Trasformazioni di Lorentz, Quadrivettori, Impulso ed Angoli

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1 Trasformazioni di Lorentz, Quadrivettori, Impulso ed Angoli

2 Trasformazioni tra Sistemi di Riferimento Quantita di interesse in un esperimento: sezioni d urto, distribuzioni angolari, polarizzazioni. Confrontabili con teoria Misura di queste quantita e indiretta. Richiede misura diretta di energie, impulsi, angoli E importante capire come queste quantita cambiano o restano invariate al cambiare del sistema di riferimento inerziale usato per la misura Normalmente: alte energie e velocita prossime alla velocita della luce occorrono trasformazioni conformi ai principi della relativita ristretta. Fabrizio Bianchi 2

3 Trasformazioni di Lorentz Per due riferimenti in configurazione tipica: TdL: legano coordinate di un evento in due sistemi di riferimento Estensione dell idea di punto geometrico: Fenomeno localizzato nello spazio e nel tempo Es.: Flash luminoso, decadimento di un atomo eccitato Fabrizio Bianchi 3

4 Trasformazioni delle Velocita Fabrizio Bianchi 4 ( ) z z z z y y z x x z y x z y x u c c u u u c u u u c u u dz c dt dt cdt dz dz dy dy dx dx dt dz u dt dy u dt dx u dt dz u dt dy u dt dx u β β β γ β γ β γ β γ = = = = = = = = = = = = = 1 ; 1 ; 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; Prendendo i differenziali delle TdL:

5 TdL e Rotazioni (1) TdL mescolano coordinate spaziali e temporali Naturale paragone con rotazioni spaziali attorno ad un asse Invariante per rotazioni spaziali: distanza euclidea fra due punti. Invariante per trasformazioni di Lorentz: 4-intervallo tra due punti Fabrizio Bianchi 5

6 TdL e Rotazioni (2) Fabrizio Bianchi 6

7 TdL e Rotazioni (3) Fabrizio Bianchi 7

8 TdL e Rotazioni (4) Fabrizio Bianchi 8

9 TdL e Rotazioni (5) Fabrizio Bianchi 9

10 TdL e Rotazioni (6) Fabrizio Bianchi 10

11 TdL e Rotazioni (7) Cos e η 0? Osservazione: Per due rotazioni successive gli angoli si sommano Per due TdL successive le velocita non si sommano: Conseguenza della trasformazione relativistica delle velocita η 0 e un parametro additivo delle TdL Significato al momento non chiaro Fabrizio Bianchi 11

12 TdL e Rotazioni (8) Fabrizio Bianchi 12

13 TdL e Rotazioni (9) Fabrizio Bianchi 13

14 TdL e Rotazioni (10) Classificazione delle grandezze fisiche rispetto alle loro proprieta di trasformazioni rispetto a rotazioni: Scalari invarianti (massa, energia, temperatura ) Vettori come le coordinate (posizione, velocita, forza ) Tensori come i momenti d inerzia (momenti d inerzia, momenti di quadrupolo ) Classificazione delle grandezze fisiche rispetto alle loro proprieta di trasformazioni rispetto a TdL: Scalari invarianti (intervallo tra eventi, massa a riposo ) 4-Vettori come le 4-coordinate (4-impulso, 4- potenziale) Tensori come il campo e.m Fabrizio Bianchi 14

15 4-Vettori Ha 4 componenti Punto di vista geometria tridimensionale: 1 scalare + 1 vettore L indice µ corre da 0 a 3 Componente 0 e quella di tipo tempo Modulo quadro e indipendente dal sistema di riferimento Fabrizio Bianchi 15

16 Componenti Covarianti e Controvarianti Covarianti Controvarianti Norma Prodotto interno Tensore metrico Fa passare dalle componenti covarianti a quelle controvarianti: Fabrizio Bianchi 16

17 Ancora su TdL e Rotazioni In spazio non Euclideo ogni vettore ha due tipi di componenti Vero anche per vettori 3-D Spazio di Minkowsky e pseudo-euclideo Ogni 4-vettore ha due tipi di componenti Riassumendo: Fabrizio Bianchi 17

18 4-Impulso Diversi 4-vettori di interesse per le razioni tra particelle elementari. Il piu importante e il 4-impulso: dove: m e la massa a riposo della particella L invariante associato al 4-impulso e : E coincide con l energia a riposo della particella associata con la sua massa. D ora in poi usero le unita naturali h=c=1 Relazioni tra energia, impulso e massa: Fabrizio Bianchi 18

19 TdL del 4-Impulso Le componenti trasversali rimangono invariate Conveniente scomporre il vettore p in componenti trasversa e parallela rispetto a velocita relativa dei sistemi di riferimento Fabrizio Bianchi 19

20 Trasformazioni del 3-Impulso (1) Trasformazione di angoli e moduli degli impulsi nel pallare dal sistema del CM al sistema del Lab Sfera degli impulsi: Particella con impulso di modulo p* nel CM Vettore p* riempe una superficie sferica di raggio p* nello spazio 3-dimensionale degli impulsi Fabrizio Bianchi 20

21 Trasformazioni del 3-Impulso (2) Tdl da CM a Lab: Sostituendo in equazione sfera: Che e equazione di elissoide Fabrizio Bianchi 21

22 Trasformazioni del 3-Impulso (3) Fabrizio Bianchi 22

23 Trasformazioni degli Angoli (1) Sistema LAB: Sistema CM: Angoli nel CM in funzione di quantita misurate nel LAB Fabrizio Bianchi 23

24 Trasformazioni degli Angoli (2) Con un po di algebra: Anvendo definito la velocita della particella nel LAB come: Formula inversa: Fabrizio Bianchi 24

25 Relazione Impulso-Angolo nel LAB (1) Particella nel CM con angolo qualsiasi e impulso fissato: Le TdL rilevanti sono: Si puo scrivere: Fabrizio Bianchi 25

26 Relazione Impulso-Angolo nel LAB (2) Fabrizio Bianchi 26

27 Relazione Impulso-Angolo nel LAB (3) Fabrizio Bianchi 27

28 Relazione Impulso-Angolo nel LAB (4) Consideriamo il caso: Allora θ puo assumere tutti i valori tra 0 e π. Inoltre: Solo la soluzione con segno + e accettabile Fabrizio Bianchi 28

29 Relazione Impulso-Angolo nel LAB (5) Altro caso: L argomento della radice e positivo quando: Inoltre tutte e due le soluzioni sono positive. Per ogni angolo misurato nel LAB ci sono due valori dell impulso (corrispondenti a diversi angoli di emissione nel CM) Fabrizio Bianchi 29

30 Relazione Impulso-Angolo nel LAB (6) Fabrizio Bianchi 30