRINCIPIO (PAR) NON VALE PIÙ! Supponiamo he, nel RI K, valga, istante per istante il terzo prinipio (di azione e reazione, PAR). Le due partielle A e B, he si muovono rispettivamente lungo le traiettorie A e B, interagisono agli istanti t 1 e t. In generale, le forze dipendono dal tempo, se non altro perhé dipendono dalla distanza, he ambia nel tempo. In un altro RI, K, gli eventi A 1 e B 1 non sono più simultanei, per esempio A 1 potrebbe essere simultaneo on B, periò in K le forze d interazione sono diverse: il PAR non vale più, in relatività! Qual è l ipotesi, sottintesa al PAR, he non regge più? È l idea newtoniana he le azioni a distanza siano ISTANTANEE e questo è in aperto ontrasto on l esistenza di una VELOCITÀ LIMITE. Ogni azione è mediata da un ampo, he si propaga a VELOCITÀ FINITA. 94

8 78. LE DUE CARICHE IN MOTO È un esempio, non relativistio, in ui il PAR NON VALE. Sia la partiella A he la B sono arihe positivamente e, all istante t, si muovono on le veloità v v xˆ e v v yˆ A A B B La aria A produe, nel punto B, un ampo elettrio, diretto lungo l asse x (verso positivo). Inoltre, la aria A, muovendosi, genera un ampo magnetio, ma he in B è nullo. Quindi, la forza eseritata dalla A sulla B è solo lungo l asse x: F F xˆ AsuB AsuB La aria B produe, in A, un ampo elettrio, diretto lungo l asse x, in verso negativo. La aria B genera, inoltre, un ampo magnetio in A, diretto ome l asse z (usente); quindi una forza (di Lorentz) diretta ome ŷ sulla A. In definitiva, la forza eseritata dalla B sulla A ha anhe una omponente lungo y: F BsuA F AsuB 95

9 79. QUANTITÀ DI MOTO E VELOCITÀ LIMITE Abbiamo visto he il 3 prinipio (PAR) non vale più. Vediamo he suede al prinipio, nella forma F ma. Se valesse, appliando una forza ostante, si otterrebbe un aelerazione ostante, ioè la veloità aumenterebbe oltre ogni limite: questo sappiamo he non è vero sperimentalmente. Film PSSC La veloità limite : viene fornita ad un elettrone un energia resente (V d.d.p.) e si misura la veloità raggiunta. La parabola tratteggiata rappresenta il aso lassio, mentre i dati sperimentali hanno un evidente asintoto orizzontale, in orrispondenza di v=. DUNQUE, NON È VERO CHE F ma! Inoltre, non vale più la legge di trasformazione galileiana delle veloità: v v u ' u = veloità relativa Neppure l energia inetia T e la quantità di moto p possono avere la forma lassia, perhé allora v T, senza alun limite. VOGLIAMO SALVARE I TEOREMI DI CONSERVAZIONE, PERCIÒ OCCORRERÀ RIDEFINIRE P dp, T E F. dt 96

10 80. LA LEGGE DELL ANGOLO RETTO fig. 1 fig. Si tratta dell urto elastio di due masse uguali. Sistema isolato. Il RI C è quello del entro di massa, quello F è quello in ui la massa è ferma, prima dell urto (fig. 1) Faio le seguenti ipotesi: p è un vettore parallelo a v ; per una partiella di data massa, il suo modulo è funzione (resente) solo del modulo delle veloità, e si annulla per v=0; nell urto, la quantità di moto totale si onserva; per una partiella di data massa, l energia inetia T è funzione (resente) del modulo della veloità, e si annulla per v = 0; in un urto elastio, l energia inetia totale si onserva; In C p tot o p ' tot Anhe senza sapere la relazione tra p e v, questo basta per dire he v 1 v e v' 1 v' (ons. di p ) anhe he v 1 =v 1 (ons. di T) In F p tot p1 (dato he v o ) dunque p1 p' p' p Se T, allora p1 p' p' e l angolo tra p ' 1 e p ' è retto. m 97

11 81. NON VALE IN RELATIVITÀ Sperimentalmente, questo non è vero (elettroni in amera di Wilson): l angolo è auto. Problema: ome si passa dal RI C al RI F? In F la è ferma mentre in C si muove on veloità v, quindi la veloità di F rispetto a C è v, quella di C rispetto ad F è v v 1. Se voglio onosere le veloità in F a partire da quelle in C, devo sapere COME SI TRASFORMANO LE VELOCITÀ DA UN RI ALL ALTRO! N.B. Non si ompongono, non è detto he si sommino! La fig. mostra la COMPOSIZIONE GALILEIANA DELLE VELOCITA (SOMMA): F v C v C et SI OSSERVA CHE L ANGOLO TRA ' F e v' F v' 1 ' 1 1 E RETTO. MA SAPPIAMO CHE QUESTA LEGGE NON È VERA SPERIMENTALMENTE INOLTRE SAPPIAMO CHE ESISTE UNA VELOCITÀ LIMITE E DUNQUE: RIASSUMENDO: 1 v' v u p p mv T mv T m Il PI vale in tutti i RI Dato he la simultaneità è relativa, il PAR non vale Dato he esiste una veloità limite, le veloità si trasformano in modo diverso da quello galileiano La legge dell angolo retto non vale, periò, anhe in onseguenza del punto preedente se vogliamo he valgano anora le onservazioni di p definirle diversamente. v 1 e di T, dobbiamo 98

12 8. IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME RELATIVISTICO Una partiella si muove di moto irolare uniforme. Note F e p, alolare il periodo, senza onosere l esatta espressione di p in funzione di v. Per ipotesi si sa he p // v e he nel m..u. anhe il modulo di p ome quello di v resta ostante Dalla similitudine dei triangoli in figura si ha: p v : p : v Passando agli infinitesimi e riordando t t he Ma dv v a dp vp, si ottiene p dt r dt r dp F e dunque F p p T p dt T F Per un elettrone in moto in un ampo magnetio ortogonale alla traiettoria avremo F=evB da ui p=ebr. Eo perhé, per aresere p si aumenta r: aeleratori sempre più grandi (ma anhe per ridurre la potenza perduta per irraggiamento he, a parità di p, va ome r - ) Dall esistenza di una veloità limite, anhe il periodo tende ad un valore limite r T e quindi anhe la frequenza degli impulsi (he danno l energia) deve resere fino ad un limite ostante : sinrotroni. r 99

13 83. LA QUANTITÀ DI MOTO RELATIVISTICA Resta il problema di trovare per p un espressione he sia ompatibile on i seguenti requisiti: 1) deve onservarsi negli urti (sistema isolato) ) per piole veloità, deve ridursi a p mv Quest ultimo è detto prinipio di orrispondenza, nato on la meania quantistia: si rihiedeva he la nuova meania dovesse riprodurre quella lassia al limite in ui la ostante di Plank diventa trasurabile (sistemi meanii on azione >>h). Nel nostro aso, il parametro he definise il aso limite è la veloità del orpo: se v<<, gli effetti relativistii sono trasurabili. Si può dimostrare he prove sperimentali Per v<<, allora dr si ridue a dt e si ottiene dr p m, inoltre è ampiamente verifiata da numerose d dr p m mv dt massa m: è quella misurata on la meania newtoniana, a piole veloità. Ad es: la m dell elettrone viene riavata dalle misure di e/m (Thomson) e e (Millikan), ed in entrambi i asi la veloità è piola, rispetto a. LA MASSA È INVARIANTE, COME LA CARICA DELL ELETTRONE E COME dx In omponenti artesiane p p xˆ x p yˆ y pz zˆ on: p x m ; d dr dr dt mv ( r x xˆ y yˆ z zˆ ) anhe : p m m mv d dt d v 1 dy p y m e d dz p z m d 100

14 84. DALL URTO ELASTICO RADENTE IN D Urto elastio tra due partielle di uguale massa (m 1 =m =m), studiato in tre diversi RI. L angolo deve essere piolo : urto radente. v x >>v y nei tre RI RI A : quello del entro di A A massa p p' o v v v A ' A A 1 1 v ' A tot tot RI B : quello in ui la partiella ha nulla la omponente x della veloità (B aompagna la partiella lungo l asse B B B x) mv p? (*) p 1 Dall ipotesi (prinipio di orrispondenza) deve disendere he p e v devono essere paralleli ed equiversi (*), ad ogni t. Inoltre l ipotesi di urto RADENTE implia he in B la veloità della sia piola : la supporremo non relativistia, in modo da poter usare l espressione newtoniana p B B B mv mv y yˆ Nel RI B avremo periò p y mv y ; p' y mv y ; p y mv y ' x px o p Dall ipotesi 1 (onservazione di p tot ) p1 y p y mv y e p x p p1 x p x o, da ui, tenendo onto di (*), 1 y p' 1y mv y e p 1 x p' 1 x? Naturalmente, non onosiamo anora l espressione di p 1 in funzione di v 1 : è proprio *quella* he vogliamo trovare! Seguiamo il moto della partiella 1 per un intervallo di tempo t 1 dopo l urto, mentre y1 s p 1 1y v1 y y1 s1 s1 si sposta di s 1 : v1 y ; v1 ; e dunque p1 p1 y mv y. t1 t1 p1 v1 s1 y1 y1 Se y è la omponente y dello spostamento s fatto dalla partiella in un y intervallo di tempo qualsiasi t ; allora v y. Se segliamo t in modo he t y =y 1, si ottiene: s1 s1 t1 t1 * p1 m m ; mv1 * t t t t Caloliamo ora il rapporto 1 t t 1 [t 1? t!] 101

15 85. ALL ESPRESSIONE RELATIVISTICA DI p Dato he gli intervalli di tempo t 1 e t sono misurati nel RI B, li indihiamo on B B e rispettivamente, e allo stesso modo 1 v e v v B B t 1 t v 1 Allora, per iasuna delle due partielle, si ottengono le seguenti espressioni per i tempi propri (he, riordiamo, sono i tempi segnati nei RI in ui le partielle sono in quiete): B 1 B B B v B v B 1 t1 1 e t 1 t (dato he v <<) Nel RI C i ruoli della 1 e della si sambiano, periò C (qui è v 1 <<) ed anhe C C B t1 t 1 t 1 da ui si trova he 1 in ogni RI, dato he il tempo proprio è invariante. Da questa relazione si ottiene t t B 1 B e dunque, sottintendendo l apie B, ed anhe: p 1 1 v 1 B 1 1 mv1 mv1.d.d. v1 1 p1 mv 1 10

16 86. L IMPULSO RELATIVISTICO ED IL SECONDO PRINCIPIO AZIONI e REAZIONI nello shema newtoniano FLUSSO di Q. di MOTO nello shema einsteiniano Come è noto, il teorema dell impulso e il seondo prinipio sono equivalenti a dp F dt Dato he, nei asi relativistii, è impossibile misurare indipendentemente la forza (non si può attaare un dinamometro ad un elettrone!), la preedente relazione viene interpretata ome definizione dinamia della forza: la forza diventa una misura del tasso di trasferimento di quantità di moto tra due orpi. Quando due orpi interagisono, si sambiano quantità di moto, eventualmente attraverso l intermediario di un ampo. Il PAR newtoniano viene visto ome la manifestazione di un flusso di quantità di moto tra due o più orpi: la quantità di moto totale si onserva sempre, ma viene trasferita da un orpo all altro. La misura di questo trasferimento (quantità di moto trasferita per unità di tempo) è iò he siamo abituati a hiamare forza. Caso elettromagnetio: le forze possono essere misurate per via indipendente dp (marosopio) e si può verifiare F on F data dalle espressioni lassihe dt dell elettromagnetismo. 103

17 87. IL PARADOSSO DEL CONDENSATORE In realtà, il paradosso è solo apparente. Abbiamo il solito ondensatore piano suffiientemente grande, per ui siamo siuri he il ampo E sia uniforme. K Dall interno del ondensatore lanio un elettrone in direzione parallela alle armature, on veloità iniziale v 0. Poihé il ampo è uniforme, la traiettoria è una parabola ome per i proiettili sulla Terra piatta. In partiolare v x (t)=v 0 ; t! K Nel RI he viaggia on la veloità orizzontale dell elettrone, il ondensatore si muove in senso opposto, on veloità v 0 e sulle sue armature si hanno le due orrenti i indiate. Il ampo E è anora uniforme, perhé dipende solo dalla densità di aria presente sulle armature e questa è anora uniforme (non i interessa sapere se è uguale a prima) A ausa delle orrenti i, ompare un ampo magnetio B, on verso entrante. In questo RI, l elettrone è inizialmente fermo, poi inizia a adere. Con la veloità ompare una forza di Lorentz qv B, di modulo resente, direzione parallela F L alle armature e verso tale da deviare l elettrone verso sinistra. La veloità orizzontale dell elettrone, nulla all inizio, diventa negativa: non è ostante! Se si fanno i aloli esatti, sempre on la meania newtoniana, per un elettrone soggetto a ampo E e B, entrambi uniformi e ortogonali tra loro, e he parte da fermo, la traiettoria è una iloide. La omponente orizzontale della veloità resta ostante oppure no? 104

18 88. LE EQUAZIONI DI MAXWELL SONO RELATIVISTICHE! Il ragionamento in K è ineepibile: il ampo B è, la forza di Lorentz pure, periò v x t NON È COSTANTE NEL TEMPO. Allora, i deve essere un errore relativamente al RI K. In K si onserva la omponente orizzontale della quantità di moto dell elettrone e non quella vertiale, dato he E eserita una forza ( trasferise quantità di moto ) sull elettrone. La quantità di moto relativistia lungo x è: p x mv x e, ome detto, si onserva nel tempo. In entra IL MODULO DELLA VELOCITA v t, periò, dato he la omponente v y aumenta, anhe v aumenta, v pure, v 1 1 aumenta [(v) è funzione strettamente di v, per v<] v 1 diminuise e Dato he p x resta ostante e aumenta, neessariamente v x deve diminuire nel tempo. Il motivo di questo apparente paradosso è he le equazioni di Maxwell sono intrinseamente relativistihe, periò non sono ompatibili on la meania newtoniana. Naturalmente, le orrezioni sono di seondo ordine in v/. 105

19 89. L ENERGIA RELATIVISTICA (E) L energia viene definita in questo modo: E m Oorre riavare una relazione importante. Fissato un erto istante di tempo, segliamo un SC in modo he la veloità sia diretta lungo l asse x: sarà quindi v y =v z =0, p y =p z =0 e dx p x m. d dx Riordando he d dt e he p p x, si ottiene la seguente importantissima relazione dt d E - p = m 4 Il seondo membro è un INVARIANTE (non dipende dal RIF), dunque lo è anhe il primo, ioè, studiando la stessa partiella in due diversi RI, si troveranno valori diversi (E, p), (E, p ) per energia e quantità di moto, ma sarà sempre: E - p =(E ) - (p ) In partiolare, nel RI di QUIETE della partiella, ioè se p=0, si ha E=m : l energia di una partiella ferma è proporzionale alla sua massa. 4 Se p è diverso da 0 allora E= m p, he è funzione resente di p Se p<<m, lo sviluppo al primo ordine (*) dà: p E m m x he dà qualhe indiazione sul signifiato di E [ (*) 1 x 1...] per x<<1 Misurando E e p, è possibile misurare indirettamente la massa, anhe se questa non è ferma. Se, misurando E e p, è possibile misurare indirettamente la massa, anhe se questa non è ferma. Se, misurando E e p, si ottiene he E =p, allora la massa è nulla: m=0. p ds v Allora, da, on E=p, si ha v=, in ogni RI! E dt È da notare he tutte le misure saranno affette da inertezze. 106

20 90. L ENERGIA CINETICA RELATIVISTICA (T) 4 La relazione E p m vale istante per istante, mentre la partiella si muove e ambiano da E e p ambiano: la massa è una ostante del moto. Differenziando, si ottiene E de= p v p dp, da ui, riordando he E, he dp=f dt e p he F dx=dl (lavoro), si ha: de dp v dp v F dt F dx dl, he riorda il E teorema delle forze vive: la grandezza E (per ora anora senza signifiato fisio!) varia durante il moto, nella stessa misura del lavoro ompiuto dalla forza agente sul orpo. La definizione relativistia di T deve ridursi a T=0 per v=0: basta definire T=E m, ioè E=m +T. Dato he d=dt/, allora E=m e quindi anhe: T=m ( 1) Verifia sperimentale: film PSSC La veloità limite. Si aelerano degli elettroni in un aeleratore lineare e si misurano: a) la veloità, dal tempo di volo fra due traguardi (figura) b) l energia inetia, dal risaldamento di un bersaglio in ui gli elettroni vengono frenati. ) È osì possibile onstatare he l energia inetia, misurata per via alorimetria, oinide on quella riavata teoriamente dalla veloità. d) Altre verifihe sperimentali: nella fisia delle alte energie, misurando gli angoli di sattering (diffusione elastia delle partielle) è possibile verifiare he energia e quantità di moto si onservano. 107

21 91. L INERZIA DELL ENERGIA (1 a parte): UN ESPERIMENTO CON I PROIETTILI Nel settembre 1905 Einstein pubbliò un artiolo di tre pagine dal titolo L inerzia di un orpo dipende dal suo ontenuto di energia?. È la soperta di quella he poi verrà spesso hiamata, assai impropriamente, equivalenza massa-energia, he è un espressione he dà adito a numerosi equivoi. Il ragionamento, he è solo uno dei numerosi proposti da Einstein, anhe in seguito, ha ome onseguenza logia appunto l inerzia dell energia. Su un oggetto di massa M vengono sparate due masserelle m. Nel RI K la M è ferma e le due m hanno veloità uguali in modulo e direzione e opposta in verso. Nel RI K M ha veloità v, mentre i due proiettili hanno veloità oblique di uguale modulo u, la ui omponente vertiale è u e quella orizzontale è v (siamo in meania newtoniana). In K i due proiettili restano inastrati nel bloo M: urto totalmente anelastio. All inizio il bloo è fermo e la p tot è o, anhe dopo l urto il bloo+proiettili sta fermo (massa M+m). In K la quantità di moto totale, prima dell urto, ha omponente nulla in vertiale, pari a Mv+mv=(M+m)v verso destra. Abbiamo due modi per prevedere quello he suede in K: A) dalla onservazione della quantità di moto in K, bisogno he la veloità del bloo+proiettili, di massa M+m, sia anora v. B) dato he K e K sono entrambi RI: se in K il bloo+proiettili resta fermo, allora in K dovrà essere anora v, ome prima. Tutto quadra bene. Vediamo osa suede in un altro aso. 108

22 9. L INERZIA DELL ENERGIA ( a parte): UN ESPERIMENTO CON LA RADIAZIONE Si tratta dello stesso esperimento, salvo he, invee di sparare due proiettili di massa m, si fanno arrivare sulla massa M due pahetti di radiazione e.m., di energia e quantità di moto / (la quantità di moto della radiazione è onseguenza delle equazioni di Maxwell: elettromagnetismo lassio ) Anhe in questo aso, M è nera ioè ompletamente assorbente. Nel RI K i due pahetti di radiazione portano quantità di moto /, ma in versi opposti. Quando vengono assorbiti da M, la quantità totale resta nulla e M resta ferma. Nel RI K l energia dei fotoni è (diversa da per effetto Doppler e =h) e la quantità di moto /, la ui omponente orizzontale è sen. La quantità totale, verso destra, è periò Mv sen. E dopo? Ragioniamo ome prima, in due modi: A) dalla onservazione della q. di moto in K, se la veloità finale di M è v f si ha: M f v f Mv sen B) se in K il bloo resta fermo, in K si muoverà on veloità v? v f =v? Mv Mv sen per 0 è impossibile! DOV È L ERRORE? FORSE È NELLA CONSERVAZIONE DELLA MASSA? (Ma i voleva Einstein per pensari!) 109

23 93. LA MASSA NON SI CONSERVA NEGLI URTI ANELASTICI Sriviamo dunque M f al posto di M, dopo l assorbimento. Dato he B vale anora, v f =v e ottengo sen M f M v Resta da alolare. Pensando all orologio a lue, è evidente he x x x v sen, dove t è, al solito, l intervallo di tempo impiegato d t t dall impulso luminoso per perorrere la distanza LSR, misurato nel RI rispetto al x v quale l orologio si muove on veloità v ). Dunque, sen e quindi: t M f M Ma è proprio l energia assorbita dal bloo (ioè eduta dai due pahetti di radiazione), ioè =E. Allora: 1 M E ossia l aumento di massa è proporzionale all aumento di energia (interna!): INERZIA DELL ENERGIA. Se la veloità della massa M è nulla, allora =1 e quindi (RI K!) 1 la variazione di massa è: M E UN CORPO FERMO ACCRESCE LA SUA MASSA QUANDO ASSORBE ENERGIA, RESTANDO FERMO. Inoltre, in K: E== M, mentre in K :E = = M, da ui: = legge di trasformazione dell energia del pahetto in moto trasversale rispetto a v. 110

24 94. LA MASSA NON È ADDITIVA: LA SOMMA DELLE MASSE NON È LA MASSA TOTALE DECADIMENTO DEL MESONE K 0 : K La massa del K 0 è 498 MeV/ (1 ev=1, J), quella di ogni pione è 140 MeV/. Quando il K 0, he era fermo, sparise e nasono i due pioni, parte della massa sembra sparire, nel senso he la somma delle masse finali è minore della massa iniziale. La somma delle masse non si onserva, ma l energia sì. m K = m (i due hanno stessa v) m K = m >1 perhé i si muovono: m K >m, mentre il K 0 era fermo L ENERGIA SI CONSERVA L ENERGIA È UGUALE A M (=1 se v=0) NUCLEO DI ELIO (PARTICELLA ) La massa della partiella è minore di 8 MeV (lo 0,7%) della somma delle masse dei suoi ostituenti ( protoni e neutroni) Questo difetto di massa è l energia di legame, dovuta alle forze nuleari, he sono attrattive: quando il sistema è legato, la sua energia omplessiva è minore di quella delle partielle separate, e quindi è minore anhe la sua massa. GAS NEL RECIPIENTE CHIUSO Al ontrario di prima, il sistema non è legato: è energia inetia ma non è apprezzabile energia potenziale (negativa!) La massa omplessiva del gas è maggiore della somma delle masse delle moleole, perhé ognuna di loro ha un energia E i =m i e i > 1 SINTESI DELL ACQUA In un reipiente hiuso on idrogeno e ossigeno, viene innesata la reazione himia. L energia di legame si trasforma in altra energia di legame ed energia inetia delle moleole di vapore (la reazione produe molto alore ): se il reipiente è termiamente isolato, l energia, e quindi la massa, è ostante. 111

25 95. DECADIMENTO RADIOATTIVO Problema 7.8 da Taylor-Weeler Fisia dello spazio-tempo Nuleo razzo Nel riferimento del laboratorio la partiella A, in quiete, deade nella partiella C e D, he si muovono in versi opposti m A =0 u E A =? P A =0 E =p +m? E A = 0 u m C =u E C =5 u P C =? m D =? E D =? P D =? si onserva l energia E A =E C +E D? E D =15 u p =E -m? p C = 1 u si onserva la quantità di moto p A p C p D? p D = p C = 1 u m = E - p? m D 14 u la massa non è additiva: m A = 0 u m C + m D 16 u m A > m C + m D 11

26 96. URTO TOTALMENTE ANELASTICO Problema 7.9 da Taylor-Weeler Fisia dello spazio-tempo Urti appiiatii Nel riferimento del laboratorio la partiella A e la B si urtano formando la C, in quiete. m A = u E A = 6 u P A =? m B =? E B =? P B =? m C = 15 u E C =? P C = 0 E = p + m? E C = 15 u E A + E B = E C? E B = 9 u p = E - m? p A = 4 u p A p p? p B = p A =4 u B m = E - p? m B = 7 u C m A + m B = 9 u m C = 15 u m A +m B < m C 113

27 97. PRESSIONE DELLA LUCE Problema 8.3 da Taylor-Weeler Fisia dello spazio-tempo a) alolare la forza eseritata su una mano da un fasio di lue emesso da una toria elettria da 1 W e paragonarlo al peso di una massa fotone E =p E p E P0 t 1W 9 p F 310 N è il peso di una 8 1 t t 310 ms partiella di massa Kg: non si sente! b) L energia luminosa proveniente dal Sole penetra negli strati più elevati dell atmosfera al ritmo di 137 W per ogni metro quadrato di area disposta perpendiolarmente alla radiazione inidente (ostante solare). Calolare la pressione della lue solare su un satellite della Terra, sia on superfii riflettenti, he assorbenti, he reali, ioè intermedie. Perhé il olore della lue non fa differenza? F pot W m pressione = ,6 10 Pa (assorbimento ompleto) (la pressione 8 1 A A 310 ms atmosferia è ira 10 5 Pa) aso superfiie riflettente p p p pot F t 6 4,6 10 Pa 910 p 6 Pa 6 6 aso reale (intermedio) 5 10 Pa p 910 Pa la pressione è determinata dall energia assorbita per ogni m, non dal olore ) un satellite sferio in orbita attorno alla Terra ha r=1 m e m=10 3 Kg Supponete he assorba tutta la lue solare he vi inide sopra. Qual è il rapporto tra l aelerazione del satellite e l aelerazione g 0 =9,8 m/s? F lue =ma lue =p A p A 8 m a lue = 1,6 10 m s A=area erhio massimo a l =10-9 g 0 d) può suedere he partielle minori di una erta dimensione limite siano spinte fuori dal sistema solare dalla pressione della lue solare? 1 1 pot mm F lue F gravità : la distanza del Sole non importa A G A r r r m R 4 m v r 3 3 =10 3 Kg m -3 M=M S R= 1 UA pot/m =137 W m - r 10-6 m 114

28 98. DIMINUZIONE DI MASSA DEL SOLE Il Sole emette radiazione em al ritmo di Js -1. M Calolare M in un anno. Perhé diminuise la massa del Sole? Energia emessa in un anno E= J 3, s = 1, J s he orrisponde ad una variazione di massa E 1,3 1034J 91016ms M 1, kg M M 1,4 1018kg 1030kg 10 1 diminuise perhé 4 protoni si trasformano in un nuleo di elio, formato da protoni e neutroni massa dei 4 protoni: 4 1, kg = 6, kg massa del nuleo di He: 6, kg la differenza è 0, kg = 4, kg 115

29 99. MASSA DEL VAPOR ACQUEO Un litro di aqua (liquida) ha massa ira di 1 kg. Se evapora (a temperatura ostante) la sua massa ambia? Quanto? Perhé? È possibile onsiderare il alore latente di vaporizzazione, ioè l energia neessaria per far passare la massa unitaria dallo stato liquido a quello di vapore, in ondizioni isoterme. A ondizioni normali di pressione, il alore latente di vaporizzazione dell aqua è, J kg 1 = L V E=L V m=, J 6 10 J M= m s E 11 kg M=( ) kg La massa del vapore aqueo è maggiore di quella dell aqua liquida perhé è aumentata l energia interna delle moleole: l energia inetia media di traslazione è rimasta ostante, ome la temperatura, mentre è diminuita (in valore assoluto) l energia potenziale dovuta alle forze attrattive, he è negativa. 116

30 100. E=m? NO, MEGLIO E=m! E=m è di siuro la formula più itata e meno apita di tutta la fisia, a ausa della m, intesa ome m =m, osiddetta massa relativistia, variabile on la veloità. È molto meglio hiamare m la massa (di riposo ), he è invariante e aratterizza la partiella ome la aria, lo spin, et Lo stesso Einstein srisse: <<Non è bene parlare della massa m v 1 di un orpo in moto, poihé non se ne può dare una definizione hiara. Se si vogliono desrivere le proprietà inerziali dei orpi in moto veloe, è meglio limitarsi alla massa di riposo m e dare piuttosto le espressioni dell impulso e dell energia>> (riprodotto da Okun in The onept of Mass, Physis Today, 49 (1989), p. 31). PER CONCLUDERE Altre due itazioni di Einstein: <<Ma gli anni di ansiose rierhe nel buio, di intense speranze, l alternarsi di fiduia e delusione e, infine, l emergere alla lue: solo hi l ha provato può apirlo>> (riprodotto da J. A. Wheeler in Gravità e spazio tempo, Zanihelli NCS, 1993) <<Dio è inesorabile nel onedere i suoi doni. A me ha dato solamente l ostinazione di un mulo; no, veramente mi ha anhe dato un buon fiuto>>. (Riprodotto da E. Segré in Personaggi e soperte nella fisia ontemporanea, Mondatori EST, 1976) 117

31 7. ASTROFISICA E COSMOLOGIA 118

32 101. LA SCALA DELLE DISTANZE: LA PARALLASSE PARALLASSE DIURNA Se C è la posizione di un oggetto eleste, allora, nota la distanza AB, dalla misura di (piolo) si può determinare B C da: AB BC sen BC ( in radianti) Più esattamente, si hiama parallasse diurna di un oggetto eleste l angolo. Dato he R = D sen ~ D, si può riavare D. Per la Luna 1 ; per il Sole 9. In questo modo è stato possibile determinare la distanza Terra-Sole, detta unità astronomia UA = 500 seondi-lue 1, m. Ora, le misure sui pianeti si fanno on ehi radar (il primo eo-radar dalla Luna è stato rievuto nel 1946). PARALLASSE ANNUA Nota l UA=a, è possibile determinare D, ovvero la distanza di una stella viina, utilizzando la lue proveniente da una molto lontana, e misurando l angolo a distanza di sei mesi, quando la Terra si trova in A e poi in B. Dato he a = D tg D, da a e si ottiene D. Per tutte le stelle < 1 ; il parse (p) è la distanza D quando la parallasse annua è 1 1 p, UA m 3,6 a l Oggi si determina da Terra fino a 10 p (10 3 p dai satelliti), oltre è troppo piolo per essere misurato in modo attendibile. 119

33 10. LA DISTANZA RICAVATA DALLA LUMINOSITÀ Luminosità assoluta (o intrinsea) è la potenza totale irradiata. Ad es., la luminosità assoluta del Sole, integrata su tutte le lunghezze d onda (bolometria) è W. L intensità d illuminazione I è inversamente proporzionale al quadrato della distanza D: L I 4D Luminosità apparente è la luminosità assoluta he ha una stella fittizia, posta ad una distanza onvenzionale (10 p), he illumina on la stessa intensità I. Periò Lapp Lass 4 D 10 p 4 ass L app L ass 10 p D Misurando I, si riava L app e quindi D, infatti L ass è nota, onosendo lo spettro della lue emessa: stelle he emettono lue di uguale distribuzione spettrale hanno la stessa luminosità assoluta. Classe spettrale si riava dalle righe spettrali, lasse di luminosità dall intensità e dalla forma delle righe. Conosendo, on la parallasse, la distanza di una stella, si possono ottenere molte altre. Si arriva a 10 4 p, dentro la Galassia. Cefeidi sono variabili regolari, le novae sono variabili atalismihe. Entrambe variano in modo noto la luminosità, e se ne può determinare la distanza. Si arriva a ~50 Mp, inluso l ammasso di galassie della Vergine e migliaia di galassie. Nelle galassie lontane non si distinguono le singole stelle, periò si misura la luminosità dell intera galassia. Si fa l ipotesi he nei diversi ammassi la galassia più luminosa abbia sempre la stessa luminosità assoluta. Note le distanze nell ammasso della Vergine, si possono valutare le distanze degli altri ammassi dalla misura della galassia più brillante di iasuno di loro. Distanza di ~ 10 9 p al. Le supernovae sono stelle he esplodono, aumentando enormemente la luminosità. Conosendo la urva di lue, se ne può riavare la luminosità assoluta e dunque la distanza. Molta inertezza, disordanze anhe del 50% tra un metodo e l altro. 10

34 103. LA MASSA DELLE GALASSIE E LA DENSITÀ DI MATERIA Massa del Sole MS. Conosendo r T, raggio dell orbita terrestre, irolare, e T T, periodo di rivoluzione, si riava v r mv GM m v 4 T rt r M S G GT T T T S TT rt rt ottenendo la massa M S =1, kg e la densità media 1, kg/m 3. Allo stesso modo per un pianeta on satellite, altrimenti si devono studiare le perturbazioni al moto degli altri pianeti. Massa della Galassia M G. Se si fa l ipotesi he la Galassia abbia un nuleo entrale massivo e he il Sole sia molto periferio, si usano le stesse formule e si ottiene M M G S T T T S rs rt 3 1, T 3 T Stesso metodo per altre galassie. Conosendo la massa media delle galassie e il loro numero per unità di volume, si trova la densità di materia dell Universo: g/m 3. MASSA MANCANTE v r Dalla relazione M per diverse stelle di una galassia a spirale, si vede he G 1 v ovvero l andamento tratteggiato della figura (il tratto iniziale resente è r dovuto al fatto he viino al entro non tutta la massa della galassia produe ampo g ). Si trova invee he la veloità è pressohé ostante, anhe a grandi distanze. Dunque la M non è onentrata, ma rese ome r: materia osura, non luminosa. Problema anora aperto. 11

35 104. LA LEGGE DI HUBBLE Negli anni 0 si soprì he la lue di galassie lontane è spostata verso il rosso (redshift osmologio) e he lo spostamento è proporzionale alla distanza della galassia. A brevi distanze i moti disordinati delle galassie (v~10 3 km/s) produono v uno spostamento Doppler (rumore) 0, 003 Per avere un redshift nettamente superiore, per es., 0,01, oorre andare a distanza > 50 Mp, ma l inertezza delle distanze grandi è assai elevata. Il redshift è invee faile da determinare, perhé le righe di assorbimento e le loro lunghezze d onda possono essere paragonate on le misure del laboratorio a Terra: per ogni atomo o ione esse sono ben note. Prinipio di uniformità delle leggi di natura in tutto l Universo. e = lunghezza d onda di una erta riga, misurata in laboratorio r = lunghezza d onda r e rievuta dalla galassia z parametro di redshift r e e Tralasiando per ora le veloità alte, il redshift per effetto Doppler è uguale, al primo ordine, a v/. In realtà, si onosono oggetti per i quali z>4, e dunque z=v/ è impossibile, oorre tener onto della relatività. Se la ausa del redshift è l effetto Doppler, z~v ma anhe, sperimentalmente, z~ distanza d, dunque v~ d v = H d H = ostante di Hubble = (65±13) km s -1 Mp -1 Il moto di allontanamento delle galassie non signifia he siamo al entro dell universo. Se O è l osservatore sulla Terra e O 1 e O su due galassie lontane i triangoli all istante t=0 e t=t* sono simili: anhe da O 1 e O si trova la stessa legge di Hubble e si misura la stessa espansione he da O. 1

36 105. IL PRINCIPIO COSMOLOGICO (PC) Fare un modello osmologio signifia fare ipotesi sulla distribuzione di materia nell Universo e sulla geometria dello spazio-tempo. Conviene pensare all Universo ome ad un gas, i ui atomi sono le galassie, in moto disordinato e non interagenti fra loro. Si assume he la densità di galassie, e quindi la densità di materia nell Universo, sia la stessa dappertutto. Prinipio osmologio (PC): le proprietà fisihe dell Universo sono le stesse in tutti i punti dello spazio e in tutte le direzioni; l Universo è OMOGENEO E ISOTROPO. Legge di Hubble, distribuzione delle galassie e isotropia della radiazione di fondo sono le basi di questa ipotesi. TEMPO L Universo si espande, periò la densità di materia diminuise nel tempo. Che signifia? Definiamo nello spazio-tempo una famiglia di ipersuperfii di tipo spaziale, tali he non si intersehino e he per ogni punto dello spazio-tempo ne passi una ed una sola. Parametrizziamo la famiglia on una variabile reale t, e questo è il tempo di ui parliamo. PC: è possibile fogliettare lo spazio-tempo in modo he ogni punto della stessa ipersuperfiie abbia la stessa densità: ipersuperfii di omogeneità. Isotropia: l osservatore deve essere fermo rispetto alla materia viina, ovvero le linee orarie degli osservatori he vedono isotropo l Universo sono ovunque ortogonali (nel senso della metria dello spazio-tempo) alle ipersuperfii di omogeneità. Non è banale he esista una ipersuperfiie di omogeneità: se lo spazio avesse proprietà diverse nelle varie regioni, non si riusirebbe a definire la famiglia in modo da avere l omogeneità. 13

37 106. IL MODELLO DI UNIVERSO A CURVATURA COSTANTE Se si ammette he la densità di materia è la stessa dappertutto, anhe la urvatura dello spazio-tempo sarà la stessa dappertutto. Si intende ostanza nello spazio non nel tempo: lo spazio-tempo è quadridimensionale, se onsideriamo le sezioni tridimensionali a t assegnato, il PC i die he queste sezioni sono a urvatura (tridimensionale) ostante, ma a tempi suessivi la urvatura ambia. Il raggio di urvatura R(t), detto parametro di sala, aumenta ol tempo, dato he l Universo si espande. Uno spazio tridimensionale a urvatura ostante può essere eulideo (piatto, k=0, urvatura nulla), sferio (k=1, urvatura positiva) oppure iperbolio (k=-1, urvatura negativa). Per sempliità, pensiamo ad uno spazio bidimensionale: la superfiie di una sfera, dove le rette (le geodetihe) sono i erhi massimi. Coordinate polari: se P è il polo, le oordinate sono e, in S. In S 3, spazio sferio 3-dim, è la terza oordinata x. Le oordinate polari sono ostanti nel tempo: la sfera si gonfia, aumenta il raggio, ma gli angoli restano uguali: le oordinate omoventi di un determinato punto del fluido osmologio (di una galassia) sono ostanti. La distanza QP invee varia: è l aro di erhio massimo e misura R. S 3 è uno spazio finito, a urvatura positiva. 14

38 107. IL REDSHIFT COSMOLOGICO E: emettitore R: rievitore La lue viaggia da E a R lungo la geodetia. Viene emessa all istante t = t e, quando il raggio è R e, e viene rievuta all istante t = t r, quando il raggio è R r > R e. La distanza ER vale R e prima, e R r dopo. Se parte un seondo flash da E, esso verrà rievuto da R, perhé gli angoli sono uguali.. Il lampo emesso da E passa per E all istante t e + t e. Dopo essere arrivato in R, raggiungerà anhe R, all istante t r + t r. Se l angolo è piolo, nel tempo t e e nel tempo t r il raggio non ambia apprezzabilmente, periò te = R e / e t r = R r /. Il tempo t, in ogni punto, è il tempo proprio, segnato da un orologio loale; tutti gli orologi sono sinronizzati, dato il PC. Se invee di due flash si pensa ad un unia sorgente monoromatia, t e e t r possono essere i periodi della radiazione alla trasmissione e alla riezione. I periodi sono proporzionali alle lunghezze d onda e pure: R R e t t r e r R R r 1 z, dove z è il parametro di red-shift. Interpretazione più profonda he non l effetto Doppler: l osservazione del redshift osmologio è la prova he il raggio dell Universo è resiuto dal momento in ui la lue è stata emessa al momento in ui la rieviamo. Non è affatto l ipotesi he z debba essere piolo. Se onosiamo una sorgente per ui z=4, signifia he il raggio di urvatura dell Universo era, all emissione, 5 volte più piolo dell attuale. Nulla si può dire del tempo, finhé non si onose R(t). e r e 15

39 108. LA LEGGE DI HUBBLE COME APPROSSIMAZIONE Per galassie viine (fino a 10 8 al) z è piolo, infatti nel tempo he la lue impiega ad arrivare, il raggio dell Universo ambia poo: lo supponiamo ostante dr dt R d R Inoltre R R t t R e dunque R z R d r v e d H r e e R R ovvero la legge di Hubble. on r e t r d te. R d Rr 1 ma anhe 1 z da ui R R R H ioè a piole distanze, il R redshift è proporzionale alla distanza, ome pure la veloità di allontanamento dovuta all espansione. Se la funzione R(t) è la urva a tratto intero traiando la tangente all istante attuale t=t 0, si vede he il tratto t 1 t 0 (sottotangente) è uguale a e R 1 t H R H tempo di Hubble, ira 15 miliardi di anni. Se la urva fosse una retta, ovvero la veloità di espansione fosse ostante, t H sarebbe il tempo trasorso dall istante in ui il raggio era nullo, ma tutto dipende dalla forma di R(t). ESPANSIONE avviene ome evoluzione marosopia dell Universo nel suo insieme, ma in dettaglio l Universo non è affatto omogeneo. Le galassie non si espandono, la Terra neppure. VELOCITA La legge della veloità limite della RR vale in un RI, nello spaziotempo piatto, su piola sala. Lo spazio-tempo dell Universo è urvo e un RI he opra distanze osmologihe non esiste. 16

40 109. LA DINAMICA COSMOLOGICA Per trovare la legge di variazione di R(t) e un equazione del moto è possibile usare la teoria newtoniana e non le equazioni di Einstein (regioni piole, moto lento). Isoliamo una piola sfera (piola alla sala osmologia), pensiamola nello spazio vuoto e studiamo il moto di una piola galassia di massa m al bordo, he si muove sotto la sola azione della forza di gravità prodotta dalla massa interna alla sfera. 3 GMm GM 4 r 4 aelerazione m r r G rg stessa equazione per r r 3 r 3 una massa m a distanza r, dato he la densità è uniforme, anhe se non è ostante nel tempo. Segliendo una veloità iniziale proporzionale a r, anhe gli altri punti si muoveranno on veloità proporzionale a r, e anhe l aelerazione lo è. 1 GMm GM Conservazione dell energia: r veloità mr os t r os t r r 8 r Gr os t Anhe se la forza è attrattiva i può essere espansione, dipende 3 solo dalle ondizioni iniziali. EQUAZIONI DI EVOLUZIONE Se segliamo le oordinate on P al entro della sfera e Q sulla galassia al bordo, allora r=r on ostante. Allora si ha R 4 RG, he è proprio l equazione del moto per il raggio 3 8 dell Universo. Anhe R GR os t k 3 (k=0, +1, -1) dove il valore di k si riava solo usando le equazioni di Einstein e dipende dal tipo di urvatura R 0, quindi il grafio di R(t) è onavo verso il basso: Se questo modello è orretto, il grafio inontra l asse delle asisse a un epoa la ui distanza da oggi è minore di t H. Però la RG diventa inappliabile a tempi in ui R è dell ordine della lunghezza di r Plank kg L P m, per ui nulla si può dire dell istante in ui R=0. 17

41 110. EVOLUZIONE DELLA DENSITÀ DI MATERIA Uno spazio tridimensionale a urvatura ostante ha volume finito: V= R 3, ovvero V R 3. La massa dell Universo è data in prevalenza dai nulei degli atomi, ovvero dai barioni (protoni e neutroni), il ui numero si onserva. Periò la massa totale non ambia, quindi la densità 1/R 3 sostituendo on b/r 3 si ottiene l equazione del 4 bg moto R 3 R da ui è possibile determinare R(G), se si onosono le ondizioni iniziali a t qualunque. RADIAZIONE ELETTROMAGNETICA COSMICA Oggi l Universo è trasparente alla radiazione e.m. quasi dappertutto, ossia non è un interazione apprezzabile tra la radiazione ed il resto della materia. Se il numero totale di fotoni n si onserva, allora n 1/R 3, on n=numero di fotoni per unità di volume. L energia media dei fotoni non si onserva, perhé l energia dipende dalla frequenza e la frequenza ambia - per effetto del redshift inversamente alla lunghezza d onda. Dato he R, 1/R e, per la densità di energia n 1/R 4 Dunque, per la densità di massa dovuta alla materia barionia si ha b 1/R 3 mentre per la densità di massa dovuta ai fotoni: f 1/R 4 Oggi f è trasurabile rispetto a b ma per un R abbastanza piolo la situazione si apovolge: f > b Nel lontano passato gran parte dell energia era e.m.: è la palla di fuoo (fireball) di Gamow. Per ragioni di equilibrio statistio, quella sarà radiazione nera, on una distribuzione spettrale data dalla legge di Plank, ed energia data da kt. T <1/R Ai giorni nostri la temperatura è ira 3 K. Previsione nel 48, soperta della radiazione di fondo nel 1965, 3 mm miroonde. 18

42 111. L ORIZZONTE In un ipotetio Universo a sezioni spaziali eulidee, ed in ui R= relazione redshift-distanza? tr dt dt dt=ds=rd= a t d d a d t a t tr t te t t R R a la distanza d r alla riezione è d r r e a Re z Rr R r Rr Rr a 1 1 R 1 r a 1 z a 1 z da ui il parametro di redshift risulta essere z d D r dove R r D d r a si vede he per d r D =D/Rr e dr=d inoltre (antipodo) raggio dell Universo è piolo. a te r e G a t, quale sarà la z, ossia la distanza D è un orizzonte Re=0 implia he e R r, ioè esiste orizzonte quando il Questo risultato si riprodue on qualsiasi modello di Universo realistio on ioè R 0 rese on una potenza di t minore di 1 Nelle prime fasi dell espansione regioni distanti dell Universo non si possono vedere, quindi non possono interagire. È questo uno dei motivi he hanno portato a proporre modelli inflazionari, in ui si postula la presenza di un qualhe ampo on proprietà (densità, pressione) diverse dalla materia ordinaria, osì he l espansione iniziale segue una legge diversa 19

43 11. UNIVERSO APERTO O CHIUSO? IL FUTURO Dividendo per R un equazione del moto si ottiene R R 8 k G 3 R 8 k ovvero H G 3 R Conosendo H e si trova il segno di K. Con i dati attuali k=-1, spazio iperbolio. Altre indiazioni danno k=0, ovvero spazio piatto, ma è diffiile da giustifiare una situazione tanto regolare a partire dall esplosione iniziale. Anhe per questo si suppongono i modelli inflazionari. Sappiamo inoltre he è dominato dalla materia barionia e he derese ome 1/R 3, periò il primo termine al seondo membro diventa trasurabile rispetto al seondo. Per R, dato he H 0, è esluso he sia k=1. Dunque se lo spazio è a urvatura positiva R non può resere indefinitamente; raggiunge un massimo in ui H=0 e poi torna a deresere, riperorrendo simmetriamente le fasi perorse durante l espansione. C è dunque un legame tra il segno della urvatura e l evoluzione futura dell Universo. PROBLEMI APERTI Il PC pone dei problemi teorii proposta dei modelli inflazionari. Onde gravitazionali, previste dalla RG. Anora niente on le antenne gravitazionali ma prova indiretta, basata sul moto di un sistema binario di stella di neutroni. Termine osmologio, introdotto (e poi tolto) da Einstein Aelerazione dell espansione, in ontraddizione on R 0, se ne sa anora troppo poo. La osmologia è anora una sienza giovane, in pieno sviluppo. 130