Calcolo del momento d inerzia di un braccio robotico

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1 Calcolo del momento d inerzia di un braccio robotico Basilio Bona Dipartimento di Automatica e Informatica Politecnico di Torino basilio.bona@polito.it Internal Report: DAUIN/BB/2006/09.01 Versione: 4 ottobre 2007 Momento*inerzia.tex

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3 Capitolo Introduzione Questa breve dispensa ha lo scopo di presentare un esercizio completo di calcolo del momento d inerzia del braccio del robot planare illustrato in Fig Il braccio viene modellato come un prisma avente centro di massa nel centro del riferimento R 0 (x, y, z), con alle estremità due motori schematizzabili con due cilindri aventi entrambi asse parallelo all asse z, come illustrato in Fig I parametri che verranno usati nei calcoli sono raccolti nella Tabella seguente: Parametro a b c a 1 a 2 r 1 r 2 h 1 h 2 M m 1 m 2 V = 8abc ρ = M 8abc Significato emi-lunghezza prisma emi-larghezza prisma emi-altezza prisma distanza tra l asse z e l asse del primo cilindro distanza tra l asse z e l asse del secondo cilindro raggio del primo cilindro raggio del primo cilindro altezza del primo cilindro altezza del secondo cilindro massa del prisma massa del primo cilindro massa del secondo cilindro volume del prima densità del prisma Tabella 1.1: Parametri del prisma assunto come braccio. 2

4 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia Momento angolare e momenti d inerzia Prima di procedere è opportuno richiamare i concetti che definiscono il momento angolare di un corpo e i relativi momenti d inerzia Sistema di masse puntiformi Iniziamo a considerare un sistema di n masse puntiformi m i, (con i = 1,, n), come indicato schematicamente in Fig Consideriamo un moto di pura rotazione intorno al punto fisso O definito dall origine del sistema di riferimento cartesiano R 0, rispetto al quale andremo a rappresentare tutti i vettori che ci servono. La i-esima massa m i si trova in una posizione definita dal vettore r i = [ x i y i z i ] T. Se la velocità istantanea di rotazione del sistema di masse viene definita dal vettore ω, risulta evidente che ogni massa verrà ad assumere una velocità lineare v i per effetto della rotazione; il valore di tale velocità si ricava dalla ben nota relazione v i = ω r i (1.1) dove il simbolo indica il prodotto esterno o vettoriale, definito solo per vettori tridimensionali. Le proprietà del prodotto esterno sono riassunte in [1, pag. 64] Sappiamo che quando un corpo si muove di moto rotatorio rispetto ad un punto fisso O, acquista un momento (della quantità di moto) angolare totale rispetto a tale punto; tale momento è un vettore, che chiameremo h, che viene formalmente definito dalla relazione h = h i = m i (r i v i ) i i Sostituendo questa espressione in (1.1), si ha h = i m i (r i (ω r i )) (1.2) Ricordando la proprietà del prodotto triplo [1, pag. 161] a (b c) = (a T c)b (a T b)c, dove a T c e a T b sono prodotti scalari, segue che il momento angolare si scrive come h = ( ) m i (r T i r i )ω (r T i ω)r i i

5 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 4 Se indichiamo con ri 2 la norma r i 2 = (r T i r i) = (x 2 i + y2 i + z2 i ) ed rappresentiamo h secondo le sue tre componenti cartesiane, otteniamo ovvero h = i h x m i h = h y = h z i ri 2ω x r i 2ω y (x i ω x + y i ω y + z i ω z ) ri 2ω z x i y i z i m i (ri 2 x2 i )ω x m i x i y i ω y m i x i z i ω z m i x i y i ω x + m i (ri 2 y2 i )ω y m i y i z i ω z (1.3) m i x i z i ω x m i y i z i ω y + m i (ri 2 z2 i )ω z Questa relazione può venire riscritta nella forma matriciale seguente h = Γ xx,i Γ xy,i Γ xz,i ω x Γ yx,i Γ yy,i Γ yz,i ω y (1.4) i Γ zx,i Γ zy,i Γ zz,i ω z dove Γ xx,i = m i (r 2 i x 2 i ) = m i (y 2 i + z 2 i ) Γ yy,i = m i (r 2 i y 2 i ) = m i (x 2 i + z 2 i ) Γ zz,i = m i (r 2 i z 2 i ) = m i (x 2 i + y 2 i ) Γ xy,i = Γ yx,i = m i x i y i Γ xz,i = Γ zx,i = m i x i z i Γ yz,i = Γ zy,i = m i y i z i Se nella (1.4) raccogliamo il simbolo di sommatoria, avremo Γ xx Γ xy Γ xz ω x h = Γ yx Γ yy Γ yz ω y = Γ ω (1.5) Γ zx Γ zy Γ zz ω z dove la matrice Γ è chiamata matrice o tensore d inerzia ed ha come componenti i momenti d inerzia Γ xx = i Γ yy = i Γ zz = i m i (r 2 i x 2 i ) = i m i (r 2 i y 2 i ) = i m i (r 2 i z 2 i ) = i m i (y 2 i + z 2 i ) m i (x 2 i + z 2 i ) (1.6) m i (x 2 i + y 2 i )

6 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 5 e i prodotti d inerzia Γ xy = Γ yx = i Γ xz = Γ zx = i m i x i y i m i x i z i (1.7) Γ yz = Γ zy = i m i y i z i La relazione (1.5) è qualitativamente simile all espressione del momento lineare totale mv di un solido, che sappiamo essere il prodotto della sua massa totale m per la sua velocità lineare v. La matrice Γ rappresenta quindi le proprietà inerziali complessive rispetto alla rotazione, così come la massa di un corpo rappresenta le proprietà inerziali rispetto alla traslazione. Momenti d inerzia Come si può osservare, i momenti d inerzia sono ottenuti sommando i contributi del prodotto di ogni massa per la distanza euclidea rispettivamente dagli assi x, y e z. Prodotti d inerzia Se i prodotti d inerzia sono tutti nulli, la matrice d inerzia risulta diagonale Γ xx 0 0 Γ = 0 Γ yy Γ zz e gli assi del sistema di riferimento sono allineati con quelli che vengono chiamati assi principali d inerzia del corpo e la matrice si dice matrice principale d inerzia Sistema di masse distribuite Si suppone ora che il corpo di cui si vuole calcolare il momento angolare sia costituito da una distribuzione continua di masse infinitesime dm aventi densità puntuale ρ(r) = ρ(x, y, z) funzione della posizione r, con dm = ρ(x, y, z)dv, dove dv è il volume infinitesimo. La coordinata r assume i suoi valori in V, dove V è una regione finita dello spazio, avente volume complessivo V = V dv e massa totale m tot = V dm = V ρ(x, y, z)dv.

7 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 6 I ragionamenti fatti in precedenza, relativamente al caso di n masse concentrate, si possono applicare anche ora, sostituendo al simbolo di sommatoria il simbolo di integrale definito nel volume V, per cui risulta: y 2 + z 2 xy xz h = Γ ω, con Γ = ρ(x, y, z) xy x 2 + z 2 yz dv (1.8) V xz yz x 2 + y 2 ottenendo i momenti d inerzia, analoghi a (1.6) Γ xx = ρ(r)(y 2 + z 2 ) dv V Γ yy = ρ(r)(x 2 + z 2 ) dv (1.9) V Γ zz = ρ(r)(x 2 + y 2 ) dv e i prodotti d inerzia, analoghi a (1.7) Γ xy = Γ yx = Γ xz = Γ zx = Γ yz = Γ zy = Osservazioni V V V V ρ(r)xy dv ρ(r)xz dv (1.10) ρ(r)yz dv Va fatto osservare che la matrice d inerzia viene definita implicitamente quando si definisce il momento angolare h; quest ultimo a sua volta fa riferimento ad una rotazione rispetto a un punto fisso O. Nello svolgimento dei calcoli si osserva che le componenti cartesiane del momento h sono date in funzione del riferimento scelto, che si assume avere l origine coincidente nel punto fisso di cui sopra; il tensore d inerzia descrive il modo in cui la massa è distribuita rispetto agli assi del riferimento R 0 (O; x, y, z). Ecco perché spesso si dice, alternativamente, momento d inerzia rispetto ad un punto e matrice o momenti d inerzia rispetto agli assi. Ciò non deve ingenerare confusione; si tratta solo di un uso un po disinvolto dei termini matematici, che una volta capiti, non debbono presentare un problema. Se il riferimento è solidale al corpo, il tensore d inerzia rimane invariante nel tempo. Se si sceglie un diverso riferimento solidale al corpo, pur con l origine nello stesso punto

8 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 7 O, cambiano le componenti di h, e conseguentemente anche le componenti di Γ, che comunque restano tempo-invarianti. Se si trasla in un altro punto l origine del sistema di riferimento, che però resta solidale al corpo, la matrice Γ cambia, obbedendo al teorema degli assi paralleli (vedi oltre). Se invece il corpo ruota rispetto al riferimento, le componenti di Γ variano nel tempo, introducendo una maggior complicazione, che non verrà trattata qui, ma che appare quando, per ricavare le equazioni (dinamiche) di Eulero, si deriva nel tempo il momento della quantità di moto angolare. Trasformazioni tra matrici d inerzia Esplicitiamo quanto detto sopra nei due casi più comuni di trasformazione tra sistemi di riferimento. Detti R 1 b/o (O, i 1, j 1, k 1 ) e R 2 b/o (O, i 2, j 2, k 2 ) due generici sistemi di riferimento, entrambi solidali al corpo b, con origine O comune, legati tra loro da una trasformazione di rotazione pura, data dalla matrice (di rotazione) R 1 2 e dette Γ 1 b/o e Γ 2 b/o le relative matrici d inerzia, si avranno tra queste le seguenti relazioni: Γ 1 b/o = R1 2Γ 2 b/o (R1 2) T = R 1 2Γ 2 b/o R2 1 (1.11) Γ 2 b/o = R2 1Γ 1 b/o (R2 1) T = R 2 1Γ 1 b/o R1 2 (1.12) (Teorema degli assi paralleli) Detti R b/a (A, i, j, k) e R b/o (B, i, j, k) due generici sistemi di riferimento, entrambi solidali al corpo b e paralleli tra loro, con diverse origini A e B, legati dalla traslazione relativa AB= t AB = t x t y = t z x B x A y B y A z B z A e dette Γ b/a e Γ b/b le relative matrici d inerzia, si avrà tra queste la seguente relazione: } Γ b/a = Γ b/b + m tot { t AB 2 I t AB t T AB (1.13) Più semplicemente avremo una nuova matrice d inerzia Γ xx Γ xy Γ xz Γ Γ b/a = Γ yx Γ yy Γ yz Γ zx Γ zy Γ zz

9 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 8 con Γ xx = Γ xx + m tot (t 2 y + t 2 z) Γ yy = Γ yy + m tot (t 2 x + t 2 z) Γ zz = Γ zz + m tot (t 2 x + t 2 y) Γ xy = Γ xy + m tot t x t y Γ xz = Γ zx + m tot t x t z Γ yz = Γ zy + m tot t y t z Le trasformazioni valgono in generale, sia per sistemi di masse puntiformi, dove m tot = i m i sia per corpi di massa distribuita, dove m tot = V dm = V ρdv. Concludiamo le osservazioni ricordando che viene chiamato centro di massa o baricentro del corpo (sia esso formato da masse puntiformi sia da masse distribuite) quel particolare punto geometrico C di coordinate r c per il quale vale la relazione r c m tot = rρ(r)dv ossia quello in cui, ai fini inerziali, si può pensare di concentrare la massa totale del corpo. Infine ricordiamo che è spesso utile e conveniente calcolare il momento o la matrice d inerzia rispetto agli assi di un riferimento R C (C; x, y, z ) allineato lungo gli assi principali d inerzia e con l origine nel centro di massa del corpo. V 1.3 Calcolo del momento d inerzia del braccio Facendo riferimento al braccio considerato come un prisma e ai parametri dimensionali indicati precedentemente, possiamo fissare i seguenti insiemi di integrazione per le tre variabili spaziali X : Y : Z : V : a x a b y b c z c X Y Z Possiamo scrivere l integrale di volume (1.8) come integrale triplo y 2 + z 2 xy xz Γ = ρ(x, y, z) xy x 2 + z 2 yz dx dy dz (1.14) X,Y,Z xz yz x 2 + y 2

10 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 9 dove l ordine di integrazione è ininfluente, essendo l integrazione un operatore lineare. Per semplicità e brevità sviluppiamo completamente solo il primo elemento della matrice Γ, ossia Γ 11 Γ xx = ρ(x, y, z)(y 2 + z 2 )dx dy dz (1.15) X,Y,Z Possiamo inizialmente scegliere il seguente ordine di integrazione [ [ ] ] Γ xx = ρ(x, y, z)(y 2 + z 2 )dx dy dz = Z Y +c c dz Sviluppiamo ora il primo integrale +a a che risulta essere semplicemente +a a Ora abbiamo da integrare X +b b dy +a a ρ(x, y, z)(y 2 + z 2 )dx = M 8abc (y2 + z 2 )dx = M 8abc = M 8abc Γ xx = il cui termine in dy risulta essere: +b b = M 8abc ρ(x, y, z)(y 2 + z 2 )dx +a a ( +a a M 8abc (y2 + z 2 )dx y 2 dx + +a a ) z 2 dx ( xy 2 ) +a a + xz2 +a a ( ay 2 ( a)y 2 + az 2 ( a)z 2) = M 8abc 2a(y2 + z 2 ) = M 4bc (y2 + z 2 ) +c c +b M dz b 4bc (y2 + z 2 )dy +b +b M 4bc (y2 + z 2 )dy = M y 2 dy + M z 2 dy 4bc b 4bc b = M ( 1 4bc 3 y3 +b b + z2 y ) +b b = M ( ) 2b 3 4bc 3 + 2bz2 = M ( ) 1 2c 3 b2 + z 2

11 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 10 Ora non ci resta che integrare il termine restante, nel modo seguente: +c ( ) M 1 Γ xx = c 2c 3 b2 + z 2 dz = M ( +c 1 +c ) 2c c 3 b2 dz + z 2 dz c = M ( 1 2c 3 b2 z +c c + 1 ) 3 z3 +c c = M ( 2 2c 3 b2 c + 2 ) 3 c3 = M ( b 2 + c 2) 3 Lasciamo al lettore di verificare che si otterrebbe lo stesso risultato integrando in un ordine diverso, ad esempio +b b dy +a a dx +c c ρ(x, y, z)(y 2 + z 2 )dz Possiamo riassumere ora tutti i termini della matrice d inerzia Γ Pr del prisma: Γ Pr = M (b 2 + c 2 ) (a 2 + c 2 ) 0 (1.16) (a 2 + b 2 ) 1.4 Calcolo del momento d inerzia dei due cilindri Si tratta ora di calcolare il momento d inerzia dei due cilindri con assi paralleli all asse z e posti ad una distanza da esso di a 1 e a 2 rispettivamente. Per fare questo, prima calcoliamo il momento d inerzia di un cilindro generico intorno al suo asse di rotazione e poi, applicando il teorema degli assi paralleli, calcoliamo il momento d inerzia rispetto all asse z. Senza addentrarci in calcoli del tutto analoghi a quelli visti nella Sezione precedente, possiamo affermare che il momento d inerzia di un generico cilindro di raggio r, altezza h e densità ρ = m πr 2 rispetto all asse di simmetria verticale, vale: h Γ zz = 1 2 mr2 Per completezza, il momento d inerzia rispetto agli altri due assi ortogonali vale Γ xx = Γ yy = 1 2 mh mr2

12 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 11 Ora applichiamo il teorema degli assi paralleli, che ci permette di calcolare il momento d inerzia rispetto ad un asse parallelo al precedente, ma spostato di una distanza pari ad a; risulta quindi che il momento d inerzia rispetto all asse z passante per il centro di massa del prisma vale Γ zz = Γ zz + ma 2 e, in particolare, essendo i due cilindri posti a distanze diverse, avremo Γ zz,1 = 1 2 m 1r m 1 a 2 1, Γ zz,2 = 1 2 m 2r m 2 a 2 2. A conclusione di questi calcoli, risulta che il momento d inerzia dell intero corpo rigido rispetto all asse di rotazione z risulta essere la somma (ricordiamo che l operatore integrale è additivo): Γ tot zz = M 3 (b2 + c 2 ) m 1r m 1 a m 2r m 2 a 2 2.

13 Bibliografia [1] B. Bona, Modellistica dei Robot Industriali, CELID, Torino,

14 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 13 Figure Figura 1.1: Robot planare.

15 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 14 Figura 1.2: Braccio prismatico. Figura 1.3: Un sistema di n masse m i puntiformi.

16 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 15 Figura 1.4: Momenti d inerzia di solidi elementari.

17 Basilio Bona - Calcolo del momento d inerzia 16 Figura 1.5: Momenti d inerzia di solidi elementari.

18 Elenco delle figure 1.1 Robot planare Braccio prismatico Un sistema di n masse m i puntiformi Momenti d inerzia di solidi elementari Momenti d inerzia di solidi elementari

19 Indice Introduzione Momento angolare e momenti d inerzia Sistema di masse puntiformi Sistema di masse distribuite Osservazioni Calcolo del momento d inerzia del braccio Calcolo del momento d inerzia dei due cilindri